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高考数学(人教a版,理科)题库:函数与方程(含答案)


第 8 讲 函数与方程
一、选择题 1.“a<-2”是“函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点 x0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解析 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

当 a<-2 时, 函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上单调递减, 此时 f(-

1)=3-a>0,f(2)=3+2a<0,所以函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在 零点 x0;当函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点 x0 时, 有 f(-1)f(2)<0,即 2a2-3a-9>0, 3 解得 a>3 或 a<- . 2 答案 A )

2.下列函数图像与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是(

解析

能用二分法求零点的函数必须在含零点的区间(a,b)内连续,并且有

f(a)·f(b)<0.A、B、D 中函数不符合.
答案 C

2 3.函数 f(x)=2x-x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是 ( A.(1,3) C.(0,3) B.(1,2) D.(0,2) ).

解析 由条件可知 f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)<0,解之 得 0<a<3.

答案 C 4.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x, 则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 A.6 B.7 C.8 D.9 ( ).

解析 当 0≤x<2 时,令 f(x)=x3-x=0,得 x=0 或 x=1. 根据周期函数的性质,由 f(x)的最小正周期为 2,可知 y=f(x)在[0,6)上有 6 个 零点, 又 f(6)=f(3×2)=f(0)=0, ∴f(x)在[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 答案 B 5.函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内 A.没有零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点 ( ).

C.有且仅有两个零点

解析 令 f(x)=0,得 x=cos x,在同一坐标系内 画出两个函数 y= x与 y=cos x 的图象如图所示, 由图象知, 两个函数只有一个交点, 从而方程 x= cos x 只有一个解. ∴函数 f(x)只有一个零点. 答案 B 6.已知函数 f(x)=xex-ax-1,则关于 f(x)零点叙述正确的是( A.当 a=0 时,函数 f(x)有两个零点 B.函数 f(x)必有一个零点是正数 C.当 a<0 时,函数 f(x)有两个零点 D.当 a>0 时,函数 f(x)只有一个零点 解析 ).

f(x)=0?ex=a+

1

x x

1 在同一坐标系中作出 y=ex 与 y= 的图象,

可观察出 A、C、D 选项错误,选项 B 正确. 答案 B

二、填空题 7 .用二分法研究函数 f(x) = x + 3x - 1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0 ,
3

f(0.5)>0 可得其中一个零点 x0∈______,第二次应计算________.
解析 ∵f(x)=x3+3x-1 是 R 上的连续函数, 且 f(0)<0, f(0.5)>0, 则 f(x)

在 x∈(0,0.5)上存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号. 答案 (0,0.5)

f(0.25)

?x+1,x≤0, 8.函数 f(x)=? 则函数 y=f[f(x)]+1 的所有零点所构成的集合为 ?log2x,x>0, ________. 解析 本题即求方程 f[f(x)]=-1 的所有根的集合,先解方程 f(t)=-1,即

?t≤0, ?t>0, 1 1 ? 或? 得 t=-2 或 t=2.再解方程 f(x)=-2 和 f(x)=2. ?t+1=-1 ?log2t=-1, x≤0, ? ? ?x≤0, ?x>0, 即? 或? 和? 1 x+1=2 ?x+1=-2 ?log2x=-2 ? ? 1 1 得 x=-3 或 x=4和 x=-2或 x= 2. 答案
? 1 1 ?-3,- , , 2 4 ?

x>0, ? ? 或? 1 log2x=2. ? ?

2?
?

?

9.已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 解析 由原函数有零点,可将问题转化为方程 ex-2x+a=0 有解问题,即方

程 a=2x-ex 有解.令函数 g(x)=2x-ex,则 g′(x)=2-ex,令 g′(x)=0, 得 x=ln 2,所以 g(x)在(-∞,ln 2)上是增函数,在(ln 2,+∞)上是减 函数,所以 g(x)的最大值为:g(ln 2)=2ln 2-2.因此,a 的取值范围就是

函数 g(x)的值域,所以,a∈(-∞,2ln 2-2]. 答案 (-∞,2ln 2-2]

10.若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件:①P、Q 都在函数 f(x)的图象上;② P、 Q 关于原点对称, 则称点对(P、 Q)是函数 f(x)的一个“友好点对”(点对(P、 Q) 与 点 对 (Q , P) 看 作 同 一 个 “ 友 好 点 对 ”) . 已 知 函 数 f(x) = 2x2+4x+1,x<0, ? ? ?2 x,x≥0, ? ?e

则 f(x)的“友好点对”的个数是________.

解析 设 P(x,y)、Q(-x,-y)(x>0)为函数 f(x)的“友 2 好点对”,则 y=ex,-y=2(-x)2+4(-x)+1=2x2- 2 4x+1,∴ x+2x2-4x+1=0,在同一坐标系中作函数 e 2 y1=ex、y2=-2x2+4x-1 的图象,y1、y2 的图象有两个交点,所以 f(x)有 2 个 “友好点对”,故填 2. 答案 2 三、解答题 1? ? 11.设函数 f(x)=?1-x?(x>0). ? ? (1)作出函数 f(x)的图象; 1 1 (2)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求a+b的值; (3)若方程 f(x)=m 有两个不相等的正根,求 m 的取值范围. 解 (1)如图所示. 1? ? (2)∵f(x)=?1-x? ? ? 1 ? ?x-1,x∈?0,1], =? 1 ?1-x,x∈?1,+∞?, ? 故 f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数, 由 0<a<b 且 f(a)=f(b),

1 1 1 1 得 0<a<1<b,且a-1=1-b,∴a+b=2. (3)由函数 f(x)的图象可知,当 0<m<1 时,方程 f(x)=m 有两个不相等的正根. 12.已知函数 f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出 该零点. 思路分析 求解. 解析 ∵f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点, 由题意可知,方程 4x+m·2x+1=0 仅有一个实根,再利用换元法

即方程(2x)2+m·2x+1=0 仅有一个实根. 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ =0 时,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ >0 时,即 m>2 或 m<-2 时,

t2+mt+1=0 有两正或两负根,
即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 13.已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3. (1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间 D,且区间 D 的长 度为 12-t(视区间[a,b]的长度为 b-a). 解 (1)∵函数 f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1,1]上是 减函数. ?f?1?≤0, ∵ 函 数 在 区 间 [ - 1,1] 上 存 在 零 点 , 则 必 有 ? ?f?-1?≥0, ?1-16+q+3≤0, ? ∴-20≤q≤12. ?1+16+q+3≥0, (2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称 轴是 x=8. 即

①当 0≤t≤6 时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小, ∴f(t)-f(8)=12-t,即 t2-15t+52=0, 解得 t= 15- 17 15± 17 ,∴ t = ; 2 2

②当 6<t≤8 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小, ∴f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8; ③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小, ∴f(10)-f(t)=12-t,即 t2-17t+72=0,解得 t=8,9, ∴t=9. 综上可知,存在常数 t= 15- 17 ,8,9 满足条件. 2

e2 14.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0).

x

(1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 解 (1)法一:∵g(x)=x+ ≥2 e2=2e, e2

x

等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有零点.

e2 法二:作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如

x

图:

可知若使 g(x)=m 有零点, 则只需 m≥2e. 法三:由 g(x)=m 得

x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根,

?m 故?2 ?Δ =m -4e ≥0
2 2

?m 等价于? ?m≥2e或m≤-2e



故 m≥2e. (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)与 f(x) e2 的图象有两个不同的交点, 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象.

x

∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其图象的对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2. 故当 m-1+e2>2e, 即 m>-e2+2e+1 时,

g(x)与 f(x)有两个交点,
即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞)


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