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第一章-三角函数-必修4_图文

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第一章

三角函数

1.1 任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 ? 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像与性质 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像? 1.6 三角函数模型的简单应用 ?? 本章总结提升?

第一章

三角函数

1.1 任意角和弧度制

1.1.1 任意角

1.1.1 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)结合具体实例认识角的概念推广的必要性.理解并掌握 正角、负角、零角的定义.理解任意角以及象限角、坐标轴上 的角的概念,初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.掌握 所有与α 角终边相同的角(包括α 角)的表示方法,能熟练写出 与α 角终边相同的角的集合.能表示特殊位置(或给定区域内) 的角的集合.能进行简单的角的集合之间的运算. (2)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念;揭示 知识背景,引发学生学习兴趣.创设问题情景,激发学生分析、 探求的学习态度,强化学生的参与意识.

1.1.1 │ 三维目标
【过程与方法】 通过创设情景“转体720°,逆(顺)时针旋转”,角有大于 360°的角、零角和旋转方向不同所形成的角等,引入正角、 负角和零角的概念. 角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限 角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同 的角,画出终边所在的位置,找出它们的关 系,探究终边相同的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练 习. 【情感、态度与价值观】 (1)通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识, 即角有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角与 角之间的关系. (2)理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化的观 点认识事物.

1.1.1 │ 重点难点 重点难点
【重点】 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法及判 断方法. 【难点】 角的概念的推广,终边相同的角的表示.

1.1.1 │ 教学建议 教学建议
由于任意角的概念具有抽象性,因此可以利用单位圆和直 角坐标系,引导学生用数形结合的思想方法来认识,也可利用 几何画板,通过角的终边的旋转过程使学生形象、直观地认识 角的变化与终边位置的关系,同时注重对终边相同角的表示法 的教学与训练.

1.1.1 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 思考:小时候骑自行车,初学时骑得慢,一秒钟车轮大概转四 分之一圈,约合90°,长大后,我们不但学会骑自行车,还学 会了骑电动车.由于电动车速度较快,一秒钟车轮不止转一圈, 那么这时一秒钟要转过多少度呢?又比如:公交车正常运行时 车轮一秒钟大概转过多少度呢?车子倒退时一秒钟大概又转过 多少度呢? 拿出轮子模型,实际操作 我们发现,一秒钟转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于 0°~360°之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任 意角.

1.1.1 │ 新课导入
【导入二】 1.回忆:初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.这种概念的优 点是形象、直观、容易理解,它的弊端在于“狭隘”. 师:初中时,我们已经学习了0°~360°角的概念,它是如何 定义的呢? 生:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所形成的图形. 师:如图,一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针 方向旋转到终止位置OB,就形成角α .旋转开始时的射线OA叫作 角的始边,旋转结束时的射线OB叫作终边,射线的端点O叫作角 α 的顶点.

1.1.1 │ 新课导入

师:时钟快了5分钟,现要校正,需将怎样旋转分针?如果时 钟慢了5分钟,又该如何校正? 生:逆时针旋转30°;顺时针旋转30°. 师:互相啮合的两个齿轮,被动轮随着主动轮的旋转而旋转, 那么,它们的旋转方向怎么样?它们旋转的角度大小一样吗? 生:它们的旋转方向相反,两个齿轮旋转的角度大小与它们半 径的大小有关系,只有当两个齿轮一样大时,它们的 旋转的角度才是一样的,否则不一样.

1.1.1 │ 新课导入
师:描述一些现象,不仅要知道角形成的结果,还要知道角形 成的过程,即既要知道旋转量,还要知道旋转方向.用扳手拧 螺母,跳水运动员身体旋转,说明旋转第二周、第三周、?, 则形成了更大的角,这些角显然超出了我们已有的认识范围. 本节课将在已掌握角的范围基础上,重新给出角的定义,并研 究这些角的分类及记法.

1.1.1 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 任意角 端点 从一个位置旋 射线 绕着________ 1.角的概念:平面内一条________ 转到另一个位置所成的图形. 负角 正角 、________ 2.角的分类:按旋转的方向可将角分成________ 、 零角 .我们规定,按逆时针方向旋转形成的角为________ 正 ________ 角;按 负 顺时针方向旋转形成的角为________ 角;如果一条射线没有作任何旋 零 转,我们称它形成了一个________ 角.

1.1.1 │ 预习探究

[思考] 众所周知,零角的始边与终边重合,如果一个角的终 边和始边重合,那么这个角一定是零角吗?

解:不一定.若角的终边未作旋转,则这个角是零角;若角 的终边作了旋转,且终边和始边重合,则这个角不是零角,如 360°角.

1.1.1 │ 预习探究

[探究] -30°与20°哪一个更大?
解:20°更大.因为正角>零角>负角,所以20°>-30°.

1.1.1 │ 预习探究

知识点二 象限角 3.在直角坐标系中,我们使角的顶点与________ 原点 重合, x轴的非负半轴 重合,那么,角的终边在 角的始边与________________ 第几象限 ________,我们就说,这个角是第几象限角.如果角的终边 在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

?

1.1.1 │ 预习探究

[探究] 2014°角、-2014°角分别是第几象限角?

解:2014°=5?360°+214°,其终边在第三象限, 故2014°角是第三象限角.-2014°=-6?360°+146 °,其终边在第二象限,故-2014°角是第二象限角.

1.1.1 │ 预习探究

?

知识点三 终边相同的角 4.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集 {β|β=α+k?360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的 合S=__________________________ 角,都可以表示成角α与________ 整数个 周角的和.

1.1.1 │ 预习探究
[探究] 与-457°角终边相同的角的集合是( A.{α|α=k?360°+457°,k∈Z} B.{α|α=k?360°+97°,k∈Z} C.{α|α=k?360°+263°,k∈Z} D.{α|α=k?360°-263°,k∈Z} )

C [解析] 与-457°角终边相同的角是α=k?360°- 457°,k∈Z,而α=k?360°+263°=(k+2)?360°+ 263°-720°=(k+2)?360°-457°,k∈Z.故选C.

1.1.1│ 备课素材
备课素材

1.角的概念与分类疑难点 (1)在列举不在 0°~360°之间的角时,应注意所有的角在同一平面 内,且在终边旋转过程中,角的顶点不动. (2)要注意旋转方向对角的正负的影响.

1.1.1│ 备课素材

2.象限角与终边相同角的表示 (1)象限角的判断方法有两种:一是根据图像,其依据是终边相同角 的思想; 二是先将已知角化为 k?360°+α (0°≤α <360°, k∈Z) 的形式,即找出与已知角终边相同的角 α ,再由角 α 所在的象限判 定已知角所在的象限. (2)求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已 知角终边相同的角的一般形式,再依据条件构建不等式求出 k 的值,

k 的正确取值是关键.

1.1.1 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 任意角的概念与分类?

例1 给出下列结论: ①锐角都是第一象限角; ②第一象限角一定不是负角; ③第二象限角是钝角; ④小于180°的角是钝角、直角或锐角. 其中正确结论的序号为________.(把所有正确结论的序号 都填上)

1.1.1 │ 考点类析

① [解析] ①锐角是大于0°且小于90°的角,终边在第一 象限,故锐角是第一象限角,所以①正确;②-330°角是第一 象限角,但它是负角,所以②不正确;③480°角是第二象限 角,但它不是钝角,所以③不正确;④0°角小于180°角,但 它既不是钝角,也不是直角或锐角,故④不正确.

1.1.1 │ 考点类析

例2 (1)时间过了2小时30分,分针转过的角度是______. (2)若将钟表拨慢10分钟,则时针转了________度,分针转 了________度. (3)-20°角是按________(填“顺”或“逆”)时针方向旋转 ________所成的角.体操运动员按逆时针方向旋转360°所成的 角是________. (4)已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟,那么,经 过一节课,分针旋转形成的角是( ) A.120° B.-120° C.270° D.-270°

1.1.1 │ 考点类析
(4)D 1 [解析] (1)所求分针转过的角度为(-360°)?2+ =-900°. 2 360° (2)由题意可知,时针按逆时针方向转了10? =5°, 12?60 360° 分针按逆时针方向转了10? 60 =60°. (3)因为负角是按顺时针方向旋转形成的,所以-20°角是 按顺时针方向旋转20°所成的角.按逆时针方向旋转形成的角是 正角,故体操运动员按逆时针方向旋转360°所成的角是360°. (4)分针旋转形成的角是负角,故所求分针旋转形成的角是 45 (-360°)?60=-270°. (1)-900° (2)5 60 (3)顺 20° 360°

2.1.1 │ 考点类析

?
? ? ? ? ?

考点二

象限角的理解
? ? ? ? ?

[导入] 终边在第一象限的角的集合为 α|k?360°<α<k?360°+90°,k∈Z ________________________________________ ; 终边在第二象限的

α|k?360°+90°<α<360°?k+180°,k∈Z 角的集合为______________________________________________ ;
终边在第三象限的角的集合为 α|k?360°+180°<α<k?360°+270°,k∈Z ; ____________________________________________ 终边在第四象
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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α|k?360°+270° <α<k?360°+360°,k∈Z . 限的角的集合为__________________________________________

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

1.1.1 │ 考点类析
例3 α 如果α是第三象限角,那么2,2α的终边在第几象限?

解:∵α是第三象限角,∴k?360°+180°<α<k?360°+ 270°(k∈Z), α ∴k?180°+90°< <k?180°+135°(k∈Z). 2 α 当k=2n(n∈Z)时,n?360°+90°< 2 <n?360°+135° α (n∈Z),∴ 2 是第二象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,n?360°+ α α 270°< <n?360°+315°(n∈Z),∴ 是第四象限角. 2 2 k?720°+360°<2α<k?720°+540°(k∈Z),即(2k+ 1) ?360°<2α<(2k+1) ?360°+180°(k∈Z),∴2α的终边在 第一、二象限或在y轴的非负半轴上.

1.1.1 │ 考点类析
【变式】 已知角α的终边过点P((-2)-1,log2sin 30°),则 角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

1 1 C [解析] ∵(-2) =-2,log2sin 30°=log2 2=-1, ? 1 ? ∴点 P 的坐标为?-2,-1?,∴点 P 在第三象限,∴角 α 是 ? ? 第三象限角. [小结] 解决此类问题,要先确定 α 的范围,进一步确定出 nα α 或n(n≠0)的范围,再根据 k 与 n 的关系进行讨论.
-1

1.1.1 │ 考点类析

?

考点三

终边相同的角的求解

不一定 相等,但相等的角终边一 [导入] 终边相同的角________ 360° 的整 定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差________ 数倍.

1.1.1 │ 考点类析
例 4 (1)在 0°~360°内,与-950°12′角终边相同的角是 129°48′ ________ ,它是第________ 象限角. 二 (2)终边在 x 轴的非负半轴上的角的集合为 {α|α=k?360°,k∈Z} __________________________ ,终边在 x 轴的非正半轴上的角的 {α|α=k? 360°+180°, k∈Z} ,终边在 x 轴上的角的 集合为______________________________ {α|α=k?180°,k∈Z} 集合为_____________________________ .

1.1.1 │ 考点类析

【变式】终边在直线 y=-x 上的角的集合 S= __________________,集合 S 中适合不等式-360°≤β<720° 的元素 β 为______________________.

1.1.1 │ 考点类析
{β|β=135°+k?180°,k∈Z} 315°,495°,675° -225°,-45°,135°,

[解析] 由题意可知,终边在直线y=-x上的角有两种情况:① 当终边在第二象限时,可知{β|β=135°+k?360°,k∈Z};②当 终边在第四象限时,可知{β|β=315°+k?360°,k∈Z}. 综合①②可得,终边在直线y=-x上的角的集合S={β|β= 135°+k?180°,k∈Z}. 由135°-2?180°=-225°,135°-1?180°=-45°, 135°+0?180°=135°,135°+1?180°=315°,135°+ 2?180°=495°,135°+3?180°=675°,得S中适合-360°≤ β<720°的元素β为-225°,-45°,135°,315°,495°,675 °.

