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2016-2017学年高中数学人教版必修2课件:2.3.3+4 第二课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)


第二课时

直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)

1.直线与平面垂直的性质定理是什么?


2.直线与平面垂直的性质定理有什么作用?


3.平面与平面垂直的性质定理是什么?


4.平面与平面垂直的性质定理有什么作用?



线面、面面垂直的综合问题
[例 1] 如图,已知直线 a⊥α,直线 b⊥β,

且 AB⊥a,AB⊥b,平面 α∩β=c.求证:AB∥c.
[解 ] 证明:过点 B 作直线 a′∥a, a′与 b 确定的平面设为 γ. 因为 a′∥a,AB⊥a,所以 AB⊥a′, 又 AB⊥b,a′∩b=B,所以 AB⊥γ. 因为 b⊥β,c?β,所以 b⊥c.① 因为 a⊥α,c?α,所以 a⊥c,又 a′∥a,所以 a′⊥c.② 由①②可得 c⊥γ,又 AB⊥γ,所以 AB∥c.

[类题通法] 判断线线、线面的平行或垂直关系,一般要利用判定定理和性 质定理,有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然 后再判断它们的位置关系.

[活学活用] 如图所示:平面 α,β,直线 a,且 α⊥β,α∩β=AB,a∥α, a⊥AB.求证:a⊥β.

证明: 如图, ∵a∥α, 过 a 作平面 γ 交 α 于 a′, 则 a∥a′. ∵a⊥AB,∴a′⊥AB. ∵α⊥β,α∩β=AB, ∴a′⊥β,∴a⊥β.

求点到面的距离
[例 2] 已知△ABC,AC=BC=1,AB= 2,又已知 S 是△

ABC 所在平面外一点, SA=SB=2, SC= 5, 点 P 是 SC 的中点, 求点 P 到平面 ABC 的距离.
[解 ] 法一:如图所示,连接 PA,PB.易知

△SAC,△ACB 是直角三角形, 所以 SA⊥AC,BC⊥AC. 取 AB,AC 的中点 E,F,连接 PF,EF, PE,则 EF∥BC,PF∥SA. 所以 EF⊥AC,PF⊥AC.

因为 PF∩EF=F,所以 AC⊥平面 PEF. 又 PE?平面 PEF,所以 PE⊥AC. 易证△SAC≌△SBC.因为 P 是 SC 的中点, 所以 PA=PB. 而 E 是 AB 的中点,所以 PE⊥AB. 因为 AB∩AC=A,所以 PE⊥平面 ABC. 从而 PE 的长就是点 P 到平面 ABC 的距离. 1 5 1 2 在 Rt△AEP 中,AP= SC= ,AE= AB= , 2 2 2 2 所以 PE= AP -AE =
2 2

5 1 3 - = , 4 2 2 3 . 2

即点 P 到平面 ABC 的距离为

法二:如图所示,过 A 作 AE∥BC,交 SC 于点 E, 过 B 作 BF∥AC, 交 AE 于点 D, 则四边形 ACBD 为正方形. 连接 SD.因为 AC⊥SA,AC⊥AD,SA∩AD=A, 所以 AC⊥平面 SDA. 所以 AC⊥SD. 又由题意,可知 BC⊥SB.因为 BC⊥BD, SB∩BD=B,所以 BC⊥平面 SDB,所以 BC⊥SD. 又 BC∩AC=C,于是 SD⊥平面 ACBD. 所以 SD 的长为点 S 到平面 ABC 的距离. 在 Rt△SDA 中易得 SD= SA2-AD2= 22-12= 3. 因为 P 为 SC 的中点, 1 3 故点 P 到平面 ABC 的距离为 SD= . 2 2

[类题通法] 求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线 段.可通过外形进行转化,转化为易于求解的点,等体积法 也是求点到平面的距离的常用方法.

[活学活用] 如图所示,正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,底面边长为 2 2,侧 棱长为 4,E,F 分别为棱 AB,BC 的中点,EF∩BD=G.

(1)求证: 平面 B1EF⊥平面 BDD1B1; (2)求点 D1 到平面 B1EF 的距离.

解:(1)证明:连接 AC, ∵正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是正方形, ∴AC⊥BD.又 AC⊥DD1,且 BD∩DD1=D, 故 AC⊥平面 BDD1B1. ∵E,F 分别为棱 AB,BC 的中点, 故 EF∥AC, ∴EF⊥平面 BDD1B1, 又 EF?平面 B1EF, ∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1.

(2)由(1)知平面 B1EF⊥平面 BDD1B1 且交线为 B1G, 所以作 D1H⊥B1G 于 H, 则 D1H⊥平面 B1EF,即 D1H 为 D1 到平面 B1EF 的距离. ∵B1D1∥BD, ∴∠D1B1H=∠B1GB, 4 4 ∴sin∠D1B1H=sin∠B1GB= 2 . 2 = 17 4 +1 在△D1B1H 中,D1B1=4, 4 16 16 17 sin∠D1B1H= ,∴D1H= = . 17 17 17

折叠问题
[例 3] 如图,在矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 是 AB 的中点,

沿 DE 将△ADE 折起.

