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高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件_图文

第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念

同学们都知道,数学是一门基础学科,是解

决其他一些学科问题的有力工具.其实数学的很
多理论是由其他学科的一些知识抽象而来的.成

为理论后又反过来对其他学科起作用.比如同学
们学习的物理,它与数学就有非常密切的关系.

老鼠由A向东北方向以每秒6米的 速度逃窜,如果猫由B向正东方 向以每秒10米速度追赶,那么猫 能否抓到老鼠?为什么?

嘻嘻!大笨 猫!

唉, 哪儿去了?

A B

1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量 的几何表示; (重点) 2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相 等向量、共线向量等概念; (重点、难点) 3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

探究点1

向量的物理背景与概念

请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小 又有方向的量.

在现实生活中,我们会遇到很多量,其中一些

量在取定单位后用一个实数就可以表示出来,如长
度、质量等.还有一些量,如我们在物理中所学习 的位移、力是既有大小又有方向的量,例如:物体 受到的重力是竖直向下的(图2.1-1),物体的质 量越大,它受到的重力越大;物体在液体中受到的

浮力是竖直向上的(图2.1-2);被拉长的弹簧的
弹力是向左的(图2.1-3),被压缩的弹簧的弹力 是向右的(图2.1-4),并且在弹性限度内,弹簧 拉长或压缩的长度越大,弹力越大.

向量的定义 既有大小,又有方向的量叫做向量. 数量只有大小,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,不能比较大小.

思考:时间,路程,功, 速度,加速度是向量 吗?为什么?

【即时训练】
下列不是向量的是(① ④ ⑥⑦ ⑧)

① 质量; ② 速度; ③位移; ④温度;
⑤加速度; ⑥路程; ⑦ 密度;⑧功.

探究点2 向量的表示方法

B(终点)

A(起点)
方向、 长度 ) (1)几何表示法: 有向线段(起点、 (2)字母表示法: a,b, AB

【即时训练】
“向量就是有向线段,有向线段就是向量.”的说 法对吗? 不对,①向量只有大小和方向两个要素;与起点 无关:只要大小和方向相同,则这两个向量就是

相同的向量;②有向线段有起点、大小和方向三
个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是 不同的有向线段.

探究点3 向量的有关概念 1.向量的长度(模):向量AB的大小,也就是向量 的长度(或称模). 记作 |AB|
AB

2.两个特殊向量:
零向量——长度为0的向量叫做零向量,记作 0. 单位向量——长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.

【即时训练】
问:在平面上把所有单位向量的起点平移到同 一点P,那么它们的终点的集合组成什么图形? 提示:圆
P

例1.如图,试根据图中的比例尺以及三地的位置, 在图中分别用向量表示A地至B,C两地的位移,并 求出A地至B,C两地的实际距离(精确到1km).

解:AB

表示A地至B地的位移,且 200km.

AB ?

AC 表示A地至C地的位移,且
AC ?

280km.

【变式练习】
判断正误

(1)零向量的方向是任意的.

(√)
(X)

(2)若 a ? 0, 则a ? 0.
(3)单位向量的模都相等. (4)单位向量都相等.

(√)
(x)

探究点4

向量间的关系

(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相 等向量. 记作: a=b
a
b

. o

(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行 向量.
如:

a b c

平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c

规定: 0 与任一向量平行.
C OA = a OB = b O A B

.

l

OC = c

问:把一组平行于直线l的向量的起点平移到直 线l上的一点O ,这时它们是不是平行向量? 各向量的终点与直线l之间有什么关系?

【即时训练】
(3) . 下列说法正确的有________ (1)若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; → 与CD → 是共线向量,则 A、B、C、D (2)向量AB

四点必在同一条直线上; → 与BA → 是平行向量; (3)向量AB (4)任何两个单位向量都是相等向量.

【解题关键】 义进行判定.

明确向量的有关概念,根据定

【解析】 (1)错误.由|a|=|b|仅说明 a 与 b 模 相等,但不能说明它们方向的关系. (2)错误.共线向量即平行向量,只要方向相同 → → 或相反,并不要求两个向量 A B 、C D 必须在同一直 线上,因此点 A、B、C、D 不一定在同一条直线上. → → (3)正确. 向量AB与BA是长度相等, 方向相反的 两个向量. (4)错误.单位向量不仅有长度,而且有方向; 单位向量的方向不一定相同,而相等向量要求长度 相等,方向相同.

【方法规律】 1. 单位向量、 零向量是用向量的长度来定义的, 共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或 重合来定义的.相等向量是用向量的长度和方向共 同定义的. 2.对于概念性题目,关键把握好概念的内涵与 外延,正确理解向量共线、向量相等的概念,清楚 它们的区别与联系.

【互动探究】 判断下列说法是否正确,并简要说明理由: (1)零向量只有大小没有方向; (2)相等向量一定是平行向量,平行向量不一定 是相等向量; (3)若向量 a 与向量 b 同向,|a|>|b|,则 a>b; (4)若 a=b,b=c,则 a=c.

【解析】 (1)不正确,零向量的长度为零,方 向是任意的,并不是没有方向. (2)正确,相等向量的方向相同,因此必是平行 向量,但平行向量的长度不一定相等,因此不一定 是相等向量. (3)不正确,向量不能比较大小. (4)正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相 同;又∵b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同,∴a, c 的长度相等且方向相同,故 a=c.

【易错点拨】 两个向量是否可以比较大小? 向量不能比较大小,我们知道,长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量,但是两个向 量之间只有相等关系,没有大小之分,对于向 量 a ,b , a ? b 或 a ? b 这种说法是错误的.

例2.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写
出图中与 OA, OB, OC 相等的向量. 解:OA ? CB ? DO;

OB ? DC ? EO; OC ? AB ? ED ? FO.
方向相同 长度相等

【变式练习】 如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,四边形 BCMF是平行四边形,请分别写出: (1)与CM长度相等且共线的向量;(2)与ED相等 的向量;
A

解:(1)DE,BF,FB,FA,
AF,ED,MC (2)FB,AF,MC
B F E M

D

C

1、下列说法中正确的是(

C

)

A.平行向量就是向量所在直线都平行 的向量 B.长度相等的向量叫做相等向量 C.零向量的长度为0 D.共线向量就是在同一直线上的向量

2.在同一平面内,把平行于某一直线的一切向量的 始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图 形是( B ) A.一条线段 B.一条直线 C.圆上一群孤立的点 D.一个半径为 1 的圆

3.下列说法中错误的是( A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的

A

)

4.下列命题中正确的是( C ) A. | a |?|b|? a ? b B. | a |?|b|? a ? b C. a ? b ? a / /b D.单位向量都相等

5.如图,D,E ,F分别是等腰Rt△ABC的各边的中点, ∠BAC=90°. (1)分别写出图中与向量 DE, FD长度相等的向量. (2)分别写出图中与向量 DE, FD 相等的向量. (3)分别写出图中与向量 DE, FD 共线的向量.
A D F

B

E

C

A D

F

B

解:(1) DE ? EF ? FC ? AF ? DA ? DB

E

C

FD ? CE ? EB
(2) DE ? FC ? AF FD ? CE ? EB

(3) DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB

6.已知边长为2的等边三角形ABC,求BC边上的中线
向量 AD 的模.

解:

|AD| = 2 - 1

2

2

2

所以|AD|= 3

概念
表示方法

零向量 向量
单位向量 共线向量

关系
相等向量

无论哪个时代,青年的特点总是怀抱着各种理想
和幻想。这并不是什么毛病,而是一种宝贵品质。 ——加里宁


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