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数学:2.1.3《函数的单调性》课件(新人教b必修1)


函数的单调性

从图象可以看到: 图象在y轴的右侧部分是上升的,也就 是说,当x在区间[0,+? )上取值时, 随着x的增大,相应的y值也增大,即如 果取x1,x2 [0? ,+ ) ,得到y1=f(x1) , ? y2=f(x2 ),那么当x1< x2时有y1< y2。这时我 们就说函数y=x2在[0,+ )上是增函 数。 ? 图象在y轴的左侧部分是下降的,也就 是说,当x在区间(-? ,0)上取值时, x1 x2 随着x的增大,相应的y值反而随着减 小,即如果取x1,x2 (- ?,? 0) ,得到 y1=f(x1) , y2=f(x2 ),那么当x1< x2时有y1> y2。这时我们就说函数y=x2在(- , 0)上是减函数。 ?

2 y=x
y2 y1

y1 y2

x1 x2

3 y=x

y=f(x)

f(x1) x1

f(x2) x2

如果对于属于定 义域I内某个区间 上的任意两个自 变量的值x1,x2, 当x1< x2 时,都有 f(x1) <f(x2),那么 就说f(x)在这个区 间上是增函数

f(x1) x1

f(x2) x2

如果对于属于定 义域I内某个区间 上的任意两个自 y=f(x) 变量的值x1,x2, 当x1 <x2时,都有 f(x1) >f(x2),那么 就说f(x)在这个区 间上是减函数
?

如果函数y=f(x)在某个区间是 增函数或是减函数,那么就说 函数y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性,这一区间 中做y=f(x)的单调区间。在单 调区间上增函数的图象是上

升的,减函数的图象是下 降的。

例1:

下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x) 的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间, 以及在每一个单调区间上, y=f(x)是增函数 还是减函数。
y=f(x)

解:函数y=f(x) 的单 调区间有[-5,-2), [-2,1),[1,3),[3, 5],其中y=f(x)在区 间[-5,-2), [1,3) 上是减函数,在区 间[-2,1), [3,5] 上是增函数。

例2: 证明函数f(x) =3x+2 在R上是增函数。
证明:设x1,x2是R上的任意两个实数, 且x1 < x2,则 f(x1) -f(x2) =(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)。 由x1 < x2,得x1 - x2 < 0, 于是 f(x1) -f(x2) < 0, 即 f(x1) < f(x2) 所以,f(x) =3x+2 在R上是增函数。

证明函数单调性的步骤:
1、设x1,x2属于给定区间
2、作差f(x1) --f(x2)并判断符号 3、根据函数的单调性定义肯定此 命题成立

例3: 证明函数
且x1 ? x 2 , 则

1 f ( x) ? 在 (0,??上是减函数。 ) x 证明: 设x1 , x 2 是(0,? ?)上的任意两个实数 ,

x 2 ? x1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? . x1 x 2 x1 x 2 由x1 , x 2 ? (0,? ?), 得x1 x 2 ? 0, 又由 于是 即 x1 ? x 2, 得x 2 ? x1 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x 2 ).

1 所以,f ( x) ? 在(0,??)上是减函数。 x

小结:
? ? ?

1.有关单调性的定义; 2.关于单调区间的概念; 3.判断函数单调性的常用方法:定义 法

练习

1、如图,已知函数y=f(x),y=g(x)的图象(包括端 点),根据图象说出函数的单调区间,以及在每 一单调区间上,函数是增函数还是减函数。

y=f(x),

??

?

?
2

y=g(x)

? 2

?

2、证明函数f(x)=-2x+1 在R上是减函数。

作业
?课本P46

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开了,还多亏了你呢!你又懂事,又能干!唉,这青丫头有你一半就好了。”耿英说:“娘娘,你说啥呀?我哪里有小青姐聪明啊,我 只是一个稀了马哈的粗心丫头呢!”乔氏摇摇头说:“不,她只不过是有一些个看似很机灵的小聪明而已,而你却拥有顾大局,识大体 的大聪明、大智慧啊。不能相比的喽!”耿英却说:“娘娘,您这样说小青姐可不对,她只是被自己心里边的那个‘疯狂的喜欢’给昏 头了呢!小青姐真得很聪明,也很明白事理,说心里话,我很欣赏她呢!”乔氏轻轻地叹了一口气说:“唉,刚才啊,我听到这丫头哭 诉她命苦。我看哪,正如英丫头刚才说的,她的命并不苦,苦的是我啊!她有这个既憨厚又倔强的东伢子爱怜着呢,可我呢?”乔氏再 也忍不住自己的眼泪了。她掏出手绢不断地擦拭着涌流出来的泪水,心酸地说:“丫头她爹去了,我这后半生啊,只能是”耿老爹父子 四人的心里也都酸酸的。耿老爹轻轻地说:“兄弟媳妇你也别太难过了。事已至此,难过没有用啊。你有青丫头呢,还有这诚恳实在的 东伢子。这以后啊,他们多生几个娃娃,你以后的日子不会孤单的!”耿正说:“娘娘,您的年纪还不大呢,幺爹他肯定希望您能过得 很好的。以后啊,你可以留意着找一个”乔氏摇摇头,幽忧地说:“不,不可能的了!”耿英也说:“我哥说得对着哩,幺爹他肯定希 望您过得好!您也别过分伤心了,老话说了,‘凡事都有个定数’哩,谁又能改变了什么!您以后的日子还长着呢,因此啊,一定要想 开一些,日子才能过得踏实。人常说啊,老天爷是有眼的,您是天底下最好的人啦!所以啊,肯定会有一个最适合您的好人来陪伴您 的!”懂事的耿直怕乔氏继续伤心哭泣,就拱着身子依偎到了她的怀里,像大人一样说:“娘娘,姐姐说得对,您是天底下最好的人, 就像我娘一样好!我们在家时,我娘经常对我们说:‘人一定要多使好心,多做好事’。娘还说:‘好人终究会得到好报’。放心,您 一定会得到好报的!”乔氏终于破涕为笑了。她紧紧地楼住耿直,在他的额头上亲了一下,笑着对耿老爹说:“耿大哥啊,你就把这个 小儿子给我吧,我可正缺这么一个好伢子呢!”耿老爹也笑了,说:“兄弟媳妇啊,刚才小直子不是说了嘛,我们那里是管姆妈叫‘娘’ 的。他现在不就叫你‘娘娘’吗?还多了一个‘娘’呢!”那天下午,对于倔强钟情的东伢子来说,尽管饱吃了小青的一顿拳头,但这 顿拳头他吃得太舒服,也太高兴了!因为,这个他喜欢至骨头里的丫头,在打得实在太累了的时候,终于接受了他的爱。而无辜的耿正 虽然挨了非常冤枉的一计重拳,但好在东伢子只是打在了他的肩膀上。乔氏将白酒点着了,抓着花苗给他搓擦了几次以后,没几天也就 彻底好了,并没有


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