tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

【史宁中】高中数学课程标准2015.6.23


普通高中课程标准
目录
前言 ................................................................................................. 3 一、课程性质与基本理念 .............................................................. 3
(一)课程性质.................................................................................... 3 (二)基本理念.................................................................................... 4

二、课程目标与数学核心素养 ...................................................... 5
(一)总目标........................................................................................ 5 (二)数学核心素养............................................................................ 5

三、课程结构 ............................................................................... 12
(一)课程设计思路.......................................................................... 12 (二)结构.......................................................................................... 12 (三)学分与选课.............................................................................. 13

四、课程内容与学业质量标准 .................................................... 16
(一)必修课程(8 学分) .............................................................. 16 内容标准.............................................................................................. 16 学业质量标准...................................................................................... 38 (一)选修 1 课程(6 学分) .......................................................... 42 内容标准.............................................................................................. 42 教学提示.............................................................................................. 45 学业要求.............................................................................................. 45 模块二、向量与几何(42) ............................................................. 46 教学提示.............................................................................................. 49 学业要求.............................................................................................. 49 模块三、统计与概率(32) ............................................................. 50

1

教学提示.............................................................................................. 52 学业要求.............................................................................................. 53 数学建模与探究活动(4) ............................................................... 53 数学文化(2) ................................................................................... 54 选修 1 学业质量标准 ......................................................................... 56 (三)选修 2(CAPM)课程..................................................................... 60 A 课程 .................................................................................................. 60 A2 课程: ............................................................................................ 62 B 课程 .................................................................................................. 66 C 课程 .................................................................................................. 71 D 课程 .................................................................................................. 79 选修 2 学业质量标准 ....................................................................... 109 (四)校本课程........................................................................................ 109

五、实施建议 ............................................................................. 109
(一)教学建议........................................................................................ 109 (二)评价与考试命题建议.................................................................... 118 (三)教材编写建议................................................................................ 118 (四)教师专业发展建议........................................................................ 123

六、附件 ..................................................................................... 123
数学抽象............................................................................................ 123 逻辑推理............................................................................................ 125 数学建模............................................................................................ 127 运算能力............................................................................................ 129 直观想象............................................................................................ 131 数据分析............................................................................................ 132

2

前言
数学是研究数量关系和空间形式的科学。 数学与人类生活和社会发展紧密关 联。 随着现代科学技术和计算机科学的迅猛发展,人们获取数据和处理数据的能 力都得到大幅度增强,特别是伴随着大数据时代的到来,人们常常需要对网络、 文本、声音、图像等反映的信息进行数字化处理,使数学的研究领域与应用领域 得到极大拓展,数学直接为社会创造着价值,推动社会生产力的发展。 现代数学的发展表明, 数学的研究源于对现实世界的抽象, 通过基于抽象结 构的符号运算、形式推理、一般结论等,理解和表达现实世界中事物的本质、关 系与规律。因此,数学不仅是自然科学的重要基础,而且在社会科学中发挥越来 越大的作用, 数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面。数学不 仅是运算和推理的工具,数学还是表达和交流的语言,数学承载着思想和文化, 数学是现代文明的重要组成部分。 数学在形成人的理性思维、 科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着独 特的、不可替代的作用。数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。 数学教育承载着基于时代要求的整体育人功能, 它不仅使学生掌握现代生活和学 习所必需的数学知识、技能、思想和方法,更发挥着数学在培养人的思维能力、 创新意识以及形成正确的世界观方面的特有功能,促进学生全面发展,并为学生 适应终身学习奠定基础。

一、课程性质与基本理念
(一)课程性质
高中数学课程是基础教育阶段的核心课程,具有基础性、选择性和发展性。 高中数学必修课程面向全体学生,构建共同基础,为学生学习其它学科提供 必备知识和思维方法, 为学生适应未来社会生活、高等教育和职业发展提供必需 的数学基础。

3

高中数学选修课程在保证每个学生达到共同基础的前提下, 充分考虑学生不 同成长需求,结合数学学科的特点,为学生提供多样性的课程,充分满足学生的 自主选择,引导学生形成个性化学习方案。 高中数学课程承上启下, 在义务教育学习的基础上,进一步提升每个学生的 数学核心素养,为学生可持续发展、适应未来的终身学习创造条件,做好准备。

(二)基本理念
1.高中数学课程以学生发展为本,通过发展学生数学核心素养,实现高中教 育整体育人目标。面向全体学生,使得:人人都能获得良好的数学教育,不同的 人在数学上得到不同的发展。 2.高中数学课程体系反映高中数学课程的特点,适应高中阶段学生数学学习 的需求。在保证共同基础的前提下,关注不同学生自主发展的需要,充分体现多 样性与选择性,为学生自主选择、展示自我搭建课程平台。形成科学合理、功能 互补、相互匹配的高中数学课程体系。 3.高中数学课程内容体现社会发展的时代性、数学学科的特征、高中学生的 认知规律。 依据高中数学课程的总体目标、 特别是数学核心素养, 精选课程内容; 要注意体现数学课程的新要求(如“四基” 、 “三用” “四能”等)对课程内容带 来的影响和变化。在课程内容安排上,要注重处理好课程内容与核心素养、过程 与结果、直接经验与间接经验的关系。要注重课程内容的统整,突出主线内容的 系统性,关注各主线内容的关联性,注意与其他学科的联系,还要关注与义务教 育课程的衔接。 4.高中数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考,要为学生创设会学数 学、会用数学的情境。要处理好学生主体性与教师主导性的关系,激发学生学习 兴趣,调动学习主动性,提高数学思维的参与度;提倡自主探索、动手实践、合 作交流、阅读自学等多种学习方式,养成良好学习习惯;在教学过程中,应培养 学生的自主性,发展学生“四基” ;精心设计综合实践活动,特别是数学建模和 数学探究活动, 促进学生应用和创新能力的发展;高中数学教学提倡运用信息技 术,注意信息技术与课程内容的整合,提高实效性。

4

5.高中数学学习评价是课程标准的重要组成部分。评价的依据是数学课程目 标、各学段“学业质量标准” ,特别是相应学习阶段数学核心素养水平。评价的 主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果,既要关注学习过程,也要关注 学习结果, 既要关注学习水平, 也要关注在数学活动中所表现出来的情感、 态度、 价值观的变化,及时调控和改进教学。在测试、考试的命题中,要注重考查学生 数学课程目标和核心素养的达成,考查学生的思维能力,题量要适度。应建立目 标多元、方法多样的、科学的评价体系。

二、课程目标与数学核心素养
(一)总目标
在义务教育阶段数学学习的基础上,通过高中数学课程的学习,提升学生作 为现代社会公民所应具备的数学素养,特别是数学核心素养,促进学生自我、全 面、可持续地发展。 1.获得进一步学习以及未来发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本 思想、基本活动经验。 2.在数学学习的过程中,逐步学会用数学的眼光观察现实世界,用数学的思 维分析现实世界, 用数学的语言表达现实世界;提高从数学角度发现和提出问题 的能力、分析和解决问题的能力;提高数学表达和数学交流能力;发展数学应用 能力及创新意识;养成良好的数学学习习惯。 3.提高学习数学的兴趣, 增强学好数学的自信心, 树立敢于质疑、 善于思考、 实事求是、一丝不苟的科学精神。拓展数学的视野,认识数学的科学价值、应用 价值和人文价值,体会、欣赏数学的美,进一步树立辩证唯物主义世界观。

(二)数学核心素养
数学核心素养是数学课程目标的集中表现, 是在数学学习的过程中逐步形成 的,在学生自主发展的过程中发挥不可替代的作用。

5

数学素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力, 是数学知识、 技能、 能力、以及情感、态度、价值观的综合体现。 数学核心素养是数学素养中最基本、最重要的组成部分,它既制约课程内容 主线,聚焦课程目标要求,也是学业质量标准的集中反映。在高中阶段包括: 数 学抽象、运算能力、逻辑推理、数学建模、直观想象、数据分析。

数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程。数 学抽象主要包括从数量与数量关系、 图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之 间的关系, 从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数 学术语予以表征。 数学抽象是数学的基本思想,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、 发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、 有序多级的系统。 数学抽象的素养是形成理性思维的重要基础。在数学教学活动中,注重抽象 能力的培养, 有利于学生养成一般性思考问题的习惯,有利于学生更好的理解数 学的概念、命题、结构和系统,有利于学生在其他学科的学习中化繁为简,理解 该学科的知识结构和本质特征。

逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发, 依据逻辑规则推出一个命题的思维过 程, 主要包括两类, 一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推 理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成 立的推理,推理形式主要有演绎推理。命题是数学结论的主要形式,也是数学交 流的主要内容。 因此, 逻辑推理是数学交流的基本品质, 使数学交流具有逻辑性。 逻辑推理是数学思维的主要形式,是发现、提出数学命题以及论证命题正确 与否的重要手段, 也是构建数学体系的重要方式。逻辑推理不仅保证了数学的严 谨性,也保证了数学交流的严谨性。

6

逻辑推理是数学教学活动的核心,也是培养科学素养的重要途径。逻辑推理 核心素养的习得,可以使人们的交流合乎逻辑,提高交流的效率和效果。在数学 教学活动中, 注重逻辑推理核心素养的培养,有利于学生理解一般结论的来龙去 脉、形成举一反三的能力,有利于学生形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习 惯和交流能力,有利于学生提高探究事物本源的能力。

数学建模 数学建模是对现实问题进行抽象,用数学语言表达和解决问题的过程。数学 建模能力是指能够在实际情境中,从数学的视角提出问题,用数学的思想分析问 题,用数学的语言表达问题,用数学的知识得到模型,用数学的方法得到结论, 验证数学结论与实际问题的相符程度,不断反思和改进模型,最终得到符合实际 情景的结果。反思贯穿于数学建模的全过程。 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁,是数学应用的重要形式。数学建模 是应用数学解决实际问题的基本手段,是推动数学发展的外部驱动力。 数学建模突出学生系统地运用数学知识解决实际问题的过程, 帮助学生逐步 积累数学活动经验,培养学生应用能力和创新意识。在数学教学活动中,加强数 学建模核心素养的培养, 有利于学生养成用数学的眼光观察现实世界的习惯,有 利于学生发展用数学的思维分析实际问题的能力, 有利于学生积累用数学的语言 表达实际问题的经验。

运算能力 运算能力是指在明晰运算对象的基础上, 依据运算法则解决数学问题的能力。 主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运 算程序、求得运算结果。 运算是构成数学抽象结构的基本要素,是演绎推理的重要形式,是得到数学 结果的重要手段。 现代科学技术的迅猛发展更加凸显了运算的重要性。运算能力 是解决数学问题的基本能力, 是数学应用于日常生活的基本技能,是用计算机解 决问题的基本手段。

7

运算能力是学生学会数学的基础, 是学生在日常生活中应用数学解决问题的 主要表现。在数学教学活动中,培养学生运算能力的核心素养,有利于学生提升 逻辑推理的能力, 有利于学生形成程序化思考问题的习惯,有利于学生养成实事 求是、一丝不苟的科学精神。

直观想象 直观想象主要指借助空间想象感知事物的形态与变化, 利用几何图形理解和 解决数学问题。主要包括利用图形描述数学问题,启迪解决问题的思路,建立形 与数的联系,加深对事物本质和发展规律的理解和认知。 直观想象是发现和提出数学命题、分析和理解数学命题、探索和形成论证思 路的重要辅助手段,是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础。 直观想象是建立数学直觉的基本途径,是培养创新思维的基本要素。在数学 教学活动中, 重视直观想象核心素养的培养,有利于学生养成运用图形和空间想 象思考问题的习惯, 有利于学生提升数形结合的能力,有利于学生学会扩展思路 更加深刻地分析问题。

数据分析 数据分析主要是指从数据中获得有用信息, 形成知识的过程。 数据包括记录、 调查和试验获得的数集,还包括通过互联网、文本、声音、图像、视频等数字化 得到的数集。数据分析主要包括:收集数据提取信息、利用图表展示数据、构建 模型分析数据、解释数据获取知识。 伴随着大数据时代的到来, 数据分析已经深入到现代社会生活和科学研究的 各个方面,极大地开拓了数学研究与应用的领域。 数据分析能力已经成为公民应当具备的基本素养。在数学教学活动中,注重 培养学生数据分析的核心素养, 有利于学生养成基于数据理解事物的习惯,有利 于学生提升基于数据表达现实问题的能力, 有利于学生积累在错综复杂的情境中 探索事物本质和、关联和规律的经验。

8

上述 6 个要素集中体现了数学核心素养的本质属性和基本要求,更一般地, 学会学习、应用能力和创新意识,也应当视为数学核心素养,虽然这些素养超越 数学学科,但这些素养在数学学习活动中是一类思维品质的综合体现。

9

核心素养的主要表现 数学核心素养 表现 形成数学概念和规则 形成数学命题与模型 数学抽象 形成数学方法与思想 形成数学结构与体系 发现和提出命题 掌握推理的基本形式 逻辑推理 探索和表述论证的过程 构建命题体系 交流探索 发现和提出问题 建立模型 数学建模 求解模型 检验结果和完善模型 理解运算对象 掌握运算法则 运算能力 探索运算思路 设计运算程式 利用图形描述数学问题 利用图形理解数学问题 直观想象 利用图形探索和解决数学问题 构建数学问题的直观模型

10

数据获取 数据分析 数据分析 知识构建

11

三、课程结构
(一)课程设计思路
普通高中教育在义务教育的基础上, 进一步促进学生数学核心素养的形成和 发展,实现高中数学课程的目标。高中阶段数学课程按以下原则设计。 1. 突出基础性、选择性、发展性 高中数学课程为全体学生提供共同基础, 为满足学生的不同志趣提供丰富多 样的课程,为满足学生不同发展需求提供选择。 2. 数学核心素养贯穿课程始终 高中数学课程把数学核心素养融入课程理念、课程目标、内容标准、学业质 量标准与实施建议。 3. 制定学业质量标准 高中数学课程标准,不仅制定了内容标准,还制定了相应的学业质量标准, 把教学与评价、学习与评价、学生全面发展与评价有机结合。

(二)结构
高中数学课程体系结构

12

高中数学课程内容结构

高中数学课程内容结构说明: 1.数学的应用贯穿数学课程内容的始终。数学探究是数学知识在数学内部 的联系和应用;数学建模是数学知识在数学外部的联系和应用。 2.数学文化融入数学课程内容。

(三)学分与选课
1.学分安排 必修课程的学分:8 学分;选修课程 1 的学分:6 学分。选修课程 2 的学分 安排如下: A 课程(分 A1,A2 两类) : A1 课程 6 学分: 微积分; A2 课程 6 学分: 微积分 2.5 学分; 三维空间几何与代数 2 学分;

13

统计与概率 1.5 学分。 B 课程 6 学分: 微积分 2 学分; 线性代数 1 学分; 应用统计 2 学分; 数学模型 1 学分。 C 课程 6 学分: 定义、命题与逻辑推理 2 学分; 数学模型 2 学分; 社会调查与数据分析 2 学分。 D 课程 4 学分: 美与数学 1 学分; 体育中的数学 1 学分; 音乐中的数学 1 学分; 美术中的数学 1 学分。 校本课程 6 学分: 生活中的数学; 家庭理财与数学; 机器人与数学。

2.选课说明 (1)必修课程 必修课程是全体学生必须完成的课程,为学生发展提供共同基础,是学业质 量检测的内容要求,通过必修课程获得高中毕业证书。 (2)选修 1 课程 选修 1 课程是高考的内容要求,是相应学生需要完成的课程。 (3)选修 2 课程 为学生确定人生方向提供引导;为学生展示数学才能提供平台;为学生发展

14

数学兴趣提供选择。作为大学的先修课程,课程目标是:提升数学的直觉,培养 数学的直观,适应大学的学习与评价,为高校自主招生提供依据。 其中: A 课程分为两类:A1 课程和 A2 课程。它们都是部分理工类学生(数学、物 理、计算机、精密仪器等)可以选择的课程。学生可以根据自己的特点和大学某 些专业的需求选择学习 A 课程或 A 课程的部分内容。 B 课程是部分理工类学生(化学、生物、机械等)和经济、社会(数理经济 等) 可以选择的课程。学生可以根据自己的特点和大学某些专业的需求选择学习 B 课程或 B 课程的部分内容。 C 课程是人文类学生(历史、语言等)可以选择的课程。学生可以根据自己 的特点和大学某些专业的需求选择学习 C 课程或 C 课程的部分内容。 D 课程是体育、音乐、美术(艺术)类学生(等)可以选择的课程。学生可 以根据自己的特点和大学某些专业的需求选择学习 D 课程或 D 课程的部分内容。 (4)校本课程 校本课程是学校自主开设,供学生自主选择的课程。

注: 不同高等院校、 不同专业可以根据需要提出对选修 2 课程中某些内容的 学分要求。国家、地方政府、社会权威机构可以组织命题考试、公平阅卷,提供 的成绩作为高等院校自主招生的依据。

15

四、课程内容与学业质量标准
(一)必修课程(8 学分)
必修课程包括必修课程内容标准和学业质量标准两方面内容。

内容标准
内容标准包括四个模块,分别是: “准备知识” 、 “函数及应用” 、 “向量与几 何” 、 “统计与概率” 。在内容标准的最后部分,专门述说了“数学建模与数学探 究” 、以及“数学文化”的相关内容标准,希望教师在教学活动中有意识地进行 渗透,对“数学建模与数学探究”专门安排了 4 个课时的具体内容标准。 必修课程内容的总体要求为 8 学分 144 学时。 内容标准对上述六方面的内容 均给出相应的学时建议,共计 142 学时。

模块一、准备知识(建议学时:14) 集合(建议学时:4) ; 常用逻辑用语(建议学时:6) ; 一元二次函数、方程和不等式(建议学时:4) 。 模块二、函数及应用(建议学时:64) 函数概念与性质(建议学时:4) ; 幂函数、指数函数、对数函数(建议学时:24) ; 三角函数(建议学时:24) ; 函数综合应用与数学文化(建议学时:4) ; 二元函数及应用(建议学时:8) 。 模块三、向量与几何(建议学时:38) 平面向量及应用(建议学时:20) ; 立体几何初步(建议学时:18) 。 模块四、统计与概率(建议学时:20)

16

统计(建议学时:10) ; 概率(建议学时:10) 。 数学建模与数学探究(建议学时:4) 数学文化(建议学时:2)

模块一、准备知识

本模块的内容是义务教育阶段数学课程内容的拓展与延伸, 学生通过这些内 容的学习, 梳理义务教育阶段数学课程的内容,为高中数学课程的学习做好必要 的准备,完成初高中数学的过渡和衔接。 本模块的内容主要包括: “集合” 、 “常用逻辑用语” 、 “一元二次函数、方程 和不等式” 。

(一)集合 集合是刻画和表达一类事物的基本概念,是刻画一类事物的语言和工具。在 高中数学课程中,主要将集合作为一种抽象的数学语言,让学生体会,使用集合 的语言,可以简洁准确地表述数学的研究对象。 在学习活动中,应当结合学生生活经验和已有的数学知识,设计合适的教学 情境引入集合的概念, 让学生经历从自然语言到符号语言的过渡,使学生学会不 同数学语言的转化;感悟把握共性、厘清差异、符号表达的数学抽象过程,在理 解集合概念的同时提升抽象能力;学会用集合的语言表达和交流数学问题,逐渐 积累抽象思维的经验。 内容主要包括:集合的概念,集合的基本关系,集合的运算。 1.集合的概念 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,知道 集合是由元素唯一确定的。 (2)针对具体问题,能够在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻

17

画集合。 2.集合的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义。 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个集合的并集与交集。 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。 (3)能使用 Venn 图表达集合关系及运算,体会借助图形理解抽象概念。

(二)常用逻辑用语 理解和使用逻辑用语是逻辑思维的基础,是现代公民应具备的基本素质。本 单元将学习常用逻辑用语, 体会这些逻辑用语在表述和论证中的作用。在学习活 动中, 教师可以通过义务教育数学课程中的实例和生活的实例,也可以组织学生 梳理义务教育数学课程中使用的逻辑用语, 让学生感悟逻辑用语在表述数学内容 和论证数学结论中的作用,提升交流的逻辑性与准确性。 内容主要包括: “充分条件、必要条件、充要条件” 、 “全称量词、存在量词、 全称量词与存在量词的否定” 。 1.充分条件、必要条件、充要条件 (1)通过对初中典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解充分条 件与判定定理的关系。 (2)通过对初中典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解必要条 件与性质定理的关系。 (3)通过对初中典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解充要条 件与数学定义的关系。体会数学的研究对象可以从不同角度描述。 2.全称量词、存在量词、全称量词与存在量词的否定 (1)通过学习过的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义。 (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

