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2015届高考数学总复习课时训练第九章 平面解析几何第10课时 直线与圆锥曲线的综合应用(1)


第九章 平面解析几何第 10 课时 直线与圆锥曲线的综合应用(1) x2 y2 1. 已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0),过焦点垂直于长轴的弦长为 1,且焦点与短轴两端 a b 点构成等边三角形,则椭圆的方程是________________. x2 答案: +y2=1 4 2b2 ? ? a =1, ? ?a=2, x2 解析:由条件得? 即? 所以椭圆方程为 +y2=1. 4 ?b=1, ?2b=a, ? ? 2. 从抛物线 y2=4x 上一点 P 引其准线的垂线,垂足为 M,设抛物线的焦点为 F,且|PF| =5,则△MPF 的面积为________. 答案:10 y2 y2 1 0 0 ? 解析: 由题意, 设 P? 4 ,y0? , 则 |PF| = |PM| = +1=5, 所以 y0=± 4, 则 S△MPF= |PM||y0| ? 4 2 =10. x2 y2 3. 过双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线,分别与双曲线、 a b → → 双曲线的渐近线交于点 M 、 N( 均在第一象限内 ) ,若 FM = 4MN ,则双曲线的离心率为 ________. 5 答案: 3 2 b2 bc → → b 解析:由题意知 F(c,0),则易得 M、N 的纵坐标分别为 、 ,由FM=4MN得 = a a a 2 bc b b 4 c 5 2 2 2 ? - ?,即 = .又 c =a +b ,则 e= = . 4· ? a a? c 5 a 3 4. 直线 l 过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点, 并且与 y 轴垂直. 若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a=________. 1 答案: 4 1 1 1 解析:l 被抛物线截得的线段长,即为通径长 ,故 =4,即 a= . a a 4 2 5. 过抛物线 y =2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等 于 2,则这样的直线有________条. 答案:2 p p 解析:设该抛物线焦点为 F,则 AB=AF+FB=xA+ +xB+ =xA+xB+1=3>2p=2. 2 2 所以符合条件的直线有且仅有两条. x2 y2 6. 已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直 a b 线与椭圆有一个交点 P,且 PF2⊥x 轴,则此椭圆的离心率 e=________. 3 答案: 3 解析: 在 Rt△PF2F1 中, ∠PF1F2=30°, |F1F2|=2c, |PF1|=2|PF2|, 根据椭圆的定义得|PF2| 2 4 16 4 c 3 = a,|PF1|= a.又|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,即 a2- a2=4c2,则 e= = . 3 3 9 9 a 3 7. 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相 交于 A、B 两点,若直线 l 的倾斜角为 45°,则弦 AB 的中点坐标为________. 答案:(3,2)

2 ? ?y =4x, ? 解析:依题意得,抛物线 C 的方程是 y =4x,直线 l 的方程是 y=x-1.由 消 ? ?y=x-1 2

6 去 y,得(x-1)2=4x,即 x2-6x+1=0,因此线段 AB 的中点的横坐标是 =3,纵坐标是 y 2 =3-1=2,所以线段 AB 的中点坐标是(3,2). x2 y2 a x2 y2 8. 过椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的焦点且垂直于 x 轴的弦长为 , 则双曲线 2- 2=1 的离心 a b 2 a b 率 e=________. 5 答案: 2 b2 a c 5b 解析:由题意,得 2· = ,即 a=2b,则在双曲线中,c2=a2+b2=5b2,所以 e= = a 2 a 2b 5 = . 2 9. 已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A、B 两点,若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角, 则 a 的取值范围是多少. 解: 设存在点 C(x0, y0), y0=x2 A(- a, a), B( a, a)(a>0), 0, 2 y0-a y0-a (y0-a) kAC·kBC= · = =y0-a=-1,a=1+y0≥1. x2 x0+ a x0- a 0-a x2 y2 2 10. 已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆上任意一点到右焦点 F 的距离的 a b 2 最大值为 2+1. (1) 求椭圆的方程; (2) 已知点 C(m, 0)是线段 OF 上一个动点(O 为坐标原点), 是否存在过点 F 且与 x 轴不 垂直的直线 l 与椭圆交于 A、B 点,使得 AC=BC?并说明理由. c 2 ? ?e= = , ?a= 2, a 2 解:(1) ∵ ? ∴ ? ?c=1, ? ?a+c= 2+1, ∴ b=1, x2 ∴ 椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2) 由(1)得 F(1,0),∴ 0≤m≤1. 假设存在满足题意的直线 l, x2 设 l 的方程为 y=k(x-1),代入 +y2=1 中,得 2 2k2-2 4k2 (2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 x1+x2= 2 , x1x2= 2 , 2k +1 2k +1 -2k ∴ y1+y2=k(x1+x2-2)= 2 . 2k +1 2k2 k 设 AB 的中点为 M,则 M?2k2+1,-2k2+1?. ? ? ∵ AC=BC,∴ CM⊥AB,即 kCM·kAB=-1, k 2k2+1 ∴ ·k=-1,即(1-2m)k2=m. 2k2 m- 2 2k +1 1 m ∴ 当 0≤m≤ 时,k=± ,即存在满足题意的直线 l; 2 1-2m 1 当 ≤m≤1 时,k 不存在,即不存在满足题意的直线 l. 2

