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【精品】第12讲 数列-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 12 讲:数列 1、 (2009 一试 7)一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和, 最后一行仅有一个数, 第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行, 则最后一行的数是 (可以用指数表示) 【答案】 101? 298 【解析】易知:(ⅰ)该 数表共有 100 行; (ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为 d1 ? 1 , d 2 ? 2 , d3 ? 22 ,…, d99 ? 298 (ⅲ) a100 为所求.设第 n ? n ≥ 2? 行的第一个数为 a n ,则 n?3 n?2 an ? an?1 ? ? an?1 ? 2n?2 ? ? 2an?1 ? 2n?2 ? 2 ? ?2an?2 ? 2 ? ??2 3 n? 2 n?4 n?2 n?2 n?1 n?2 n ?2 ? 22 ? ?2an?3 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 an?3 ? 3 ? 2 =…… ? 2 a1 ? ? n ? 1? ? 2 ? ? n ? 1? 2 故 a100 ? 101? 298 . 2 、( 20 10 一 试 4 ) 已 知 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 其 中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 , 且 存 在 常 数 ? , ? 使 得 对 每 一 个 正 整 数 n 都 有 an ? lo g ? bn ? ? , 则 ? ? ? ?. 【答案】 3 3 ? 3 从而 log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? ,求得 ? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 . 3、 (2013 一试 8)已知数列 ?an ? 共有 9 项,其中 a1 ? a9 ? 1 ,且对每个 i ??1, 2, 这样的数 列的个数为. 【答案】491 ,8? ,均有 ai ?1 ? 1? ? ? 2,1, ? ? 则 ai 2? ? 【解析】令 bi ? ai ?1 ?1 ? i ? 8 ? ,则对每个符合条件的数列 ?an ? 有 ai 1 ○ ?b ? ? i ?1 i i ?1 8 8 ai ?1 a9 1? ? ? ? 1 ,且 bi ? ?2,1, ? ? ?1 ? i ? 8 ? . 2? ai a1 ? 1 的 8 项数列 ?b ? 可唯一确定一个符 合题设条件的 9 项数列 ?a ? . 反之,由符合条件○ n n 1 的数列 ?b ? 的个数为 N .显然 b ?1 ? i ? 8? 中有偶数个 ? 记符合条件○ i n 1 1 ,即 2 k 个 ? ;继而有 2 k 个 2,8 ? 4 k 2 2 k 个 1.当给定 k 时, ?bn ? 的取法有 C82k C82? 2 k 种,易见 k 的可能值只有 0,1,2,所以 2 4 N ? 1 ? C82C6 ? C84C4 ? 1 ? 28 ?15 ? 70 ?1 ? 491 . 因此,根据对应原理,符合条件的 数列 ?an ? 的个数为 491 4、 (2014 一试 4)数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 2(n ? 2) a2014 an (n ? N ? ) ,则 =_____. n ?1 a1 ? a2 ? ... ? a2013 【答案】 2015 . 2013 将上面两式相减,得Sn ? 2n (n ? 1) ? (2n?1 ? 2n?2 ???? ? 2 ? 2) ? 2n (n ? 1) ? 2n ? 2n n. 故 a2014 22013 ? 2015 2015 ? 2013 ? . a1 ? a2 ? ??? ? a2013 2 ? 2013 2013 5、 (2017 一试 8)设两个严格递增的正整数 数列 {an } , {bn } 满足 a10 ? b10 ? 2017, ,对任意的正整数 n , 有 an?2 ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn , 则 a1 ? b1 的所有可能值为. 【答案】13,20. 【解析】由条件可知, a1 , a2 , b1 均为正整数,且 a1 ? a2 , 由于 2017 ? b10 ? 29 ? b1 ? 512b1 , 故 b1 ?{1, 2,3}. 反复运用 {a n } 的递推关系知 a10 ? a9 ? a8 ? 2a8 ? a7 ? 3a7 ? 2a6 ? 5a6 ? 3a5 ? 8a5 ? 5a4 ? 13a4 ? 8a3 ? 21a3 ? 13a2 ? 34a2 ? 21a1 因此 21a1 ? a10 ? b10 ? 512b1 ? 2b1 (mod34) 而 13 ? 21=34 ? 8+1, 故有 a1 ? 13 ? 21a1 ? 13 ? 2b1 ? 26b1 (mod34) 另一方面,注意到 a1 ? a2 , 有 55a1 ? 34a2 ? 21a1 ? 512b1 , 故a1 ? (1) (2) 512 b1 55 a1 ? 当 b1 ? 1 时,(1)(2)分别化为 a1 ? 26(mod 34), 512 , 无解. 55 1024 , 得到唯一的正整数 a1 ? 18, 此时 a1 ? b1 ? 20. 55 1536 , 得到唯一的正整数 a1 ? 10, 此时 a1 ? b1 ? 13. 55 a1 ? 当 b1 ? 2 时, (1) (2)分别化为 a1 ? 52(mod 34), a1 ? 当 b1 ? 3 时, (1) (2)分别化为 a1 ? 78(mod 34), 综上所述, a1 ? b1 的所有可能值为 13,20.学科/网 6、 (2009 一试 10)已知 p , q ? q ? 0? 是实数

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