18

(三)一元二次函数、方程和不等式 相等关系、不等关系、函数关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、 不等式、函数的基础。在义务教育学习的基础上,通过归纳或者类比的方法,梳 理相等关系的性质,探索不等关系的性质,分清两种关系的共性和差异;学会利 用函数的概念, 认识一元二次函数与一元二次方程的关系,探索用一元二次函数 求解一元二次不等式的方法;在探索数学表达形式转换的过程中, 感悟逻辑推理 的作用,增强运算能力。 内容主要包括: “相等关系与不等关系” 、 “从函数观点看一元二次方程和一 元二次不等式” 。 1.相等关系与不等关系 (1)梳理义务教育数学中相等关系和等式性质。 (2)探索和理解不等关系和不等式性质。 2.从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 (1)会结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数, 了解函数的零点与方程根的联系。 (2)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,知道一元二次不等 式的现实意义。 (3)通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,会借助 函数图像解一元二次不等式。能用集合表示不等式的解集。 (4)知道函数与方程、不等式的关系。

教学提示 本模块的教学目标是帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡, 内容包括 知识和技能,方法和习惯,心理和素养。 因为初中阶段数学知识相对具体,高中阶段数学知识相对抽象,需要教师创 设合适的教学情境, 引导学生梳理义务教育阶段所学过的相应数学内容,对这些 数学内容进行更为抽象的数学表达,掌握数学自然语言、图形语言、符号语言之 间的转换;理解数学表达之间的逻辑关系。

19

在“集合和常用逻辑用语”的学习中,引导学生在创设的情境中理解集合语 言的必要性, 运用集合语言进行表达和交流;引导学生借助逻辑用语理解数学的 严谨性, 会简单地用逻辑用语表述数学知识之间的联系。逐步提升学生数学抽象 和逻辑推理的素养。 在“一元二次函数、方程和不等式”的学习中,引导学生梳理等式和不等式 的性质,发现共性与差异;引导学生通过一元二次函数认识一元二次方程;归纳 通过一元二次函数研究一元二次不等式的程序框图(举例) ;体会数学表达的关 联性和整体性。 在本单元的学习过程中, 要让学生逐渐养成直观理解与逻辑推理、归纳现象 与表达结论、 独立思考与合作交流等诸方面融会贯通的学习习惯; 要让学生尽快 感悟高中阶段数学课程的特征,尽快适应高中阶段的数学学习。

学业要求 能够在具体情境或数学情境中,概括出数学对象的一般特征,并用集合语言 予以表达,初步学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达数学研 究对象,并能进行转换,掌握集合的基本关系(并、交、补) ; 能够借助逻辑用语准确理解数学表达和论证的意义, 并能够运用逻辑用语进 行表达和交流,了解常用逻辑用语的作用; 能够从函数的观点认识方程、不等式, 感悟函数的重要性以及数学知识之间 的关联性,掌握相等性质与不等性质。 能够在上述内容的学习中, 逐步提升数学抽象和逻辑推理(把素养水平的某 些表述在此处细化)的素养。

模块二、函数及应用

函数是描述客观世界中变量之间关系和变化规律的最为重要数学表达, 是贯 穿高中数学课程的主线。在初中学习函数的基础上,在本模块教学活动中,引导

20

学生经历从实际背景抽象出函数概念、性质和一些基本函数表达式的过程,学会 用集合语言刻画函数,理解更抽象的函数定义,感悟抽象的层次,了解数学抽象 与数学一般性的关系,提升数学抽象素养;在研究若干常见函数变化规律的过程 中,学会用代数运算和函数图像揭示函数性质,理解函数性质的现实意义,提高 运算能力和直观想象能力; 引导学生学会从数学的角度分析现实问题,用数学的 语言描述现实问题,利用函数构建模型解决实际问题,提高数学建模能力。 内容主要包括: “函数概念与性质” 、 “幂函数、指数函数、对数函数” 、 “三 角函数” 、 “函数综合应用与数学文化” 、 “二元函数及应用” 。

(一)函数概念与性质 建立一个比较完整的函数概念是理解函数的基础,在高中阶段,引导学生理 解函数不仅是刻画变量之间依赖关系的数学表达, 也可以把函数定义为实数集合 元素之间的对应,体会抽象定义的必要性;通过具体的现实背景,知道函数是如 何刻画变量之间的关系和变化规律,理解数学表达的意义;通过对若干基本函数 性质的研究,知道如何借助图形研究事物的性质和变化规律,理解单调性、周期 性和奇偶性是函数基本特征。 在教师的引导下,经历从不同角度深入地分析问题 的过程,积累理解概念和分析问题的经验。 内容主要包括: “函数概念” 、 “函数性质” 。 1.函数概念 (1)通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系和变化规 律的重要数学表达, 用集合与对应的语言刻画函数,体会集合语言和对应关系在 刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域。 了解映射的概念,知道映射是函数概念的一般化。 (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表 法、解析法)表示函数,理解用图像表示函数的特点。 (3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。 2.函数性质 (1)通过已学过的函数特别是二次函数,借助函数图像,理解并能用符号

21

语言表达函数的单调性、最大值、最小值。 (2)结合具体函数,了解奇偶性的代数和几何含义。 (3)结合三角函数,了解周期性的代数和几何含义。

(二)幂函数、指数函数、对数函数 幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数类,是进一步 研究数学的基础。 在本单元的教学活动中,要帮助学生从实际情境中抽象出这些 函数的数学表达, 理解数学表达的含义,能用几何直观和代数运算的方法研究这 些函数的性质,能运用这些函数建立模型解决简单的实际问题。 内容主要包括: “幂函数” 、 “指数函数” 、 “对数函数” 。 1.幂函数 通过具体实例(举例) ,结合 y=x,y=1/x,y=x2,y=x1/2,y=x3 的图像,理解 这些函数的变化规律,了解幂函数。 2.指数函数 通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减,药物在人体内残 留量的变化等) ,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念,能借助计算 工具画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。通过 y=an,y=an/m,y=ax 的变化,了解指数函数的形成,掌握指数函数的运算。 3.对数函数 通过阅读材料, 了解对数的发明史以及对简化乘法运算的作用。通过具体实 例,直观了解对数函数所刻画的数量关系,理解对数函数的概念。理解对数的运 算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或者常用对数。能借助计 算工具画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。知道 对数函数与指数函数互为反函数(a>0,a≠1) 。

(三)三角函数 知道三角函数是最基本的一类周期函数。在初中学习锐角三角函数、刻画直 角三角形边角关系的基础上,借助单位圆,引入一般角和弧度的概念,知道用实

22

数刻画角度的必要性,建立一般意义上三角函数的概念,提高抽象能力;用几何 直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、对称性、单调性和最值等性质, 理解三角函数之间的一些恒等关系,提升直观想象和运算能力;利用三角函数构 建数学模型,解决实际问题,培养数学建模能力。 内容主要包括: “角与弧度” 、 “三角函数概念和性质” 、 “三角函数的恒等性 质” 、 “三角恒等变换” 、 “三角函数应用” 。 1.角与弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化。 2.三角函数概念和性质 (1)理解基于单位圆的任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能 画出这些三角函数的图像,了解三角函数的周期性、奇偶性。利用定义推导出诱 导公式(π/2±α,π±α 的正弦、余弦、正切) 。 (2)借助图像理解正弦函数在[0,2π]、余弦函数在[-π,π]上、正切函数在 (-π/2,π/2)上的性质(单调性、最大值、最小值、图像与 x 轴交点) 。 (3)结合具体实例,了解 y = A sin(ωx+φ)的实际意义;能借助计算机画出图 像,观察参数 A,ω,φ 的变化对函数图像的影响(举例) 。 3.三角函数的恒等性质 理解同角三角函数的基本关系式:sin2x + cos2x = 1,sin x/cos x = tan x。 4.三角恒等变换 (1)经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义。 (2)能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二 倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。 (3) 能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括导出积化和差、 和差化积、 半角公式) 。 5.三角函数应用 会用三角函数解决简单实际问题, 体会可以利用三角函数构建刻画事物周期 变化的数学模型(举例) 。

23

(四)函数综合应用与数学文化 在学习了函数的概念, 掌握了若干基本函数的基础上, 学生将在这一单元的 学习中,一般性地把握函数的性质、以及函数的性质与方程解的关系,理解用函 数构建数学模型的程式。知道函数概念的演变过程,进一步加深对函数的理解和 把握。 进一步提高数学抽象和运算能力,进一步经历从现实情境中发现和提出问 题、分析和解决问题的过程,提升数学建模能力。 内容主要包括: “二分法与求方程近似解” 、 “函数与数学模型” 、 “函数概念 的形成与发展” 。 1.二分法与求方程近似解 (1)结合一元二次函数的图像,判断根的存在与个数,一般性地了解函数 的零点与方程根的关系。 (2)根据具体函数及其图像,理解用二分法求解的道理;探索用二分法求 方程近似解的思路并画出计算框图;借助计算工具用二分法求方程近似解;了解 用这类方法求方程近似解是具有一般性的。 2.函数与数学模型 (1)感悟数学模型是用数学的语言讲述现实世界的故事,知道函数是最常 用的、行之有效的数学语言。利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函 数的变化差异;结合具体的现实问题情境,体会如何根据上述变化差异,选择合 适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律,理解对数增长、直线上 升、指数爆炸等术语的含义。 (2)收集一些现实生活中、生产实际中、或者经济学中的数学模型,体会 人们如何借助函数刻画实际背景,感悟数学模型中参数的现实意义,了解函数与 数学模型的共性与差异。 3. 函数概念的形成与发展 围绕着函数概念的形成与发展, 收集对函数的产生和发展起重大作用的有关 资料,包括一些重要历史人物和事件(开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼 茨、欧拉、黎曼等,以及中国函数概念的引入) ,知道数学的发展为什么必须形 成函数的概念, 理解函数概念从直观到抽象的演化过程, 感悟函数概念的表达是

24

如何从具体的描述逐渐发展为抽象的形式。可以小组合作、也可以个人思考,形 成一篇有关函数概念形成与发展的报告,在班级中交流。

(五)二元函数及应用 多元函数是指多个自变量的函数,是刻画变化规律的基本数学表达,是数学 研究的基本对象。二元一次函数是最简单的多元函数,几何背景明显,是学习多 元函数的起点。 通过二元函数的学习,可以帮助学生进一步加深对函数概念的理 解,感悟如何表述复杂变化规律的本质特征,培养数学抽象和直观想象素养。 学生将知道简单的线性规划问题可以归结为二元一次函数的最值问题, 定义 域是平面多边形,理解在一般情况下,最值的解将出现在多边形的边上;了解两 个变量的基本不等式表述二元函数的不等关系, 知道利用这样的不等关系可以构 建某些优化问题的数学模型。 内容主要包括: “空间直角坐标系” 、 “简单线性规划问题” 1. 二元一次函数的概念 (1)空间直角坐标系 在理解平面直角坐标系的基础上,通过具体情境,了解空间直角坐标系,会 用空间直角坐标系表示点的位置。通过特殊长方体(边与坐标轴平行)顶点的坐 标表达,探索并得出空间两点间的距离公式。 (2)二元一次函数 通过具体实例,了解二元一次函数表达式、定义域和值域。利用空间直角坐 标系,了解二元一次函数的图像。 2. 简单线性规划问题 (1)借助实际情境,抽象出二元一次不等式组。 (2)了解二元一次不等式的几何意义,能用二元一次不等式组刻画平面区 域(举例) 。 (3)借助实际情境,能发现并提出简单的二元线性规划问题,能用框图描 述解决问题的思路,并能解决问题(举例) 。 3. 基本不等式及其应用

25

(1)探索并了解基本不等式( ab ?

a2 ? b2 a ?b ; a ,b ? 0 )的证 , ab ? 2 2

明过程,通过几何意义的分析,了解基本不等式的差异。 (2)结合具体实例,会用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题 (举例) 。

教学提示 本模块的课程目标是使学生能够全方位地理解和把握函数,包括:从不同维 度和不同角度认识函数, 理解函数是如何表达变量之间关系; 通过对几类具体函 数性质的探究,知道研究函数的基本方法,感悟单调性、周期性、奇偶性、以及 最值是刻画函数变化规律的基本要素;通过基于典型实例的数学建模过程,体会 应当如何选择恰当的函数表述事物之间的关联, 掌握函数的应用途径和构建模型 的基本程式。逐步形成基于函数的知识结构。 基于上述目标,本模块的教学活动设计, 要自始至终贯穿从实际情境直观到 严格数学表达的理念,让学生经历从具体到抽象、从述说到符号、从简单到复杂 的思维过程;要不断拓展抽象的层次,不断开阔应用的领域;让学生提高发现和 提出问题的能力、分析和解决问题的能力;让学生提升数学抽象、逻辑推理、数 学建模、运算能力、直观想象等数学核心素养。 函数的内容是高中数学的核心,无论是在理论上还是在应用中,涉及的知识 都非常广泛,因此在教学活动的过程中,要创设合适的教学情境,启发学生独立 思考,引导学生把握好局部和整体、形式与本质的关系,既要注重演绎推理、也 要注重归纳推断,帮助学生积累学习的经验,实现学会学习。 学业要求 能够从两个变量之间的依赖关系、映射关系、图像关系等角度理解函数的意 义与数学表达(举例) ;能够理解函数符号表达与抽象定义之间的关联,知道函 数抽象概念的价值(举例) ;能够分辨并理解函数与映射的差别;能够理解一元 函数到二元函数的拓展。提升数学抽象素养。 能够理解刻画函数变化状况的基本要素(单调性、周期性、奇偶性、最值) 的意义,能够通过基本要素研究函数的性质。能够掌握一些基本函数类的背景、 概念、性质,这些基本函数类包括:线性函数、反比例函数、一元二次函数、指

26

数函数、 对数函数、 三角函数、 二元一次函数等。 提升直观想象和逻辑推理素养。 能够对简单的实际问题,选择适当的函数构建数学模型,解决问题。能够从 函数的观点认识方程, 能运用函数的性质求方程近似解;能够从函数的观点认识 不等式,能运用函数的性质解不等式。提升运算能力和数学建模素养。 (把素养水平的某些表述在此处细化?)

模块三、向量与几何

代数是研究运算的学科, 几何是研究图形的学科。在义务教育阶段的数学课 程标准中,代数的内容归于“数与代数” ,几何的内容归于“图形与几何” ;而在 高中阶段,更强调的是代数与几何的融合,所以把“代数与几何”作为课程标准 内容主线, “向量与几何”是“代数与几何”内容在高中必修课程的体现。 对于高中数学,向量理论是新内容, 向量理论与函数理论一样具有深刻的数 学内涵,又具有丰富的物理背景;向量理论是描述平面、空间、以及高维空间数 学问题的基本工具,不仅是进一步学习和研究数学的基础,在解决实际问题中也 发挥着重要作用。因此,向量理论不仅是必修课程的重要内容,也是选修 1 和选 修 2A 的学习内容。建立在向量理论上的立体几何,能够更清晰地刻画空间图形 的本质特征、以及空间图形的位置关系和空间图形的变化规律。 内容主要包括: “平面向量及其应用” 、 “立体几何初步” 。

(一)平面向量及应用 向量是近代数学用以刻画高维空间图形、 表述图形位置关系和变化规律的基 本数学表达,是沟通代数学与几何学的工具,具有深刻的物理背景。在本单元的 学习中,学生将通过丰富的实际情境,了解平面向量的几何意义和代数意义;能 用向量语言 (方法) 表述 (解决) 现实生活中、 以及数学和物理学中的简单问题, 感悟数学表达的重要性,培养几何直观和空间想象力。理解平面向量的运算规则 与意义,发展运算能力和解决实际问题的能力。

27

1.向量概念 (1)通过力的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义。 (2)理解平面向量的几何表示和基本要素。 2.向量运算 (1)借助实例和向量的几何意义,掌握向量加、减法的运算及运算规则, 理解几何意义。 (2)通过实例分析,掌握向量数乘运算及运算规则,理解几何意义,理解 两个向量共线的含义。 (3)了解向量的线性运算性质及几何意义。 (4)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的概念及物理意义, 会计算平面向量的数量积。 (5)通过几何直观,体会平面向量数量积与向量投影的关系,了解向量数 量积的运算规则。 (6)能用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂 直关系。 3.向量的坐标表示 (1)借助平面直角坐标系,了解平面向量基本定理及意义。 (2)掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 (3)会用坐标表示平面向量的加、减、数乘、数量积运算。 (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4.向量应用 (1)经历用向量方法解决简单平面几何问题、力学问题、以及其他实际问 题的过程,体会向量是一种有力的数学工具(举例) 。 (2)借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握正弦定理、余 弦定理。 (3)能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题。

(二)立体几何初步

28

在初中学习平面几何的基础上,高中阶段将学习立体几何。 立体几何对应于 三维空间,是人类生存的现实空间,学生将通过对几何体的整体观察,认识与表 达三维空间图形;将以长方体为载体,理解空间点、线、面的位置关系;能用数 学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证;学生还将了 解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。通过本单元的学习,发展学生的 直观想象和逻辑推理素养。 内容主要包括: “基本立体图形” 、 “基本图形位置关系” 。 1.基本立体图形 (1)利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球、及简 单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 (2)知道球、棱柱、棱锥、台表面积和体积的计算公式,能用公式解决简 单实际问题。 (3)会用斜二侧法画出简单空间图形的直观图。 (4)完成实习作业,如画出简单实物的直观图。 2.基本图形位置关系 (1)借助长方体,在直观认识空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象 出空间点、线、面的位置关系的定义,了解以下基本事实和定理(举例) 。 基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 基本事实 2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,这条直线在这个平面 内。 基本事实 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的 公共直线。 基本事实 4:平行于同一条直线的两条直线平行。 定理: 如果空间中两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。 (2)从上述定义和基本事实出发,通过直观感知、操作确认、思辨论证, 理解空间中线与线、线与面、面与面平行、垂直的有关判定与性质。 (3)归纳出以下判定定理。
1

上述基本事实 1-4 也称公理。

29

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。 一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。 (4)归纳出以下性质定理,并加以证明。 一条直线与一个平面平行,如果过直线的平面与此平面相交,那么交线与直 线平行。 两个平面平行,如果一个平面与这两个平面相交,那么两条交线相互平行。 垂直于同一个平面的两条直线平行。 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这 条直线与另一个平面垂直。 (5)能用已获得的结论证明空间位置关系的简单命题(举例) 。

教学提示 在“平面向量及其应用”的教学活动中,要创设合适的教学情境,让学生从 物理背景、 几何直观和代数计算三个角度理解向量的概念与运算法则,感悟向量 运算与代数运算的共性与差异,进一步提高数学抽象能力, 逐渐积累利用归纳类 比的方法进行逻辑推理的经验; 要引导学生很好地理解向量基本定理、向量的坐 标表达、以及空间向量与空间维数的关系,感悟向量是构建几何与代数关联的重 要工具,学生提升直观想象素养。在教学活动中,教师需要整体把握有关教学内 容,注意到向量既是必修模块“向量与几何”的主要内容,又是选修 1 模块“向 量与几何” 、以及选修 2A 模块“三维空间几何与代数”内容的基础。 在“立体几何初步”的教学活动中,要把握好两方面的教学目标:一个方面 的目标是帮助学生建立空间观念,借助初中学习的三视图,能够想象并且描绘出 空间的图形,能够想象并且表达空间中点、线、面的位置关系;另一个方面的目 标是进一步深化初中数平面几何演绎证明的能力, 引导学生从立体几何的几个基 本事实出发,直观理解、严格证明一些立体几何的命题,知道平行和垂直是刻画 空间图形关系的基本要素,进一步提升学生逻辑推理素养。

30

学业要求 能够从多种角度理解向量概念和运算法则,掌握向量基本定理,能够运用向 量运算解决简单的几何和物理问题,体会运算与证明的联系。 能够通过三视图、 直观图理解空间图形; 能够掌握基本空间图形柱、 锥、 台、 球、及简单组合体的概念和基本特征,例如,表面积和体积;能够解决简单的实 际问题; 能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果;能够证明简单的 几何命题(平行、垂直的性质定理)和简单应用。 能够在上述内容的学习中,逐步提升运算能力、逻辑推理、直观想象、数学 抽象、数学建模(把素养水平的某些表述在此处细化)的素养。

模块四、统计与概率

伴随着大数据时代的到来,人们常常需要对网络、文本、声音、图像等反映 出来的信息进行数字化处理,形成数据;利用数学的方法进行分析,借助数学的 语言进行描述,这就使得数学的研究领域和应用领域都得到极大拓展。 统计学的核心就是数据分析,这是一个根据实际问题的需求收集数据、描述 数据、并从数据中获得有用信息、形成知识、解决问题的过程。在这个过程中, 大部分数据都具有随机性,概率是研究随机现象的数学分支。正因为如此, “统 计与概率”成为当前发展迅速的学科,是倍受关注的研究领域。 义务教育阶段“统计与概率”的学习,主要是建立有关内容(主要是数据的 收集、整理与表达)的直觉,高中阶段将在模型的基础上,建立有关数据的一些 基本概念,引入一些数据收集和数据分析的基本方法。学生将结合具体实例,进 一步感悟和理解随机现象、 如何用概率刻画随机现象发生可能性的大小、如何通 过数据分析估计概率。学生将经历数据分析的全过程, 理解如何根据实际背景构 建随机化的数学模型,了解如何利用数据获取关于模型的知识(比如,模型中未 知概率的估计、模型中未知参数的估计等等) ,体会如何通过计算结果与实际背