1.1.1 │ 考点类析
[小结] (1)因为任意一个角 α 均可写成 k?360°+α1(0°≤ α1<360°)的形式, 所以与角 α 终边相同的角(连同角 α 在内)的集合 可写成{β|β=k?360°+α1,k∈Z}.(2)确定终边在某条射线或直 线上的角时,应首先确定在 0°~360°内,终边在该射线或直线 上的角的大小,然后再用表示终边相同的角的方法表示出来.

1.1.1 │ 考点类析
【拓展】写出终边落在图 111 中阴影部分的角的集合.

图 111

1.1.1 │ 考点类析

解: 设终边落在阴影部分的角为 α ,则角 α 的集合为即 {α|k?360°+30°≤α<k?360°+105°,k∈Z}∪{α|k?360° +210°≤α<k?360°+285°,k∈Z}, 故所求终边在阴影部分的角的集合为{α|k?180°+30°≤ α<k?180°+105°,k∈Z}.

1.1.1│ 备课素材
备课素材
1.任意角的概念 “旋转”的关键点:①要明确旋转的方向;②要明确旋转量的大小;③要明确 射线未作任何旋转时的位置. [例](1)经过 2 个小时,钟表上的时针旋转了( ) A.60° B.-60°C.30° D.-30° (2)如图所示,角 α,β 均是以 OA 为始边,以 OC 为终边的角,则 α=________, β=________.

[答案] (1)B

(2)-150°

210°

360° [解析] (1)钟表的时针旋转一周是-360°,其中每小时旋转- =-30°, 12 所以经过 2 个小时应旋转-60°.(2)由图易知,α=-150°,β=210°.

1.1.1│ 备课素材

2.终边相同的角、象限角及落在某范围或某象限的角的表示 (1)借助于{α |α =β +k?360°,k∈Z},然后调整 k 的值,使 β 的终边 在所给范围内即可. (2)利用不等式求解此类题型是常见方法, 另也可直接试探取 k=1, 0, -1, -2 等值,看是否能使角的终边在所给范围内. [例]已知 α =-1910°. (1)把 α 写成 β +k?360°(k∈Z, 0°≤β <360°)的形式, 并指出它是第 几象限角. (2)求 θ ,使 θ 与 α 的终边相同,且-720°≤θ <0°.

1.1.1│ 备课素材

解:(1)-1910°=-6?360°+250°,易知 α 是第三象限角. (2)令 θ =250°+k?360°(k∈Z). ∵-720°≤θ <0°,∴-720°≤250°+k?360°<0°, 97 25 即- ≤k<- .∵k∈Z,∴k=-1 或-2, 36 36 即 θ =250°+(-1)?360°=-110°或 θ =250°+(-2)?360°=- 470°.

1.1.1│ 备课素材

3.写出终边在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法:一是分别写出 每条终边所代表的角的集合,再取并集;二是在其中一条终边上找出一个 角,然后再加上 180°的整数倍. [例]已知角 β 的终边在直线 3x-y=0 上. (1)写出角 β 的集合 S; (2)写出 S 中适合不等式-360°<β <720°的元素.

1.1.1│ 备课素材
解:(1)如图所示,直线 3x-y=0 过原点,倾斜角为 60°.在 0°~360° 范围内,终边在射线 OA 上的角是 60°,终边在射线 OB 上的角是 240°, 所以以射线 OA, OB 为终边的角的集合分别为 S1={β |β =60°+k?360°, k∈Z},S2={β |β =240°+k?360°,k∈Z},所以角 β 的集合 S=S1∪ S2={β |β =60°+k?360°,k∈Z}∪{β |β =240°+k?360°,k∈Z} ={β |β =60°+n?180°,n∈Z}.

1.1.1│ 备课素材

7 (2)-360°<β <720°,即-360°<60°+n?180°<720°,n∈Z,得- 3 11 <n< ,n∈Z,所以 n=-2,-1,0,1,2,3,所以 S 中适合不等式-360° 3 < β <720 °的元素为 60 °- 2?180 °=- 300 °, 60 °- 1?180 °=- 120°, 60°-0?180°=60°, 60°+1?180°=240°, 60°+2?180° =420°,60°+3?180°=600°.

1.1.1│ 备课素材

4.区域角及其表示方法 区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角,其写法可分为三步:(1)按逆 时针的方向找到区域的起始和终止边界; (2)按由小到大分别标出起始和终 止边界分别对应的-360°到 360°范围内的角 α 和 β ,写出最简区间 {x|α <x<β };(3)起始、终止边界分别对应的角 α ,β 加上 360°的整数 倍,即得区域角集合.

1.1.1│ 备课素材

[ 例 ] 若角 α 的终边在图中阴影所表示的范围内,则 α 角的集合为 ________.

[答案] {α |k?360°+60°≤α ≤k?360°+150°,k∈Z} [解析] 在 0°~360°范围内,终边在阴影范围内的角 60°≤α ≤150°, 故满足条件的角的集合为 {α |k?360°+ 60 °≤ α ≤ k ? 360 °+ 150 °, k∈Z}.

1.1.1 │ 当堂自测 当堂自测
1.将射线 OM 绕端点 O 按逆时针方向旋转 120°所得的角 为( ) A.120° B.-120° C.60° D.240°

[答案]A

1.1.1 │ 当堂自测

2.-30°角是( A.第一象限角 C.第三象限角

) B.第二象限角 D.第四象限角

[答案]D

1.1.1 │ 当堂自测
3.与 405°角终边相同的角的集合是( A.{α|α=k?360°-45°,k∈Z} B.{α|α=k?360°±405°,k∈Z} C.{α|α=k?360°+45°,k∈Z} D.{α|α=k?180°+45°,k∈Z} )

[答案]C

1.1.1 │ 当堂自测

4.已知角 2α 终边在 x 轴上方,那么角 α 的范围是( A.第一象限角的集合 B.第一或第二象限角的集合 C.第一或第三象限角的集合 D.第一或第四象限角的集合

)

[答案]C

1.1.1 │ 当堂自测

5.已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的 角},那么 A,B,C 的关系是( ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.A?C D.A=B=C

[答案]B

1.1.1│ 备课素材
备课素材
[小结] 1.角的概念的理解 (1)角的概念的三要素:顶点、始边、终边. (2)理解“旋转”的关键点:①要明确旋转的方向;②要明确旋转量的大小; ③要明确射线未作任何旋转时的位置. 2.研究象限角时应注意的问题 (1)前提条件:角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合. (2)并不是任何角都是象限角,如终边都落在坐标轴上的角叫作轴线角.

1.1.1│ 备课素材

3.表示与 α 终边相同的角时应注意的问题 (1)k 是整数,这个条件不能漏掉; (2)α 是任意角; (3)k?360°与 α 之间是“+”号,如 k?360°- 30 ° (k∈Z) 应看成 k?360°+(-30°)(k∈Z); (4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同. 下节课预习问题 在平面几何中,1°的角是怎样定义的?什么是角度制?

1.1.2 弧度制

1.1.2 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)明确1弧度的含义,了解弧度制的定义,领会弧度制定义的 合理性. (2)能熟练地进行角度制与弧度制的换算. (3)掌握并会运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式. (4)理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系. (5)使学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制与弧度制 都是度量角的方法,二者是辩证统一的,而不是孤立关系.

1.1.2 │ 三维目标

【过程与方法】 创设情景,引入弧度制度量角的大小,通过探究,理解并掌握 弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并 运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧 度制的互化,能正确使用计算器.

1.1.2 │ 三维目标

【情感、态度与价值观】 通过本节的学习,使学生掌握另一种度量角的单位制——弧度 制.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之 间建立了一一对应关系,即每一个角都有唯一的一个实数(即 这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一 的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应,为下一节学 习三角函数做好准备.

1.1.2 │ 重点难点 重点难点
【重点】 理解并掌握弧度制定义,能熟练地进行角度制与弧度制的互 化换算. 【难点】 理解弧度制定义,弧度制的运用.

1.1.2 │ 教学建议 教学建议
在我们所掌握的知识中,角的度量是用角度制,但是为了 以后的学习,我们引入了弧度制的概念,通过圆心角的弧度数 与弧长、扇形半径之间的关系式准确理解弧度制的定义,在理 解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.

1.1.2 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 有人问海口到三亚有多远时,有人回答约260公里,但也有人回答约160英 里,请问哪一种回答是正确的?(已知1英里≈1.6公里) 解:显然两种回答都是正确的,但为什么会有不同的数值呢?那是因为所 采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制.它们的长度单位是不 同的,但是,它们之间可以换算:1英里≈1.6公里. 在度量角时,也有类似的情况,一个是角度制,我们已经不再陌生,另外 一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制——弧度制.

1.1.2 │ 新课导入

【导入二】 教师:上节课我们学习了任意角的概念,那么任意角的概念是什么?怎样 分类的? 学生:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形.按旋转的方向可将角分成正角、负角、零角. 教师:与角α 终边相同的角怎样表示? 学生:与角α 终边相同的角连同α 在内可表示为k?360°+α (k∈Z). 教师:初中时我们已经学习了角度制,在角度制中,1°的角是怎么规定的? 学生:将圆周平均分成360份,一份弧所对的圆心角规定为1度角. 教师:日晷是我国古代利用日影角度的变化来度量时间的一种仪器.现在, 我们普遍使用的时钟,实际上也是根据时针、分针和秒针角度的变化来确 定时间的.无论采用哪种方法,度量一个确定的量所得到的数量必须是唯 一确定的.在初中,我们学习过利用角度来度量角的大小,对于角,除了 角度制,还可以用弧度制来度量.

1.1.2 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 角度制与弧度制 度 1.角度制:用________ 作为单位来度量角的单位制叫作角 度制. 半径长 的弧所对的圆心角叫作 1 2.弧度制:把长度等于________ 弧度的角,用符号________ 表示,读作________ rad 弧度 .用弧度作为 单位来度量角的单位制叫作弧度制.

1.1.2 │ 预习探究
[思考] 在半径分别为 1 cm,1.5 cm 的甲、乙两圆中,分别作出 等于其半径的弧长,连接圆心与弧的两个端点,得到两个角,这两 个角的大小有什么关系?它们的大小与半径大小有无关系?它们是 多大的角?

解:这两个角大小相等,它们的大小与半径大小无关,都是 1 弧度的角.

1.1.2 │ 预习探究

正数 ,负角的 3.角的弧度数:正角的弧度数是一个 ________ 负数 ,零角的弧度数是________ 弧度数是一个________ .如果半径 0 为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l,那么,角 α 的弧度数的 l r 绝对值是|α|=________. 实数集 R 4.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与 ________ 一一对应 之间建立起 ____________ 的关系:每一个角都有唯一的一个 实数 弧度数 与它对应;反过来,每一个实 ________( 即这个角的________) 角 弧度数 等于这个实数的角) 数也都有唯一的一个________( 即________ 与它对应.

1.1.2 │ 预习探究
? 知识点二 角度制与弧度制的互化 2π 360°=________rad ,180°=________rad , π π 0.017 45 , 1°=________rad ≈__________rad 180 ?180? ? ?° π ? ? 1 rad=________ ≈57.30°=________. 57°18′

1.1.2 │ 预习探究

[探究] 利用角度制与弧度制的关系,完成下面的表格. 角度 0° 15° 30° 弧度 角度 45° 60° 75° 弧度 角度 90° 120° 135° 弧度 角度 150° 180° 360° 弧度

1.1.2 │ 预习探究

角度 弧度 角度 弧度

0° 15° π 0 12

30° π 6

45° π 4

60° π 3

75° 5π 12

90° 120° 135° 150° 180° 360° π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 2π

1.1.2 │ 预习探究

? 知识点三 弧长公式与扇形面积公式 扇形所在圆的半径为 r,弧长为 l,α(0<α<2π)为圆心角的弧 αr 2r+αr ,扇形面积 S 度数,则扇形弧长 l=________ ,周长为________ 1 1 2 lr αr 2 2 =________=________.

1.1.2│ 备课素材
备课素材
1.对于角度制与弧度制的理解 (1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位,角的大小都是一个与其所在扇形半 径大小无关的定值,扇形半径仅仅是为了能使概念更具体的一个 “过渡量” 而已. (2)以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写,这时弧度数 在形式上虽是一个不名数,但我们应该把它理解为名数,如 sin 2 是指 sin(2 弧度),π =180°是指π 弧度=180°.如果以度为单位表示角时,度就不能 省去. (3)以弧度为单位表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式,如无特殊要 π 求,不必把π 写成小数,如 45°= 4 弧度,不必写成 45°≈0.785 弧度. π (4)角度制和弧度制不能混用,如 α=2kπ +30°(k∈Z),β=k· 90°+ 4 (k ∈Z),都不正确.

