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高一数学1.3.1单调性与最大课件新小值第一课时课件新人教A版必修1_图文

§1.3 1.3.1 函数的基本性质 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 学习目标 1.理解函数单调性的性质. 2.掌握判断函数单调性的一般方法. 课前自主学案 第一课时 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 温故夯基 1.初中学习过一次函数、二次函数.还记得 函数 f(x)=x 的图象特征吗?自左向右, 图像上是 增大 . 上升的 , _______ 即函数值随 x 的增大而______ 函数 f(x) =x2 的图象是__________ 抛物线 ,而且其图象在区间 (- ∞,0]内是 _________ 下降的 ,即函数值随 x 的增大而 减小 ;在区间(0,+∞)内是________ ______ 上升的 ,即函数 增大 . 值随 x 的增大而_______ 1 2.反比例函数 y= 在(0,+∞)内的图象随 x 减小 x 的增大 y 值________ ,在(-∞,0)内的图 增大 象随 x 的减小 y 值__________ . 知新益能 1.增函数与减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 x1<x2 自 变 量 的 值 x1 , x2 , 当 _________ 时,都有 f(x1)<f(x2) _______________ ,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 (increasing function).反映在图象 上升 ; 上,由左至右,图象连续________ 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 x1<x2 自 变 量 的 值 x1 , x2 , 当 ________ 时,都有 f(x1)<f(x2) ______________ ,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数(decreasing function).反映在图象 下降 上,由左至右,图象连续 _________ . 2.单调性与单调区间 如 果 函 数 y = f(x) 在 区 间 D 上 是 增函数或减函数 _____________________ ,那么就说函数 y= f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性,区间 D 单调区间 叫做 y=f(x)的______________ . 问题探究 1.在增、减函数定义中,能否把“任意两个 自变量”改为“存在两个自变量”? 提示:不能.如图所示. 虽然 f(-1)<f(2),但 f(x)在[-1,2]上并不递增. 1 2.能说 f(x)= 在 (-∞,0)∪ (0,+∞)上是减函 x 数吗? 提示: 若认为减区间为 (-∞,0)∪ (0,+∞) 时.取 x1∈(-∞,0),取 x2∈(0,+∞),则 1 x1<x2,如果认为 y= 是(-∞,0)∪(0,+∞) x 上的减函数,则有 f(x1)>f(x2),而事实上 f(x1) <f(x2).两者相矛盾,故单调区间不能用“∪” 合并. 课堂互动讲练 考点突破 用定义证明(判断)函数的单调性 依据函数单调性的定义证明函数单调性的步 骤有: (1)取值;(2)作差变形;(3)定号;(4)判断. 9 例1 证明:函数 y=x+ 在(0,3]上递减. x 【思路点拨】 取值 → 作差 → 变形 → 判断符号 → 得结论 【证明】 设 0<x1<x2≤3, 9 9 则有 y1- y2= (x1+ )- (x2+ ) x1 x2 9?x1-x2? = (x1-x2)- x 1x 2 9 = (x1-x2)(1- ). x1x2 ∵0<x1< x2≤3, 9 ∴x1-x2< 0, >1, x1x2 9 即 1- <0, x1x2 ∴ y1- y2>0,即 y1> y2, 9 ∴函数 y= x+ 在 (0,3]上递减. x 【名师点拨】 在证明函数单调性时, x1,x2 是 从相应区间上任取的两个值,它可以代表区间中 的每一个数,所以在证明时,不能用特殊值来代 替.在“作差变形”的过程中,尽量化成几个最 简因式的乘积,也可以把其中的因式化成几个完 全平方式的和的形式, 以方便判断因式的正负号. 互动探究 1 本例中的函数在[3,+∞)上单 调性怎样?画出在(0,+∞)上的大致图象. 解:设 3≤x1<x2,则 9 9 y1- y2= x1+ - x2- x1 x2 9 = (x1-x2)(1- ), x1x2 ∵3≤x1< x2, 1 1 ∴x1-x2< 0, < , x1x2 9 9 ∴1- >0, x1x2 ∴ y1- y2<0,即 y1< y2, 9 ∴函数 y=x+ 在 [3,+∞)上递增,在 x (0,+∞)的大致图象如图所示. 求函数的单调区间 根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是 观察图象,找到最高点与最低点的横坐标,便 可得到一个单调区间,由图象的上升或下降的 趋势,确定出是递增还是递减的区间. 例2 画出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象, 并指出函数的单调区间. 【 思 路 点 拨 】 化简函数解析式 → 画出函数图象 → 确定单调区间 【解】 y=-x2+2|x|+ 3 ?- x2+ 2x+ 3=- ?x- 1?2+ 4?x≥0? =? . 2 2 ?- x - 2x+ 3=- ?x+ 1? + 4?x<0? 函数图象如图所示. 函数在 (-∞,-1],[0,1]上是增函数;函数在[- 1,0], [1,+∞)上是减函数.所以,函数的单调 增区间是 (- ∞,- 1]和 [0,1];单调减区间是 [- 1,0]和 [1,+∞). 【名师点拨】 本题易将单调减区间写成 [- 1,0]∪ [1,+∞),单调增区间写成(-∞,-1] ∪ [0,1],这是错误的. 根据函数的单调性确定参数 函数 y=f(x)在某个区间[a,b]上递增(减)就 等价于[a, b]是增区间(减区

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