31

景的比较判断模型的功效,理解构建模型解决问题的重要性,掌握通过模型解决 问题的思想与程式,提升数据分析素养和数学建模能力。 内容主要包括:统计、概率。

(一)统计 现代社会是信息化的社会, 人们常常需要根据所获得的数据提取有价值的信 息,做出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可 以为人们制定决策提供依据。 在本单元,学生将在义务教育阶段学习统计与概率 的基础上,经历解决统计问题的全过程,包括:收集数据提取信息、利用图表展 示数据、构建模型分析数据、解释数据获取知识。学生将通过具体实例,分析统 计推断与现实背景的关联,感悟根据实际情况进行科学决策的必要性和可能性, 体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异,积累数据分析 与知识获取的经验,提升数据分析的素养。 内容主要包括:统计基本概念,统计图表,简单随机抽样,分层随机抽样, 系统随机抽样,用样本估计总体分布和数字特征。 1.统计基本概念 (1)了解统计的几个基本概念(总体、样本、样本量)及这些概念与数据 分析的关系。 (2)知道获取数据的基本途径,包括:统计报表和年鉴,社会调查,试验 设计,普查和抽样,互联网等,了解数据的随机性。 2.统计图表 (1)梳理义务教育阶段学过的统计图表:扇形统计图(饼图) 、条形统计图 (频数直方图) 、折线统计图,理解含义。 (2)结合实例,掌握定量数据的图表描述:茎叶图。 (3)结合实例,会对同类时间序列图或直方图进行比较。 (举例) (4)结合实例,能够根据实际问题的特点,选择恰当的统计图表,描述数 据,体会合理使用统计图表的重要性。 (举例) 3.简单随机抽样

32

(1)通过实例,了解简单随机抽样解决问题的过程,掌握简单随机抽样的 抽签法和随机数法。 (2)会计算样本均值和样本方差,了解样本与总体的关系。 4.分层随机抽样 (1)通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样 的必要性。 (举例) (2)结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差。 (3)结合具体实例,掌握各层样本量比例分配的计算方法。 5.系统随机抽样 (1)通过具体实例,了解系统随机抽样的含义。结合实例,掌握等距抽样 方法。 (举例) (2) 结合具体实例, 理解并掌握等距抽样样本均值和样本方差的计算方法。 6.抽样方法的选择 在简单的实际情境中,能够根据实际问题的特点,选择恰当的抽样方法,解 决问题。 7.用样本估计总体分布和数字特征 (1)结合实例,理解样本、频率和直方图,利用数据估计总体分布。 (2)结合实例,用样本估计位置参数,理解位置参数的统计含义。 (3)结合实例,用样本估计离散程度,理解离散程度的统计含义。 (4)结合实例,用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义,掌握箱 线图的绘制。

(二)概率 在日常生活和生产实践中, 随机现象随处可见,概率是研究随机现象规律的 学科, 为人们认识客观世界提供思维模式和方法,也为统计学的发展提供理论基 础。在本单元,学生将结合具体实例,理解概率模型和概率的一些性质,会计算 简单随机事件的概率,加深对随机现象的理解,通过假设前提下的概率计算,增 强演绎推理能力;学生将通过实际操作、计算机模拟等活动,估计简单随机事件

33

发生的概率,增强归纳推理能力。 内容主要包括:随机现象和古典概型,几何概型,频率与概率,随机事件与 概率计算。 1. 随机现象和古典概型 (1)通过实例了解确定性现象和随机性现象的含义与区别,理解随机现象 的本质。 (2)理解利用等可能性定义概率的含义,理解古典概型。 (3)通过实例,掌握用古典概型刻画实际问题的方法;会计算古典概型基 本事件总数和随机事件概率。 (举例) (4)通过古典概型,了解有限样本空间。 2.几何概型 (1)知道几何概型,理解基于几何概型所定义的概率。 (2)通过实例,掌握简单问题的概率计算方法(举例) 。 3.频率与概率 (1)通过实例,理解随机现象的统计规律。 (2)理解用频率估计概率的含义。 (举例) 4.随机事件运算与概率计算 (1)通过实例,理解有限样本空间中随机事件的并、交、互斥与补集的概 念,会求两个随机事件的并、交的概率。 (2)会进行随机事件并、交、补集的运算。 (3)理解抽象有限样本空间上定义的随机事件,理解随机事件的概率和基 本性质。 (4)会用概率的基本性质计算概率。

教学提示 在本模块的教学中,应当特别重视针对实际问题创设合适的教学情境,通过 问题引导学生经历解决问题的过程,理解基本概念和计算方法,提升数学建模的 能力。 应当鼓励并引导学生使用统计软件处理数据,结合具体问题进行计算机模

34

拟,更好地体会数据的直观背景,理解随机的思想和数据分析的思想。 在统计教学中, 应当引导学生经历利用统计方法解决实际问题的全过程、也 是数据分析的全过程, 理解统计方法与所解决实际问题的关联、理解基于数据的 知识是如何形成的; 应当关注学生在数据分析过程中体会随机性,理解数据随机 性与现实问题随机性的关联, 理解统计方法是如何基于随机性进行推断的,理解 针对问题背景选择方法的重要性,理解通过统计推断得到结论的或然性。提升逻 辑推理和数据分析素养。 在概率教学中,应当通过日常生活中的大量实例,理解概率是对随机现象发 生可能性大小的一种度量,理解概率是可以定义的、概率也是可以估计的,理解 随机事件发生的不确定性、可重复性、以及频率的稳定性;应当重视模型思想的 渗透,引导学生通过实例,理解古典概型、几何概型的基本特征,理解模型与实 际背景的关联,提升逻辑推理和数学模型素养。

学业要求 能够根据实际问题的需求, 选择恰当的抽样方法获取样本数据,并从样本数 据中提取需要的数字特征, 通过样本数字特征推断总体。能够正确运用数据分析 的方法解决简单的实际问题。 能够区别统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异。能够 结合具体问题,理解统计推断结果的或然性,正确运用统计结果解释实际问题。 能够掌握古典模型和几何概型的基本特征,根据实际问题构建概率模型,解 决简单的实际问题。能够借助古典概型初步认识有限样本空间、随机事件、以及 随机事件的概率。 能够在上述内容的学习中,逐步提升数据分析、数学建模、逻辑推理、运算 能力、直观想象、数学抽象(把素养水平的某些表述在此处细化)的素养。

数学建模与数学探究活动

35

“数学建模活动”是一个运用数学思想和方法解决实际问题的过程,是高中 阶段数学教育的重要课程内容。 在这样的课程内容中,要引导学生对实际问题的 数学理解、抽象出事物的本质、事物之间的关联、以及事物的规律,突出用数学 的语言(概念和方法)对事物的本质、关联、规律的刻画,提升学生的数学抽象 和数学建模素养;在学习活动中,要为学生自主学习提供足够的时间和空间,有 助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用, 体验数学与日常生活和其他 学科的联系,增强对数学本质的理解,增强数学应用意识。 “数学探究活动”是围绕某个具体的数学事实,启发和引导学生自主探究、 合作研究的学习过程。在这样的课程内容中,要引导学生分析数学事实,提出有 意义的数学问题,猜测并探求合理的数学结论,能够对数学结论给出直观解释, 并且能够予以演绎证明; 在学习活动中,也要为学生自主学习提供足够的时间和 空间,有助于学生感悟数学概念、以及数学结论的产生过程,初步理解直观和严 谨之间的关系,理解数学的本质,体验创造的激情。 在教学活动中, 学生可以采取个人或者小组合作的形式, 完成 4 个课时的 “数 学建模活动”或者“数学探究活动” 。需要经历“选题、开题、做题、结题”的 全过程,提交研究报告。根据选题的要求,报告的形式可以是多样的。 课程内容的选题可以教师给定,也可以在教师给定的问题背景下,学生自己 确定。无论那一种形式,学生需要撰写开题报告。教师要组织开展“开题”交流 活动, “开题”报告应包括选题的意义,文献综述,解决问题思路,研究计划, 预期结果等。 “做题”就是解决问题的过程,包括描述问题,数学表达,建立模 型,求解模型,得到结论,反思完善等过程。 “结题”是撰写研究报告并报告研 究结果的过程,由教师组织学生开展结题答辩。 对于研究报告的评价,教师可以组织评价小组,可以邀请校外专家、社会人 士、家长等进行评价。研究报告和评价应当作为文件存入个人学习档案,为大学 招生提供参考和依据。 能够在上述内容的学习中,逐步提升数学建模、数学抽象、数据分析、运算 能力、逻辑推理、直观想象(把素养水平的某些表述在此处细化)的素养。

36

数学文化

数学对科学技术和社会生活的作用是巨大的、不可替代的。除此之外,数学 在几千年的发展过程中还逐渐形成了独特的数学文化, 数学文化对人类的发展产 生了重大的、非物质化的影响,这些影响既包括对人的观念、思想和思维方式潜 移默化的作用, 也包括人类在认识和发展数学的过程中表现出来的进取精神和崇 高境界。数学文化具有十分丰富的内涵。 在高中数学必修课程的教学活动中,应当有意识地结合相应的教学内容,引 导学生了解数学与人类发展的相互作用,体会数学的科学价值和人文价值;在寻 求数学发展历史轨迹的过程中, 激发学生对于数学创新原动力的感知,提高学生 的文化素养和科学精神。 具体内容可以选择教材的特定栏目, 也可以基于数学发 展过程中的重大事件和人物、教师提供相应的素材(比如,模块二中所述函数发 展的有关内容) 、 或结合当代数学发展的热点 (比如, 模块四中所述大数据) 等, 启发学生撰写心得或评论的研究报告,帮助学生系统地整理自己的思想,更加深 刻地理解数学和数学文化。

37

学业质量标准
在内容标准的述说中,已经对每一个具体数学内容提出了明确的要求, “学业 质量标准”主要是对数学核心素养提出水平要求。希望在教学活动中,教师能够 课程目标中提出的“三用” 、 “四能”为主线,结合相应的教学内容,关注学生基 本素养的提高,达到核心素养所要求的高中毕业应当达到的水平。 主要有三方面的内容: “日常学业水平评价” 、 “核心素养高中毕业水平” 、 “高 中毕业考试说明” 。

(一)日常学业质量评价(鲍老师正在研究,还未提交) (一)日常学业质量评价要求 ①日常学业质量评价的原则 处理好:核心素养与内容标准的关系 核心素养与模块的关系 核心素养与单元的关系 核心素养与 big idea (内容、方法、素养)的关系 ②日常学业质量评价的角度 (正在研究) (二)综合实践活动评价(数学建模与数学探究) 要求每一个学生以个人或小组的形式完成一次数学综合实践活动的任务: 任 务或任务要解决的问题的来源, 以教师、 教材、 其它材料中提供的参考资料为主, 鼓励学生在生活情境中中发现任务或问题; 要求学生经历对某个具体任务或问题 的“选题、开题、做题、结题”过程。提交研究报告,报告需包括:选题的来源、 选题价值的文献检索;解决问题的技术路线;解决问题过程的主要步骤;得到的 结论和它的价值、意义。这些报告可以以“专题作业,测量报告,算法程序,制 作的实物”等形式提供。教师和学生一起组织结题报告会。 教师,或邀请专家、家长、社会人士、学生对报告做出评价。

38

把学生完成的研究报告和评价作为文件存入档案, 为大学招生提供参考和依 据。 对学生的报告可以从以下方面进行评价: 提出问题是否有新意;操作求解是否有创意; 合作学习是否有效率;结果呈现是否有特色; 反思拓展是否有眼光;自我感受是否有收获; 兴趣动力是否有增强;数学素养是否有提高。

(二)核心素养高中毕业水平

数学抽象 能够在实际情境中, 通过一般化途径直接抽象出数学的概念和规则;能够在 若干特例的基础上,归纳出数学的规律,形成数学猜想或命题;能够在具体的情 境中,理解数学抽象的作用,能够合理运用抽象的方法(举例) 。 能够用具体的事例,解释抽象的数学概念和规则;能够在给定数学命题中, 分析命题的条件与结论;能够在实际问题中,抽象出所要研究问题的研究对象, 以及研究对象的性质或者变化规律。 能够用各种形式的数学语言,表示数学概念、规则、命题与模型;在解决问 题的过程中,初步形成抽象的思想(如函数思想)与方法(如数学归纳法) ;能 够用数学符号进行推理和论证(举例) 。 能够在与人交流的过程中, 通过具体的例子来解释抽象的概念;能够根据实 际情况,判断抽象的合理性。

逻辑推理 能够在实际情境中, 发现与数量或者图形有关的数学规律,用归纳或者类比 提出数学命题。 能够在具体的数学内容中,判断什么是归纳类比推理,什么是演绎推理;知

39

道通过归纳类比推理得到的结论是或然成立的, 通过演绎推理得到的结论是必然 成立的。 能够结合具体的实例, 知道演绎推理的多种形式和相应的推理规则。能够对 于给定的、类似的数学命题,运用学过的方法探究条件与结论的逻辑关系,证明 或者证否命题,有条理地表述论证过程。

数学建模 能够理解学过的数学模型的实际背景; 能够在简单的实际情境中发现数学问 题,能够用恰当的数学语言提出数学问题。 能够理解学过的数学模型中数学表达的实际意义, 能够在类似的实际情境中, 模仿学过的数学建模过程,建立模型,求解模型。 知道数学建模的思维过程:提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完 善模型;能够举例说明数学建模思维过程各个环节的必要性。 在交流的过程中,能够结合具体的数学模型表达结果的意义。

运算能力 能够在简单的数学情境中,理解运算对象,提出运算问题,建立运算关系, 求得运算结果。 能够理解运算法则的背景和适用范围,掌握基本的运算法则,根据数学问题 特征探究合理的运算路径,选择合适的运算方法。 在运算的过程中, 能够体会运算法则的意义和作用;知道通过运算得到的数 学结论是必然正确的。 在交流的过程中,能用运算的结果说明问题。

直观想象 能够对于给定的简单实物, 直观想象基于实物的各种几何图形,知道图形与 图形、图形与数量的关系,理解图形运动(平移、旋转、轴对称)的规律。 在具体的数学情境中, 能够借助图形性质发现数学规律;能够描述简单图形

40

的位置关系和度量关系、以及相关的性质。 在具体的数学情境中,能够借助图形直观理解数学问题, 描述和表达数学问 题,启迪解决问题的思路。 能够利用图形的直观进行交流。

数据分析 能够结合具体情境,识别随机现象,提出研究问题的对象(随机事件) ,提 出相应的统计问题或者概率问题;能够在新的情境中, 模仿学过的统计方法或者 概率解决问题。 能够理解数据收集、 表示和分析的基本方法。能够理解概率是对随机事件发 生可能性大小的度量。能够对给定的实际情境,用学过的概率模型表达问题、并 且解决问题。 能够结合具体案例, 理解统计和概率是人们认识和表达事物规律的一种思维 方法;能够用统计和概率的语言表达简单的随机现象,体会其中的随机思想。 在交流的过程中, 能够明晰事物的随机性,能用统计图表和简单概率模型解 释日常生活中的随机现象。

(三)高中毕业考试说明

高中毕业考试时合格性考试,考试范围不能超出必修课程内容标准的要求。 数学核心素养集中刻画了高中数学内容的思维品质, 充分体现了高中数学内容的 教育价值,在培养人的过程中起着独特的、不可替代的作用。因此,高中毕业考 试的形式和内容,要关注数学内容的本质,更要关注数学核心素养的达成;要关 注试题的数学形式,更要关注试题的思维品质;与此关联,要尝试探究性和开放 性的试题,题量不能过大,要设计相应的思考时间。

41

(一)选修 1 课程(6 学分)
选修 1 课程包括内容标准和学业质量标准两方面内容。

内容标准
选修 1 内容标准包括三个模块, 分别是: “函数与数列” 、 “向量与几何” 、 “统 计与概率” 。在内容标准的最后部分,专门述说了“数学建模与数学探究”和“数 学文化”的相关内容标准。 选修 1 课程内容的总体要求为 6 学分 108 学时。 内容标准对上述五方面的内 容均给出相应的学时建议,共计 106 学时。

模块一、函数与数列(建议学时:28) 数列(建议学时:12) 一元函数导数及其应用(建议学时:16) 模块二、向量与几何(建议学时:40) 平面解析几何(建议学时:28) 空间向量与立体几何(建议学时:12) 模块三、统计与概率(建议学时:32) 计数原理(建议学时:12) 统计与概率(建议学时:20) 数学建模与数学探究(建议学时:4) 数学文化(建议学时:2)

模块一、函数与数列

42

在必修课程,学生学习了函数的概念,函数的性质,总结了研究函数的基本 方法;研究了一些具体的基本函数类,探索了函数的应用。在已经掌握的基本函 数类中,有一个共同的特点:所有的函数都是连续的,在本模块中,学生将学习 一类特殊的函数,这就是数列。数列是定义域为自然数的离散函数,这样的函数 在日常生活中有广泛的应用。通过数列学习,学生可以更加全面、更加深刻地理 解函数的概念和现实意义,提升逻辑推理和运算能力的素养。 在这一模块中,学生还将学习导数,导数是微积分的基础、蕴含着微积分最 基本的思想,微积分是数学发展的里程碑,是近代数学的标志。导数的出现有着 深厚的物理背景和几何背景, 学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变 化率的过程,建立并理解导数的概念,体会导数的思想及其内涵,应用导数探索 函数的单调、极值等性质,把函数的整体性质与局部性质有机地结合起来,探索 导数在实际中的应用, 进一步提升数学抽象素养,体会微积分的产生对人类文明 发展的价值。还要引导学生探索、研究生活中的优化问题,在应用中进一步提高 数学建模能力和运算能力。 本模块内容主要包括:数列、一元函数导数及应用。

(一)数列 数列是一类特殊的函数, 是反映自然规律的基本数学模型,也是研究其它函 数的基础。在本单元中,学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析,探索并 掌握等差数列和等比数列的基本数量关系, 建立等差数列和等比数列的通项公式 和前 n 项和公式, 并利用它们解决一些实际问题, 感受这两种数列模型的广泛应 用。本单元的内容主要包括:数列概念,等差数列、等比数列。 1.数列概念 通过日常生活中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公 式) ,了解数列是一种特殊函数。 2.等差数列 (1)通过生活中的实例, 理解等差数列的概念和通项公式的意义 (参见例 5) 。

43

(2)探索并掌握前 n 项和公式,理解通项公式与前 n 项和公式的关系。 (3)能在具体的问题情境中,发现数量的等差关系,能解决相应的问题。 (4)体会等差数列与一次函数的关系。 3.等比数列 (1)通过生活中的实例, 理解等比数列的概念和通项公式的意义 (参见例 6) 。 (2)探索并掌握前 n 项和公式,理解通项公式与前 n 项和公式的关系。 (3)能在具体的问题情境中,发现数量的等比关系,能解决相应的问题。 (4)体会等比数列与指数函数的关系。 (二)一元函数导数及应用(16) 导数是微积分的核心概念, 在解决数学和实际问题中发挥重要作用。导数提 供了定量研究函数变化的工具和方法。对导数概念的认识应该贯穿在“导数及其 应用”学习的始终。 1、导数概念及其意义 ①通过对大量实例的分析, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了 解导数概念的实际背景, 知道瞬时变化率就是导数, 体会导数的思想及其内涵 (参 见选修 1-1 案例中的例 2、例 3) 。 ②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。 2、导数运算 ①能根据导数定义求函数
y ? c,y ? x,y ? x 2 ,y ? x 3 ,y ? 1 ,y ? x x

的导数。

②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函 数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax ? b ))的导数。 ③会使用导数公式表。 3、导数在研究函数中的应用 ①结合实例, 借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系(参见选 修 1-1 案例中的例 4) ;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项 式函数的单调区间。 ②结合函数的图象, 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用 导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的

