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高中数学人教版必修二同步检测:第一章 空间几何体(答案解析)


第一章 阶段性测试题
(时间 90 分钟 一、选择题(每小题 5 分) 1.如下图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( ) 满分 120 分)

7.三个球的半径之比为 1:2:3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( A.1 倍 B.2 倍 9 C. 倍 5 7 D. 倍 4

)

8. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位: cm), 表面积为( )

则该几何体的

A.12πcm2 B.15πcm2 C.24πcm2 D.36πcm2 A.①是棱台 B.②是圆台 C.③是棱锥 D.④不是棱柱 ) 9.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π,则圆台较 小底面的半径为( A.7 ) ) B.6 C.5 D.3

2.若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的( 1 A. 倍 2 B.2 倍 C. 2 倍 4 D. 2 倍 2

3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是(

10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球, 这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重 温这个伟大发现.圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( 3 A. ,1 2 3 3 C. , 2 2 2 B. ,1 3 2 3 D. , 3 2 )

4.已知某几何体的三视图如右图所示,那么这个几何体是( A.长方体 B.圆柱 C.四棱锥 ) D.四棱台

)

11.某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 5 的等 腰三角形, 侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、 高为 5 的等腰三角形. 则该几何体的体积为( A.24 C.64 ) B.80 D.240 ) D、 )

5.正方体的体积是 64,则其表面积是( A.64 B.16 C.96

D.无法确定

1 6.圆锥的高扩大到原来的 2 倍,底面半径缩短到原来的 ,则圆锥的体积( 2 A.缩小到原来的一半 C.不变 B.扩大到原来的 2 倍 1 D.缩小到原来的 6

12. 若半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积是( A、

3 3 ?R 24

B、

3 3 ?R 8

C、

5 3 ?R 24

5 3 ?R 8

19.(本题 10 分)如图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的 二、填空题(每小题 5 分) 13.圆台的底半径为 1 和 2,母线长为 3,则此圆台的体积为 ________. 14.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积____ ___ 。 等腰三角形,已知底面边长为 2m,棱锥高为 7m,制造这个塔顶需要多少铁板?

15.圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形,则圆柱的表面积 为________. 16.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示,其中主视图是直角 三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表 面积是________. 三、解答题 17.(本题 10 分)画出如图所示几何体的三视图. 20.(本题 10 分)如下图,在底面半径为 2、母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆柱,求圆柱的 表面积.

18.(本题 10 分)圆柱的高是 8cm,表面积是 130πcm 2 ,求它的底面圆半径和体积.

4[答案] A [解析] 该几何体是长方体,如图所示.

详解答案 1[答案] C [解析] 图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;图②上、下两个面不平行,所以②不是圆台; 图④前、后两个面平行,其他面是平行四边形, 且每相邻两个四边形的公共边平行, 所以④是棱柱; 很明显③是棱锥. 2[答案] C [解析] 设△ABC 的边 AB 上的高为 CD,以 D 为原点,DA 为 x 轴建系,由斜二测画法规则作出 1 直观图△A′B′C′,则 A′B′=AB,C′D′= CD. 2 1 S△A′B′C′= A′B′·C′D′sin45° 2 21 2 = ( AB· CD)= S△ABC. 4 2 4 3[答案] D [解析] 本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知,原图下面图为 圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C 都可能是该几何体的 俯视图,D 不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形. 5[答案] C [解析] 由于正方体的体积是 64,则其棱长为 4,所以其表面积为 6× 42=96. 6[答案] A 1 1? 1 r 2× [解析] V= π? 2h= πr2h,故选 A. 3 ?2 ? 6 [答案] C 7[ 解析 ] 设最小球的半径为 r ,则另两个球的半径分别为 2r 、 3r ,所以各球的表面积分别为

36πr2 9 4πr2,16πr2,36πr2,所以 = . 4πr2+16πr2 5 8[答案] C [解析] 由三视图可知该几何体是圆锥, S 表=S 侧+S 底=πrl+πr2=π×3×5+π×32=24π(cm2),故 选 C. 9[答案] A [解析] 设圆台较小底面圆的半径为 r,由题意,另一底面圆的半径 R=3r. ∴S 侧=π(r+R)l=π(r+3r)× 3=84π,解得 r=7. 10[答案] C [解析] 设球的半径为 R, 则圆柱的底面半径为 R,高为 2R,