1.1.2│ 备课素材

2.弧度与角度的换算 (1)弧度制与角度制的换算是一种比例关系的变形. 在进行角度与弧度的换 算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得,度数? 数,弧度数? π =弧度 180

180 π 180 °=度数,牢记 1°= rad,1 rad= °. π 180 π

(2)特殊角的弧度数与度数的对应值今后常用,应该熟记.

1.1.2│ 备课素材

3.运用扇形弧长及面积公式时,应注意的问题 (1)由扇形的弧长及面积公式可知,对于 α ,r,l,S 中“知其二求其二”, 它实质上是方程思想的运用. (2)用弧度制表示的扇形弧长与面积公式比用角度制表示的公式要简单得 多,但要注意运用公式的前提条件是“弧度制”.若角是以“度”为单位, 则必须先化成弧度,再计算. (3)在运用弧度制下的扇形弧长与面积公式时, 还应熟练掌握这两个公式的 变形运用:①l=|α |?r,|α |= ,r=

l r

1 2S 2 ;②S= |α |r ,|α |= 2 . |α | 2 r

l

1.1.2 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 弧度制的概念
例1 (1)下列说法正确的是( ) A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小

1.1.2 │ 考点类析

(2)下列说法正确的是( ) A.在弧度制下,角的集合与正实数集之间建立起一一对应 的关系 B.每个用弧度制表示的角,都有唯一的用角度制表示的角 与之对应 C.用角度制和弧度制度量任一角,单位不同,量数也不同 2π D.-120°对应的弧度制角是 3

1.1.2 │ 考点类析

(3)下列说法正确的是________. (把所有正确说法的序号 都填上) π ①60 弧度的角用角度制表示为3度; ②弧度数一定为正数; ③长度为直径长的弧所对的圆周角等于 1 弧度.

1.1.2 │ 考点类析

(1)D (2)B (3)③ [解析] (1)1 弧度是长度等于半径长的 弧所对的圆心角的大小. (2)A 项中,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立起一 一对应的关系,不是正实数集,故 A 项错误;B 项是正确的;C 项中, 用角度制和弧度制度量零角时, 单位不同, 但量数相同(都 2π 是 0),故 C 项错误;-120°对应的弧度制角是- 3 ,故 D 项 错误. π (3) 弧度的角用角度制表示为 60°,故①错误;弧度数还 3 可以为负数或 0, 故②错误; 长度为直径长的弧所对的圆周角等 于长度为半径长的弧所对的圆心角,即等于 1 弧度,故③正确.

1.1.2 │ 考点类析
? 考点二 角度制与弧度制的互化

[导入] 设一个角的弧度数为 α,角度数为 n,则 α rad= π 180 180 π (α?________) °,n°=n?________rad. 注意:度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化为弧度.

1.1.2 │ 考点类析

例2

(1)把下列角度化成弧度:

35 5π -6 ①-150°=__________ ; ②2100°=__________ ; 3π π 5π ③11°15′=__________ ;④112°30′=__________ . 16 8
(2)把下列弧度化成角度: π 5π -300° 30 ° ①6=__________; ②- 3 =__________; -75° 81° 9π 5 ③20=__________;④-12π=__________.

1.1.2 │ 考点类析
例3 16π (1)把 3 ,-315°分别化为 2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)

的形式. (2)用弧度表示顶点在原点,终边在图 112 中阴影部分内的 角的集合(不包括边界).

图 112

1.1.2 │ 考点类析
16π 4π 4π 16π 4π 解:(1)① =4π+ .∵0≤ <2π,∴ =2?2π+ . 3 3 3 3 3 π 7π π ②-315°=-315? =- =-2π+ . 180 4 4 π π ∵0≤4<2π,∴-315°=-2π+4. π π (2)∵330°=360°-30°=2π- ,而60°= ,∴满足条 6 3 ? ? ? π π 件的角的集合为?θ?2kπ-6<θ<2kπ+3,k∈Z?. ? ? ?

1.1.2 │ 考点类析
【变式】 用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为 ? ? π ?α|2kπ+ <α<2kπ+π,k∈Z? 2 ? ? _____________________________ .

1.1.2 │ 考点类析

[小结] (1)用弧度制表示区域角,实质是角度制表示区域角 在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算,注意 要统一单位. (2)终边在同一直线上的角可以表示为{x|x=α+kπ(k∈Z)}, 终边在两条互相垂直的直线上的角可以表示为 ? ? ? π ?x?x=α+k? (k∈Z)?. 2 ? ? ?

1.1.2 │ 考点类析
【拓展】 用弧度制表示象限角与轴线角.
解:(1)象限角的表示: 角α终边所在象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 集合
? ? ? π ?α?2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? π ?α?2kπ+ <α<2kπ+π,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? 3 ?α?2kπ+π<α<2kπ+ π,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? 3 ?α?2kπ+ π<α<2kπ+2π,k∈Z? 2 ? ? ?

1.1.2 │ 考点类析
(2)轴线角的表示: 角α终边所在的坐标轴 x轴的非负半轴 x轴的非正半轴 x轴 y轴的非负半轴 y轴的非正半轴 y轴 集合 {α|α=2kπ,k∈Z} {α|α=2kπ+π,k∈Z} {α|α=kπ,k∈Z} ? ? ? π ?α?α=2kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? π ?α?α=2kπ- ,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? π ?α?α=kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ?

1.1.2 │ 考点类析
? 考点三 弧长公式和扇形面积公式的应用

考向一 弧长公式 例 4 (1)在已知圆 O 内,1 rad 的圆心角所对的弦长为 2,则 这个圆心角所对的弧长为( ) 1 1 1 1 A.sin B. C.cos D. 2 1 2 1 sin 2 cos 2 (2)扇形 OAB 的面积是 1 cm2, 它的周长是 4 cm, 则它的圆心 角为________,弧 AB 的长为________.

1.1.2 │ 考点类析
(1)B (2)2 rad 2 [解析] (1) 如图所示,设1 rad的圆心角所 对的弦为AB. 由圆心O向弦AB作垂线,垂足为C,则C为AB的中点. 1 ∵∠AOB=1 rad,AB=2,∴圆的半径r= ,∠AOC= 2 CA rad,AC=1.在△AOC中,sin∠AOC=OA, 1 1 即OA= ,∴该圆心角所对的弧长为 1=r= 1. sin 2 sin 2

1.1.2 │ 考点类析
(2)设弧AB的长度为l,OA=r,则l=4-2r. 1 1 ∵S扇形= lr,∴ (4-2r)r=1,解得r=1,∴l=2. 2 2 l 2 设∠AOB的弧度数为α,则α=r= =2 rad. 1

1.1.2 │ 考点类析
考向二 扇形面积公式 例5 (1)已知扇形的周长为10,面积为4,求扇形的圆心角 的弧度数. (2)已知扇形的圆心角为108°,半径等于30cm,求扇形的面 积.
解:(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,所在 圆的半径为r.依题意得 消去l,得r2-5r+4=0,解 得r=1或r=4. 当r=1时,l=8,此时θ=8 rad>2π rad,故舍去. 2 1 当r=4时,l=2,此时θ= = rad,满足题意. 4 2 1 故θ=2 rad.

1.1.2 │ 考点类析
(2)设扇形的弧长为l. π 3 ∵108°=108?180=5π, 3 ∴l=5π?30=18π(cm). 1 故扇形的面积为2?18π?30=270π(cm2).

1.1.2 │ 考点类析
【变式】 已知扇形AOB的周长为8,求该扇形的面积取得最 大值时圆心角的大小和弦AB的长.

解:设扇形OAB所在圆的半径为R,且该扇形的面积为S,弧 长为l, 1 1 则S=2lR=2(8-2R)R=-(R-2)2+4(0<R<4), 所以当R=2时,S取得最大值4. 这时,弧AB的长为8-2R=4,圆心角为2. 又0<2<π,所以弦AB的长为2R?sin 1=4sin 1. [小结] 灵活运用扇形的弧长公式、面积公式列方程(组)求解 是解决此类问题的关键.

1.1.2│ 备课素材
备课素材
1.用弧度制表示角的集合 表示角的集合时,既可以用角度制也可以用弧度制,但只能用一种度 量制度表示,不能把角度与弧度混用. [例]角的终边落在坐标轴上的角的集合用角度制表示为________,用 弧度制表示为________. [答案] {α|α=k· 90°,k∈Z}
? ? ? kπ ?α?α= ? ? 2 ? ? ? ? ,k∈Z? ? ?

1.1.2│ 备课素材
2.用弧度制表示区域角的集合 根据已知图形写出区域角的集合的步骤:①仔细观察图形,写出区域边界 作为终边时角的表示;②用不等式表示区域范围内的角,边界对应的角应 再加上 2kπ (k∈Z). 注意事项:用不等式表示区域角的范围时,要注意角的集合是否能够合并, 这一点容易出错. [例]用弧度表示顶点在原点,始边在 x 轴的非负半轴,终边落在阴影部分 内(不包括边界,如图所示)的角的集合.

1.1.2│ 备课素材
π 2π 解:(1)以 OA 为终边的角为 +2kπ (k∈Z),以 OB 为终边的角为- + 6 3 2k π
? ? ?α ? ?

(k∈Z) , ∴ 阴 影 部 分 内 的 角 的 集 合 为
? π ? +2kπ <α < +2kπ ,k∈Z?. ? 6 ?

? 2π ? ?- 3 ?

π 2π (2)以 OA 为终边的角为 +2kπ (k∈Z),以 OB 为终边的角为 + 2k π 3 3 (k∈Z).不妨设右边阴影部分内的角的集合为 M1,左边阴影部分内角的集 合为 M2,则
? ? M2=?α ? ? ?2π ? ? 3 ? ? ? M1=?α ? ? ? ? ?2kπ ? ? π ? <α < +2kπ ,k∈Z?, ? 3 ? ? ? ,k∈Z?, ? ?

+2kπ <α <π +2kπ

∴阴影部分内的角的集合为 M1∪M2=
? ? ?α ? ? ? ? ?2kπ ? ? π 2π ? <α < +2kπ 或 +2kπ <α <π +2kπ ,k∈Z?. ? 3 3 ?

1.1.2│ 备课素材

3.扇形的弧长与面积 扇形的弧长与面积问题主要借助于弧长和面积公式,构造出方程 (组),然 后求解方程(组)得出相关的量,并将数学问题的解还原为实际问题的解, 这是解应用类问题时的一般思路. [例]已知一扇形的周长为 40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使 扇形的面积最大?最大面积是多少?

1.1.2│ 备课素材

解:设扇形的圆心角为 θ ,半径为 r,弧长为 l,面积为 S, 则 l+2r=40,∴l=40-2r(0<r<20), 1 1 ∴S= lr= ?(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+100, 2 2 ∴当半径 r=10 cm 时,扇形的面积最大,最大值为 100 cm2,

l 40-2?10 此时 θ = = =2(rad). r 10

1.1.2 │ 当堂自测

当堂自测
1.把-300°化为弧度是( 4π 5π A.- 3 rad B.- 3 rad 7π 7π C.- 4 rad D.- 6 rad
[答案]B

)

1.1.2 │ 当堂自测
8π 2.把 5 化为角度是( A.270° B.280°

) C.288° D.318°

[答案]C

1.1.2 │ 当堂自测
3.经过一小时,时针转过了( π π A.6 rad B.-6 rad π π C.12 rad D.-12 rad )

[答案]B

1.1.2 │ 当堂自测
? ? ? kπ π ?α?α= - ,k∈Z? 2 5 ? ? ?

4.已知集合M=

,N={α|-π<α≤

π},则M∩N为( ) ? π 3π? A.?-5,10? ? ? ? π 3π 4π 7π? C.?-5,10, 5 ,-10? ? ?

? 7π 4π? B.?-10, 5 ? ? ? ?3π 7π? D.?10,-10? ? ?

[答案]C

1.1.2 │ 当堂自测
5.已知某扇形所在圆的半径为R,且该扇形的面积为R2,那 2 么这个扇形的圆心角的弧度数是________ .