44

多项式函数最大值、 最小值; 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 4、微积分的创立与发展 围绕微积分创立和发展,收集对微积分创立和发展起重大作用的有关资料, 包括一些重要历史人物和事件(开普勒、伽利略、牛顿、莱布尼茨、柯西、维尔 斯特拉等) , 小组合作或个人撰写一篇有关微积分创立与发展的论文或研究报告, 在班级中进行交流。可参考“数学文化”的要求。 (参见第?页) 。 教学提示 本模块教学由“数列”和“一元函数导数及应用”两部分组成。在本模块教 学中,需要关注以下三方面的问题。 引导学生提升数学建模的能力。创设情境,引出问题,情境既包括实际生活 的情境,也包括其他学科中所熟悉的情境,例如,速度、加速度等是引入导数的 重要情境, 还包括已经学习过的数学所蕴含的情境, 例如, 指数函数的特殊情况。 在这些具体情境中, 学会用数学的眼光发现问题,用数学的思维和语言描述和转 化问题,用模型的思想分析和解决问题。 引导学生经历数学概念、结论和方法形成的过程,例如,导数概念形成的过 程,等差、等比数列公式的形成过程,运用导数解决问题的过程,促进数学抽象 等素养的发展。 引导学生在数学应用和实际应用中, 提升运算能力和直观想象能力。 (实例) 在“数列”的教学中,应特别强调“数列”作为特殊的函数在解决实际问题 中的作用;应建立等差数列与线性函数、等比数列与指数函数的联系,整体地把 握函数内容体系。 在“一元函数导数及应用”的教学中,应特别强调导数的应用。 学业要求 能够结合具体实例,建立数列、等差数列、等比数列的概念;能够掌握推导 数列公式的过程,理解其中蕴含的思想方法;能够结合具体情境,运用学过数列 的概念和结论解决简单的实际问题。

45

能够结合具体情境,理解导数概念的意义,掌握导数的基本运算规则;能够 计算简单函数的导数,能够运用导数的概念、依托导数表解决简单的实际问题。 能够在上述内容的学习中,逐步提升数学抽象、运算能力、直观想象、数学 建模、逻辑推理(把素养水平的某些表述在此处细化)的素养。

模块二、向量与几何(42)
解析几何是 17 世纪数学发展的重大成果之一,其本质是用代数方法研究圆 锥曲线和圆锥曲面的几何性质, 体现了数形结合的重要数学思想,代数方法主要 体现在直角坐标系中建立圆锥曲线和圆锥曲面的方程, 通过变换揭示圆锥曲线和 圆锥曲面的不变性质,对圆锥曲线和圆锥曲面进行分类。在高中阶段,重点是建 立基本圆锥曲线的标准方程。在本模块中,应引导学生认识直线、圆、椭圆、抛 物线、 双曲线的几何描述, 根据几何的特征, 在平面直角坐标系中建立直线、 圆、 椭圆、抛物线、双曲线的代数标准方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其 相互位置关系, 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,形成借 助图形探索思路、用代数运算解决问题的能力,体会解析几何思想,提升数学抽 象、直观想象素养,提高运算能力。 在必修“向量与几何”中,通过平面向量的学习,已经初步地感悟到向量既 是代数的研究对象, 也是几何的研究对象, 拥有丰富的物理背景, 它是沟通代数、 几何、实际应用的桥梁。向量在研究三维空间和更高维空间问题中,将发挥更大 的作用,是研究高维空间问题的基本思想方法。在本模块中,应引导学生在学习 平面向量的基础上, 利用类比的方法把平面向量及其运算推广到空间,运用空间 向量解决有关直线、 平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作 用,进一步提升直观想象素养和运算能力。 本模块内容主要包括:平面解析几何,空间向量与立体几何。 (一)平面解析几何(28) 直线与圆是基本的平面几何图形,在直角坐标系中,根据直线与圆及其位置 关系的几何特征建立代数方程, 并用方程讨论直线与圆的位置关系,从中体会解 析几何的基本思想。在此基础上,根据圆锥曲线的几何特征建立方程,并运用代

46

数方法研究圆锥曲线的性质。 在本单元教学中, 要关注所研究的图形的几何性质, 在几何性质导引下形成解决问题的思路,用代数方法解决问题。 1、直线与方程(8 学时) ①在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程, 掌握过两点的直线斜率的计算公式。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 ④根据确定直线位置的几何要素, 探索并掌握直线方程的几种形式 (点斜式、 两点式及一般式) ,体会斜截式与一次函数的关系。 ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。 ⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线 间的距离。 2、圆与方程(8 学时) ①回顾确定圆的几何要素, 在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程 与一般方程。 ②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 3、圆锥曲线(12 学时) ①了解圆锥曲线的实际背景, 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程 (参见例 1) , 掌握椭圆的定义、 标准方程及简单几何性质。 ③了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何 性质。 ④通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想。 ⑤了解椭圆、抛物线的简单应用。 4、解析几何的产生与发展 围绕解析几何产生和发展, 收集对解析几何产生和发展起重大作用的有关资

47

料,包括一些重要历史人物和事件(费尔玛、笛卡尔等) ,结合本单元学习的内 容, 体会解析几何思想。 小组合作或个人撰写一篇有关解析几何产生与发展的论 文或研究报告, 在班级中进行交流。 可参考 “数学文化” 的要求。 (参见第?页) 。 (二)空间向量与立体几何(12) 用空间向量处理立体几何问题,提供了研究几何问题的新视角。空间向量的 引入, 为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 本单元的学习中, 应引导学生发现用向量解决一类几何问题的共性,抽象出解决 问题的通性通法,发展学生逻辑推理、直观想象素养,提高运算能力。 1、空间直角坐标系 ①在理解平面直角坐标系的基础上,通过具体情境,感受建立空间直角坐标 系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置。 ②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得 出空间两点间的距离公式。 2、空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。 ②了解空间向量的概念, 了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量 的正交分解及其坐标表示。 ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能运用向量的数量积判断向量的共 线与垂直。 3、空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量。 ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。 ③能用向量方法证明有关线、 面位置关系的一些定理 (包括三垂线定理) (参 见例 1、例 2、例 3) 。 ④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、异面直线、相 互平行的平面的距离问题,并能用框图描述解决这一类问题的思路,体会向量方 法在研究几何问题中的作用。

48

教学提示 本模块的教学内容由“平面解析几何”和“空间向量与立体几何”两部分组 成,它们的研究对象都是几何图形。在教学中应特别关注解决问题的过程,学习 这些内容都需要经历:清晰地描述研究对象(图形)的几何特征和问题;用“代 数”和“向量”的语言描述这些特征和问题,把它们转化为“代数问题”和“向 量问题” ;用“代数方法”和“向量方法” ,通过运算解决这些问题;对于所得到 的结果,给出几何解释,从而解决几何问题。应引导学生在过程中感悟“形”与 “数”的结合,掌握三种数学语言的转换,提升直观想象和运算能力。 在“平面解析几何”的教学中,应重视坐标系的作用,特别是直角坐标系, 它是连接“几何”与“代数”的桥梁,对于直角坐标系作用的认识应贯穿在本单 元教学的始终。 在“平面解析几何”的教学中,要特别重视图形的作用,对图形的分析可以 帮助我们建立解决问题的思路,这种直观想象能力是非常重要的。 在“空间向量与立体几何”的教学中,需要引导学生在平面向量认识的基础 上,进一步认识空间向量,依托空间向量的特点建立直观想象,这是认识空间图 形最重要的直观和想象,例如,平面法向量的重要性,平面法向量与两平面交角 的联系,平面法向量与距离的联系。 在“空间向量与立体几何”的教学中,要引导学生抓住空间向量与立体图形 联系的关键——向量基本定理,建立“基”的概念,它反映了空间向量及其应用 的本质。 学业要求 能够掌握解析几何解决问题的基本过程:根据具体问题情境的特点,建立直 角坐标系; 根据几何问题和图形的特点, 用代数的语言把几何问题转化成为代数 问题;根据对几何问题(图形)的分析,探索形成解决问题的思路;运用代数方 法解决问题得到结论;给出代数结论合理的几何解释解决几何问题。 能够根据不同的情境,建立平面直线和圆的方程,建立椭圆、抛物线、双曲

49

线的标准方程。 能运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系。能运用解析几 何的思想解决一些简单的实际问题。 能够理解空间向量的概念,空间向量运算、背景和作用。能够依托空间向量 建立空间图形及图形关系的想象力。能够掌握空间向量基本定理、作用和简单应 用。 能够运用空间向量解决一些简单的实际问题。体会用向量解决一类问题的程 序化思想。 能够在上述内容的学习中,逐步提升直观想象、运算能力、数学建模、逻辑 推理、数学抽象(把素养水平的某些表述在此处细化)的素养。

模块三、统计与概率(32)
本模块的内容是必修 “统计与概率” 的延续, 为了更好地理解 “统计与概率” 中一些基本模型,需要补充一些计数方面的知识。 计数问题是数学中的重要研究对象之一,分类加法计数原理、分步乘法计数 原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法,也称为基本计数原理,它们为解 决很多实际问题提供了思想和工具。在本模块中,学生将学习计数基本原理、排 列、组合、二项式定理及其应用,了解计数与现实生活的联系,会解决简单的计 数问题,为进一步学习概率与统计奠定基础。 学生将在必修课程学习概率的基础上, 学习某些离散型随机变量分布列及其 均值、 方差等内容, 初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象 的方法, 并能用所学知识解决一些简单的实际问题,进一步体会概率模型的作用 及运用概率思考问题的特点,初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。 学生将在必修课程学习统计的基础上,通过对典型案例的讨论,了解和使用 一些常用的统计方法, 进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识 统计方法在决策中的作用。 本模块内容主要包括:计数原理,概率,统计。

(一)计数原理(约 12 课时) (1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理

50

通过实例,给出分类加法计数原理、分步乘法计数原理;能根据具体问题的 特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。 (2)排列与组合 通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合 数公式,并能解决简单的实际问题。 (3)二项式定理 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理(参见例 1) ;会用二项式 定理解决与二项展开式有关的简单问题。 (二)概率(10) 1、随机事件的独立性与条件概率(4) 结合有限样本空间, 理解两个和三个随机事件的独立性的含义;结合古典概 型,利用独立性来计算概率。 结合有限样本空间,理解条件概率的含义;结合古典概型,掌握利用条件概 率计算随机事件的概率。 结合有限样本空间,理解和掌握几个重要概率公式;结合古典概型,利用这 些公式计算概率。 2、离散型随机变量及其分布列(4) ①通过具体问题, 理解伯努利试验, 掌握二项分布, 并能解决简单实际问题。 ②通过具体问题,掌握超几何分布,并能解决简单实际问题。 ③结合上述实例,理解离散型随机变量的概念;针对具体实例,掌握具体离 散型随机变量分布列及其特征值(均值、中位数、极差、方差)的计算方法。 3、正态分布(2) 通过实际问题,借助直观(如实际问题的直方图) ,认识正态分布曲线的特 点及曲线所表示的意义。 (三)统计(10 课时) 1、两组数据间的统计相关性(2) ①结合实例,理解样本相关系数的统计含义,掌握计算方法。 ②给定多组数据, 掌握分析数据组两两之间样本相关系数,判断相互之间线

51

性关系的强弱。 2、一元线性回归分析(3) ①结合具体实例, 理解一元线性回归模型的含义,掌握一元线性回归模型参 数的估计方法。 ②结合具体实例, 理解回归参数的统计含义,明确一元线性回归模型的几何 解释,一元回归模型拟合的优劣判断 ③对实际问题,掌握利用一元回归进行分析的步骤和对结论的解释。 3、二维列联表(3) ①通过实例,理解二维列联表意义,掌握二维列联表的构造。 ②通过实例,了解独立性检验和二维列联表的应用。 (举例说明) 教学提示 在本模块的教学中, 引导学生深入理解模型的作用, 一类一类的分析解决问 题,将其贯穿在本模块教学的始终。 在“计数原理”的教学中,应结合具体情境,引导学生理解基本计数问题都 可以归结为两类问题:分类、分步,分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解 决这两类问题的基本方法。 在“计数原理”的教学中,应结合具体情境,引导学生理解排列问题是一个 特殊的分步计数问题;组合问题是排列问题的分类计数问题, (实例) ;二项式定 理本质上也是分类计数问题, (实例) 。在上面的教学过程中,引导学生感悟一类 一类分析解决问题的数学思想方法,提升数学抽象和数学建模的素养。 在“概率”的教学中,应特别强调创设合适的情境,学习本单元的内容,在 学生熟悉、感兴趣的情境中,进一步理解随机的概念和概率模型。 在“概率”的教学中,应结合对一定数量的案例的分析,找出共性,建立反 映一类具有共同特性的概率模型,并运用这些模型解决一些实际问题,感悟模型 思想。还应引导学生利用学过的模型,例如,古典概型,认识更一般的模型,例 如,超几何分布,有限样本空间。提升数学抽象和数学建模的素养。 在“概率”的教学中,依托古典概型的具体情境,建立随机事件独立性与条

52

件概率的概念;依托具体实例,学会用离散随机变量刻画随机现象;依托丰富的 实际问题,抽象出反映共同特点的概率模型;在这个教学过程中,应引导学生进 一步深入地认识随机现象。 在“统计”的教学中,应坚持在必修阶段强调的基本理念——结合实例引导 学生掌握数据分析的全过程, 在经历过程中理解统计量的意义。提升数据分析的 素养。 在“统计”的教学中,结合具体实例,应引导学生掌握处理两类基本问题: 运用一元线性回归分析的方法, 理解两组数据间的统计相关性;通过二维列联表 的方法, 理解独立性检验的问题。 进一步理解归纳推理在处理统计问题中的作用, 提升逻辑推理素养。 学业要求 能够结合具体实例, 识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其 作用,并能运用这些原理解决简单实际问题。 能够结合具体实例,理解排列、组合、二项定理与两个原理的关系,掌握运 用两个原理推导排列、组合、二项定理的相关公式,能运用它们解决简单实际问 题,特别是概率中的某些问题。提升逻辑推理的素养。 能够结合具体实例, 理解随机事件的独立性和条件关系;理解离散随机变量 在描述随机现象中的作用; 掌握两个基本概率模型及其应用;了解正态分布的作 用;进一步深入理解随机思想在实际问题中的作用。能够结合具体实例,掌握运 用一元线性回归分析, 能够解决两组数据间的统计相关性的简单实际问题;掌握 运用二维列联表的方法, 解决独立性检验的简单实际问题。提升数据分析和数学 建模能力。 能够在上述内容的学习中,逐步提升数据分析、数学建模、逻辑推理、运算 能力、直观想象、数学抽象(把素养水平的某些表述在此处细化)的素养。

数学建模与探究活动(4)
“数学建模活动”是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程,已经

53

成为不同层次数学教育重要和基本的内容。 “数学建模活动”是数学学习的一种 新的方式, 它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决实际问 题中的价值和作用, 体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识 和方法解决实际问题的过程,增强应用意识。 “数学探究活动”即数学探究性课题学习,是指学生围绕某个数学问题,自 主探究、学习的过程。这个过程包括:观察分析数学事实,提出有意义的数学问 题,猜测、探求适当的数学结论或规律,并给出解释或证明。 “数学探究活动” 是数学学习的一种方式, 有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程,初步 理解直观和严谨的关系,初步尝试数学研究的过程,体验创造的激情。 在选修 1 课程中, 学生可以采取个人或小组合作的形式完成 1 次“数学建模 活动”或“数学探究活动” (4 课时) 。在“数学建模活动”或“数学探究活动” 中,经历“选题、开题、做题、结题”的全过程,并提交研究报告,报告可以采 用“专题作业,测量报告,算法程序,制作的实物,研究论文”等多种形式。 教师,或邀请专家、家长、社会人士、其他学生对报告做出评价。学生完成 的研究报告和评价作为文件存入档案,为大学招生提供参考和依据。 在选修 1 课程中, “选题”可以在教师的指导下,自主选题,也可以在必修 “数学建模活动”或“数学探究活动”所做的研究基础上进行深入探究。按照必 修的要求,完成“开题” “做题” “结题”的过程。如果“选题”不变,在研究报 告中需要说明与必修研究的差异,深入研究所得到的新思路、新方法、新结果。 能够在上述内容的学习中,逐步提升数据分析、数学建模、逻辑推理、运算 能力、直观想象、数学抽象(把素养水平的某些表述在此处细化)的素养。

数学文化(2)
数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人 类发展具有重大影响的各个方面。它既包括对于人的观念、思想和思维方式的一 种潜移默化的作用, 也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进 取的精神和所能达到的崇高境界等等。数学文化具有十分丰富的内涵。通过在高 中必修和选修一阶段数学文化的学习, 学生将初步了解数学科学与人类社会发展

54

之间的相互作用,体会数学科学中的科学价值、人文价值,开阔视野,寻求数学 进步的历史轨迹,激发对于数学创新原动力的认识,受到优秀文化的熏陶,领会 数学的美学价值,从而提高学生的文化素养和精神境界。 在选修 1 课程中,学生应结合课程内容,或选择教材特定栏目,或根据教师 提供的素材, 或结合当代发展的热点等,选择对数学发展起重大作用的事件和人 物,撰写介绍或评论的研究报告或学习心得,反映数学在社会进步、人类文明发 展中的作用,同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。

55

选修 1 学业质量标准
一、选修 1 数学核心素养水平 (一)制定“ ‘高考’的课程目标和数学核心素养水平”的原则 ①以三用、四能为主线,整合各核心素养高中毕业水平; ②对必修阶段数学教学、评价有指导作用: 如何在教学和日常评价中体现数学核心素养 ③对于“高考”有指导作用: 如何在“高考”中体现数学核心素养 (二) “高考”数学核心素养水平表述 结合数学发展、用数学解决问题、学习掌握数学规律的过程,实现课程目标 具体化: 在实际、 数学情境中;通过观察、分析,发现、提出问题、猜想,形成概念、 命题;分析、选择、探索解决问题的思路;建立、求解、证明所得到的猜想、命 题、规则、模型;通过反思,形成和完善方法、知识、模型、体系、思想;学会 表达和交流问题、结论、方法、思想;提升应用、创新能力;积累学习、应用、 创新的经验。实现数学核心素养所达成的水平: 1、 “数学抽象”高考水平: 能够在若干数学情境中抽象出一般的数学概念和规则; 能够将已知数学命题 推广到更一般的情形;能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题(问题与 情境) 。 能够从多个角度理解数学概念、规则和命题;能够运用多种形式表示数学命 题的条件与结论, 并建立相关命题的联系;能够理解和构建相关数学知识之间的 联系(知识与技能) 。 能够用准确的数学语言表达学过的数学概念、规则、命题与模型;能够提炼 出解决一类问题的数学方法,理解其中的数学思想(思维与表达) 。 在交流的过程中,能够用一般的概念解释具体现象(交流与反思) 。 2、 “逻辑推理”高考水平:

56

能够在实际情境和数学情境中,发现蕴含的数学规律,提出有价值的数学问 题,并予以数学表达。能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径。 理解分析法、综合法、反证法、数学归纳法、举反例等论证方法。 对于给定的与学过知识有一些关联的数学命题,能够探索论证的思路,选择 合适的论证方法予以证明或者证否,并能用准确的数学语言表述论证过程。 能够理解各个教学模块中概念、命题、定理之间的逻辑关系,初步建立网状 的知识结构。 能够在交流的过程中,围绕讨论问题的主题,观点明确,有理有据。 3、 “数学建模”高考水平: 能够理解数学模型的实际背景;能够在实际情境中,发现问题,转化为数学 问题,并理解其数学内涵。 能够理解数学模型的实际意义和应用范围;能够在给定的实际情境中,通过 分析,选择、运用数学知识建立并求解模型。 能够理解数学建模的全过程:提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、 完善模型。 能够运用数学语言,表达数学建模过程中的问题以及解决问题的过程 和结果,形成简单的研究报告。 在交流的过程中,能够完整的表达数学建模的过程和意义。 4、 “运算能力”高考水平: 能够在数学情境中明晰运算对象,提出运算问题,探究运算的方向和目标。 能够针对运算问题,正确分析运算条件、确定运算方向;能够合理选择运算 方法、设计运算程序,综合利用运算法则解决问题。 能够在综合利用运算法则解决问题的过程中理解运算法则的意义和作用。 在交流的过程中,用运算的方法解释问题。 5、 “直观想象”高考水平: 能够在实际和数学情境中, 想象并构建相应的几何图形,借助图形提出数学 问题,发现图形与图形、图形与数量的关系,探索图形的运动规律。 能够掌握研究图形与图形、 图形与数量关系的基本方法;能够借助图形性质 探索数学规律;能够通过计算、分析、论证,解决实际问题或数学问题。

57

能够通过想象提出数学问题;能够用图形探索解决问题的思路。 在交流的过程中,能够利用直观想象探讨数学问题。 6、 “数据分析”高考水平: 能够在生活情境中,识别随机现象和统计问题;能够结合具体随机现象,提 出适当的概率和统计模型; 能够在新的情境中选择、 运用概率统计方法解决问题。 能够选择概率模型刻画随机现象,运用概率模型解决随机问题;能够掌握统 计建模的基本方法,并针对具体情境选择合适的统计模型解决问题。 能够用统计概率的思维来分析随机现象,结合具体案例,理解统计概率结论 的意义;能够用统计概率模型来表达随机现象的统计规律。 在交流的过程中,能够用数据呈现的规律解释随机现象。 二、日常学业质量评价 (一)日常学业质量评价要求 (二)综合实践活动评价(数学建模与数学探究) 要求每一个学生以个人或小组的形式完成一次数学综合实践活动的任务: 任 务或任务要解决的问题的来源, 以学生在生活情境中中发现任务或问题为主,以 教师、教材、其它材料中提供的参考资料为辅,学生也可以在必修阶段所完成的 研究的基础上进行拓展;要求学生经历对某个具体任务或问题的“选题、开题、 做题、结题”过程。提交研究报告,报告需包括:选题的来源、选题价值的文献 检索;研究的创新点;解决问题的技术路线;解决问题过程的主要步骤;得到的 结论和它的价值、意义。这些报告可以以“专题作业,测量报告,算法程序,制 作的实物”等形式提供。教师和学生一起组织结题报告会。 教师,或邀请专家、家长、社会人士、学生对报告做出评价。 把学生完成的研究报告和评价作为文件存入档案, 为大学招生提供参考和依 据。 (详细的要求参见内容标准——数学建模与数学探究) 对学生的报告可以从以下方面进行评价: 提出问题是否有新意;操作求解是否有创意; 合作学习是否有效率;结果呈现是否有特色;

