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(浙江专用版)2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)学

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。 1.4.2 学习目标 正弦函数、余弦函数的性质(一) 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数 y=Asin(ω x+φ )及 y =Acos(ω x+φ )的周期.3.掌握函数 y=sin x,y=cos x 的奇偶性,会判断简单三角函数的 奇偶性. 知识点一 函数的周期性 思考 1 如果函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),那么 3 是 f(x)的周期吗? 答案 不一定.必须满足当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+3)=f(x),才可以说 3 是 f(x)的周期. 思考 2 所有的函数都具有周期性吗? 答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性. 梳理 函数的周期性 (1)对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x +T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做 f(x)的 最小正周期. 知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性 思考 1 证明函数 y=sin x 和 y=cos x 都是周期函数. 答案 ∵sin(x+2π )=sin x,cos(x+2π )=cos x, ∴y=sin x 和 y=cos x 都是周期函数,且 2π 就是它们的一个周期. 思考 2 证明函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(或 f(x)=Acos(ω x+φ ))(Aω ≠0)是周期函数. 答案 由诱导公式一知,对任意 x∈R, 都有 Asin[(ω x+φ )+2π ]=Asin(ω x+φ ), ? ? 2π ? ? 所以 Asin?ω ?x+ ?+φ ?=Asin(ω x+φ ), ω ? ? ? ? ? 2π ? 即 f?x+ ?=f(x), ω ? ? 2π 所以 f(x)=Asin(ω x+φ )(Aω ≠0)是周期函数, 就是它的一个周期. ω 同理,函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(Aω ≠0)也是周期函数. 1 梳理 由 sin(x+2kπ )=sin_x,cos(x+2kπ )=cos_x(k∈Z)知,y=sin x 与 y=cos x 都 是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它们的周期,且它们的最小正周期都是 2π . 知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性 思考 对于 x∈R,sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,这说明正弦函数、余弦函数具备 怎样的性质? 答案 奇偶性. 梳理 (1)对于 y=sin x,x∈R,恒有 sin(-x)=-sin x,所以正弦函数 y=sin x 是奇函 数,正弦曲线关于原点对称. (2)对于 y=cos x,x∈R,恒有 cos(-x)=cos x,所以余弦函数 y=cos x 是偶函数,余弦 曲线关于 y 轴对称. 1. 函数 f(x)=x 满足 f(-3+6)=f(-3), 所以 f(x)=x 是以 6 为周期的周期函数. ( 2 2 2 × ) 提示 周期函数需满足对定义域内每一个值 x,都有 f(x+T)=f(x),对于 f(x)=x ,f(0) =0,f(0+6)=f(6)=36,f(0)≠f(0+6),∴f(x)=x 不是以 6 为周期的周期函数. 2.周期函数 y=f(x)的定义域可以为[a,b](a,b∈R).( × ) 提示 周期函数的定义域一定为无限集,且无上下界. 3.任何周期函数都有最小正周期.( × ) 提示 常函数 f(x)=c,任意一个正实数都是其周期,因而不存在最小正周期. 2 类型一 三角函数的周期性 例 1 求下列函数的最小正周期. π? ? (1)y=sin?2x+ ?(x∈R); 3? ? (2)y=|sin x|(x∈R). 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 解 (1)方法一 令 z=2x+ π ,因为 x∈R,所以 z∈R. 3 函数 f(x)=sin z 的最小正周期是 2π , 即变量 z 只要且至少要增加到 z+2π , 函数 f(x)=sin z(z∈R)的值才能重复取得. π π 而 z+2π =2x+ +2π =2(x+π )+ , 所以自变量 x 只要且至少要增加到 x+π , 函数值 3 3 2 π? ? 才能重复取得,所以函数 f(x)=sin?2x+ ?(x∈R)的最小正周期是 π . 3? ? π? 2π ? 方法二 f(x)=sin?2x+ ?的最小正周期为 =π . 3 2 ? ? ? ?sin x,2kπ ≤x≤2kπ +π , (2)因为 y=|sin x|=? ?-sin x,2kπ +π <x≤2kπ +2π ? (k∈Z). 其图象如图所示, 所以该函数的最小正周期为 π . 反思与感悟 对于形如函数 y=Asin(ω x+φ ), Aω ≠0 时的最小正周期的求法常直接利用 T = 2π 来求解,对于 y=|Asin ω x|的周期情况常结合图象法来求解. |ω | ) 跟踪训练 1 (2017·大同检测)下列函数是以 π 为周期的函数是( A.y=sin x C.y=cos 2x+2 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 C B.y=sin x+2 D.y=cos 3x-1 解析 y=sin x 及 y=sin x+2 的周期为 2π ,y=cos 2x+2 的周期为 π ,y=cos 3x-1 2π 的周期为 . 3 类型二 三角函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性. ?3 ? 2 (1)f(x)=cos? π +2x?+x

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