1.1.2│ 备课素材
备课素材
[小结] 1.弧度制与角度制的区别与联系 (1)区别:①单位不同,弧度制以“弧度”为度量单位,角度制以“度” 为度量单位;②定义不同. (2)联系:不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与扇 形的半径大小无关的定值. 2.所有与弧长及扇形面积有关的题目都可以通过解
错误!

得到结论.

3.求在一定的约束条件下,与角 α 终边相同的角的一般方法是:首 先将所求角表示成 2kπ +α(k∈Z)且 0≤α<2π 的形式,然后在约束条 件下确定 k 的值,从而确定适合条件的角.

1.1.2│ 备课素材

下节课预习问题 1.你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角的三角函数 吗? 2.如何定义任意角的三角函数的正弦、余弦和正切? 3.任意角的三角函数在各象限的符号如何确定? 4.诱导公式一的结构特征与作用是什么?

1.2 任意角的三角函数

1.2.1 任意角的三角函数

1.2.1 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的 定义,熟记这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符 号. (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法. (3)学会利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、 余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (4)掌握并能初步运用公式一. (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函 数.

1.2.1 │ 三维目标

【过程与方法】 初中学过锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值 的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角 的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到三角函数 的定义.根据角终边所在位置的不同,分别探讨各三角函数的 定义域以及三角函数值在各象限的符号.最后主要是借助有向 线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固练习.

1.2.1 │ 三维目标
【情感、态度与价值观】 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有 自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来 定义,这种定义方法能够表现出从锐角的三角函数到任意角的 三角函数的推广,有利于引导学生从已有认知基础出发学习三 角函数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影 响.“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一 般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比 值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也 有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解.

1.2.1 │ 重点难点 重点难点
【重点】 借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,掌握正弦、 余弦、正切函数的定义域和函数值在各象限的符号;掌握并能熟练运用诱 导公式一(终边相同的角的同名三角函数值相等),会用单位圆中的三角函 数线表示角的正弦、余弦、正切. 【难点】 用角的终边上的点的坐标来求角的三角函数 (正弦、余弦、正切),三角函 数的符号,正弦、余弦、正切函数的定义域和函数值在各象限的符号.利 用诱导公式一求值与化简.利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正 弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.

1.2.1 │ 教学建议 教学建议
任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位 圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、 余弦函数从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个 函数之间的关系.教学时,可以利用信息技术,建立角的终边 与单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并 在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来,帮助学生更 好地理解三角函数的本质. 另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直 接,数形结合更加紧密,这就为后续内容的学习带来方便.

1.2.1 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 教师:锐角α 的正弦、余弦、正切怎样表示? 学生:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数. 教师:你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

1.2.1│ 新课导入
学生:如图所示,设锐角α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴 重合,那么它的终边在第一象限.在α 的终边上任取一点 P(a,b),它与原 点的距离 r=>0.过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,故线段 OM 的长度为 a,线段 MP b OM a MP b

MP 的长度为 b,故 sin α = OP = r ,cos α = OP = r ,tan α =OM=a.

教师:上述锐角α 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的 概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利于推 广到任意角呢?本节课就研究这个问题——任意角的三角函数.

1.2.1│ 新课导入
【导入二】 春暖花开,“野芳发而幽香”,夏阳似火,“佳木秀而繁荫”,草枯草绿几 度秋,冬去春来又一年,以季节为 x 轴,以寒热为 y 轴,冷冷暖暖,一年一 次循环, 一年一个周期. 三角函数是否也有这样“周而复始”的变化规律呢?

1.2.1 │ 新课感知 新课感知
1.“万事俱备,只欠东风”是《三国演义》中的故事, 探讨“东风”是“火烧赤壁”的什么条件? 2.前面讨论了“若 p,则 q”形式的命题的真假判断, 请同学们判断下列命题的真假, 并说明条件和结论有什么关 系? (1)若 x=y,则 x2=y2; (2)若 ab=0,则 a=0; (3)若 x2>1,则 x>1; (4)若 x=1 或 x=2,则 x2-3x+2=0.

1.2.1 │ 新课感知

1.解:“东风”对“火烧赤壁”是必不可少的,故“东风” 是“火烧赤壁”的是必要条件. 2.解: (1)(4) 为真,当其中的条件成立,结论一定成立; (2)(3)为假,当其中的条件成立时,结论不一定成立.

1.2.1 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 单位圆 在直角坐标系中,称以________ ________为半 原点O 为圆心,以 单位长度 径的圆为单位圆.

1.2.1 │ 预习探究

?

知识点二 三角函数的定义 1.定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么: sin α=y; sin α ,即________ y 叫作α的正弦,记作_____ (1)____ cos α=x; x 叫作α的余弦,记作_____ cos α ,即________ (2)____
y y tan α=x(x≠0) . tan α ,即_____________ (3)____ x 叫作α的正切,记作_____

1.2.1 │ 预习探究
π +kπ(k∈Z) 2.当α=_____________________ 时, α的终边在y轴上, 2 y tan α=x 这时____________ 无意义.除此之外,对于确定的角α,sin α, 唯一确定的 cos α,tan α都是________________ .所以,正弦、余弦、正切 角 为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的________ 比值 都是以_____ 为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数 ________.

1.2.1 │ 预习探究
[思考] 一般地,对任意角α,在α的终边上任取一点P(异 于原点),其坐标为(x,y),且|OP|=r,则α的正弦、余弦、正 切分别为多少?
y x y 解:sin α=r ,cos α=r ,tan α=x(x≠0).

1.2.1 │ 预习探究
? 知识点三 三角函数值在各象限的符号

图121 记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

1.2.1 │ 预习探究
[探究] 已知α是第三象限角,设sin αcos α=m,则( A.m>0 B.m=0 C.m<0 D.m的符号不确定 )

A

[解析] ∵α是第三象限角,∴sin α<0,cos α<0,∴m>0.

1.2.1 │ 预习探究
? 知识点四 公式一 相等 ,即 终边相同的角的同一三角函数的值________ sin α sin(α+k?360°)=________ ,cos(α+k?360°)= cos α ________ , tan α tan(α+k?360°)=________( 其中k∈Z).

1.2.1 │ 预习探究
[讨论] 公式一揭示了什么规律,有什么用处?
解:公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相 等. 利用公式一可以把任意角的三角函数值转化为0°~360° 角的三角函数值.

1.2.1 │ 预习探究

[探究] 已知sin 5.1°=m,则sin 365.1°=( A.1+m B.-m C.m D.与m无关

)

C

[解析] sin 365.1°=sin(360°+5.1°)=sin 5.1°=m.

1.2.1 │ 预习探究
? 知识点五 三角函数线 方向 的线段叫作有向线段. 1.有向线段:带有________ 2.角α的终边与单位圆交于点P,过P作x轴的垂线,垂足 为M.再过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边(或其反向 延长线)交于点T,对于有向线段OM,MP,AT,则有sin α= MP OM AT ________ ,cos α=__________ ,tan α=________ . 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT分 正弦线 、________ 余弦线 、________ 正切线 ,统称为 别叫作角α的________ 三角函数线 . ____________ 当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个 点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合 一个点 ,正切线________ 不存在 ,此时角α的正切 时,余弦线变成________ 值不存在.

1.2.1 │ 预习探究
[探究] 如图124所示,P是角α的终边与单位圆的交点, PM⊥x轴于M,AT和A′T′均是单位圆的切线,则角α的( )

图124 A.正弦线是PM,正切线是A′T′ B.正弦线是MP,正切线是A′T′ C.正弦线是MP,正切线是AT D.正弦线是PM,正切线是AT

[答案]C

1.2.1│ 备课素材
备课素材
1.对三角函数概念的理解应注意的事项 (1)三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 P(x,y)在 终边上的位置无关,只由角 α 的终边位置确定,即三角函数值的大小 只与角有关. (2)sin α ,cos α ,tan α 分别是一个整体,离开 “α”,“sin ”“cos” “tan”不表示任何意义,更不能把“sin α ”当成“sin”与“α”的乘积.

1.2.1│ 备课素材

2.三角函数线的常见应用 (1)三角函数线可以用来求满足形如 f(α )=m 的三角函数的角 α 的 终边. (2)三角函数线可以用来解决简单的三角不等式. (3)运用三角函数线来比较两个三角函数值的大小,关键在于准确地 找出两个角的三角函数线.

1.2.1│ 备课素材

3.用三角函数线解关于三角函数的不等式的步骤 用单位圆中的三角函数线解关于三角函数的不等式可分为如下三步 来进行:首先,在单位圆内找出满足使不等式中等号成立时的角;其 次,根据三角函数线,在单位圆内找出满足不等式的角,并在单位圆 中用阴影表示出来;最后,利用不等式表示出满足条件的角(尤其要 注意的是要在不等式的两端加上 2kπ ,并注明 k∈Z 的条件).

1.2.1 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 求任意角的三角函数值
例1 (1)已知角α的终边与单位圆交于点 则角α 的正弦、余弦和正切值分别为( ) 3 1 3 1 A. 2 ,2, 3 B.- 2 ,2,- 3 3 1 1 3 3 C.- 2 ,-2, 3 D.2,- 2 ,- 3 (2)若角α的终边在直线y=2x上,则sin α=________,cos α= ________,tan α=________.

1.2.1 │ 考点类析
2 5 5 (1)B (2)± 5 ±5 2 3 -2 3 1 [解析] (1)sin α=- ,cos α= ,tan α= =- 3. 2 2 1 2

1.2.1 │ 考点类析
(2)当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取一点P(1, 2). 2 2 5 1 由r=|OP|= 1 +2 = 5,得sin α= = ,cos α= = 5 5 5 5 2 5 ,tan α=1=2. 当角α的终边在第三象限时,在角α的终边上取一点Q(-1, -2 2 2 -2).由r=|OQ|= (-1) +(-2) = 5,得sin α= =- 5 -1 -2 2 5 5 5 ,cos α= 5 =- 5 ,tan α=-1=2.
2 2

1.2.1 │ 考点类析
(3)已知角α的终边过点P(-3cos
?π ? ? ,π?,求sin ?2 ?

θ,4cos

θ),其中θ∈

α,cos α,tan α的值.

?π ? 解:∵θ∈?2,π?, ? ?

∴-1<cos θ<0,∴|OP|= 9cos2θ+16cos2θ=-5cos θ, 4 3 4 ∴sin α=- ,cos α= ,tan α=- . 5 5 3

1.2.1 │ 考点类析
? 考点二 判断三角函数值的符号
一、二 象限或 [导入] 若sin α>0,则角α的终边在第__________ y轴的非负半轴 上. ______________

1.2.1 │ 考点类析
? α? α ? ? 为第二象限角,且 cos2 =-cos2,则角 ? ?

例 2 (1) 已知角 α

α ) 2的终边在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知 α∈(0,2π),且 sin α<0,cos α>0,则角 α 的取值范 围是( )

1.2.1 │ 考点类析
π (1)C (2)D [解析] (1)由题知 2kπ+2<α<2kπ+π(k∈Z),所 π α π α 以 kπ+ < <kπ+ (k∈Z).当 k=2n(n∈Z)时,角 的终边在第一 4 2 2 2 α 象限;当 k=2n+1(n∈Z)时,角2的终边在第三象限. ? α? α α α ? ? 又 cos2 =-cos2,∴cos2≤0,∴角2的终边在第三象限. ? ? (2)根据三角函数值在各象限的符号规律知,α 为第四象限 角.∵α∈(0,2π), ∴ 故选 D.

1.2.1 │ 考点类析
例3 确定下列各式的符号.

7π 7π (1)sin 105°?cos 230°;(2)sin 8 ?tan 8 ; (3)cos 6?tan 6;(4)sin α?cos α(α是第二象限角).

解:(1)∵105°,230°分别为第二象限角和第三象限角, ∴sin 105°>0,cos 230°<0,故sin 105°?cos 230°<0. 7π 7π 7π (2)∵ 是第二象限角,∴sin >0,tan <0, 8 8 8 7π 7π ∴sin 8 ?tan 8 <0. (3)∵6是第四象限角,∴cos 6>0,tan 6<0,故cos 6?tan 6<0. (4)∵α是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,故sin α? cos α<0.