58

反思拓展是否有眼光;自我感受是否有收获; 兴趣动力是否有增强;数学素养是否有提高。 三、高考考试说明 1、考试性质 2、考核目标与要求 明确对核心素养的要求,并给出案例 3、考试范围与要求 4、考试形式 5、试卷结构 6、命题参考样题 (参考必修学业质量标准)

59

(三)选修 2(CAPM)课程 A 课程
A1 课程: 微积分(6) 一、课程设置的主要原则 1.关于课程的难度,要相当于大学物理专业所学高等数学课程的难度。 2.此课程是中学课程到大学课程的过渡, 教学中注重学生数学思维能力的培 养,因此要强调概念与推理的教学。 3.为了使学生易于接受,要重视实际背景与几何直观的教学。 4.该课程的目标是:使学生具有初步的抽象能力,简单的推理能力,一定的 运算能力。 5.进一步改造该门课程, 使之与中学数学联系得更加紧密,建议成为教育硕 士的必修课程, 以有利于培养能够承担此门的中学数学教师,进而有利于在中学 推动此门课程在中学的普及。 二、课程内容: (一)函数 1.函数的概念;函数的四则运算; 2.函数的几何特征:有界函数;单调函数;奇函数与偶函数;周期函数 3.复合函数与反函数 (二)极限 1.数列极限 ? ? N 定义 2.收敛数列:收敛数列的性质(唯一、有界、保号) ;收敛数列的四则运算; 收敛数列的判别法(两面夹、柯西收敛准则) 3.函数极限:定义与例子 4.函数极限定理:函数极限的性质唯一、局部有界、保号) ;函数极限存在 的判定法。

60

(三)连续函数 1.连续函数:定义与例子;不连续点的分类;闭区间上连续函数的性质。 2 连续函数的运算:四则运算;复合运算;反函数的连续性;初等函数的连 续性

(四)导数与微分 1.导数:实例;导数概念; 2.求导法则与导数公式:导数的四则运算;反函数求导法则;复合函数求导 法则;初等函数的导数。 3.隐函数与参数方程的求导法则。 4.微分:微分的概念;微分在近似计算中的应用。 5.高阶导数与高阶微分 (五)微分学定理及其应用 1.中值定理:洛尔定理;拉格朗日中值定理;柯西定理。 2.洛必达法则 3 泰勒公式:泰勒公式及其余项;常用函数的泰勒公式。 4 导数在研究函数中的应用:单调性与不等式;极值;曲线的凸凹;函数作 图。 (六)不定积分 1.不定积分:不定积分的概念;不定积分的运算法则。 2.分部积分法与变量替换 3.几类函数的不定积分:有理函数的不定积分;简单无理函数的不定积分; 三角函数的不定积分。 (七)定积分 1.定积分:实例;定积分概念。 2.可积准则:大和与小和;可积准则;可积函数类。 3.定积分的性质: 4.定积分的计算:积分上限函数;定积分基本公式;

61

分部积分法;变量替换法。 5.定积分的应用:平面区域的面积;平面曲线的弧长; 利用截面求体积;旋转体的侧面积;变力做功。

A2 课程:
微积分(2.5) 一、课程设置的主要原则 1.关于课程的难度, 要充分考虑到中学生接受能力,课程的难度可略高于必 修部分与选修一的课程难度,但要远远低于现在的(AP)课程的难度。 2.此课程是中学课程到大学课程的过渡, 教学中注重学生数学思维能力的培 养,因此要强调概念与推理的教学。 3.为了使学生易于接受,要重视实际背景与几何直观的教学。 4.该课程的目标是:使学生具有初步的抽象能力,简单的推理能力,一定的 运算能力。

二、课程内容与要求 (一)数列极限 1.数列极限 ? ? N 定义 ① 数列极限的类型例题:
1 1 n ?0( ? 1 ), qn ? 0 ( q ? 1 ) a , n ?1 n n ?1

(目标:保证基本初等函数的连续性) ② 让学生体会 ? 与 N 的关系(即当 ? 变小时, N 在增大) 。 ③ 让学生体会任意小与充分大。 ④ 让学生体会无穷多个 n 与所有的 n 的关系。 ⑤ 可训练学生如何表述 an 不以 a 为极限。 2.数列的性质

62

① 借助几何图形,让学生掌握有界数列的概念,并以数列 an ? n 为例,说明 什么是无界。 ② 证明收敛数列是有界数列。 ③ 给出基本事实,单调有界数列存在极限,并观察数列 1 1 n 都是单调有界数列。 an ? , bn ? , cn ?n q ( 0 ? q ? 1 ) nd , n? a n n ?1 3.收敛数列的四则运算 ① 能够使学生熟练掌握收敛数列四则运算求极限的法则。 ② 要求对运算法则进行证明。 1 4.典型数列 an ? (1 ? ) n , an ? e n ① 利用几何平均与算术平均的不等关系,证明数列 an 是单调有界数列。 ② 对数 e 进行介绍。 (二) 函数极限 1.函数极限 ? ? ? 定义 ① 函数极限的类型例题 当 x ? a 时, x 2 ? a 2 , sin x ? sin a , 当 x ? 0 时, a x ? 1 。 ② 从几何直观得到不等式 sin x ? x ③ 让学生体会 ? 与 ? 的关系。 ④ 可训练学生如何表述当 x ? a , f ( x) 不以 A 为极限。 2.基本初等函数极限的四则运算 要求学生能够熟练计算。 3.两个典型极限 ① lim

sin x ? 1 ,可借助几何图形来说明。 x ?0 x
1

② lim(1 ? x) x ? e ,可借助 x ?
x ?0

1 来说明。 n

③ 会求它们简单变形的极限,如: sin 2 x sin 2 x sin 2 x lim ? lim ? 2 ? 2 lim ?2 x ?0 x ?0 x ?0 x 2x 2x

lim(1 ? 2 x) x ? lim(1 ? 2 x) 2 x ? lim(1 ? 2 x) 2 x ? lim(1 ? 2 x) 2 x ? e 2
x ?0 x ?0 x ?0 x ?0

1

1

?2

1

1

(三) 连续函数

63

1.连续函数的定义与类型 ① ② ③ ④ 借助几何直观,描述函数的连续。 经历从图形语言到自然语言到符号语言的过程。 给出一点的连续与区间上的连续的定义。 使学生认识到一些基本函数都是其定义域上的连续函数。

2.闭区间上连续函数的性质 ① 直观地给出闭区间上连续函数的有界性、 介值性, 并能用数学语言表达。 ② 介值定理应用。 (举例:用二分法,在 ?1, 2? 闭区间上求 x2 ? 2 ? 0 的根) (四) 导数与微分 1.导数的定义 ① ② ③ ④ 借助物理背景与几何背景阐述导数定义。 给出导数的严格数学定义。 理解导函数的物理意义和几何意义。 掌握二阶导数的定义与物理意义。

2.导数的计算公式 ① 严格地计算 f '( x) ,其中 f ( x) ? xn (n ? N ) ; f ( x) ? a x ; f ( x) ? sin x 。 ② 给出 f ( x) ? x? (? ? R) , f ( x) ? loga x , f ( x) ? cos x 的导数公式。 ③ 给出函数四则运算的导数。

(ax ? b ),求一些函数的导数。 ④ 会用[f(ax ? b )]? ? af ?
3.导数的应用 ① 证明拉格朗日中值定理,并使学生能够利用该定理讨论函数的单调性。 ② 利用函数的单调性,会证明一些函数的不等式,例如: 对于 x ? 0 ,有 sin x ? x ; ln(1 ? x) ? x 等。 ③ 利用导数讨论函数极值问题,利用几何图形说明极值点的必要条件与充 分条件,不要求数学证明。

4.微分与近似计算 ① 了解微分的符号表示及其意义。 (直线的改变量代替曲线改变量) ② 学生能够利用微分做近似计算。 (五) 定积分 1.定积分的定义 先算特殊函数的积分,借助图形利用 n 等分区间定义积分(黎曼和方法) 。 理解定积分的几何意义(面积、体积)与物理意义(速度与路程) 。感悟积分与

64

导数的关系。 2.定积分的计算 ① 利 用 f ( x) 的 单 调 性 , n 等 分 区 间 , 拉 格 朗 日 中 值 定 理 来 近 似 计 算 ,从而导出牛顿-莱布尼兹公式 f ( b) ? f ( a)
f (b) ? f (a) ? ? f '(t )dt
a b

② 用几何图形说明非单调函数也成立。 3.定积分的应用 ① 会计算某些曲边梯形、某些封闭图形的面积。 ② 会计算球、圆锥、圆台的体积。 ③ 会计算某些三棱锥、三棱台的体积。

三维空间几何与代数(2) 选修 II 三维空间几何与代数(A) (2 学分 36 课时) 课程设置的主要原则: 利用立体几何建立空间向量的代数理论,实现几何与代数的融合; 利用矩阵理论解三元线性方程组, 并用空间中点线面的位置关系进行几何解 释; 利用直观想象建立平面和空间等距变换理论; 为大学线性代数课程的学习铺路。 课程内容: 1、空间向量的代数(10 课时) 空间向量,向量的加法,向量的数乘运算; 向量的分解,向量组的线性相关,低维向量空间; 向量的内积,外积,体积,直角坐标系。 2、矩阵和行列式(5 课时) 低阶(2-3 阶)矩阵及其运算; 低阶矩阵的运算,正交矩阵; 2-3 阶行列式定义与性质。 3、三元线性方程组(6 课时)

65

三元线性方程组的解法; 三元齐次线性方程组; 非齐次线性方程组有解判定; 三元线性方程组解的结构,Cramer 法则。 4、空间中的平面和直线(3 课时) 平面与直线的方程; 点、直线与平面之间的位置关系。 5、平面等距变换(6 课时) 平面变换,直线反射,平移,旋转; 平面对称图形; 平面等距变换,坐标表示。 6、空间等距变换(6 课时) 空间变换,平面反射,空间平移,空间旋转; 空间对称图形; 空间刚体运动,坐标表示。

统计与概率(1.5) (未提交)

B 课程
微积分(2) 课程设置的主要原则 1.课程的主要目的是培养学生数学的应用意识,以及学生应用数学解决实际 问题的能力。 2.课程的难度要低于选修Ⅱ(A)的难度,主要培养学生的运算能力,对学 生的推理论证能力不作要求。 3.课程教材的编写与教师的教学要注意物理背景,用实际背景与几何直观, 向学生说明数学结论。

66

课程内容与要求 (一)极限 1.数列极限 通过具体数列,让学生体会数列 an 以 a 为极限,不给出严格的定义,但引入 极限的符号。

主要认识数列的类型有:

an ?

1 n an ? n n , n ? 1 , an ? q ( q ? 1) ,

an ? a (a ? 0, a ? 1) 。
增加“单调有界,有极限” (作为基本事实) 2.函数的极限与连续 通过具体函数, 让学生体会当 x ? a 时, 函数 f ( x) ? A , 不给出严格的定义,
lim f ( x) ? A 但引入极限的符号 x ?a 。

1 n

给出连续的概念,闭区间上连续函数的性质(不加证明)
2 主要认识函数的类型有 f ( x) ? x ,

f ( x) ?

1 x , f ( x) ? x ,

f ( x) ? a x , f ( x) ? cos x 。
(二)导数与微分 1.导函数与二阶导数 导数概念回顾与二阶导数的定义, 给出二阶导数的物理意义 (加上几何意义) 。 基本初等函数的一阶导数与二阶导数。 2.导数的应用 ①给出拉格朗日中值定理及其几何解释(不做证明) 。 ②利用导数讨论函数的单调性,并能证明某些函数不等式,如: x ? 0 时,
sin x ? x , ln(1 ? x) ? x 。

讨论函数的极值,必要条件与充分条件,并利用几何图形给予说明。 讨论闭区间上一次函数、二次函数(加上三次函数)的最大值与最小值。

67

3.微分与近似计算 ①使学生掌握微分的定义与几何意义。 ②使学生能够利用微分做近似计算。 (三)定积分 1.定积分的意义 只对区间 ?

a, b ?

上的连续函数讨论其定积分。

要强化定积分的几何意义(面积、体积)与物理意义(变速度求距离) 。 用 n 等分区间方法做黎曼和。 培养学生抽象概念的能力。 2.定积分的计算 利用 f ( x) 的单调性, n 等分区间, 拉格朗日中值定理来近似计算 f (b) ? f (a) , 从而导出牛顿-莱布尼兹公式

f (b) ? f (a) ? ? f '(t )dt
a

b

用几何图形说明非单调函数也成立。 3.定积分的应用 使学生能够计算某些曲边梯形、某些封闭图形的面积。 使学生能够计算球、圆锥、圆台的体积。 使学生能够计算某些三棱锥、三棱台的体积。 讨论祖暅原理 (四)二元函数 1.二元函数的定义与例子 ①用实例引入二元函数 ②二元函数的类型
f ( x, y) ? ax ? by , f ( x, y) ? xy , f ( x, y) ? ax2 ? by 2 。

能够在直角坐标系下讨论函数图形 ③使学生掌握一些二元函数的例子与背景。 2.一阶偏导数的极值

68

①偏导数的定义。 ②使学生能够计算一些简单类函数的偏导数,如: f ( x) 与 ? ( y ) 分别是基本 初等函数,会求 f ( x) ? ? ( y) , f ( x) ? ? ( y) 的偏导数。 ③会求二元函数的驻点,并能利用偏导数解决一些实际问题的极值问题。 3.简单的条件极值问题 ①利用等高线法讨论一次函数 f ( x, y) ? ax ? by 在闭凸多边形区域上的最大 值与最小值问题,转化成在边界上求最大值与最小值问题。 ②圆域、 椭圆域上二次函数的最大值与最小值问题,即稳定点与边界点的讨 论。

线性代数(1) 一、课程设置的主要原则: 1. 利用立体几何建立空间向量的代数理论,实现几何与代数的融合; 2. 利用矩阵理论解三元线性方程组,并用空间中点线面的位置关系进行几 何解释; 为大学线性代数课程的学习铺路。 二、课程内容 1、空间向量的代数(9 课时) 空间向量,向量的加法,向量的数乘运算; 向量的分解,向量组的线性相关,低维向量空间; 向量的内积,外积,体积,直角坐标系; 点到直线、平面的距离,异面直线的距离,直线与平面的夹角。 2、矩阵和行列式(4 课时) 低阶(2-3 阶)矩阵及其运算; 低阶矩阵的运算; 2-3 阶行列式定义与性质。 3、三元线性方程组(5 课时)

69

三元线性方程组的解法; 三元齐次线性方程组; 非齐次线性方程组有解判定; 三元线性方程组解的结构,Cramer 法则。

应用统计(2) (未提交)

模型(1) 一、课程设置的主要原则 1.要注意该部分课程与数学建模课程的不同,数学建模课程研究的实际问题 满足的物理机理不清楚,具有探究、检验、反思的过程,而本部分课程所研究的 问题是在满足确定的物理机理下得到的,因此是经典的数学模型。 2.模型的分类是按照数学的分类进行的,即离散模型与连续模型,而离散模 型是函数的离散形式。 3.将参数方程作为数学模型的方式出现。 4.课程选择的实际问题是有代表性的,教师在教学中要举一反三,甚至可做 一定的扩展。 5 模型已有的,认识模型,揭示模型的应用。 二、课程内容与要求 (一)线性模型。即 Y ? AX ? B 1.一维线性模型(摄氏温度与华氏温度) ①要找出一批线性模型的实际问题,如匀速运动、匀变速运动、胡克定律。 ②让学生体会一次函数与均匀变化的关系, 并找出生活中大量的均匀变化的 实际问题。 2.二维线性模型(运动车轮上点的位置) (消费拉动经济) ①让学生探索平面上一些图形的变化,如图形的平移,图形的放大与缩小, 图形以 x 轴为对称轴的翻转。 ②让学生认识到一维线性模型与二维线性模型的异同 (如矩阵 A 是对角阵) 。

70

3.三维线性模型(经济学上的投入产出模型) (二) 二次函数模型 (光学模型(椭圆、抛物)去掉、自由落体,边际效应) ①让学生认识到解析几何研究对象的重要性。 ②让学生认识到二次函数的实际意义。
2 2 ③让学生认识到二次函数 x ? y ? 1与 x ? y ? 1 的关系,即为什么不讨论反比

例函数模型。 二次根式(库存模型,姜启源, ) (三)指数函数模型(离散形式,存款模型) ①让学生认识到一类有增长率的实际问题,如木材的增长,放射物的衰减, 都可以用指数函数刻画。 ②让学生认识到在自然界中一些事物呈现单调变化方式 (单调增加或单调减 少) ,它们可以用指数函数去刻画或逼近。 (四)三角函数模型(单摆) ①让学生认识到一类波动问题,如光波、声波、电磁波都可以用三角函数来 刻画。 ②让学生认识到在自然界中一些事物呈现非单调变化, 它们可以用三角函数 来逼近。 (五)参变数模型 1.平面上的参变数模型(弹道模型) 2.空间上的参变数模型(螺旋曲线) ①让学生掌握一些用参变数方程描述的实际物理问题与几何问题。 ②让学生掌握参变数变化的范围。 ③让学生能够将一些非参变数的模型用参变数模型表出, 例如圆的参变数模 型。

C 课程
定义、命题与逻辑推理(36 学时)

71

逻辑推理概述(6)推理的类型(8)推理的逻辑规律(6)数学证明(12) 公理化方法(4) 本模块的内容以数学推理为主线展开,将相关逻辑知识与数学融合起来。学 生通过这部分内容的学习,能进一步掌握一定的逻辑知识,体会其在数学推理、 论证中的作用, 能运用相关逻辑知识正确表述自己的思想、解决社会生活中的实 际问题,提高逻辑思维能力,发展以数学逻辑推理为主的数学核心素养。本模块 的内容主要包括:逻辑推理概述、推理的类型、推理的逻辑规律、数学证明、公 理化方法。 (一)逻辑推理概述 1.逻辑推理 理解推理的含义及逻辑特点。 通过实例,了解定义、命题与逻辑推理之间的关系。 2.数学定义 (1)知道什么是数学定义? (2)通过数学实例了解数学定义的几种基本方式(属加种差定义、外延定 义、 发生定义等) 。 (3)知道数学中下定义的规则,通过实例体会这些规则的意义。 3.数学命题 (1)理解什么是数学命题?掌握数学命题的逻辑特征及结构。 (2)结合数学实例,了解数学命题的分类(简单命题、复合命题) ,能从命 题的角度认识定义、定理、公式。 (3)进一步理解数学命题的条件,能结合实例对充分条件、必要条件、充 要 条件命题作出判断,理解等价命题。 (4)掌握数学命题的四种形式,知道互为逆否关系的命题逻辑等价。 (二)推理的类型 1.演绎推理

72

(1)结合已学过的数学和生活中的实例,了解演绎推理的含义及特点,体 会 演绎推理的功能,掌握演绎推理的基本模式进行推理。 (2)通过数学实例理解三段论的逻辑结构,能运用三段论表述具体的数学 推 理。 2.归纳推理、类比推理 (1)结合已学过的数学和生活中的实例,了解不完全归纳推理和完全归纳 推 理的含义及特点,知道它们的异同,了解它们的逻辑形式,体会不完全 归纳推理的重要性,能运用归纳推理进行推理。 (2)结合已学过的数学和生活中的实例,了解类比推理的含义、特点、及 逻 辑形式,体会类比推理的重要性,能运用类比推理进行推理。 3.推理与问题探究 (1) 通过实例认识或然性推理和必然性推理在问题解决中是如何功能互补、 相辅相成的? (2)运用两种推理形式于综合实践活动的问题解决过程,学习科学探究方 法, 感悟数学思想。 (三)推理的逻辑规律 1. 同一律 (1)理解同一律的含义,通过实例认识同一律在数学推理中的作用。 (2)能在推理中正确运用同一律。 2. 矛盾律 (1)理解矛盾律的含义,通过实例认识矛盾律在数学推理中的作用。 (2)能在推理中正确运用矛盾律。 3. 排中律

73

(1)理解排中律的含义,通过实例认识排中律在数学推理中的作用。 (2) 能通过实例区分排中律与矛盾律的不同, 能在推理中正确运用排中律。 4. 充足理由律 (1)理解充足理由律的含义,通过实例认识充足理由律在数学推理中的作 用。 (2)能在推理中正确运用充足理由律。 (四)数学证明 1. 数学证明概述 (1)理解什么是数学证明?认识证明与推理的关系。 (2) 通过实例了解数学证明的结构, 认识数学证明在数学及生活中的意义。 2. 数学证明方法 (1)通过数学实例认识直接证明方法——综合法、分析法、分析综合法的 思 考过程、特点。能运用这些方法证明有关问题。 (2)通过数学实例认识间接证明方法——反证法、同一法的逻辑依据、思 考 过程、特点。能运用这些方法证明有关问题。 (3)通过数学实例进一步认识数学归纳法结构、特点。了解数学归纳法的 原 理。能运用数学归纳法证明有关问题。 3. 数学中的反驳 (1)了解反驳的组成、逻辑特征、以及在数学、社会生活中的价值。 (2)通过数学实例进一步掌握对不同命题的否定方式。 (3)通过生活和数学实例了解反驳的主要方法(反例、归谬) ,能运用其分 析、 解决有关问题。 (4)通过人文领域的典型事例(如辩论)体会证明与反驳在社会实际生活 中

74

的运用。 (五)公理化方法 1. 数学公理化方法概述 (1)了解数学公理化方法的意义、价值、特点。 (2)通过数学史的典型事例了解数学公理化方法的现代发展特征。 2. 数学公理系统的逻辑要求 (1)通过数学实例了解如何通过原始概念、公理等逻辑地构建一个理论系 统? (2)了解严格的公理系统必须满足独立性、相容性、完备性。通过实例了 解它 们的意义及要求。 (3)通过一些典型案例(如欧几里得《原本》 、杰弗逊《独立宣言》 、马克 思《资 本论》 、马尔萨斯《人口论》 、牛顿《自然哲学的数学原理》等)了解公理化 方法在社会及自然学科中的运用,进一步体会公理化思想。

数学模型(2)

?