3? x2 y2 11. 如图,在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: + =1 上一点 P? ?1,2?,过点 P 的直 4 3 3 线 l1、l2 与椭圆 C 分别交于 A、B(不同于 P),且它们的斜率 k1、k2 满足 k1k2=- . 4 (1) 求证:直线 AB 过定点; (2) 求△PAB 面积的最大值.

?y=k (x-1)+2, 3 (1) 证明:(证法 1)设直线 l 的方程为 y=k (x-1)+ ,联立? 得(3 2 x y ? 4 + 3 =1,
1 1 1 2 2

3

4k2 1-12k1-3 2 2 2 +4k2 )x + (12k - 8k )x + 4k - 12k - 3 = 0 ,解得 x = 1 或 x = ,即点 A 的坐标 1 1 1 1 1 3+4k2 1 2 4k2 -12k2 4k2 1-12k1-3 1-12k1+9? 2-12k2-3 -12k2-12k2+9? ? ? , 为? ?.同理点 B 的坐标为? 3+4k2 , 2(3+4k2) ?. 2(3+4k2 ? 3+4k2 ? ? 1 1) ? 2 2 2 3 3 ? ? ? 4? ?-4k1? -12?-4k1?-3 4k2 3 3 2-12k2-3 因 为 k1k2 = - , 即 k2 = - ,所以 = = 4 4k1 3 2 3+4k2 2 - ? 3+4? ? 4k1? 2 2 2 -4k1+12k1+3 -12k2-12k2+9 12k1+12k1-9 ,同理可得 = .所以 A、B 关于原点 O 对称, 2 3+4k2 2(3+4k2 2(3+4k1 ) 1 2) 即直线 AB 过定点 O. x2 y2 3 2 0 0 (证法 2)设 A(x0,y0),则由 + =1 得 y2 0=3- x0.设点 A 关于原点 O 的对称点为 A′ 4 3 4 3 3 9 9 ? 3 2? 3 2 3 -y0 +y0 -y2 - 3- x x- 0 2 2 4 4 ? 4 0? 4 0 4 (-x0,-y0),直线 PA′的斜率为 k3,则 k1k3= · = = = 2= 1-x0 1+x0 1-x2 1-x2 1-x0 0 0 3 3 - .又 k1k2=- ,所以 k2=k3,从而 P、B、A′三点共线.因为 B、A′都在椭圆 C 上,所以 4 4 B 与 A′重合.所以 A、B 关于原点 O 对称,即直线 AB 过定点 O. (2) 解:由(1)可设 A(x0,y0),B(-x0,-y0),x0≠±1,则直线 AB 的方程为 y0x-x0y ?y0-3x0? 2 ? ? 1 2 =0,所以 AB=2 x2 0+y0,点 P 到直线 AB 的距离为 d= 2 2 ,所以 S△PAB= 2·AB·d x0+y0 3 ?y0- x0? 2 ? ? ? 3 1 2 2 y - x0?. = ·2 x0+y0· 2 2 =? 0 2 ? 2 x0+y0
2 3 3 x2 t2 0 y0 2 (解法 1)令 t=y0- x0,则 y0= x0+t,代入 + =1 得 x2 0+tx0+ -1=0.令Δ=t - 2 2 4 3 3 x = 3, ?x0=- 3, ? ? 0 ? t2 ? ? 4? 3 -1?≥0, 解得|t|≤2 3, 当且仅当? 时, |t|有最大值 2 3, 即△PAB 3或? 3 y0=- y0= ? ? 2 ? 2 ? 面积的最大值为 2 3. 2 2 3 2 9 3 3 (-x0) +(2y0) 2 y0- x0? = x2 (解法 2)? - 3x y + y . 因为- 3x y = ( - x )(2y ) ≤ · 0 0 0 0 0 0 0 0 2 ? 4 ? 2 2 2

2 2 3x2 3 2 9 3x2 3 ? 0+12y0 0+12y0 2 2 ? y0- x0? ≤ x2 = ,所以? + +y2 0 0=3x0+4y0=12,从而 y0-2x0 ≤2 3, 2 ? 4 ? ? ? 4 4 ?x0= 3, ?x0=- 3,

当且仅当-x0=2y0,即?

?

3或? 3 y0=- ? 2 ? ? ?y0= 2

?

时,△PAB 面积的最大值为 2 3.


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