1.2.1 │ 考点类析
【变式】 若sin α?cos α<0,则α是第________象限角.
二或等四 [解析] 由条件知,sin α与cos α异号,易知α是 第二或第四象限角. [小结] (1)准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数 值的符号的关键. (2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律.

1.2.1 │ 考点类析
|sin x| cos x |tan x| 【拓展】求函数y= + + 的值域. sin x |cos x| tan x
解:由题意知,角x的终边不在坐标轴上. sin x cos x tan x 当角x的终边在第一象限时,y=sin x+cos x+tan x=3; -tan x sin x cos x 当角x的终边在第二象限时,y=sin x+ + tan x =-1; -cos x -sin x cos x tan x 当角x的终边在第三象限时,y= sin x + + =-1; -cos x tan x -sin x cos x -tan x 当角x的终边在第四象限时,y= + + =-1. sin x cos x tan x |sin x| cos x |tan x| 故函数y= + + 的值域为{-1,3}. sin x |cos x| tan x

1.2.1 │ 考点类析
? 考点三 公式一的应用
[导入] 公式一的等号左、右两边为同名三角函数,公式左 边的角的形式为α+2kπ(k∈Z),右边的角为α,即终边相同的角 的同名三角函数值相等. 例4 (1)求下列正弦值: 9π sin =____________; 4 sin(-330°)=____________; sin(-660°)=____________.

1.2.1 │ 考点类析
(2)求下列余弦值: cos 2013π=__________; cos 780°=________. (3)求下列正切值: =____________;

7π tan 2013π=______________;tan =____________; 3 tan(-2100°)=____________.

1.2.1 │ 考点类析
2 1 (1) 2 2 3 2 (2)-1 3 1 (3)0 2 2 3 3

9 [解析] (1)sin 4 π=

π 2 =sin 4 = 2 ,sin(-330°)=

1 sin(30°-360°)=sin 30°= 2 ,sin(-660°)=sin(60°-720°) 3 =sin 60°= .(2)cos 2013π=cos(π+1006?2π)=cos π=-1, 2 ? 13π? ?11 ? 11 3 ? ? ? ? cos - 6 =cos 6 π-2?2π =cos 6 π= 2 ,cos 780°=cos(60° ? ? ? ? 1 +2?360°)=cos 60°=2.(3)tan 2013π=tan(π+1006?2π)=tan π ?π ? 7π π ? ? =0,tan 3 =tan 3+2π =tan 3 = 3 ,tan(-2100°)=tan(60°- ? ? 6?360°)=tan 60°= 3.

1.2.1 │ 考点类析
【变式】 (1)化简:mtan 0°+xcos 90°-psin 180°-qcos 270°-rsin 360°=________. (2)log2(4sin 1110°)=________.

(1)0 (2)1 [解析] (1)∵tan 0°=cos 90°=sin 180°=cos 270°=sin 360°=0,∴mtan 0°+xcos 90°-psin 180°-qcos 270°-rsin 360°=0. 1 (2)∵sin 1110°=sin(3?360°+30°)=sin 30°=2, ∴log2(4sin 1110°)= =log22=1. [小结] 利用公式一可以把求负角的三角函数值化为求0到2π 角的三角函数值,也可以把求大于2π的角的三角函数值化为求0 到2π角的三角函数值,即实现了“负化正,大化小”.

1.2.1 │ 考点类析
? 考点四 三角函数线的应用 [导入] 三角函数线是单位圆中某些特定的表示三角函数值 三角函数值 的绝对值, 的有向线段.三角函数线的长度等于______________ 正负 .其中,正弦线由________ 垂足 指向 方向表示三角函数值的________ 原点 α的终边与单位圆的交点;余弦线由__________ 指向垂足;正切 切点(1,0) 线由_____________ 指向切线与α的终边(或终边的反向延长线)的 交点.

1.2.1 │ 考点类析
1 例5 在单位圆中画出满足sin α= 的角α的终边. 2
1 解:如图所示,作直线y=2交单位圆于P,Q两点,则OP,OQ 为角α的终边.

1.2.1 │ 考点类析
1 1 【变式】 若将例5中的条件“sin α=2”改为“sin α≥2”, 请求出满足条件的角α的集合.
解:

1 如图所示,由正弦线的定义知,M1P1,M2P2是长度为 2 的正弦 π 5 1 线,且∠M1OP1= ,∠M1OP2= π,∴满足sin α≥ 的角α的集合 6 6 2 ? ? ? π 5π 为?α?2kπ+6≤α≤2kπ+ 6 ,k∈Z?. ? ? ?

1.2.1 │ 考点类析

[小结] 在解三角函数值为简单的特殊值 的等 式或不等式时,首先应在单位圆内找到满足条件的角的终边,然后 画出满足原等式或不等式的区域,最后将满足条件的角用集合表示 出来.

1.2.1 │ 考点类析

【拓展】 求函数 y= 2cos x-1的定义域.

解:∵2cos

x-1≥0,∴cos

1 x≥ ,∴该函数的定义域为 2

? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z). 3 3? ?

1.2.1│ 备课素材
备课素材
1.利用定义求三角函数值 (1)已知角 α 的终边在直线上时,常用的解题方法有两种:①先利用直 线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用正弦、余弦函数的定义求 出相应的三角函数值;②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况 处理,取射线上任意一点坐标 (a , b) ,则对应角的正弦值 sin α = b a b ,余弦值 cos α = 2 ,正切值 tan α =a(a≠0). a2+b2 a +b2 (2)当角 α 终边上的点的坐标以参数形式给出时, 要根据问题的实际情 况对参数进行分类讨论.

1.2.1│ 备课素材

[例]已知点 M 是圆 x2+y2=1 上的点, 以射线 OM 为终边的角 α 的正弦值为 - 2 ,求 cos α 和 tan α 的值. 2 2 2 ,即 y1=- . 2 2

解:设点 M 的坐标为(x1,y1).由题意可知,sin α =-
2 2 2 1 2 1 2 1

22 2 ∵点 M 在圆 x +y =1 上,∴x +y =1,即 x +- =1,解得 x1= 或 2 2 2 2 2 x1=- ,∴cos α = ,tan α =-1 或 cos α =- ,tan α =1. 2 2 2

1.2.1│ 备课素材

2.三角函数值符号的判断 准确确定三角函数中角的终边所在的象限是基础, 熟记三角函数在各 象限内的符号并牢记记忆口诀是解决这类问题的关键. [例]若 sin α =-2cos α ,判断 sin α tan α 的符号. 解:∵sin α =-2cos α ,∴sin α 与 cos α 异号, ∴α 是第二或第四象限角. 当 α 是第二象限角时,sin α >0,tan α <0,∴sin α ?tan α <0. 当 α 是第四象限角时,tan α <0,sin α <0,∴sin α ?tan α >0.

1.2.1│ 备课素材

3.利用诱导公式一求三角函数值 (1)解此类问题的方法是先借助于诱导公式一把已知角化到[0,2π )之间, 然后再求三角函数值. (2)要熟记特殊角的三角函数值,这是解题的基础. [例]求下列各式的值. (1)cos 25 15 π +tan- π ; 3 4

(2)sin 810°+tan 765°-cos 360°. π π π π 1 3 解:(1)原式=cos8π + +tan-4π + =cos +tan = +1= . 3 4 3 4 2 2 (2) 原式= sin(2?360 °+ 90 ° ) + tan(2?360 °+ 45 ° ) - cos(360 °+ 0°)=1+1-1=1.

1.2.1│ 备课素材

4.三角函数线的应用 三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具,我们 要注意利用它来解决问题. [例]利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小. 2 4 (1)sin π 与 sin π ; 3 5 2 4 (2)cos π 与 cos π ; 3 5 2 4 (3)tan π 与 tan π . 3 5

1.2.1│ 备课素材
2 4 解:在单位圆中,画出 π 的终边 OP1, π 的终边 OP2,过 P1,P2 分别作 x 3 5 轴的垂线,垂足分别为 M1,M2,反向延长 P1O,P2O 分别交经过 A(1,0)的单 2 4 位圆的切线于 T1,T2,则 sin π =M1P1,sin π =M2P2. 3 5 2 4 ∵M1P1>M2P2>0,∴sin π >sin π . 3 5 2 4 2 4 又 cos π =OM1,cos π =OM2.∵0>OM1>OM2,∴cos π >cos π . 3 5 3 5 2 4 2 4 又 tan π =AT1,tan π =AT2,∵AT1<AT2<0,∴tan π <tan π . 3 5 3 5

1.2.1 │ 当堂自测

当堂自测
1.若角α的终边经过P(2,3),则( ) 2 13 13 A.sin α= 13 B.cos α= 2 3 13 2 C.sin α= 13 D.tan α=3

[答案]C

1.2.1 │ 当堂自测
25π 2.sin 6 等于( ) 1 3 A. B. 2 2

1 C.- 2

3 D.- 2

[答案]A

1.2.1 │ 当堂自测
3.已知角α为第二象限角,P(x, 5)为其终边上一点,且 2 cos α= 4 x,则x的值为( A. 3 C.- 3 )

B.± 3 D.- 2

[答案]C

1.2.1 │ 当堂自测
4.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边 ) A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=-x上

(

[答案]B

1.2.1 │ 当堂自测

5.若α为第二象限角,则下列各式恒小于0的是( A.sin α+cos α B.tan α+sin α C.cos α-tan α D.sin α-cos α

)

[答案]B

1.2.1│ 备课素材
备课素材
1.对三角函数定义的理解 (1)三角函数也是一种函数,它满足函数的定义,可以看成是从一个角(弧度 制)的集合到一个比值的集合的对应,并且对任意一个角,在比值集合中都 有唯一确定的象与之对应.三角函数的自变量是角 α,比值是角 α 的函数. (2)三角函数是用比值来定义的,所以三角函数的定义域是使比值有意义的 角的范围.在求正切时,若点 P 的横坐标等于 0,则 tan α 无意义. (3)三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 P(x,y)在终边上 的位置无关,只由角 α 的终边位置确定,即三角函数值的大小只与角有关.

1.2.1│ 备课素材

2.三角函数值在各象限内的符号 (1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义,由各象限内点的坐标 的符号得出的. (2)对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆:“一全正, 二正弦,三正切,四余弦”,该口诀表示:第一象限全是正值,第二 象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.

1.2.1│ 备课素材

3.诱导公式一的理解及其应用 (1)诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等. (2)诱导公式一的结构特征:①左、右为同一三角函数;②公式左边 的角为 α +k?2π ,右边的角为 α . (3)诱导公式一的作用: 把求任意角的三角函数值转化为求 0~2π (或 0°~360°)角的三角函数值.

1.2.1│ 备课素材

4.单位圆中的三角函数线 (1)三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数 的值,三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值 的正负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了,使得问题更形象 直观,为从几何途径解决问题提供了方便. (2)三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大 小,同时它也是以后学习三角函数的图像与性质的基础.

1.2.1│ 备课素材

下节课预习问题 1.同角三角函数的基本关系式是如何推导的? 2.如何应用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简与证明?

1.2.2 同角三角函数的基本关系

1.2.2 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)掌握同角三角函数的基本关系:sin2α +cos2α =1及=tan α .掌握这 两个关系式的推导,学会已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角 函数值,学会利用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式,学会利用 同角三角函数的基本关系式证明三角恒等式. (2)牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学生分 析、解决三角问题的能力;灵活运用同角三角函数的基本关系式的不同变 形,提高三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法.掌握恒等式证 明的一般方法.

1.2.2 │ 三维目标

【过程与方法】 由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之 间的关系;学习已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值; 利用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式;利用同角三角函数的基 本关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩 固所学知识. 【情感、态度与价值观】 通过本节的学习,牢固掌握同角三角函数的基本关系式并能灵活运用于解 题,提高学生分析、解决三角函数问题的能力;进一步建立化归思想方法 和证明三角恒等式的一般方法的应用意识.

1.2.2 │ 重点难点 重点难点
【重点】 sin α 公式 sin α +cos α =1 及 =tan α 的推导及运用. 已 cos α
2 2

知某任意角的正弦、 余弦、 正切值中的一个, 求其余两个. 化 简三角函数式,证明简单的三角恒等式. 【难点】 根据角 α 终边所在象限及其一个三角函数值求出它其余的 三角函数值,选择适当的方法证明三角恒等式.

