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湖北省监利县第一中学2014-2015学年高二下学期综合练习数学(文)试题(1)

高二下文科综合试题(1)2015.6
一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。 1.已知 a ? R ,若 A.-2

1 ? ai 为实数,则 a =( 2?i
B.- C. 2 )

) D. 1 2 1 D.(0, ) 4 )

1 2 2 2.抛物线 y = x 的焦点坐标是( 1 A.( ,0) 2 1 B.(0, ) 2

1 C.( ,0) 4

3.已知 p, q 为命题,命题“ ?( p或q) ”为假命题,则 ( A. p 真且 q 真 B. p 假且 q 假 C. p, q 中至少有一真 D. p, q 中至少有一假 4. m ? (

1 是 直 线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与 直 线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相 互 垂 直 的 2
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

) A.充分必要条件 C.必要而不充分条件

5.设椭圆的两个焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F1 PF2 为等 腰直角三角形,则椭圆的离心率是 A.
2

(

) C. 2 ? 2 D. 2 ? 1
开始

2 2
2

B.

2 ?1 2

6.圆 x ? y ? ax ? 2 ? 0 与直线 l 相切于点 A(3,1) ,则直线 l 的方程为( A. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 4 ? 0
2

)
输入x

i?0

7.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x ,则 ?p 是 ?q 的 A.充要条件 C.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件 D.既非充分也非必要条件

(

)

x ? 3x ? 2

i ? i ?1


8.投掷两颗均匀的骰子,其向上的点数分别为 m 和 n,则复数

(m ? ni) 2 为纯虚数的概率为(

x ? 109?


)
输出i

1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 3 12 9.如图所示的程序框图中, 若 x ? 5 ,则输出 i 的值是( A.2 B.3 C.4 D.5


结束

10.在平面内,设半径分别为 r1 , r2 的两个圆相离且圆心距为 d ,若点 M , N 分别在两个圆的 圆周上运动,则 | MN | 的最大、最小值分别为 d +r 1 +r 2 , d ? r1 ? r2 ,在空间中,设半径分别

为 R1 , R2 的两个球相离且球心距为 d ,若点 M , N 分别在两个球面上运动,则 | MN | 的最大、 最小值分别为( ) B d ? R1 ? R2 和 d ? R1 ? R2 D R1 ? R2 ? d 和 0

A. d ? R1 ? R2 和 d ? R1 ? R2 C. d ? R1 ? R2 和 d ? R1 ? R2

11.已知双曲线

a2 x2 y2 x ? ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点为 F ,直线 与一条渐近 线交于点 c a2 b2 a2 ( O 为原点),则两条渐近线的夹角为 ( 2
B.45° C.90° D.60° )

A , ?OAF 的面积为
A.30°

12.椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范 4 3
( )

围是 ??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是 A. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

B. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

C. ? , 1?

?3 ? ?4 ?

D. ? , ? 8 4

?3 3? ? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.若命题“ ?x ? R, x ? ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是
2

_______

14. 下列四个判断,正确的个数是 ① 某校高三 (1) 班的人和高三 (2) 班的人数分别是 m和n , 某次测试数学平均分分别是 a , b , 则这两个班的数学平均分为

a?b ; 2

② 对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到一组样本数据: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ), 由样

? ?a ? ? bx ? 必过样本点的中心 ( x, y ) ; 本数据得到回归方程 y
③ 调查某单位职工健康状况,其青年人数为 300 ,中年人数为 150 ,老年人数为 100 ,现考 虑采用分层抽样,抽取容量为 22 的样本,则青年中应抽取的个体数为 12 ; ④ 频率分布直方图的某个小长方形的面积等于频数乘以组距。 15.若 P (a, 4) 到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的距离等于 2 5 ,且在不等式 3x ? y ? 3 ? 0 表示的平面 区域内,则点 P 的坐标为 .

y

16.如图, 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 ,A2 , 虚轴两端点为 B1 ,B2 , 两焦点为 F1 , B2 a 2 b2
B A

F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,切点分别为 A, B, C , D . 则

(1)双曲线的离心率 e ?



A1 F1 A2 C

O D B1

F2

x

(2)菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.

S1 ? S2

.

已知 p:方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实根; q:方程 4 x2 ? 4 ? m ? 2? x ? 1 ? 0 无实根.

若“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,求 m 的取值范围.

18.已知点 M (3,1) ,直线 ax ? y ? 4 ? 0 及 圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 .
(1)求过 M 点的圆 C 的切线方程; (2)若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,求 a 的值; (3)若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点 ,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.

19 .从一批 苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个, 其中重量在

[80,85) 的有几个?
(3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概 率.

20. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (?2,1),b ? ( x, y) . (1)若 x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛 掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a ? b ? ?1的概率; (2)若 x , y 在连续区间上取值,求满足 a ? b ? 0 的概率.

21. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其左、右焦点分别为 F1、F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 a 2 b2

P, Q 两点, ?F2 PQ 的周长为 4 3.
(1)若椭圆的离心率 e ?

3 ,求椭圆的方程; 3

(2 )若 M 为椭圆上一点, MF 1 F2 的面积最大时的椭圆方程. 1 ? MF 2 ? 1 ,求 ?MF

???? ? ???? ?

22.已知函数 f(x)=ax +

3

( 2 ? 3a ) x 2 +bx(a,b 为常数) 2

1) 若 y=f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 x- y+6=0,求函数 y=f(x)的解析式; 2) 在 1)的条件下,讨论函数 y=f(x)的图象与函 数 y =-
/

1 +m 的图象的交点的个数; 2

当 a=1 时, ?x ? (0,??) ,l nx ≤f (x)恒成立,求实数 b 的取值范围。

通城二中 2014-2015 学年度下学期期中考试 高二数学试卷(文)参考答案 BDCBD DBACD CD 13. ?- ?, - 2? ? ?2, ? ?? 14. 10
3

15. ?16, 4?

16.(1) e ?

S 5 ?1 2? 5 ; (2) 1 ? 2 S2 2

?? ? m 2 ? 4 ? 0, p:? ?m?2 2 17.解: ? ; q : ? ? 16 ? m ? 2 ? ? 16 ? 16 ? m 2 ? 4m ? 3? ? 0 . m ? 0,
因为“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,所以 p、q 一真一假.

m ? 2, ? (1)若 p 真 q 假,则 ? 2 ?m?3; ?m ? 4m ? 3 ? 0,

?m2 ? 4m ? 3 ? 0, (2)若 q 真 p 假,则 ? ?1 ? m ? 2 . m ? 2, ?
综上所述,m 的取值范围是 m ? 3或1 ? m ? 2 . 18.解 (1)圆心 C(1,2),半径为 r=2, 当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=3. 由圆心 C (1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k= . 2 4 k +1 3 所以直线方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0. 4 综上所述,过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. |a-2+4| 4 (2)由题意有 =2,解得 a=0 或 a= . 2 3 a +1 (3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 |a+2|

a +1

2

,∴(

|a+2|
2

2 3 2 3 2 ) +( ) =4,解得 a=- . 2 4 a +1

20 ? 0.4 ; 19.解(1)重量在 ?90,95? 的频率 ? 50
(2)若采用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个,则重量在

?80,85? 的个数 ? 5 ? 15 ? 4 ? 1 ;
(3)设在 ?80,85? 中抽取的一个苹果为 x , 在 ?95,100? 中抽取的三个苹果分别为 a , b, c , 从抽出的 4 个苹果中 , 任取 2 个共有 ( x, a),( x, b),( x, c),(a, b),(a, c),(b, c) 6 种情况 , 其

5

中符合“重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有一个”的情况共有 ( x, a), ( x, b), ( x, c) 种;设 “抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有一个”为事件 A , 则事件 A 的概率 P ( A) ? 20.解 36(个); 由 a·b=-1 有-2x+y=-1, 所以满足 a·b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共 3 个; 3 1 故满足 a·b=-1 的概率为 = . 36 12 (2)若 x,y 在连续区间上取值,则全部基本事件的结果为 Ω ={ (x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足 a·b<0 的基本事件的结果为

3 1 ? ; 6 2

(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为 6×6=

A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且-2x+y<0};
画出图形如图,

矩形的面积为 S 矩形=25, 1 阴影部分的面积为 S 阴影=25- ×2×4=21, 2 21 故满足 a·b<0 的概率为 . 25

21. 解:法一:由已知得 L 的方程:y=x+2

即 x-y+2=0

p ? P0 (2, y0 ) 点到抛物线焦点 F 的距离是 3 ,? 由定义有 2+ =3 2
? 抛物线的方程是: y 2 ? 4 x
设 M ( x, y ) ,则 M 到直线 L 的距离为

?p?2

y2 ? y?2| | x? y?2| | y 2 ? 4 y ? 8 | ( y ? 2) 2 ? 4 2 4 ? ? ? ? d= 2 2 2 4 2 4 2 |
,当 y ? 2 时”=”成立,此时 M(1,2)

2 ? M 到直线 L 的最小距离是 2
法二:由已知得 L 的方程:y=x+2 即 x-y+2=0

p ? P0 (2, y0 ) 点到抛物线焦点 F 的距离是 3 ,? 由定义有 2+ =3 ? p ? 2 2
? 抛物线的方程是: y 2 ? 4 x
2 2 2 / 设直线 L 的方程为 y ? x ? b ,代入 y ? 4 x 得 x ? (2b ? 4) x ? b ? 0

当 △ ? (2b ? 4) ? 4b ? 0 时解得 b ? 1 ,
2 2 2 / 得到抛物线 y ? 4 x 的切线 L : y ? x ? 1

/ 而 L 与 L 的距离 d ?