框图(0.5) (1)流程图 ①通过具体实例,进一步认识程序框图。 ②通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图) (参见例 4、例 5) 。 ③能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用。 (2)结构图 ①通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资

料信息。 ②结合作出的结构图与他人进行交流, 体会结构图在揭示事物联系中的作用。 ? 数学模型与数学应用(1.5) 经济数学模型

75

1、金融(利息)模型 (初等模型,等比数列) (1)复利模型 通过对存款等实际问题的分析,抽象出复利模型,了解该模型的特点,能 用该模型解决实际问题。 (2)分期付款模型 了解等额本息付款模型的特点,能用该模型解决实际问题。 通过对还贷款等实际问题的分析,抽象出等额本金付款模型,了解该模型 的特点,能用该模型解决实际问题。 2、投入产出模型 ( 《数学模型》P184,代数方程模型,用到矩阵运算)?? 知道投入产出表中各数据的意义及其特点,能据此计算出直接消耗系数表, 了解投入产出模型的特点和意义,能用投入产出模型分析解决简单实际问题。 3、存贮模型 ( 《数学模型》P59,简单优化模型,用到基本不等式) 通过具体实例,了解刻画一类特殊存储问题(不允许缺货)的数学模型(经 济订货批量公式 T ?
2 c1 ,Q ? c2 r 2c1r )的实际背景及其特点,能用该模型解决 c2

简单实际问题。 4、生产销售模型 ( 《数学模型》P85,线性规化模型,用到解线性规划问的方法(目标函数、 可行域) ) 通过具体实例, 了解刻画简单生产销售问题的数学模型的特点,能用该模型 解决简单实际问题。 5、经济增长模型 ( 《数学模型》 P145, 微分方程模型, 用到解一阶线性微分方程的方法) ?? 生产函数;资金与劳动力最佳分配。 了解经济学中的 Douglas 生产函数模型的意义及特点,知道用该模型可 以讨论资金与劳动力最佳分配问题。 6、价格模型 ( 《文科数学》P254,初等模型) (1)需求函数 (2)供应函数 (3)供求平衡模型 通过具体事例,了解需求函数、供应函数、供求平衡方程等数学模型的含

76

义及特点,能用该模型解决简单实际问题。

社会数学模型 1、选举模型 席位分配 ( 《数学模型》P278,离散模型,用初等方法) 通过具体实例,了解几种席位分配方案(方法)的特点,并能用这些方案 解决简单的席位分配问题。 公平选举 ( 《数学模型》P286, 《文科数学》P225,离散模型,用初等方法) 通过具体实例,了解累积选举方法和投票势力指标的特点,并能用这些方 法解决简单选举问题。 2、人才招聘模型 ( 《数学模型》P249, 《文科数学》P210,离散模型,用初等方法—矩阵运 算) 通过具体实例,了解用层次分析法确定人才招聘决策方案的过程与基本方 法,并能用这些方法确定人才招聘决策方案。 3、人口增长模型 (1)指数模型 ( 《数学模型》P164,微分方程模型,用微积分方法) (2)阻滞(限制)增长模型 ( 《数学模型》P165,微分方程模型,用微积分方法) 结合实例,了解刻画人口增长的指数增长模型( x(t) ? x0ert )和阻滞增长 模型( x(t) ?
xm x 1 ? ( m ? 1)e ? rt x0

)的特点。

4、传染病模型 ( 《数学模型》P137,微分方程模型,用微积分方法)

77

结合实例,了解两种传染病模型(SI 模型 i(t) ?

1 1 1 ? ( ? 1)e ??t i0

)的意义及其

特点。

社会调查与数据分析(2) 第一章社会调查概论(2 课时) 1.1 什么是社会调查 (意义、使用范围、分类) 1.2 社会调查的基本步骤 (项目确定、方案设计、组织实施、数据分析、形成报告) 第二章社会调查方案设计(10 课时) 2.1 调查方案设计的基本内容 (目的、内容、对象、项目、方式、方法及其他) 2.2 调查方案可行性评估 2.3 问卷设计 (问卷的结构与常用量表、问卷设计的程序与技巧) 2.4 社会调查方法 (文案调查法、观察法、访谈法、德尔菲法、电话法、面访调查法) 第三章抽样设计(6 课时) 3.1 简单随机抽样 3.2 分层抽样 3.3 二阶与多阶抽样 3.4 系统抽样 第四章社会调查数据分析(用 Excel 作为基本统计软件) (12 课时) 4.1 调查数据的整理 4.2 常用统计图表(频数表、交叉表、直方图、茎叶图、扇形图、雷达图、 箱线图)

78

4.3 常用统计量(均值、众数、中位数、百分位数) 、各种抽样方法样本量的 确定 4.4 相关分析、回归分析、多元统计分析选讲 第五章社会调查数据报告(2 课时) 5.1 社会调查报告的基本要求 5.2 社会调查报告的基本内容 标题 摘要(简要介绍目的、方法、主要结果) 正文:目的、方法、主要数据结果(结合问卷的内容,用图表、数字和简练 的文字呈现统计结果) 。 结论与建议 附录(问卷、调查方案) 第六章社会调查案例选讲(4 课时)

D 课程
美与数学(1) 伽利略说: “数学是上帝用来书写宇宙的语言。 ” 让人感觉愉悦的事物,人们称之为“美的” ,美的事物与有用的事物之间, 常常是有联系的,许多事物的美都与数学密切相关。 张奠宙:数学教学中的美育价值有 4 个层次:美观、美好、美妙、完美。美 观, 主要是数学对象以形式上的对称、 和谐、 简洁, 给人带来美丽、 漂亮的感受。 美好, 即指数学上的许多东西, 只有认识到它的正确性和和谐性, 才能感受其 “美 好” 。美妙, “众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处” ,是解决数学 难题时“美妙”的心境。完美,数学总是尽力做到至善至美、完美无缺,这也许 是数学的最高“品质”和最高的精神[14]。

79

(一)客观世界中美丽、美妙的数与形 一、美与数字 (1 学时) 1. 完全数 (1) 了解完全数的概念。 (2) 理解完全数的美。 2.亲和数 (1) 了解亲和数的概念。 (2) 理解亲和数的美。 3.回文数 (1) 了解回文数的概念。 (2) 理解回文数的美。 (3) 了解回文诗和回文广告。 4.数字入诗 (1) 了解数字入诗的分类。 (2) 理解数字入诗的美。 5.数字黑洞 (1) 了解数字黑洞。 (2) 理解数字黑洞的美。

二、美与曲线(2 学时) 1. 日、月、车轮、井盖中的曲线——圆 (1) 了解日、月、车轮、井盖中的曲线——圆。 (2) 理解日、月、车轮、井盖中曲线——圆的美。 2.投篮弧线中的曲线——抛物线 (1) 了解投篮弧线中的曲线——抛物线。 (2) 理解投篮弧线中曲线——抛物线的美。 3. 桥孔、涵洞中的曲线——抛物线、椭圆 (1) 了解桥孔、涵洞中的曲线——抛物型、椭圆。

80

(2) 理解桥孔、涵洞中曲线——抛物型、椭圆的美。 4. DNA 结构中的曲线——双螺旋线 (1) 了解 DNA 结构中的曲线——双螺旋线。 (2) 理解 DNA 结构中曲线——双螺旋线的美。 5. 向日葵、鹦鹉螺中的曲线——对数螺线 (1) 了解向日葵、鹦鹉螺中的曲线——对数螺线。 (2) 理解向日葵、鹦鹉螺中曲线——对数螺线的美。

三、美与曲面(1 学时) 1. 睡态猫、悉尼歌剧院中的曲面——球面 (1) 了解睡态猫、悉尼歌剧院中的曲面——球面。 (2) 理解睡态猫、悉尼歌剧院中曲面——球面的美。 2. 国家大剧院外型的曲面——椭球面 (1) 了解国家大剧院外型的曲面——椭球面。 (2) 理解国家大剧院外型曲面——椭球面的美。 3. 冷却塔、广州电视塔中的曲面——单叶双曲面 (1) 了解冷却塔、广州电视塔中的曲面——单叶双曲面。 (2) 理解冷却塔、广州电视塔中曲面——单叶双曲面的美。

四、美与分形(2 学时) 1. 什么是分形 (1) 英国海岸线长度的问题引出“分形”。 (2) 分形的特点——自相似性、无穷细微性。 2. 植物的分形 (1) 了解植物的分形。 (2) 理解植物分形的美。 3. 云朵的分形 (1) 了解云朵的分形。

81

(2) 理解云朵分形的美。 4. 分形几何学中的分形 (1) 了解分形几何学中的分形。 (2) 理解分形几何学中分形的美。 5.计算机创造的分形 (1) 了解计算机创造的分形。 (2) 理解计算机创造分形的美。 6. 分形艺术和分形设计中的分形 (1) 了解分形艺术和分形设计中的分形。 (2) 理解分形艺术和分形设计中分形的美。

(二) 客观世界中美丽、美妙的关系中的数学

一、美与对称(3 学时) 1. 什么是对称 (1) 平面图形的“对称”——轴对称、中心对称、平移对称。 (2) 对称的特点——变化中的不变性。

2. 雪花 、剪纸、脸谱、风筝、汉字中的对称 (1) 了解雪花、剪纸、脸谱、风筝、汉字中的对称。 (2) 理解雪花、剪纸、脸谱、风筝、汉字中的对称美。 3.日用品中的对称 (1) 了解日用品中的对称。 (2) 理解日用品中的对称美。 4.建筑物中的对称 (1) 了解建筑物中的对称。 (2) 理解建筑物的对称美。 5.碳家族中的对称

82

(1) 了解碳家族中分子结构的对称。 (2) 理解碳家族中分子结构的对称美。 6.晶体中的对称 (1) 了解晶体中的对称。 (2) 理解晶体中的对称美。 7.商标、标志中的对称 (1) 了解商标、标志中的对称。 (2) 理解商标、标志中的对称美。 8.带饰、面饰中的对称 (1) 了解带饰、面饰中的对称。 (2) 理解带饰、面饰中的对称美。 9.循环赛制中的对称 (1) 了解循环赛制中的对称。 (2) 理解循环赛制中的对称美。 10.公式中的对称 (1) 了解公式中的对称。 (2) 理解公式中的对称美。

二、美与黄金分割(3 学时) 1. 什么是黄金分割 (1) “黄金分割”的定义。 (2) “黄金矩形”中的黄金比。

2. 五角星中的黄金分割 (1) 了解五角星中的黄金分割。 (2) 理解五角星中黄金分割的美。 3. 人体中的黄金分割 (1) 了解人体中的黄金分割。

83

(2) 理解人体中黄金分割的美。 4. 建筑物中的黄金分割 (1) 了解建筑物中的黄金分割。 (2) 理解建筑物中黄金分割的美。 5. 乐曲中的黄金分割 (1) 了解乐曲中的黄金分割。 (2) 理解乐曲中黄金分割的美。 6. 绘画中的黄金分割 (1) 了解绘画中的黄金分割。 (2) 理解绘画中黄金分割的美。 7. 书法中的黄金分割 (1) 了解书法中的黄金分割。 (2) 理解书法中黄金分割的美。 8. 优选法中的黄金分割 (1) 了解优选法中的黄金分割。 (2) 理解优选法中黄金分割的美。

三、美与斐波那契数列(1 学时) 1. 什么是斐波那契数列 (1) 兔子问题引出“斐波那契数列”。 (2) 斐波那契数列的递推公式。 (3)斐波那契数列与黄金比的联系

2.树木生长中的斐波那契数列 (1) 了解树木生长中的斐波那契数列。 (2) 理解树木生长中斐波那契数列的美。 3. 花瓣中的斐波那契数列 (1) 了解花瓣中的斐波那契数列。

84

(2) 理解花瓣中斐波那契数列的美。 4.钢琴键中的斐波那契数列 (1) 了解钢琴键中的斐波那契数列。 (2) 理解钢琴键中斐波那契数列的美。 5. 向日葵中的斐波那契数列 (1) 了解向日葵中的斐波那契数列。 (2) 理解向日葵中斐波那契数列的美。 6. 光线穿过叠层玻璃中出现的斐波那契数列 (1) 了解光线穿过叠层玻璃中出现的斐波那契数列。 (2) 理解光线穿过叠层玻璃中出现的斐波那契数列的美。

四、美与周期(2 学时) 1. 什么是周期 (1) 振动的“周期”和“频率”。 (2) 数学中对函数“周期”的定义。 (3) “周期函数”的典型——三角函数。

2.春夏秋冬、昼夜交替中的周期 (1) 了解春夏秋冬、昼夜交替中的周期。 (2) 理解春夏秋冬、昼夜交替中的周期美。 3. 月亮圆缺变化中的周期 (1) 了解月亮圆缺变化中的周期。 (2) 理解月亮圆缺变化中的周期美。 4. 行星运行中的周期 (1) 了解行星运行中的周期。 (2) 理解行星运行中的周期美。 5.属相更迭中的周期 (1) 了解属相更迭中的周期。

85

(2) 理解属相更迭中的周期美。 6.落叶树木生长中的周期 (1) 了解落叶树木生长中的周期。 (2) 理解落叶树木生长中的周期美。 7. 农作物生长中的周期 (1) 了解农作物生长中的周期。 (2) 理解农作物生长中的周期美。 8. 医疗中的周期 (1) 了解医疗中的周期。 (2) 理解医疗中的周期美。 9.心脏跳动的周期 (1) 了解心脏跳动的周期。 (2) 理解心脏跳动的周期美。 10. 元素周期表中的周期 (1) 了解元素周期表中的周期。 (2) 理解元素周期表中的周期美。 11.乐曲中的周期 (1) 了解乐曲中的周期。 (2) 理解乐曲中的周期美。 12. 举办奥运会、世锦赛、世界杯中的周期 (1) 了解举办奥运会、世锦赛、世界杯中的周期。 (2) 理解举办奥运会、世锦赛、世界杯中的周期美。 13.课程表中的周期 (1) 了解课程表中的周期。 (2) 理解课程表中的周期美。

(三) 数学的简洁美、统一美、奇异美与客观世界的呼应

86

一、简洁美(1 学时) 1. 什么是数学的简洁美 (1) 几条公理推出大批结论。 (2) 复杂的规律用简洁的公式表达。 (3) 数学抽象和以简驭繁。 (4)爱因斯坦: “美在本质上终究是简单性。 ” (5) 数学符号的简洁美。 (6) 数学证明的简洁美。

2.家庭装修中的简洁 (1) 了解家庭装修中的简洁。 (2) 理解家庭装修中的简洁美。 3.语言表达中的简洁 (1) 了解语言表达中的简洁。 (2) 理解语言表达中的简洁美。 4.盆景设计中的简洁 (1) 了解盆景设计中的简洁。 (2) 理解盆景设计中的简洁美。 5.建筑设计中的简洁 (1) 了解建筑设计中的简洁。 (2) 理解建筑设计中的简洁美。 6.平面设计中的简洁 (1) 了解平面设计中的简洁。 (2) 理解平面设计中的简洁美。 7.商标、标志中的简洁 (1) 了解商标、标志中的简洁。 (2) 理解商标、标志中的简洁美。

87

二、统一美(1 学时) 1. 什么是数学的统一美 (1) 看来不同的事物有统一的数学表达。 (2) 归纳推理与“统一美”。 (3) 圆锥曲线统一的数学表达。 (4) 通过坐标系达成代数与几何的统一。 (5) 通过微积分基本定理达成微分与积分的统一。 (6) 欧拉公式中将五个重要的数字统一在一个等式中。

2.行星运动中的统一 (1) 了解行星运动中的统一。 (2) 理解行星运动中的统一美。 3.机械零件中的统一 (1) 了解机械零件中的统一。 (2) 理解机械零件中的统一美。 4.人类摄食营养中的统一 (1) 了解人类摄食营养中的统一。 (2) 理解人类摄食营养中的统一美。 5.万有引力等物理定律中的统一 (1) 了解万有引力等物理定律中的统一。 (2) 理解万有引力等物理定律中的统一美。 6.价格均衡等经济规律中的统一 (1) 了解价格均衡等经济规律中的统一。 (2) 理解价格均衡等经济规律中的统一美。 7.阅兵式步伐中的统一 (1) 了解阅兵式步伐中的统一。 (2) 理解阅兵式步伐中的统一美。

88

三、奇异美(1 学时) 1. 什么是数学的奇异美 (1) 数学中与常态迥然不同的、出人意料又予人启发的地方。 (2) 斐波那契数列通项公式的奇异美。 (3) 圆周率表示式的奇异美。 (4) “三角形的三条高交于一点”的奇异美。 (5) Dirichelet 函数的奇异美。 (6) 病态函数的奇异美。 (7) “蒲丰投针”。

2.日食、月食中的奇异 (1) 了解日食、月食中的奇异。 (2) 理解日食、月食中的奇异美。 3.黑洞中的奇异 (1) 了解黑洞中的奇异。 (2) 理解黑洞中的奇异美。 4.愚人节中的奇异 (1) 了解愚人节中的奇异。 (2) 理解愚人节中的奇异美。 5.蜘蛛侠的奇异 (1) 了解蜘蛛侠的奇异。 (2) 理解蜘蛛侠的奇异美。 6.埃舍尔画中的奇异美 (1) 了解埃舍尔画中的奇异。 (2) 理解埃舍尔画中的奇异美。 7.非对称服装中的奇异美 (1) 了解非对称服装中的奇异。 (2) 理解非对称服装中的奇异美。

89

音乐中的数学(1) 19 世纪英国数学家西尔维斯特(James Joseph Sylvester)说: “音乐是描述心灵 世界的数学,而数学则是描述客观规律的音乐。 ” 音乐的要素、基础是声音和节奏,它们都与数学密切相关。 (一) 声波与正弦函数 (1 学时) 1. 声波的概念 (1) 了解波、横波、纵波。 (2) 理解声音由物体的振动产生,声音在介质中以纵波的形式传播。 2.声波的表达 (1) 了解声波可以用正弦函数来表达。 (2) 理解音高与正弦函数频率的关系、响度与正弦函数振幅的关系。 (3)了解合成波形。

(二) 音程、律制与数列(4 学时) 1. 音高、音阶、音程、律制的概念 理解音高、音阶、音程、律制的概念。 2.理解三分损益律及“宫、商、角、徵、羽”五声调式 (1) 了解中国古代“宫、商、角、徵、羽”五声调式。 (2) 理解三分损益律。 (3) 了解三分损益律的优缺点。 3.理解五度相生律、纯律 (1) 了解古希腊毕达哥拉斯学派关于“小整数比与音高的关系”。 (2) 理解五度相生律。 (3) 理解纯律。 (4) 了解五度相生律、纯律的优缺点。 4. 理解十二平均律及其与等比数列的联系

90

(1) 理解十二平均律产生的必要性。 (2) 理解十二平均律及其与等比数列的联系。 (3)了解中国明朝学者朱载堉创造十二平均律的过程及向西方的传播。 (4) 了解十二平均律的应用(钢琴、五线谱等)。 (5) 了解其它律制与十二平均律的联系。