1.2.2 │ 教学建议 教学建议
用三角函数线的定义,推导同角三角函数的基本关系式: sin2α + sin α cos α =1 及 =tan α ,并灵活应用于求三角函数值,化简三 cos α
2

角函数式,证明三角恒等式等.

1.2.2 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 1.任意角的三角函数定义: 设角 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于一点 P(x,y),那么 (1)y 叫作 α 的正弦,记作 sin α ,即 sin α =y; (2)x 叫作 α 的余弦,记作 cos α ,即 cos α =x; (3) 叫作 α 的正切,记作 tan α ,即 tan α = (x≠0).

y x

y x

1.2.2 │ 新课导入

2.当角 α 在不同的象限时,sin α ,cos α ,tan α 的符号分别是怎样 的? 3 3. 背景: 如果 sin A= , A 为第一象限角, 如何求角 A 的其他三角函数值? 5 4.问题:由于 α 的三角函数都是由 x,y 表示的,根据 与 x,y 之间的关 系,角 α 的正弦、余弦、正切之间有什么关系呢?

y x

1.2.2 │ 新课导入

【导入二】 教师:请同学们回忆任意角的三角函数定义是什么? 学生:已知角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x,y),则 sin α =y,cos α =x,tan α = . 教师:请同学们计算下列各式的值:(1)sin230°+cos230°;(2)sin2420° +cos2420°;(3) sin 45° sin(-45°) ;(4)tan 45°;(5) ;(6)tan(- cos 45° cos(-45°)

y x

45°). 并思考(1)与(2)、(3)与(4)、(5)与(6)的结果分别有什么关系?

1.2.2 │ 新课导入

学生:(1)与(2)、(3)与(4)、(5)与(6),各组函数值相等. 教师:对于任意一个角,它的三个不同三角函数值有类似的关系吗?如图 所示,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P,那么,正弦线 MP 和余弦线 OM 的长度有什么内在联系?由此能得到什么结论? 学生: 正弦线 MP 和余弦线 OM 的长度有 MP2+OM2=1, 由此可得 sin2α +cos2 α =1.

1.2.2 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 同角三角函数的基本关系 sin2α+cos2α=1 . 1.平方关系:________________ sin α cos α=tan α 2.商数关系:________________ . 平方和 也就是说,同一个角 α 的正弦、余弦的__________ 等于 1, 正切 . 商等于角 α 的________

1.2.2 │ 预习探究
? 知识点二 同角三角函数基本关系式的常用变形 2 2 2 sin α + cos α±2sin αcos α 1.(sin α±cos α) =_______________________________ = 1± 2sin αcos α . ______________ 2 2 1 - cos α , ________ sin α 2 . sin α = ________ = ± 1-cos2α , cos2α =
2 1 - sin α,________ cos α =± 1-sin2α. ________

sin α cos α sin α 3.________=cos α?tan α,________=tan α. sin α sin α tan α=cos α =tan α cos α 4.切化弦:____________;弦化切:____________.

1.2.2 │ 预习探究
1 [探究] 已知 sin αcos α=3(0<α<π),则 sin α+cos α=( 15 A. 3 5 C. 3 15 B.- 3 5 D.- 3 )

1 π A [解析] ∵sin αcos α=3>0 且 0<α<π, ∴0<α<2, ∴sin α>0, 2 5 2 cos α>0,又(sin α+cos α) =1+2sin αcos α=1+ = ,∴sin α+ 3 3 15 cos α= 3 .

1.2.2│ 备课素材
备课素材

1.应用同角三角函数的基本关系应注意: π π π π (1)“角相同”,如 3 与 3 ,4α 与 4α,5β+ 7 与 5β+ 7 都是同一个角, 要有一个整体思想; (2)对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立. (3)平方关系式中的 sin2α 是(sin α )2 的简写,不能写成 sin α 2.

1.2.2│ 备课素材

2.根据问题的需要,应注意用同角三角函数的基本关系式的变形和 逆用.基本关系式常见的变形:sin2α =1-cos2α ,cos2α =1-sin2 sin α α ,1=sin α +cos α ;sin α =tan α ?cos α ,cos α = , tan α
2 2

1±2sin α cos α =(sin α ±cos α )2 等.

1.2.2 │ 考点类析

考点类析
? 考点一 求值问题
)

7 15 例 1 (1)已知 sin α=8,cos α= 8 ,则 tan α 等于( 7 15 A.8 B. 8 15 7 C. D. 15 7 15

1.2.2 │ 考点类析
4 (2)若 sin α= ,且 α 是第二象限角,则 cos α 等于( 5 3 3 A.-5 B.5 3 3 C.±5 D.±4 )

(1)D

(2)A

[解析] (1)直接利用商数关系求解即可.
2

(2)由 α 是第二象限角, 得 cos α=- 1-sin α=- 3 =- . 5

42 1- 5

1.2.2 │ 考点类析
1 (3)已知 sin α= ,求 cos α,tan α 的值. 5
1 解:∵sin α= >0,∴α 是第一象限角或第二象限角. 5 当 α 是第一象限角时, 1 2 sin α 6 2 cos α= 1-sin α= 1-25=5 6,∴tan α=cos α= 12 . 当 α 为第二象限角时, 1 2 6 6 2 cos α=- 1-sin α=- 1- =- ,∴tan α=- . 25 5 12

1.2.2 │ 考点类析

考点二 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 sin2α+cos2α±2sin αcos α [导入] 1± 2sin αcos α=_______________________________ = (sin α±cos α)2. ____________ ?

1.2.2 │ 考点类析
例2 1 已知在△ABC 中,sin A+cos A=5.

(1)求 sin A?cos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形.
1 1 解:(1)由sin A+cos A= ,两边平方得1+2sin A?cos A= , 5 25 12 ∴sin A?cos A=-25. 12 (2)由(1)知sin A?cos A=-25<0,又0<A<π,∴cos A<0,∴A为钝 角. 故△ABC是钝角三角形.

1.2.2 │ 考点类析
【变式】 若sin α+cos 1 α= 5 ,其中0<α<π,则tan α=

________. 4 1 1 - 3 [解析] 由sin α+cos α= 5 ,得1+2sin α?cos α= 25 , 24 π ∴2sin α?cos α=-25<0.又0<α<π,∴cos α<0,∴2<α<π,∴(sin α 49 7 2 -cos α) =25.又sin α-cos α>0,∴sin α-cos α=5.

[小结] 由于(sin α±cos α)2=1± 2sin α?cos α,因此(sin α-cos α)2,(sin α+cos α)2,sin α?cos α三者之间有密切的联系,知其一 必能求其二.

1.2.2 │ 考点类析

?

考点三

由正切求齐次式的值

[导入] 在已知tan α=m的条件下,求关于sin α,cos α的齐 次式的值的问题.(1)若cos α≠0,可将分子和分母同时除以 tan α 的表示式,再 cosnα(n∈N+),这样可以将被求式化为关于______ 代入tan α=m的值. (2)题目中是关于sin α,cos α的二次齐次式,并且是整式形 2 2 sin α + cos α 式,可以将分母看作“1”,进而看作“________________ ”, 再转化为关于tan α的表示式进行求解.

1.2.2 │ 考点类析
4 已知tan α=-3,求下列各式的值:

例3

2cos α+3sin α (1) ; 3cos α+sin α (2)2sin2α+sin αcos α-3cos2α.

1.2.2 │ 考点类析
? 4? ?- ? 2 + 3 ? 2+3tan α 6 ? 3? 解:(1)原式= = ? 4? =-5. 3+tan α 3+?-3? ? ?

2sin2α+sin αcos α-3cos2α 2tan2α+tan α-3 (2)原式= = = sin2α+cos2α tan2α+1 ? 4?2 ? 4? 2??-3? +?-3?-3 7 ? ? ? ? =-25. ? 4?2 ?- ? +1 ? 3?

1.2.2 │ 考点类析
1 【变式】 已知tan α=-2,求下列各式的值: (1)sin α+2cos α; cos α-5sin α (2) ; 3cos α+sin α sin2α-sin αcos α-3cos2α (3) ; 5sin αcos α+sin2α+1 (4)2sin2α-sin αcos α+cos2α.

1.2.2 │ 考点类析
sin α 1 解:(1)tan α=cos α=-2,∴cos α=-2sin α. 1 又sin α+cos α=1,∴sin α+4sin α=1,∴sin α=5,∴sin α 5 =± . 5 5 2 5 α 当α为第二象限角时,sin α= 5 ,cos =- 5 ,sin α+ 3 5 2cos α=- . 5 5 2 5 当α为第四象限角时,sin α=- 5 ,cos α= 5 ,sin α+ 3 5 2cos α= 5 .
2 2 2 2 2

1.2.2 │ 考点类析

cos α-5sin α 1-5tan α 7 (2) = = =5. 3cos α+sin α 3+tan α sin2α-sin αcos α-3cos2α sin2α-sin αcos α-3cos2α (3) = 5sin αcos α+sin2α+1 5sin αcos α+2sin2α+cos2α ? 1?2 ? 1? ?- ? -?- ?-3 tan2α-tan α-3 9 ? 2? ? 2? = = = . 2 ? ? ? ? 1 1 4 2tan α+5tan α+1 2??-2?2+5??-2?+1 ? ? ? ?

1.2.2 │ 考点类析
2 2 2sin α - sin α cos α + cos α 2 2 (4)2sin α-sin αcos α+cos α= = sin2α+cos2α 2tan2α-tan α+1 8 = . 5 tan2α+1 [小结] 由三角函数式的特点为齐次式,想到弦切的互化, 实现由未知条件向已知条件的转化非常关键.

1.2.2 │ 考点类析
1-tan α 7 设0<α<π,sin α+cos α= 13 ,则 的值是 1+tan α 7 B.17 17 C.- 7 7 D.-17

【拓展】 ( ) 17 A. 7

1.2.2 │ 考点类析

C

[解析]

12 5 又∵0<α<π,∴sin α>0,cos α<0,得sin α= ,cos α=- , 13 13 12 ∴tan α=- 5 , ? 12? ?- ? 1 - 1-tan α 5? 17 ? ∴ = ? 12?=- 7 . 1+tan α 1+?- 5 ? ? ?

1.2.2 │ 考点类析

?

考点四

三角函数式的化简与证明

2sin4x+2cos4x 例4 (1)化简: =________. 2 2 2sin xcos x-1 1-2sin 130°cos 130° (2) =________. 2 sin 130°+ 1-sin 130°

1.2.2 │ 考点类析
2sin4x+2cos4x (1)-2 (2)1 [解析] (1) = 2sin2xcos2x-1 2(sin2x+cos2x)2-4sin2xcos2x 2-4sin2xcos2x = =-2. 2 2 2 2 2sin xcos x-1 2sin xcos x-1 sin2130°-2sin 130°cos 130°+cos2130° (2)原式= = 2 sin 130°+ cos 130° |sin 130°-cos 130°| sin 130°-cos 130° = =1. sin 130°+|cos 130°| sin 130°-cos 130°

1.2.2 │ 考点类析
1-2sin αcos α 1-tan α 求证: = . cos2α-sin2α 1+tan α

例5

证明:

1-2sin αcos α cos2α-sin2α



cos α-sin α???2 ? ?? ? ?cos α+sin α??cos α-sin α? ? ?? ?
? ? ?



cos α-sin α cos α-sin α 1-tan α cos α = = ,∴原等式成立. cos α+sin α cos α+sin α 1+tan α cos α

1.2.2 │ 考点类析

【变式】 化简: 第四象限角).

1+cos α + 1-cos α

1-cos α =________(α为 1+cos α

2 -sin α [解析] 原式=

(1+cos α)2 + (1-cos α)(1+cos α)

(1-cos α)2 1+cos α 1-cos α 2 = + =-sin α. (1+cos α)(1-cos α) -sin α -sin α

1.2.2│ 备课素材
备课素材
1.已知角的一个三角函数值,求其他三角函数值 解决此类问题时,要注意:①认真确定 α 所在的象限,以便确定三角函数 值的符号;②尽可能地避免使用平方关系,以免造成不必要的讨论;③必 要时进行讨论. [例]已知 sin α =-2cos α ,求 sin α ,cos α ,tan α . sin α 解:∵sin α =-2cos α ,∴ =-2, cos α 即 tan α =-2,且 α 是第二或第四象限角. 当 α 是第二象限角时, 将 sin α =-2cos α 代入 sin2α +cos2α =1, 得 5cos2 5 5 2 5 α =1,∴cos α =- 5 ,sin α =-2× -5= 5 . 当 α 是第四象限角时,同理可得 5cos2α =1, 5 5 2 5 故 cos α = 5 ,sin α =-2× 5 =- 5 .