2 ?1 12 ? 12
2

?

2 2 就是点 M 到直线 L 的最小距离;

即所求最小距离是 2 22.解:(1)因为 ?F2 PQ 周长为

4 3 ,所以, 4a ? 4 3 , a ? 3
2 2 2

又 e ? a ? 3 ,所以, c ? 1 , b ? a ? c ? 2 ,

c

3

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 3 2

(2)法一:设 MF1 与 MF2 夹角为 ? ,则 MF1 · MF2 = MF1 MF2 COS? ? 1

MF1 MF2 COS 2? ? 1 ,
2 2 2

2

2

MF1 MF2 ? MF1 MF2 Sin2? ? 1
2

2

2

2

2

MF1 MF2 Sin2? ? MF1 MF2 ? 1 ? (

MF1 ? MF2 2

)4 ?1 ? a 4 ?1 ? 8

? MF1 MF2 Sin? ? 2 2 ,? S ?MF1F2 ?

1 MF1 MF 2 Sin? ? 2 2

即 ?MF1 F2 的面积最大值为 2 。当且仅当 MF1 ? MF2 = a = 3 时|“=”成立, 此时 S ?MF F ? 1 2

1 2c ? b = 2 , c 3 ? c 2 ? 2 ,解的 c ? 1 或 2 ,对应的 b ? 2 或 1 2

经检验 b ? 1 时 M(0,1), MF1 ? MF2 ? ?1 ,不符合题意舍去

? 所求的椭圆方程为
法 二 : 设

x2 y2 ? ?1 3 2
?

M ( x0 , y0 ), F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) , 由 MF1


MF2

?1 得

2 2 (?c ? x0 ,? y0 ) ? (c ? x0 ,? y0 ) ? 1 化为 x0 ? y0 ? c2 ?1

又 b x0 ? a y0 ? a b
2 2 2 2 2
2 由①和 ②可得 y 0 ?

2



2b 2 ? b 2 c 2 b 2 (2 ? c 2 ) (a 2 ? c 2 )(2 ? c 2 ) ? ? c2 c2 c2

2 2 因 y0 ? 0 故 c ? 2

2 2 2 2 2 2 2 又由①可知 x0 ? y0 ? c ? 1 ? b ? a ? c ? 3 ? c
2 所以 c ? 1, c ? 1 因此 1 ? c ? 2
2

S ?MF1F2 ?

1 (3 ? c 2 )(2 ? c 2 ) 5 1 2c y0 ? c ? c 4 ? 5c 2 ? 6 ? (c 2 ? ) 2 ? 2 2 2 4 c

由函数单调性知仅当 c 2 ? 1 时 S ?MF F 有最大值 2 1 2 此时 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 1 ? 2 所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 3 2

x2 y2 解法三:设椭圆方程为 ? 2 ? 1, M ( x0 , y0 ), F1 (?c,0), F2 (c,0) ;则 3 b
2 2 MF1 ? MF2 ? (?c ? x0 ,? y0 )(c ? x0 ,? y0 ) ? x0 ? c2 ? y0 ? 1

? x0 ? y0 ? c2 ?1
2 2

2

2


2
2 代入①得 y0 ?

x0 y 3 y0 2 ? 02 ? 1 解出 x0 ? 3 ? 2 从 3 b b
由 y0 >0 得:1< b <3
2
2

b 2 (b 2 ? 1) 3 ? b2

2 2 2 2 2 2 又由 ①得 x0 ? y0 ? c ?1 ? 3 ? b ?1 ? 4 ? b ? b

?b2 ? 2

?1 ? b 2 ? 2
1 b4 ? b2 1 1 S?MF1F2 ? ? 2c | y0 |? 3 ? b 2 ? ? b 4 ? b 2 ? (b 2 ? ) 2 ? 2 2 3?b 2 4
当 b ? 2 时, S?MF1F2 最大为 2
2

x2 y2 此时椭圆的方程为 3 ? 2 ? 1
即 S?MF1F2 最大时,椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 3 2


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