(三) 和声、音色与三角函数的求和(4 学时) 1. 和声 (1) 了解几个音的关系(小二度、大二度、大三度、纯四度、纯五度、大六度、大 七度、完全八度)。 (2) 了解音程的和谐与不和谐(完全和谐、和谐、不和谐、极不和谐)。 (3) 了解和弦(大、小三和弦、七和弦、九和弦)。 2. 音色 (1) 了解音色与合成波形、三角函数求和之间的关系。 (2) 了解基音、泛音与“小整数倍”。 (3) 了解作为调音基础的标准音 A(440Hz)和“中央 C”。 3. 音乐欣赏

(四) 节拍与分数(2 学时) 1.小节、拍号与分数 (1)理解小节、拍、拍号与分数。 (2) 理解全音符、二分音符、四分音符、符点音符等。
4 3 2 3 2. 拍号、 拍号、 拍号、 拍号举例 4 4 4 2 4 3 2 3 (1)结合例子理解 拍号、 拍号、 拍号、 拍号。 4 4 4 2

(2) 理解各拍号中所有音符长度之和等于表示拍号的分数 (3) 了解每小节中的强拍、弱拍与切分现象。 3. 套曲与最小公倍数 (1) 了解套曲的概念。

91

(2)理解套曲的钢琴演奏与最小公倍数的关系。 (3) 了解打击乐器合奏中的多重节奏。

(五) 乐器中的数学(2 学时) 1.键盘乐器中的数学(以钢琴为例) (1)了解键盘乐器的发声原理及共鸣腔。 (2) 了解键盘分布中的斐波那契数。 2.弦乐器中的数学(以小提琴、二胡为例) (1)了解弦乐器的发声原理及共鸣腔。 (2) 理解弦长之比与音高的关系。 (3) 了解弦乐器箱体的形状和出音孔的位置与音质的关系。 (4) 了解弦乐器琴马、千金等的位置与音质的关系。 (5) 了解弦乐器的最佳音区与黄金分割的关系。 3.管乐器中的数学(以长笛为例) (1) 了解管乐器的发声原理及共鸣腔。 (2)了解管长决定管乐器发声的频率。 (3) 理解管乐器开孔与管长的关系。 (4) 了解波长与管乐器共鸣腔长度的关系。 (5) 了解笛膜位置与音质的关系。

(六) 乐曲中的数学(3 学时) 1.乐曲中的高潮点与黄金分割 (1)了解乐曲中的大小高潮部分大多处在相应的黄金分割点附近。 (2) 名曲举例( 《梦幻曲》 、莫扎特《D 大调奏鸣曲》第一乐章、贝多芬《悲 怆奏鸣曲》第二乐章等)。 (3) 了解乐曲中的斐波那契数(例如《义勇军进行曲》中每一句包含的小节数 都是斐波那契数)。 2.乐曲调性的转换点与黄金分割

92

(1)了解乐曲调性的转换点大多处在相应的黄金分割点附近。 (2) 名曲举例(德彪西《钢琴前奏曲》第二册的第二首《枯叶》、巴托克《为 弦乐、打击乐与钢片琴而作的音乐》的第三乐章、巴托克《为两架钢琴与打击乐 器所作的奏鸣曲》的第一乐章等)。 3. 分析和创作乐曲时平移、反射、伸缩的作用 (1) 平移作用举例(《土耳其进行曲》 、 《献给爱丽丝》等)。 (2) 反射作用举例(《献给爱丽丝》等)。 (3) 伸缩作用举例。 4. 乐曲的编排与排列组合 奏鸣曲结构与排列组合的关系(贝多芬《悲怆奏鸣曲》 、德伏夏克的《新世 界交响乐》 、富郎克的《D 小调交响乐》等)。

(七)推断某些音乐结论时可以用统计方法(1 课时) 1.在音乐商业中统计的应用 (1)了解在音乐推荐质量提升中大数据的应用 (2)了解在规划巡演中大数据的作用 2.在音乐内容分析中统计的应用 (1)了解在乐曲关联分析及作曲家分析中统计的作用 (2)了解在乐人分析中统计的作用

(八) 音乐创作中的数学支持(1 课时) 1. 音乐创作中的数学支持 (1)了解作曲中黄金分割的应用 (2)了解作曲中算法的数学模型 (3)了解音乐创作中数据挖掘的应用 2. 理解音乐中的数学公式及其应用

美术中的数学(1) 美术主要包括绘画、雕塑、工艺美术、建筑艺术,以及书法、篆刻艺术等。

93

第一讲绘画与数学(6 学时) 1、世界名画中的数学元素 《伏羲女娲规矩图,中国唐代》中的圆规、角尺 《雅典学院,1509,拉斐尔》中的毕达哥拉斯、欧几里德、圆规

《忧郁,1514,丢勒》中的圆球、多面体、4 阶幻方 《莫比乌斯带 I 和 II,1963,埃舍尔》中的双侧曲面

94

2、 《骑士,1946,埃舍尔》中的平移与对称

95

3、 《蒙娜丽莎,1503,达芬奇》 、 《维特鲁威人,1487,达芬奇》 、 《维纳斯的 诞生,1482,波提切利》中的黄金分割

96

4、 《基督落架图,1435,范德魏登》中的几何图形

5、 《上升与下降,1960,埃舍尔》 、 《三个球,1946,埃舍尔》中的立体几何

97

6、 《最后的晚餐,1494-1498,达芬奇》 、 《林荫道,霍贝玛,1869》中的透视几 何

98

第二讲其他美术作品中的数学(4 学时) 1、雕塑: 《断臂维纳斯,公元前 130 年,亚历山德罗斯》 、 《掷铁饼者,公元 2 世纪,米隆》中的黄金比例

99

2、建筑: 《巴黎圣母院,1163-1250》 、 《圣家堂,2026》中的对称

100

3、工艺:风筝、剪纸中的对称

4、书法中的黄金格与篆刻中的镜像对称

101

第三讲计算机美术简介(4 学时) 1. 计算机绘画的发展背景 2. 计算机绘画所需的硬件和软件 3. 计算机绘画实例 (1)西方传统绘画实例(油画、水粉画、水彩画、素描) (2)中国传统绘画实例(写意画、工笔画) (3)商业绘画实例(读物类插画、时尚类插画、卡通动漫类插画、游戏类 插画)

102

103

第四讲著名画家的数学思想(4 学时) 丢勒(Albrecht Dürer,1471 年 5 月 21 日-1528 年 4 月 6 日,德国油画家) 高迪 (Antoni Gaudí , 1852 年 6 月 25 日-1926 年 6 月 10 日, 西班牙建筑家) 毕加索 (Pablo Picasso, 1881 年 10 月 25 日-1973 年 4 月 8 日, 西班牙画家) 埃舍尔(Maurits Cornelis Escher,1898 年 6 月 17 日-1972 年 3 月 27 日,荷 兰版画家)

104

附录: 数学的相关知识 平移、旋转和对称 黄金分割 透视方法

建议参观一次美术馆或(借助计算机)完成一个美术作品

105

体育中的数学(1) 课程目标: 了解体育运动中的数学基础知识与方法; 了解数学在体育运动中的简单应用; 学习数学的思维方式。 课时分配:共 20 小节,大约每小节 1 课时 目录 第 1 章运动场上的数学原理 107

1.1 人类的百米极限在哪里? 107 1.2 如何把铅球投得更远? 107 1.3 哪些因素会影响跳高的高度? 107 1.4 如何计算多项全能比赛中的积分? 107 1.5 篮球运动中的投篮命中率 107 1.6 足球场上的射门 107

1.7 棒球比赛中的勾股定理 107 1.8 网球运动中的发球 107 第 2 章运动成绩的数据分析 2.1 运动与健康 108 108 108

2.2 运动场上的性别差异 2.3 运动成绩的预测 108

第 3 章运动赛事中的运筹帷幄 108 2.1 赛制的安排 108 108 108

2.2 比赛场次的计算

2.3 田忌赛马与风险决策 2.4 影响胜率的因素 108

第 4 章运动设施中的数学建模 108

106

4.1 古代的运动场 108 4.2 运动场上的椭圆 108

4.3 标准跑道(400 米)的设计 108 4.4 “鸟巢”和“水立方”的设计 4.5 正多边形与足球的制作 108 108

第 1 章运动场上的数学原理 1.1 人类的百米极限在哪里? 1.2 如何把铅球投得更远? 投掷的高度与角度,测量技术 1.3 哪些因素会影响跳高的高度? 跳高公式:U2=2gH 撑杆跳高的高度公式:H=2gU2 1.4 如何计算多项全能比赛中的积分? 早期的计分法,乌布利希原则,现行的计分表,男子十项全能的积分与记录 1.5 篮球运动中的投篮命中率 不同角度投篮的最佳弧度,三分球的数学建模,三分球对总分和防守篮板球 的影响,投篮的“手热”现象(抛物线方程) ,如何对一位球员进行系统评估(效 率方程) 1.6 足球场上的射门 点球的命中率与面积原理, 哪个地方的射门角度更大?,罚任意球时人墙的 合理位置,射出的球经过门框反弹后什么情况下确保进球?“香蕉球”是如何踢 出来的? 1.7 棒球比赛中的勾股定理 垒位的排列,棒球场地的算法,棒球比赛中的勾股定理,用蒙特卡洛方法评 估击球手,棒球比赛中的赢球策略 1.8 网球运动中的发球 网球拍上的弦与数学,网球场地上的数学奥秘,如何发出高质量的球

107

第 2 章运动成绩的数据分析 2.1 运动与健康 固体的形状与热量的消耗,兴奋剂检查中的逻辑 2.2 运动场上的性别差异 奥运会上的女性(历届的女运动员人数,男女运动员的成绩差异) 2.3 运动成绩的预测 对球队表现水平的统计分析, 运动中的两个重要分布: 二项分布和正态分布, NBA 球队的实力排行榜,数学家对世界杯的预测,奥运会金牌的预测, BBC 对 2012 年奥运会金牌数的估计,奖牌数与 GDP 的关系 第 3 章运动赛事中的运筹帷幄 2.1 赛制的安排 如何运用数学知识合理安排比赛场次(简单的计数原理与排列组合,图论知 识的简单应用) , 2.2 比赛场次的计算 2.3 田忌赛马与风险决策 球场上的随机变量与风险决策(条件概率,运筹学) ,石头、剪刀、布(教 练的排兵布阵) , 2.4 影响胜率的因素 (相关分析?线性回归?) 第 4 章运动设施中的数学建模 4.1 古代的运动场 4.2 运动场上的椭圆 图形、对称与变换,各种运动场的形状与大小,足球场中的数量关系 4.3 标准跑道(400 米)的设计 4.4 “鸟巢”和“水立方”的设计 4.5 正多边形与足球的制作

108

选修 2 学业质量标准

(四)校本课程
生活中的数学 家庭理财与数学 机器人与数学

五、实施建议
(一)教学建议
高中数学教学活动的关键是提升学生的数学核心素养, 促使学生学会数学思 考,为学生创设会学数学、会用数学的情境。教师要处理好学生主体性与教师主 导性的关系,激发学生学习兴趣,调动学习主动性,提高数学思维的参与度;提 倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习方式,养成良好学习习 惯;在教学过程中,应培养学生的自主性,发展学生“四基” ;精心设计综合实 践活动,特别是数学建模和数学探究活动,促进学生应用和创新能力的发展;高 中数学教学提倡运用信息技术,注意信息技术与课程内容的整合,提高实效性。

教学建议撰写的框架 一、遵循的原则 1、以落实数学核心素养为纲 2、促进学生自主学习 3、与教学提示一体化 二、结构 前言(概述)

109

教学观(对数学教学活动的认识) 教师的职责 与理念联系

具体建议 1、突出数学核心素养(目标) 数学核心素养是数学学科本质和育人价值的集中体现, 贯穿在高中数学课程 的始终。 数学教学中,要把提升学生数学核心素养作为数学教学活动的出发点和 归宿,将数学核心素养贯穿整个教学过程中。在教学目标确定、教学活动设计、 教学方式选择,教学过程评价整个过程中贯穿数学核心素养。 高中阶段学生数学核心素养的发展划分为三个水平, 分别对应必修、 选修 1、 选修 2 三类课程的学习。 核心素养的每一级水平是学生学习对应一类课程后要达 成的阶段目标。因此,在确定教学目标时,要关注学生核心素养发展的阶段目标 与模块目标、单元目标、课节目标的联系,将学生核心素养发展的阶段目标分解 为(落实到)模块目标、单元目标、课节目标(中) ,要清晰每一个模块、单元、 课节目标对实现学生核心素养发展的阶段目标的贡献。同时,核心素养发展的三 级水平递进关联的, 在确定教学目标时,要整体把握学生核心素养发展的各阶段 目标之间的关系,整体设计三类课程的教学目标。 学生的数学核心素养在参与数学教学活动的过程中获得发展。因此,在教学 活动设计时,要创设合适的情境,引导学生发现问题、提出问题,运用学过的知 识和方法或探索法发现新的知识和方法解决问题, 在解决问题的过程中提升数学 核心素养。 要把什么样的教学活动有利于学生核心素养的形成作为教学设计思考 的首要问题。 自主学习、 探究学习、 合作学习等学习方式有利于学生数学核心素养的形成。 因此,在教学方式选择上,应选择有利于促进学生自主学习、探究学习、合作学 习的教学方式。 对教学过程的评价也要关注是否有利于促进学生数学核心素养的 发展。要不断思考通过什么样的教学情境,运用什么样的教学手段,经历什么样 的过程,获得什么样的知识、技能、思想和经验,形成什么样的核心素养。

110

2、关注学生“四基”的发展(载体) “四基”是三维课程目标的集中体现,是结果与过程的统一,也是数学核心素 养发展的载体。因此,数学教学活动要关注学生“四基”的发展。 (1)数学知识的教学,应注重学生对所学知识的理解,体会数学知识之间 的关联。 学生掌握数学知识,不能依赖死记硬背,而应以理解为基础,并在知识的应 用中不断巩固和深化。 为了帮助学生真正理解数学知识,教师应注重数学知识与 学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系,组织学生开展实验、操作、尝试 等活动,引导学生进行观察、分析,抽象概括,运用知识进行判断。教师还应揭 示知识的数学实质及其体现的数学思想, 帮助学生理清相关知识之间的区别和联 系等。 数学知识的教学,要注重知识的“生长点”与“延伸点” ,把每个单元、每 节课教学的知识置于整体知识的体系中,注重知识的结构和体系,处理好局部知 识与整体知识的关系, 引导学生感受数学的整体性,体会对于某些数学知识可以 从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。 (2)基本技能的教学,不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤,还要使 学生理解程序和步骤的道理。 基本技能的形成, 需要一定量的训练, 但要适度, 不能依赖机械的重复操作, 要注重训练的实效性。 教师应把握技能形成的阶段性,根据内容的要求和学生的 实际,分层次地落实。 (3)引导学生在数学活动过程中,感悟数学思想 数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在 更高层次上的抽象与概括,如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参 与教学活动的过程中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟数学思想。 例如, 分类是一种重要的数学思想。 学习数学的过程中经常会遇到分类问题, 如数的分类,图形的分类,代数式的分类,函数的分类等。在研究数学问题中, 常常需要通过分类讨论解决问题,分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学 活动中,要使学生逐步体会为什么要分类,如何分类,如何确定分类的标准,在

111

分类的过程中如何认识对象的性质,如何区别不同对象的不同性质。通过多次反 复的思考和长时间的积累,使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类, 可以有助于学习新的数学知识,有助于分析和解决新的数学问题。 (4)引导学生在“做”的过程和“思考”的过程中,积累数学活动经验。 数学活动经验的积累是学生数学核心素养发展的重要标志。 帮助学生积累数 学活动经验是数学教学的重要目标,是学生不断经历、体验各种数学活动过程的 结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀,是在数学学 习活动过程中逐步积累的。 教学中注重结合具体的学习内容,设计有效的数学探究活动,使学生经历数 学的发生发展过程, 是学生积累数学活动经验的重要途径。 例如, 在统计教学中, 设计有效的统计活动,使学生经历完整的统计过程,包括收集数据、整理数据、 展示数据、 从数据中提取信息, 并利用这些信息说明问题。 学生在这样的过程中, 不断积累统计活动经验,加深理解统计思想与方法。 “数学建模” “数学探究”是积累数学活动经验的重要载体。在经历具体的 “数学建模” “数学探究”活动的过程中,引导学生体验如何发现问题,如何选 择适合自己完成的问题, 如何把实际问题变成数学问题,如何设计解决问题的方 案,如何选择合作的伙伴,如何有效地呈现实践的成果,以便让别人体会自己成 果的价值。通过这样的教学活动,学生会逐步积累运用数学解决问题的经验。 3、以问题驱动,关注学生“四能”的发展,促进学生学会数学思考 数学教学活动要以问题为导向,活动为载体,采用问题驱动式教学方式,这 也符合学生数学核心素养发展的需要。 在数学教学活动中,对于重要的数学内容,都要创设合适的情境,结合情境 实施教学。要引导学生在情境中发现问题、用数学语言提出和表达问题、用数学 的思维方式分析问题、 用数学的方法解决问题, 在此过程中发展学生的 “四能” 。 举例 学会数学思考是数学教学的基本目标,也是数学核心素养的重要体现。数学 教学活动中,要关注学生的数学思维活动,为学生提供参与观察、实验、猜想、 证明、数学建模、数学探究等数学活动的机会,帮助学生认识数学研究问题的视

112

角、数学表达问题的方式,数学思考问题的特点,数学解决问题的思路,在探究 发现数学知识,运用数学知识解决问题的过程中,感悟数学思维活动的特征,学 会数学思考。 举例 4、整体把握数学课程内容(教学内容处理) 高中数学课程由必修课程,选修 1 课程、选修 2 课程三部分组成。不同的课 程有不同的功能, 为不同发展趋向的学生服务。高中数学课程在内容处理上突出 了几条主线,例如, “函数” 、 “运算” 、 “图形” 、 “统计概率”等等。这些主线彼 此之间有着密切的联系, 从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容,把高中 数学知识编织在一起,构成一张无形的网。在教学过程中,教师应把握不同类新 课程的功能和特点以及课程的整体结构和内容。 从不同的角度认识高中数学课程, 从局部到整体,从整体到局部,不断加深对这个网的认识。只有不断地梳理和完 善这张网, 才能把整个高中数学课程的内容融会贯通, 在高中数学的教学中任意 驰骋、游刃有余。 整体把握数学课程在教学设计方面的具体体现就是单元教学设计。 传统的教 学设计,往往针对一节课,一节课一节课的备课,不能从整体上把握课程的内容 要求。 采用单元教学设计可以克服这一局限。这里的单元可以是基于一章或几章 的知识单元,即一个模块中的相对完整的知识单元,例如,数列、圆锥曲线等。 也可以是主题式单元,主题式单元可跨章节、跨模块、跨课程类型。例如,以函 数单调性作为主题的单元,就是横跨必修课程中的函数及应用,选修 1 课程中 的函数与数列、向量与几何,选修 2 课程中的微积分等模块和课程类型的。还可 以是方法式单元或素养式单元, 这类单元也是模块和课程类型的,是贯穿于整个 高中共数学课程中的。例如,配方法、消元法、待定系数法、变量替换法等通性 通法,可以作为方法式单元,数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观 想象、数据分析等数学核心素养可以作为素养式单元。 单元教学设计可以从以下几方面展开: 第一,对教学相关要素的整体的分析。 教学相关要素分析主要包括:数学分析,课标分析、教材比较分析、学情分

113

析、教学重难点分析、教学方式分析等。数学分析主要是对单元教学内容在整个 数学中的地位和作用、所蕴含的数学核心素养及其与其他学科、生活实际的联系 等的分析; 课标分析是分析课程标准中对本单元内容的要求;学情分析是分析学 生学习本单元之前已经具备的相关知识经验,心理特征和习惯;教学重难点分析 是要把握本单元的重点和难点, 重点是相对于数学学科和学生发展而言是重要的 内容, 难点是相对于学生的认知基础而言的是较难理解的内容;教学方式分析是 根据前面要素的分析,选择确定恰当的教学方式。 第二,确定单元教学目标。 在要素整体分析的基础上, 确定单教学目标。单元教学目标不是每一节课教 学目标的堆积, 是单元学习结束后学生要达到的学习结果。与每一节课的目标相 联系,但又高于课节目标。 第四、设计单元教学流程。 在单元教学目标指引下, 设计出单元教学流程。即把本单元教学分为几个阶 段,规划每个阶段教学的主题,每个阶段要达成的目标等。例如,函数单调性主 题式单元的教学流程如下:第一阶段,在初中函数学习基础上,借助图形、图形 语言建立用符号语言严格表述的单调性概念,结合具体函数,理解证明单调性的 基本方法;第二阶段,结合研究一些基本函数类变化,理解单调性的作用,建立 函数单调性的几何直观;第三阶段,结合不等关系的学习,理解单调性与不等关 系的联系;第四阶段,建立导数与单调性关系,进一步认识函数是刻画变化的数 学模型;第五阶段,以单调性为主题,梳理函数。 第四、实施教学。 单元教学设计实施要在整体把握数学课程的理念指导下进行, 要突出单元的 主题, 关注各部分内容之间的关联,关注各阶段目标的达成与单元目标达成的联 系。 第五、反思-改进-提升。 单元教学设计需要花一定时间,不是一个人一次就能做的很好的,需要在教 学中不段尝试,反思和改进。也需要团队联合攻关。但与通常的集体备课不同, 需要教师亲历亲为,才能不断提升自己的专业水平。