1.2.2│ 备课素材
2.利用 sin α ±cos α 与 sin α cos α 的关系计算 对于三角函数式 sin α +cos α ,sin α -cos α ,sin α cos α , 它们之间可通过(sin α +cos α )2=1+2sin α cos α ,(sin α - cos α )2=1-2sin α cos α 进行转换. 若已知 sin α +cos α , sin α -cos α ,sin α ?cos α 中的一个,则求其余两个函数式.如设 1 2 sin α +cos α =t,则 sin α ?cos α = (t -1),sin3α +cos3 2 1 α = t(3-t2),sin4α +cos4α =(sin2α +cos2α )2-2sin2α ?cos2 2 1 2 α =1- (t -1)2.这样利用方程的思想解题在三角函数中应用比较 2 广泛.

1.2.2│ 备课素材
1 π π [例]已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α 的值为 8 4 2 ________. 3 [答案] - 2 π π [解析] ∵ <α < ,∴cos α -sin α <0.又∵(cos α -sin α )2 4 2 1 3 3 =1-2cos α sin α =1- = ,∴cos α -sin α =- . 4 4 2

1.2.2│ 备课素材
3.三角齐次式求值 已知 tan α 的值,求关于 sin α ,cos α 的齐次式的值一般有两种 方法:一种是将分子分母同时除以 cosnα (n∈N+),构造关于 tannα 的表示式,再整体代入 tan α 的值求解;另一种是将 tan α 化切为 弦,找出 sin α 与 cos α 的关系再代入求解. 2 cos α -sin α cos α +sin α [例](1)已知 tan α = ,求 + 的值. 3 cos α +sin α cos α -sin α (2)已知 tan α =2,求 2sin2α -3sin α cos α -2cos2α 的值.

1.2.2│ 备课素材
cos α -sin α cos α +sin α 1-tan α 1+tan α 解: (1) + = + cos α +sin α cos α -sin α 1+tan α 1-tan α 2 2 1- 1+ 3 3 26 = + = . 2 2 5 1+ 1- 3 3 (2)2sin2 α - 3sin α cos α - 2cos2 α = = 2tan2α -3tan α -2 tan2α +1 2sin2α -3sin α cos α -2cos2α sin2α +cos2α 2sin2 α 3sin α cos α 2cos2α - - cos2α cos2α cos2α sin2α cos2α + cos2α cos2α 2?22-3?2-2 =0. 22+1





1.2.2│ 备课素材
4.三角函数式的化简与证明 三角函数式化简的常用方法:(1)化切为弦;(2)对于含有根号的,常 把被开方数化成完全平方式,然后去根号化简;(3)对于含高次的三 角函数式, 常借助因式分解或构造 sin2α +cos2α =1, 以降低次数化 简. 三角恒等式的证明: (1)基本原则:由繁到简,消除等式两端的差异,有目的的化简. (2)常用方法:从左向右证明;从右向左证明;左、右同时证明.

1.2.2│ 备课素材
[例]求证:2(1-sin α )(1+cos α )=(1-sin α +cos α )2. 证明:证法一:左边=2(1-sin α +cos α -sin α cos α )=1+ (sin2 α + cos2 α ) - 2sin α + 2cos α - 2sin α cos α = (1 - 2sin α + sin2 α ) + 2cos α (1 - sin α ) + cos2 α = (1 - sin α )2 + 2cos α (1-sin α )+cos2α =(1-sin α +cos α )2=右边, ∴原等式成立.

1.2.2│ 备课素材

证法二:右边-左边=(1-sin α )2+cos2α +2cos α (1-sin α ) - 2(1 -sin α )(1 +cos α ) =(1 -sin α )2 + (1- sin2 α )+ 2(1- sin α )[cos α -(1+cos α )]=(1-sin α )2+(1-sin α )?(1 + sin α ) - 2(1 - sin α ) = (1 - sin α )[(1 - sin α ) + (1 + sin α )-2]=0, ∴左边=右边,∴原等式成立.

1.2.2 │ 当堂自测 当堂自测
1.下列等式成立的个数为( ) ①sin21=1-cos21; ②sin2α+cos2α=sin23+cos23; ③(sin 2x+cos 2x)2=1+2sin 2xcos 2x; ? ? π ④sin α=tan αcos α?α≠kπ+2,k∈Z?. ? ? A.1 B.2 C.3 D.4
[答案] D

1.2.2 │ 当堂自测
12 2.若α是第四象限角,且cos α= ,则sin α=( 13 5 5 A.13 B.-13 5 5 C.12 D.-12

)

[答案] B

1.2.2 │ 当堂自测
sin α-2cos α 3.已知 =-5,那么tan α的值为( 3sin α+5cos α A.-2 23 C.16 B.2 23 D.-16

)

[答案] D

1.2.2 │ 当堂自测
2 4.若α是三角形的一个内角且sin α+cos α=3,则这个三 角形是( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

[答案] D

1.2.2 │ 当堂自测
2sin α-cos α 5.若tan α=2,则 的值为( sin α+2cos α A.0 3 B. 4 C.1 5 D. 4

)

[答案] B

1.2.2│ 备课素材
备课素材
[小结] 1.同角三角函数的基本关系式主要涉及两个方面:一是平方关系,二是商 数关系.这是一组同角关系式.要注意同角的两层含义:一是“角相同” , 如 sin2α +cos2β =1 就不一定成立;二是对任意一个角(在使得函数有意 义的前提下 ) 关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如 sin215 °+ cos215°=1,sin2π 19+cos2π 19=1 等. 2.利用平方关系的注意事项 利用平方关系进行开方运算时,要注意结果的符号,其正负号由角 α 所在 象限决定, 必要的时候, 要进行分类讨论. 另外, sin2α 是(sin α )2 的简写, 读作“sin α 的平方” ,不能将 sin2α 写成 sin α 2.

1.2.2│ 备课素材

3.本节需要分类讨论的问题大致有两类:(1)已知三角函数值,角的象限 不确定;(2)三角函数值中含有变量,因变量取值不同会导致不同的结果需 要讨论. 下节课预习问题 1.给定一个角 α .角π ±α ,-α , π -α 的终边与 α 的终边有什么关 2

系?它们的三角函数值之间有什么关系? 2.诱导公式是如何用三角函数定义推导的? 3.求任意角的三角函数值的一般步骤是什么?

1.3 三角函数的诱导公式

1.3 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)借助单位圆推导诱导公式,特别是学习从单位圆的对称性与任意 角终边的对称性中发现问题(任意角 α 的三角函数值与π -α , π+ α 等三角函数值之间的内在联系),提出研究方法(利用坐标的对称 性,从三角函数定义得出相应的关系式),并熟记诱导公式. (2)理解和掌握诱导公式的内涵及结构特征,能正确运用诱导公式求 任意角的三角函数值,以及进行简单三角函数式的化简和恒等式证 明,并从中体会由未知到已知、复杂到简单的转化过程.

1.3 │ 三维目标
【过程与方法】 (1)通过诱导公式的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力, 体会数学的归纳转化思想方法. (2)通过诱导公式的推导,分析公式的结构特征,使学生体验和 理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式. (3)通过题组练习,提高学生分析问题和解决问题的实践能力. 【情感、态度与价值观】 (1)通过诱导公式的推导,培养学生的创新意识和创新精神. (2)通过归纳思想的训练,培养学生踏实细致、严谨科学的学习 习惯.

1.3 │ 重点难点 重点难点
【重点】 用联系的观点,发现并证明诱导公式的推导,体会把未知问题化归为 已知问题的思想方法.能观察分析诱导公式的特点,明确公式用途, 熟练使用公式. 【难点】 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中,发现问 题,提出研究方法.灵活运用诱导公式对三角函数式求值、化简以及 证明简单三角恒等式.

1.3 │ 教学建议 教学建议
在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始终,这一典型的数学思想,无 论在本节中的分析导入, 还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值 转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学 思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归 意识.

1.3 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 师生互动:教师提问,学生思考、回答,学生口述的同时,教师加以 引导并用幻灯片展示. 问题 1: (1)各象限内三角函数值(只讨论正弦、余弦、正切)的符号是什么? (2)任意角的三角函数的定义是什么? (3)公式一的内容与作用是什么?

1.3 │ 新课导入

1 问题 2:已知 sin 30°= ,如何求 sin 210°,sin 330°,sin 150° 2 的值? 教师引导 能否求把 0°~360°之间的角的三角函数问题,化为我们熟悉的求 0°~90°之间的角的三角函数问题呢?这节课我们就来学习和研究 这样的问题.

1.3 │ 新课导入

【导入二】 引导学生观察、联想,导入课题,重现已有相关知识,为学习新知识作铺 垫. 提问 1:试写出诱导公式一. sin(k?2π +α )=sin α ,cos(k?2π +α )=cos α ,tan(k?2π +α ) =tan α (k∈Z). 提问 2:试说出诱导公式一的结构特征和作用. 结构特征:终边相同的角的同一三角函数值相等. 作用:把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~360°角的三角函数值 问题.

1.3 │ 新课导入

【导入三】 给定一个角 α . (1)角π -α ,π +α 的终边与角 α 的终边有什么关系?它们的三角函数 之间有什么关系? (2)角-α 的终边与角 α 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系? π π 3π 3π (3)角 -α , +α , -α , +α 的终边与角 α 的终边有什么关 2 2 2 2 系?它们的三角函数之间有什么关系? 下面我们就介绍本次课要学习的诱导公式:公式二~公式六.

1.3 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 特殊角的终边对称性 原点 对称,如图 1(1)π+α 的终边与角 α 的终边关于________ 31(1) 所示. x轴 (2)-α 的终边与角 α 的终边关于________ 对称,如图 13?1(2)所 示.

图 131

1.3 │ 预习探究
y轴 (3)π-α 的终边与角 α 的终边关于________ 对称, 如图 131(3) 所示. π y=x 对称,如图 (4)2-α 的终边与角 α 的终边关于直线________ 131(4)所示.

图 131

1.3 │ 预习探究
[探究] 已知 α 的终边与单位圆的交点为 π+α, -α, )

π π-α, -α 的终边与单位圆分别交于 P1,P2,P3,P4,则有( 2

π C [解析] 由π+α,-α,π-α, 2 -α的终边与α的终边分别 关于原点、x轴、y轴、直线y=x对称,易得

1.3 │ 预习探究

? 知识点二 诱导公式 1.公式二 -sin α ,cos(π+α)=________ -cos α ,tan(π+α)= sin(π+α)=________ tan α ________. 2.公式三 -sin α ,cos(-α)=________ cos α ,tan(-α)= sin(-α)=________ -tan α ________. 3.公式四 sin α ,cos(π-α)=________ -cos α ,tan(π-α)= sin(π-α)=________ -tan α ________.

1.3 │ 预习探究

[探究] 若cos α=m,则cos(-α)等于( A.m B.-m C.|m| D.m2

)

[答案] A

1.3 │ 预习探究
4.公式五 ?π ? ?π ? cos α sin α sin?2-α?=________,cos?2-α?=________. ? ? ? ? 5.公式六 ?π ? ?π ? -sin α cos α ,cos? +α?=________. sin?2+α?=________ ?2 ? ? ? π 公式五和公式六可以概括为: ±α的正弦(余弦)函数值,分 2 锐角 别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成________ 时 原函数值的符号.

1.3 │ 预习探究
[探究] 已知sin 25.7°=m,则cos 64.3°等于( A.m B.-m C.m2 D. 1-m2 )

A m.

