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大高考版高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第六节空间向量的应用课件理083003151_图文

第六节 空间向量的应用 知识点一 空间向量的有关概念及定理 1.空间向量的有关概念 名称 定义 大小 和方向 在空间中,具有_____ _____的量叫做空间 向量,其大小叫做向量的长度 _____或模 长度或模为__ 1 的向量 模为0 的向量 _______ 空间向量 单位向量 零向量 相等向量 相反向量 相同 且________ 方向_____ 模相等 的向量 相反 且________ 方向______ 模相等 的向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行 _________ 重合 ,则称这些向量叫做共线向量或平行向量, 共线向量 或______ a平行于b,记作a∥b 共面向量 同一平面 的向量叫共面向量 平行于_________ 2.空间向量的有关定理 (1) 共线向量定理:对空间任意两个向量 a , b(b≠0) , a∥b 的 充要条件是存在实数λ,使得a=λb. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量c与向 量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使c =xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对 空 间 任 一 向 量 p , 存 在 有 序 实 数 组 {x , y , z} , 使 得 p = xa+yb+zc 其中,{a,b,c}叫做空间的一个_______. 基底 ___________. ?建系原则 (1)[建立空间直角坐标系时,应找过同一点且两两垂直的直线 分别为x轴,y轴,z轴,一般要使尽量多的点落在坐标轴或坐 标平面内 ]已知 A(2, 5 ,- 6) ,点 P 在 y 轴上,|PA| = 7,则点 P 的坐标是________. 解析 因为点 P 在 y 轴上,所以可设 P(0,y,0).因为|PA|=7, A(2,5,-6),所以 22+(y-5)2+62=7,解得 y=2 或 y =8.即 P 点坐标为(0,8,0)或(0,2,0). 答案 (0,8,0)或(0,2,0) ?三种对称 (2)[①关于坐标平面对称的三种情况 ②关于坐标轴对称的三种情况 ③P(x,y,z)P7(-x,-y,-z)] 点 A(1 , 2 ,- 1) 关于坐标平面 xOy 及 x 轴的对称点的坐标分别 为________,________. 答案 (1,2,1),(1,-2,1) 知识点二 空间向量的数量积及坐标运算 1.空间向量的数量积 (1)空间向量 a,b 的数量积 a· b=|a|· |b|· cos〈a,b〉. (2)空间向量 a,b 的夹角〈a,b〉的取值范围是 [0,π].其中 〈 a,b〉=0 时,a 和 b 同向;当______________ 〈a,b〉=π 时,a 和 b 当 ___________ π 〈a,b〉= 2 时,a⊥b. 反向;当_____________ (3)空间向量数量积的性质 a· a ; ①|a|=_______ a· b=0 ; ②a⊥b?_________ (a≠0,b≠0) ③cos〈a,b〉=______________. (4)空间向量数量积的运算律 a· b=b· a ; ①交换律:___________ a· (b+c)=a· b+a· c; ②分配律:_________________ ③结合律:λ(a· b)=(λa)· b=a· (λb)(λ∈R). 2.向量的坐标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 向量和 (a1+b1,a2+b2,a3+b3) a+b=__________________________ (a1-b1,a2-b2,a3-b3) a-b=________________________ a1b1+a2b2+a3b3 a· b=________________ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) a∥b=________________________________ a1b1+a2b2+a3b3=0 a⊥b?_________________________ a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a2 + a + a b + b + b 1 2 3 1 2 3 cos〈a,b〉=__________________________ 向量差 数量积 共线 垂直 夹角 公式 ?一个应用:用空间向量可以证明有关平行或垂直问题,方法 可类比平面向量相关知识. (3)在空间直角坐标系中, A(1, 2, 3), B(-2, -1, 6), C(3, 2,1),D(4,3,0)则直线 AB 与 CD 的位置关系是________. 解析 → → 由题意得,AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1), → → → → → → ∴ AB =- 3 CD ,∴ AB 与 CD 共线,又 AB 与 CD 没有公共 点.∴AB∥CD. 答案 平行 空间向量的运算突破方略 (1) 用向量法或坐标法解决几何问题时,先用向量 ( 或坐标 )表示 相应的点、线段、夹角等几何元素;然后通过向量 ( 或坐标 ) 的 运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系;最后 再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论. (2)用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是: ①适当的选取基底{a,b,c}; ②用a,b,c表示相关向量; ③通过运算完成证明或计算问题. 【例1】 (2014· 北京海淀模拟)如图,在空间四边形OABC中, OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB =60°,则OA与BC所成角的余弦值为________. [解题指导] 选定基底 → 向量运算 → 所求余弦值 解析 → → → → → → → → → → ∵BC=AC-AB, ∴OA· BC=OA· (AC-AB)=OA· A

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