114

5、改进教学方式 教学方式对学生数学核心素养的形成有重要影响。 教师在教学中应体现以学生 发展为本的理念, 把提升学生的核心素养作为教学的首要目标,积极探索有利于 学生数学核心素养形成的教学方式。 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础,面向全体学生, 注重启发式和因材施教。 教师要发挥主导作用,处理好讲授与学生自主学习的关 系,引导学生独立思考、主动探索、合作交流,使学生理解和掌握基本的数学知 识与技能、数学思想和方法,获得基本的数学活动经验,形成数学核心素养。 学生的数学学习活动不应只限于对概念、 结论和技能的记忆、 模仿和接受, 独立思考、动手实践、阅读自学、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方 式,这些方式也有利于学生数学核心素养的形成。在高中数学教学中,教师要关 注学生的主体参与。学生只有亲身参与教师设计的教学活动,才能获得知识、技 能、思想和经验,形成数学的核心素养。因此,教师应根据高中数学课程的理念 和目标, 学生的认知特征和数学的特点,积极探索适合高中学生数学学习的教学 方式。特别应注意以下几个方面。 (1)在数学教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行 为的参与。既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流。教师要 创设适当的问题情境, 鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历 知识形成的过程。 (2)在数学教学中,应关注重要数学概念的实际背景和数学背景,引导学 生从背景的分析中揭示概念的本质,在理解概念本质的基础上抽象表达概念。例 如,有些概念(如函数)的教学是从已有知识和实例出发,再抽象为严格化的定 义;有些内容(如统计)的教学是通过案例来学习它的思想和方法,理解其意义 和作用;又如,对导数概念的教学,要通过实例,让学生经历从平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程,进而了解导数概念的实际背景以及瞬时变化率就是导数, 体会导数的思想及其内涵。 (3)对不同的内容,应采用不同的教学和学习方式。例如,可采用收集资 料、调查研究等方式,也可采用实践探索、自主探究、合作交流等方式,还可采

115

用阅读理解、讨论交流、撰写论文等方式。教师应根据不同的内容、目标以及学 生的实际情况,给学生留有适当的拓展、延伸的空间和时间,对有关课题作进一 步探索、研究。拓展、延伸的内容不作为考试的要求。 (4)教师应充分尊重学生的人格和学生在数学学习上的差异,采用适当的 教学方式,在数学学习和解决问题的过程中,激发学生对数学学习的兴趣,帮助 学生养成良好的学习习惯,形成积极探索的态度,勤奋好学、勇于克服困难和不 断进取的学风。 (5)教师应不断反思自己的教学,改进教学方式,提高自己的教学水平, 形成个性化的教学风格。 6、帮助学生学会学习(改进学习方式) 学生数学学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。但是,现 行高中数学教学中,教师“讲授”往往替代了学生的学习、替代了学生的思维过 程。教学中,教师处于“好心” ,为了节约时间,追求所谓的“高效率” ,把教材 中的知识嚼细喂给学生,使学生丧失了独立思考、自主探究的机会。导致大部分 学生只会对着题型套路解题,而在面对新的问题时则茫然不知所措。因此,在教 学中,教师要转变教学方式,帮助学生学会学习。 第一,要帮助学生发现和培养自己的学习兴趣。对于学生来说,知道“自己 的兴趣是什么”非常重要。兴趣概念是广泛的,例如,有人喜欢思考,有人喜欢 动手;有人喜欢“理科” ,有人喜欢“工科” ,有人喜欢“文史科” ,有人喜欢“医 科” ;有人喜欢理论,有人喜欢应用;有人喜欢“电影” ,有人喜欢“戏曲” ,等 等,这些都是兴趣的表现。不同的人有不同的兴趣。也有一些人不知道自己的兴 趣所在,这是个缺憾。发现、培养自己的兴趣会给自己带来快乐。高中数学课程 中选修 2 课程的设置就是为学生展示数学才能提供平台, 为学生发展数学兴趣提 供选择。因此,在教学中,教师要充分挖掘数学学科的魅力,帮助学生发现自己 的兴趣、培养自己的兴趣。 第二,要帮助学生养成良好的学习习惯。良好的数学习惯不只是课前预习、 上课认真听讲、课后复习、独立完成作业等,还包括独立思考、反思质疑、合作 交流等。独立思考、反思质疑、合作交流与创新密切相关,也是数学核心素养的

116

具体体现。因此,在高中阶段,养成良好的学习习惯非常重要。在教学中,应帮 助学生养成独立思考、反思质疑、合作交流、认真勤奋等学习习惯。 第三, 要帮助学生掌握基本的学习方法。 高中学生的学习方法, 除了对概念、 结论和技能的记忆、 模仿等方法以外, 还应包括阅读、 提问、 反思、 梳理、 表达、 交流等, 掌握这些基本的学习方法是学会学习的表现。特别是具有问题意识对于 更好的学习数学是非常重要的。现行高中学生的学习方式,内在表现为对概念、 结论和技能的记忆、模仿和接受,外在表现为预习、听课、做作业、考试等。听 课后,学生很少对所学知识进行反思、归纳和总结,也缺少将所学内容与以往学 过的内容建立联系,整体把握课程内容的习惯。致使所学知识零乱,缺乏系统性 和整体性。因此,在教学中,教师要给学生留有一定空间,组织学生开展自学阅 读,梳理总结所学内容,反思总结学习经验、与同学分享交流学习成果和学习方 法等活动,帮助学生掌握学习数学的方法。 举例:数学复习(由学生自己梳理知识,提出问题,自己解决问题,相互交 流) 7、恰当运用信息技术(教学手段) 现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面 产生深刻的影响。 在教学中, 应重视利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈 现的课程内容。同时,应尽可能使用科学型计算器、计算机及软件、互联网,以 及各种数学教育技术平台, 加强数学教学与信息技术的结合。教师应恰当使用信 息技术, 改善学生的学习方式, 引导学生借助信息技术学习有关数学内容, 探索、 研究一些有意义、有价值的数学问题。 应重视信息技术与数学课程内容的有机整合, 整合的原则是有利于对数学本 质的认识。例如,统计中数据的处理、方程的近似求解等都体现了信息技术与数 学课程内容的整合, 教师在教学中应予以关注。信息技术与数学课程内容的整合 有较大的开发空间,教师可在这方面进行积极的、有意义的探索。

案例 针对各条建议的必要案例

117

单元教学设计案例 数学建模案例 学会学习案例(如,复习课)

(二)评价与考试命题建议

(三)教材编写建议
数学教科书是教师教学、 学生学习的基本教育资源,它为教师和学生的数学 学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构,是实现数学课程目标、提升学 生数学核心素养的重要教育资源。 数学教科书的编写应以标准为依据,以单元为编写单位,体现数学知识的逻 辑体系,体现数学概念、定理、应用的背景和形成过程,反应学生数学学习的认 知规律。教科书应合理地安排学习内容,形成自身的编排体系,体现自身的特色 和风格,积极探索教科书的多样化。教科书的编写应有利于教师创造性教学,有 利于学生自主学习。 教科书的编写应当注意以下问题。 1、教科书是落实课程目标,提升学生核心素养的基本教学资源 (1)全面体现标准提出的理念和目标 高中数学课程以学生发展为本,通过发展学生数学核心素养,整体实现高中 教育阶段的育人目标。面向全体学生,使得:人人都能获得良好的数学教育,不 同的人在数学上得到不同的发展。这是数学教科书编写必须遵循的原则。 在教科书编写中, 应帮助学生获得扎实的基础知识和基本技能,体会数学的 基本思想,不断的积累数学基本活动经验;体现用数学的眼光观察现实世界、用 数学的思维分析现实世界、 用数学的语言表达现实世界, 提高学生发现和提出问 题的能力、分析和解决问题的能力;促进学生学会学习、学会应用、学会创新。

118

教科书的编写应有助于激发学生学习数学的兴趣, 有助于提升学生学好数学 的自信心,有助于学生独立思考、善于思考、实事求是、一丝不苟,有助于拓展 学生数学视野,有助于感悟数学的科学价值、应用价值和人文价值。 (2)数学核心素养贯穿教材始终 紧密围绕、 依据数学核心素养的内涵、 价值、 表现、 水平要求来选择、 组织、 编写教科书,特别关注学生数学核心素养的形成、提升和发展。 (3)准确把握内容标准要求 “标准” 对高中教育阶段的数学教学内容有明确和具体的学业要求。在编写 相关内容时,要把握好内容的定位,根据不同的行为动词,例如, “了解”与“理 解” “能”等确定表述的程度;教科书的编写应遵循学生认知规律、数学发展规 律, 对于重要的数学概念、 定理要循序渐进 (举例) ; 还应注意内容之间的衔接、 联系。 (4)数学表达的准确性 数学不同于其他学科的基本特征是数学概念和结论的准确性, 它体现在每一 个数学核心素养中, 数学的表达是通过自然语言、 图形语言、 符号语言来实现的, 教科书编写应遵循学生认知规律, 帮助学生掌握三种语言和三种语言之间的转换, 促进学生学会数学阅读,这是学会学习数学的重要组成部分。 (5)反映社会进步和科学技术发展的成果 (6)教科书编写的完善 教科书的编写是一个发展的过程,应随着实验的深入、学生教师的需求,不 断修订、不断发展。

2、整体体现高中课程标准 整体体现高中课程标准反应在以下方面: (1)教育教学资源整体性。 教科书是学科教育教学的主要资源,还有教师用书、学生课外自主学习材料 等教育教学资源, 教科书的编写者应整体的设计这些教育教学资源,使之成为教 师教学、学生学习的有效工具。

119

(2)教科书编写的整体性 ①教科书应遵循必修、选修 1、选修 2 的内容标准进行编写。必修课程教科 书(选修 1、选修 2 课程教科书)应以内容标准的单元为单位,合理安排形成一 个有机的体系,适应教学要求。对于单元中的个别内容,可以根据编写者的指导 思想做适当调整(案例:必修课程模块二的一元函数应用) 。 ②教科书应凸显通过课程模块(内容主线)体现数学核心素养。 课程内容主线包括函数及其应用、代数与几何、统计与概率、数学建模与数 学探究。 教科书应在这几条主线中落实数学核心素养,将数学文化与内容有机地 融合。 ③整体考虑内容之间的关联 教科书的整体设计要体现不同数学知识之间的联系, 要体现内容主线之间的 联系, 在同一个内容主线中要体现数学知识之间的联系。 重要的数学概念、 定理、 思想、经验要体现循序渐进、螺旋上升的原则,核心素养水平的提升也应融合在 内容的处理中。 ④教科书要突出重点和本质 华罗庚先生多次强调,要将“书从薄读到厚,再从厚读到薄” 。 “薄”就是要 突出重点,突出本质,教科书编写应引导学生经历从厚到薄的过程,感悟数学的 本质。 ⑤整合科学性与文化性,体现时代性 适当引入本学科最新研究成果(既可能是旧学新说,也可能是新的学术研究 成果) ,开拓学生的知识眼界,激发学生学习兴趣与好奇心,引导学生形成科学 态度和科学精神,整体把握教科书的内容与社会生活、科技发展的联系。 要把数学文化融入到内容中,体现数学的文化价值,数学对于人类文明发展 的贡献,吸收和弘扬中华民族优秀传统文化,借鉴异域文化的优秀成分,具有国 际视野和多元文化观。 ⑥习题的配备 通过习题巩固对数学的理解和认识,是学习数学的重要环节。教科书的编写 者应整体的设计习题, 包括每一节课后的习题、 思考题、 复习题、 总复习题等等,

120

提高 “做习题” 的有效性, 掌握习题的容量、难度,循序渐进,防止 “题海战术” 式的演练,创造出一些具有开放性、探究性的问题,提升学生的兴趣。 ⑦整体设计数学建模与数学探究活动 “数学建模与数学探究活动”的设计是一个挑战性的问题,教科书编写者应 按照“数学建模与数学探究活动”内容标准的要求进行合理的设计,可提供多个 问题供学生选择,在教师用书中提供比较详细的建议。 ⑧让图形在理解数学中发挥更大的作用 恰当的图表有助于学生理解课文内容, 是提升学生直观想象素养的有机组成 部分,而且有助于提升学生学习兴趣,教科书编写应图文并茂,插图应与内容密 切结合。 (3)呈现方式的整体性、多样性 教科书呈现方式的整体性、多样性表现在两个方面: ①在数学解决问题的过程中体现呈现方式的整体性、多样性。通过设置具有 启发性、挑战性的问题,激发学生进行思考,鼓励学生自主探索,并在独立思考 的基础上进行合作交流, 在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体 验和理解,以不同的方式引导学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等 过程。 ②在教科书编写的呈现方式上体现整体性、多样性。例如,包括:纸质版教 材、电子版教材等;也包括形式多样的网络课程资源(微课、慕课) 。

3、教科书应遵循学生学习数学的规律 “学生是主体”的理念是教科书编写的指导思想。可以通过以下方面来体 现: ①符合学生身心发展规律和心理接受能力 ②体现学生理解数学发展和解决问题的过程 ③教科书内容编排要有利于教师的教。要便于教师科学设计教学情境、有 效组织教学,要为教师自主选择、增补和调整教学内容预留空间。

121

④教科书内容编排要有利于学生的学。教科书不应该是结论的再现,而应 该注重引导学生主动探究、 “建构”知识、获得结论,为学生提供质疑与探究的 机会; 教科书内容编排要注重为学生提供个性化学习的机会;教科书内容编排要 注重为学生提供学习方法的指导,促进学生形成良好的学习习惯和思维习惯;教 科书内容的选择与呈现应该给不同学生留下一定的学习空间。 ⑤教科书的编写要特别关注“问题引入”和“情境创设” 。 “问题是数学和数学教育的关键” 。设置合适的问题对于理解概念、形成定 理、进行应用是非常重要的。 “问题引入”和“情境创设”是密不可分的两个环 节。情境中蕴含着有价值的问题,情境是丰富多样的,例如,生活情境、数学情 境、科学情境等。好的情境重要的标志包括:有助于学生从中发现问题、提出问 题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉;是学生感兴趣的;与所 学数学内容有本质联系的。

4、教科书具有弹性 “促进不同学生在数学上获得不同发展”是教科书编写的另一个原则。体现 在内容编排要具有开放性和弹性,在保证基本内容的完整性和系统性的基础上, 能够为学校和教师拓展、开发内容资源提供可能性。可以反应在以下方面: ①用问题引导不同学生的发展,在教科书中提出两类问题:思维性问题、开 放性问题。通过爬梯子的原则来展示学生的才能。 ②提供课题研究促进学生应用和创新能力的发展 ③提供阅读性的资源拓展学生的视野 ④设定让学生收集整理资源的环节

5、教科书内容呈现方式丰富多样 “教科书内容呈现方式丰富多样”是体现教科书可读性的重要方面。可以通 过以下方面体现: ①理解模块的作用,按学生的认知规律和数学自身的规律设计编写的顺序, 形成一学期需要的课程(案例) ;

122

②栏目的设计多样化 ③概念呈现思路的多样化 ④情境设计的多样化 ⑤图文表达的多样化

6、教科书多样化 从“一纲一本”到“一纲多本”是中国教科书发展的飞跃。编写、建设具有 不同特色的数学教科书是中国数学教育的发展需求, 也是数学教育发展的主要任 务之一。 教科书编写者应与教材的研究者、 使用者齐心协力, 编写出有鲜明特色、 有利于教、有利于学的教科书。

(四)教师专业发展建议


推荐相关:

【史宁中】高中数学课程标准2015.6.23_图文.doc

【史宁中】高中数学课程标准2015.6.23_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档【史宁中】高中数学课程标准2015.6.23_数学_高中教育_教育专区...


高中数学课程标准修订与教材编写(史宁中)_图文.ppt

高中数学课程标准修订与教材编写(史宁中)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学课程标准修订与 教材编写东北师范大学 史宁中 报告提纲一、 十年课改的经验与...


高中数学课程标准修订与教材编写 史宁中_图文.ppt

高中数学课程标准修订与教材编写 史宁中_数学_高中教育_教育专区。教学课件 高中数学课程标准修订与 教材编写 报告提纲 一、 十年课改的经验与问题 二、 课程标准...


史宁中等谈数学课程标准.doc

史宁中等谈数学课程标准_理学_高等教育_教育专区。...我们请了六位原来课标组的同志,又请了科学院、 ...其实,现行的高中阶段的大纲最后定稿是由我担任组长。...


史宁中--数学课程标准与中小学数学教师素养_图文.ppt

史宁中--数学课程标准与中小学数学教师素养_数学_小学教育_教育专区。第3讲 小学数学教师素养东北师范大学 史宁中中西部农村义务教育学校教师国家级远程培训 ? 2008 ...


史宁中(关于高中数学的一些想法)_图文.ppt

关于高中数学的一些想法东北师范大学 史宁中 2014年10月 目录(一)义务教育数学课程标准理念 (二)高中数学课程标准体例(三)高中数学课程核心素养 一、义务教育数学...


课程标准修订解析史宁中.pdf

走进数学思维 114页 免费 对话新课标(史宁中张丹) ...我想从小学到初中甚至到高中,一直在 这么教,那可能...可能会出这样的题,连续抛 5 个都是正面,第 6 ...


《课程标准》的修订和解读(史宁中_).doc

课程标准》的修订和解读(史宁中_)_三年级数学_...学段问题很大, 1-2 年级, 3-5 年级, 6-9 年级...1999 年的高中《大纲》是我主持编写的。 ◆ 《...


课程标准解读与数学教育(史宁中)_图文.ppt

课程标准解读与数学教育(史宁中)_教育学_高等教育_...? 2005年 6月,在教育部 9 楼会议室召开会议 ...实践的经验 函数是初中和高中代数最为核心的内容。 ...


数学--史宁中--数学核心素养与小学数学教学_图文.pdf

数学--史宁中--数学核心素养与小学数学教学_数学_小学教育_教育专区。 报告提纲...重大变化:双基?→?四基;两能?→?四能 2015年,启动《普通高中数学课程标准》...


史宁中教授解读.doc

史宁中教授解读_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。史宁中教授解读小数新课程标准 史宁中教授解读《数学课程标准》的“目标”及“核心词” 专家介绍: 史宁中教授 ...


2011版数学课程标准的变化.doc

三、基本理念“三句”变“两句”、“6 条”改“5 条”课标实验稿“三句话...“四基”是《数学课程标准》修订组组长、东北师大校长史宁中教授提出的,引起 了...


高中青年教师基本功比赛试题.doc

寻求 6. 《高中数学课程标准》关于“三维目标”中的“情感、态度与价值观” ...10.东北师范大学史宁中教授说过:数学教学应“重过程轻结论”请问你对 这一观点...


高中数学教育课改方向(1)_图文.ppt

高中数学课程标准修订与 数学核心素养 东北师范大学 史宁中 报告提纲 教育部组织专家于2017年3月20日审查 《普通高中数学课程标准(送审稿)》 全票通过 Key ...


史宁中解读小学数学新课程标准.doc

史宁中解读小学数学课程标准_数学_小学教育_教育专区。这是史宁中教授对于小学数学课程标准的解读 解读小学数学课程标准 史宁中新课标:要明了数学...


高中数学新课标_图文.ppt

关于高中数学数学课程标准史宁中 2014年12月 目录(一)与义务教育数学课程标准衔接 (二)与高中阶段各种考核考试衔接(三)高中数学课程标准体例与核心素养 一、与义务...


数学核心素养_图文.ppt

数学核心素养 与小学数学教学东北师范大学史宁中 上海...高中数学课标修订组定义


小学数学教学的几个问题(史宁中).ppt

小学数学教学的几个问题(史宁中)_理化生_高中教育_...(推广 的含义 2 ÷1/3 = 6) 推广 的含义: ...关于《数学课程标准》 关于《数学课程标准》的若干...


高中数学新课标解读、新教材高峰论坛20161101定稿_图文.doc

史宁中 曹一鸣 李善良 上海南汇 中学教师 主讲内容 致开幕词,上海南汇中学办学特色介绍 高中数学课程标准修订介绍 高中数学课程标准与教材的国际比较研究 苏教版高中...


高中数学课程标准教科书内容难度定量分析.doc

来源:《新课程教学》2014 年第 06 期 【摘要】以《普通高中数学课程标准(实 ...内容难度是衡量教科书质量的重要数据指标,本文选用的模型由东北师范大学的史宁中等...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com