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第十四讲 三角形中的三角函数

2015 年暑期网络授课(高二数学,第十四讲)

第十四讲

三角形中的三角函数
陈忠

昆山陆家高级中学

【学习目标】 1.能熟练利用正、余弦定理将三角形的边角进行转化. 2.掌握三角形形状的判断方法;三角形有关三角函数求值,能证明与三角形内角有关的三 角恒等式. 一、 【基础训练】 1.在△ ABC 中,若∠ A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=________.

2.在△ ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A=________.

3. 在△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,若 a=2bcosC,则此三角形一定是 ________三角形.

4. 已知△ ABC 的三边长分别为 a、b、c,且 a2+b2-c2=ab,则∠C=________.

1 5. 在△ ABC 中,a=3 2,b=2 3,cosC= ,则△ ABC 的面积为________. 3 二、 【知识梳理】 a b c 1. 正弦定理: = = =2R(其中 R 为△ ABC 外接圆的半径). sinA sinB sinC 2. 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,或 cosA=

b2 ? c2 ? a2 . 2bc

3. 三角形中的常见结论 (1) A+B+C=π . (2) 在三角形中大边对大角,大角对大边:A>B ? a>b ? sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4) △ ABC 的面积公式 1 ① S= a·h(h 表示 a 边上的高); 2 1 1 1 abc ② S= absinC= acsinB= bcsinA= ; 2 2 2 4R

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三、 【例题精选】 题型 1 正余弦定理解三角形

π 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 c=2,C= . 3 (1) 若△ ABC 的面积等于 3,求 a、b; (2) 若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ ABC 的面积.

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练习:在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边, cos A ? (1)求角 C 的值; (2)若 a ? 4 ,求△ABC 面积.

5 , tan B ? 3 . 5

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题型 2

三角形形状的判定

在△ABC 中, a、 b、 c 分别是三内角 A、 B、 C 的对边, 已知 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求角 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状.

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题型 3

三角形中的三角函数的范围问题

在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 acosC+ccosA=2bcosA. (1) 求角 A 的值; (2) 求 sinB+sinC 的取值范围.

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练习:设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2bsinA. (1)求角 B 的大小; (2)求 cosA+sinC 的取值范围.

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题型 4

三角形中的应用问题

如图,某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东北方 OB,现要修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,为了市民出行方便 与城市环境问题,现要求市中心 O 到 AB 的距离为 10 km,设 ?OAB ? ? . (1)试求 AB 关于角 ? 的函数关系式; (2)问把 A、B 分别设在公路上离市中心 O 多远处,才能使 AB 最短,并求其最短距离.

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四、 【能力提升】 1.在△ABC 中,若 cosC=2sinAsinB-1,则△ABC 的形状一定是 5 3 2.在△ABC 中,已知 cosA= ,sinB= ,则 cosC 的值为 13 5 . 三角形.

a b c 3.在△ABC 中,设命题 p: = = ,命题 q:△ABC 是等边三角形,则命题 p 是 sinB sinC sinA 命题 q 的 (充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或既不充分 也不必要条件) 4.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,若(a+b+c)· (sinA+sinB-sinC)= 3asinB,则 C= . .

5.在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,则 B= 6. 已知△ ABC 中,∠B=45°,AC=4,则△ ABC 面积的最大值为________. 7.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,其中 b= π tanA· tanC· tan . 3 (1)求角 B 的大小; (2)求 a+c 的取值范围.

3 π ,tanA+tanC+tan = 2 3

8. 在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别是 a、b、c. π (1) 若 c=2,C= ,且△ ABC 的面积为 3,求 a、b 的值; 3 (2) 若 sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ ABC 的形状.

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1 9. 在△ ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 acosC+ c=b. 2 (1) 求角 A 的大小; (2) 若 a= 15,b=4,求边 c 的大小.

10.在路边安装路灯,灯柱 AB 与地面垂直,灯杆 BC 与灯柱 AB 所在平面与道路垂直,且

?ABC ? 120? , 路 灯 C 采 用 锥 形 灯 罩 , 射 出 的 光 线 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 , 已 知
,?ACB ? ? ( 30? ? ? ? 45? ). ?ACD ? 60? ,路宽 AD ? 24 米,设灯柱高 AB ? h (米) (1)求灯柱的高 h (用 ? 表示) ; (2)若灯杆 BC 与灯柱 AB 所用材料相同,记此用料长度和为 S ,求 S 关于 ? 的函数表达 式,并求出 S 的最小值.
C B

A

D

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