(1)如果二面角 ADEC 是直二面角,求证:AB=AC; (2)如果 AB=AC,求证:平面 ADE⊥平面 BCDE.

[解 ]

证明: (1)过点 A 作 AM⊥DE 于

点 M,则 AM⊥平面 BCDE, ∴AM⊥BC.又 AD=AE, ∴M 是 DE 的中点.取 BC 的中点 N, 连接 MN,AN,则 MN⊥BC. 又 AM⊥BC,AM∩MN=M,∴BC⊥平面 AMN,∴AN⊥ BC. 又∵N 是 BC 的中点,∴AB=AC.

(2)取 BC 的中点 N,连接 AN.∵AB=AC, ∴AN⊥BC. 取 DE 的中点 M,连接 MN,AM,∴MN⊥BC. 又 AN∩MN=N,∴BC⊥平面 AMN,∴AM⊥BC. 又 M 是 DE 的中点,AD=AE,∴AM⊥DE. 又∵DE 与 BC 是平面 BCDE 内的相交直线, ∴AM⊥平面 BCDE. ∵AM?平面 ADE,∴平面 ADE⊥平面 BCDE.

[类题通法] 解决折叠问题的策略 (1)抓住折叠前后的变量与不变量.一般情况下,在折线同 侧的量,折叠前后不变, “跨过”折线的量,折叠前后可能会 发生变化,这是解决这类问题的关键. (2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的 变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的 长度,角度的变化情况.

[活学活用] (广东高考)如图①,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB =1,BC=PC=2,作如图②折叠:折痕 EF∥DC,其中点 E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记 为 M,并且 MF⊥CF.

(1)证明:CF⊥平面 MDF; (2)求三棱锥 MCDE 的体积.

解:(1)证明:∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AD. 又四边形 ABCD 是矩形,∴CD⊥AD, ∵PD?平面 PCD,CD?平面 PCD,且 PD∩CD=D, ∴AD⊥平面 PCD.∵CF?平面 PCD,∴AD⊥CF. 又 MF⊥CF,MF∩AD=M,∴CF⊥平面 MDF. (2)∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥CD. 又 CD=AB=1,PC=2,∴PD= 3. 由(1)知 CF⊥平面 MDF,∴CF⊥DF. 1 1 3 ∴由 S△PCD= PD· CD= PC· DF 得 DF= . 2 2 2

1 DE CF ∴CF= CD -DF = .∵EF∥CD,∴ DP=CP , 2
2 2

CF 3 ∴DE=CP ×DP= . 4 1 1 3 3 ∴S△CDE= CD×DE= ×1× = . 2 2 4 8 ∵AD⊥平面 PCD,即 MD⊥平面 CDE, 3 3 且 ME=PE=PD-ED= , 4 ∴MD= ME -ED = ∴三棱锥 MCDE 的体积为 1 1 3 6 2 VM× = . CDE= S△CDE×MD= × 3 3 8 2 16
2 2

27 3 6 - = , 16 16 2

[随堂即时演练]
1.如图所示,三棱锥 PABC 的底面在平面 α 上, 且 AC⊥PC,平面 PAC⊥平面 PBC,点 P,A, B 是定点,则动点 C 运动形成的图形是( A.一条线段 C.一个圆 B.一条直线 D.一个圆,但要去掉两个点 )

答案:D

2.在三棱锥 PABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,∠PCA=90°, △ABC 是边长为 4 的正三角形,PC=4,M 是 AB 边上的一动 点,则 PM 的最小值为 A.2 3 C.4 3 B.2 7 D.4 7 ( )

答案:B

3.若构成教室墙角的三个墙面记为 α,β,γ,交线记为 BA, BC, BD, 教室内一点 P 到三墙面 α, β, γ 的距离分别为 3 m, 4 m,1 m,则 P 与墙角 B 的距离为________ m.

答案: 26
4.如图所示,平面 α⊥平面 β,A∈α,B∈β, AA′⊥A′B′,BB′⊥A′B′,且 AA′ =3,BB′=4,A′B′=2,则三棱锥 AA′BB′的体积 V=________.

答案:4

5.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点, 且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 2,DE=4.现将 △ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合于点 G, 得到多面体 CDEFG.

(1)求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2)求多面体 CDEFG 的体积.

解:(1)证明:由已知可得 AE=3,BF=4,则折叠完后 EG=3, GF=4.又因为 EF=5,所以可得 EG⊥GF.又因为 CF⊥底面 EGF,可得 CF⊥EG,即 EG⊥平面 CFG,所以平面 DEG⊥平 面 CFG. (2)16

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