4 ∴V 圆柱=πR2×2R=2πR3,V 球= πR3. 3 ∴ V圆柱 2πR3 3 = = , 2 V球 4 πR3 3

1 ?×6=36. 则其体积 V=Sh=? ?2? 2+4? ×2 ? [答案] 24π2+8π 或 24π2+18π 15[解析] 圆柱的侧面积 S 侧=6π×4π=24π2. (1)以边长为 6π 的边为轴时,4π 为圆柱底面圆周长,所以 2πr=4π,即 r=2. 所以 S 底=4π,所以 S 表=24π2+8π. (2)以 4π 所在边为轴时,6π 为圆柱底面圆周长,所以 2πr=6,即 r=3.所以 S 底=9π,所以 S 表= 24π2+18π. 16[答案] 2(1+ 3)π+4 2 [解析] 此几何体是半个圆锥, 直观图如下图所示, 先求出圆锥的侧面积 S 圆锥侧=πrl=π×2×2 3= 4 3π,S 底=π×22=4π, ,其上层有两个立方体,下层中间有三个立方体,两侧

S 圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2,S 球=4πR2. ∴ S圆柱 6πR2 3 = = . S球 4πR2 2

11[答案] B [解析] 该几何体的四棱锥,高等于 5,底面是长、宽分别为 8、6 的矩形,则底面积 S=6× 8=48, 1 1 则该几何体的体积 V= Sh= × 48× 5=80. 3 3 12[答案] B

[解析] 画出该几何体的正视图为 各一个立方体,故 B 项满足条件. 13[答案] 14 2 π 3

[解析] 圆台高 h= 32-? 2 -1? 2 =2 2, π 14 2 ∴体积 V= (r2+R2+Rr)h= π. 3 3 14[答案] 36 [解析] 该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱,如图所示,底面是梯形 ABCD,高 h=6,

1 S△SAB= × 4× 2 2=4 2, 2 4 3π 4π 所以 S 表= + +4 2 2 2 =2(1+ 3)π+4 2. 17[解析] 该几何体的上面是一个圆柱,下面是一个四棱柱,其 三视图如图所示.

18[解析] 设圆柱的底面圆半径为 rcm, ∴S 圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π. ∴r=5(cm),即圆柱的底面圆半径为 5cm. 则圆柱的体积 V=πr2h=π×52×8=200π(cm3). 19[解析] 由三视图可知该几何体是一个正三棱台. 画法:(1)如图①所示,作出两个同心的正三角形,并在一个水 平放置的平面内画出它们的直观图; (2)建立 z′轴,把里面的正三角形向上平移高的大小; (3)连接两正三角形相应顶点,并擦去辅助线,被遮的线段用虚线表示,如图②所示,即得到要画的 正三棱台.

1 在 Rt△SOP 中,SO= 7(m),OP= BC=1(m), 2 所以 SP=2 2(m), 1 则△SAB 的面积是 × 2× 2 2=2 2(m2). 2 所以四棱锥的侧面积是 4× 2 2=8 2(m2), 即制造这个塔顶需要 8 2m2 铁板. 21[解析] 设圆柱的底面半径为 r,高为 h′. 圆锥的高 h= 42-22=2 3, 又∵h′= 3, 1 r 2 3- 3 ∴h′= h.∴ = ,∴r=1. 2 2 2 3 ∴S 表面积=2S 底+S 侧=2πr2+2πrh′ =2π+2π× 3=2(1+ 3)π. 22[解析] 由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积+圆台的侧面积+半球面面积. 1 又 S 半球面= ×4π×22=8π(cm2), 2 S 圆台侧=π(2+5) ? 5 -2? 2 +42=35π(cm2), S 圆台下底=π×52=25π(cm2),

20[解析]如图所示,连接 AC 和 BD 交于 O,连接 SO.作 SP⊥AB,连接 OP.

即该几何全的表面积为 8π+35π+25π=68π(cm2). π 又 V 圆台= × (22+2× 5+52)× 4=52π(cm3), 3

1 4π 16π V 半球= × × 23= (cm3). 2 3 3 16π 140π 所以该几何体的体积为 V 圆台-V 半球=52π- = (cm3). 3 3


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