[解析] cos 64.3°=cos(90°-25.7°)=sin 25.7°=

1.3 │ 预习探究
? 知识点二 诱导公式的应用 利用诱导公式的关键是将任意角的三角函数问题转化为锐角 三角函数来处理,其一般步骤: 三或一 将任意负角的三角函数转化为正角 (1)利用诱导公式________ 的三角函数; 一 (2)利用诱导公式________ 将正角的三角函数化为0°到360° 角的三角函数; 二或四 化为锐角三角函数. (3)利用诱导公式________

1.3 │ 预习探究
[思考] 如何利用诱导公式求任意角的某种三角函数值?

解:将任意角化为0°~360°的角后,若所得角是第一象 限角,直接求出即可;若是第二象限角,可以写成180°-α或 90°+α的形式,利用诱导公式转化为锐角的三角函数,再求 值;若为第三或第四象限角,则写成180°+α或360°-α的形 式,再利用诱导公式转化为求锐角三角函数值的问题(其中α∈ (0°,90°)).

1.3│ 备课素材
备课素材
1.诱导公式的记忆: (1)诱导公式一~四可用口诀“函数名不变, 符号看象限”记忆, 其中“函 数名不变”是指等式两边的三角函数同名,“符号”是指等号右边是正 号还是负号,“符号看象限”是指把 α 看成锐角时等式左边三角函数值 的符号. (2)诱导公式五和六可用口诀“函数名改变,符号看象限”记忆, “函数 名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数,即正弦变余弦, 余弦变正弦.“符号看象限”是把 α 看成锐角时原三角函数值的符号.

1.3│ 备课素材

2.利用诱导公式求值 解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角,然后再把大于 360° 的角利用诱导公式转化到 0°到 90°之间的角进行求值. 在公式的选 取上没有固定格式,关键在于熟练运用.利用诱导公式求任意角三角 函数的步骤: (1)“负化正”——用公式一或三来转化; (2)“大化小”——用公式一将角化为 0°到 360°间的角; (3)“小化锐”——用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角; (4)“锐求值”——求锐角的三角函数值.

1.3 │ 考点类析 考点类析
? 考点一
例1

求三角函数值

求下列三角函数值: ? 16π? (1)sin?- 3 ?=______________; ? ? (2)cos(-945°)=______________; (3)tan(-855°)=______________.

3 2 (1) (2)- (3)1 [解析] 先化负角为正角,再将大于 2 2 360°的角化为0°到360°之间的角,进而利用诱导公式求得结 果.

1.3 │ 考点类析
例2 计算: π 2π 3π 4π (1)cos5+cos 5 +cos 5 +cos 5 =________. 3 (2)若cos(x+π)= 2 ,x∈[-π,π],则x=________.
5π 5π π 2π 3π 4π (1)0 (2)- 6 或x= 6 [解析] (1)cos 5 +cos 5 +cos 5 +cos 5 = ? ? ? π ? ? ? 2π 2π?? π 4π? ? 2π 3π ? ? π ?cos +cos ?+ ?cos +cos ? = ?cos +cos?π- ?? + ?cos +cos?π- ?? 5 ?? ? 5 ?? 5 5? ? 5 5? ? 5 5 ? ? ? ? π π? ? 2π 2π ? =?cos5-cos5?+?cos 5 -cos 5 ?=0. ? ? ? ? 3 3 5π (2)由cos(x+π)= 2 ,得cos x=- 2 .∵x∈[-π,π],∴x=- 6 或x 5π =6.

1.3 │ 考点类析
? 考点二 给值(式)求值

[导入] α+k?2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的 同名三角函数值 ____________________ ,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符 号.函数________ 不变,符号看________ 名 象限 .

1.3 │ 考点类析
例3

1.3 │ 考点类析
1 1 解:(1)∵sin(π+α)=-sin α=- ,∴sin α= . 3 3 cos(5π+α)=cos(π+α)=-cos α. 1 2 2 当α在第一象限时,cos α= 1-9= 3 , 2 2 此时cos(5π+α)=- 3 ; 1 2 2 当α在第二象限时,cos α=- 1-9=- 3 , 2 2 此时cos(5π+α)= . 3

1.3 │ 考点类析
1 【变式】 已知cos α= ,且α是第四象限角,则 5 值为________.



2 6 5
2

1 [解析]∵α是第四象限角,且cos α= 5 ,∴sin α=- 1 2 6 1-25 =- 5 ,∴ =-sin α=

1-cos α =- 2 6

5 . [小结] 解答此类题目的关键在于利用数学中化归的思想来 探究两个角(或整体)之间的关系.

1.3 │ 考点类析
? 考点三 三角函数式的化简与证明

四 [导入] 若α是锐角,则2π-α是第________ 象限角,π+α是第 三 二 四 ________ 象限角,π-α是第________ 象限角;-α是第________ 象 π π 二 一 限角, +α是第________象限角, -α是第________ 象限角. 2 2

1.3 │ 考点类析

例4

sin2(α+π)?cos(π+α)?tan(-α-2π) 化简: (1) = tan(π+α)?cos3(-α-π)

________.

1.3 │ 考点类析
(1)-tan2α (2)0 sin2(α+π)?cos(π+α)?tan(-α-2π) [解析] (1) = tan(π+α)?cos3(-α-π) (-sin α)2?(-cos α)?[-tan(2π+α)] = 3 tan α?cos (π+α) sin2α?(-cos α)?(-tan α) sin2α?cos α?tan α = =-tan2α. 3 3 tan α?(-cos α) -tan α?cos α ?π ? ?π ? sin?2+α?sin α sin(π-α)cos?2+α? -cos αsin α ? ? ? ? (2)原式=- + = cos α cos α -sin α sin α(-sin α) + =-sin α+sin α=0. -sin α

1.3 │ 考点类析
例5

? π? ? π? sin?α-2?cos?α+2?sin(α-π) ? ? ? ? 证明: = ? 5π? sin(α-2π)cos?α+ 2 ?sin(α+3π) ? ?
? ?(-sin α) - sin α (-cos α) 1 ? =- ,∴原等式成立. tan α sin α(-sin α)(-sin α) ? ? ?

1.3 │ 考点类析
【变式】 化简:

1+2sin 290°cos 430° (2) . sin 250°+cos 790°

1.3 │ 考点类析
解:

sin3αcos α =-sin2αcos2α=-tan α. 1+2sin(360°-70°)cos(360°+70°) (2) 原 式 = = sin(180°+70°)+cos(720°+70°) 1-2sin 70°cos 70° |cos 70°-sin 70°| sin 70°-cos 70° = = =-1. -sin 70°+cos 70° cos 70°-sin 70° cos 70°-sin 70° [小结] 利用诱导公式化简时,应先观察角的特点,再选用恰当的诱导 公式化简.

1.3 │ 考点类析
? 考点四 诱导公式的综合应用
? 3π? sin(α-3π)cos(2π-α)sin?-α+ 2 ? ? ?

例6

已知f(α)=

cos(-π-α)sin(-π-α)

.

(1)化简f(α);
?3π ? 1 (2)若α是第三象限的角,且cos? 2 -α?=5,求f(α)的值; ? ?

31π (3)若α=- 3 ,求f(α)的值.

1.3 │ 考点类析
(-sin α)?cos α?(-cos α) 解:(1)f(α)= =-cos α. (-cos α)?sin α ?3π ? 1 1 ? ? (2)∵cos 2 -α =-sin α=5,∴sin α=-5. ? ? 2 2 又α是第三象限角,∴cos α=-5 6,∴f(α)=5 6. 31π 5π (3)∵- 3 =(-6)?2π+ 3 , ? 31π? ? 31π? 5π π 1 ? ? ? ? ∴f - 3 =-cos - 3 =-cos =-cos =- . 3 3 2 ? ? ? ?

1.3 │ 考点类析
? 3π? sin(3π-x)cos?x- 2 ?tan(x-2π) ? ? 已知f(x)= . ?π ? ? π? sin?2-x?cos?-x-2?tan(x-5π) ? ? ? ?

【变式】

(1)化简f(x); π (2)当x= 时,求f(x)的值; 3
?3π ? sin? 2 -x? ? ? (3)若f(x)=1,求 ? 7π?的值. cos?-x- 2 ? ? ?

1.3 │ 考点类析
sin x(-sin x)tan x 解:(1)f(x)= =tan x. cos x(-sin x)tan x π π (2)当x=3时,f(x)=tan 3= 3. (3)若f(x)=1,则tan x=1, ?3π ? sin ? 2 -x? -cos x 1 ? ? 所以 ? 7π?= sin x =-tan x=-1. cos ?-x- 2 ? ? ? [小结] 在解答此类问题时,应先利用诱导公式化简三角函 数式,然后再化简条件并探求关系,最后解决问题.

1.3│ 备课素材
备课素材
1.解决条件求值问题策略 解决条件求值问题,要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有 关运算之间的差异及联系,要么将已知式进行变形向所求式转化,要 么将所求式进行变形向已知式转化.总之,设法消除已知式与所求式 之间的种种差异是解决问题的关键. π π 3 [例](1)已知 cos 2 +φ= 2 ,且|φ|< 2 ,则 tan φ =________. π π 1 (2)已知 sin 3 -α=2,则 cos 6 +α=________. π 3 5 (3)已知 tan 6 -α= 3 ,则 tan6π +α=________.

1.3│ 备课素材
1 (2) 2 3 (3)- 3

[答案] (1)- 3 [解析]

π 3 3 π (1)∵cos +φ =-sin φ = , ∴sin φ =- .∵|φ |< , 2 2 2 2

π π π ∴φ =- ,∴tan φ =tan- =-tan =- 3. 3 3 3
?π ? π π π π π π ? ? - - α (2)∵ -α + +α = , ∴cos +α =cos? ?=sin 3 -α = 3 3 6 2 6 ?2 ?

1 . 2
? ? 5 5 π 3 ? (3)tan π +α =-tan?π - π +α ? =- tan - α =- . ? 6 6 6 3 ? ?

1.3│ 备课素材

2.三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数; (2)常用“切化弦”法,即通常将表达式中的切函数化为弦函数; (3)注意“1”的变形应用. [例]化简: 解 : tan(2π -α )sin(-2π -α )cos(6π -α ) ; cos(α -π )sin(5π -α ) 原 式 = tan(-α )?sin(-α )cos(-α ) cos(π -α )sin(π -α ) =

-tan α (-sin α )cos α =-tan α . (-cos α )sin α

1.3 │ 当堂自测 当堂自测
1.已知tan α=4,则tan(π-α)等于( A.π-4 B.4 C.-4 D.4-π )

[答案] C

1.3 │ 当堂自测
1 2.若sin(π+α)=3,则sin α等于( 1 A.3 1 B.-3 C.3

) D.-3

[答案] B

1.3 │ 当堂自测

3.若cos 61°=m,则cos(-2041)°=( A.m B.-m C.0 D.与m无关

)

[答案] B

1.3 │ 当堂自测

( 1 A.-3 C. 2 3 2 1 B.3 D.- 2 3 2

)

[答案] B

1.3 │ 当堂自测
5.化简:sin2(2π-α)+cos(π+α)?cos(π-α)+1=( A.1 B.2 C.0 D.2sin2α

)

[答案] B

1.3│ 备课素材
备课素材
[小结] 1.公式中的角 α 可以是满足定义域的任意角. 2.准确记忆六组诱导公式 (1)诱导公式一~六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之 间的关系. 这六组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变, 符号看象限” π 来记忆,即 k? ±α (k∈Z)的三角函数值,当 k 为偶数时,得 α 的同名 2 三角函数值;当 k 为奇数时,得 α 的余名三角函数值,然后前面加上一个 把 α 看成锐角时原三角函数值的符号. 口诀中的“奇”和“偶”指 k 的奇 偶性,如 sin 11π 11π +α 中的 k=11 是奇数,且把 α 看成锐角时, +α 2 2 11π +α =-cos α . 2

是第四象限角, 第四象限角的正弦值是负数, 所以 sin

1.3│ 备课素材

下节课预习问题 1.教材中正弦函数的图像是如何画出的?图像中有哪些关键点? 2.余弦函数的图像与正弦函数的图像有什么关系? 3.由正弦函数、余弦函数的图像反映出正弦函数、余弦函数的最值 分别是多少?对称中心及对称轴分别是什么?

1.4 三角函数的图像与性质

1.4.1 正弦函数、余弦函数的 图像

1.4.1 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)通过实验演示,让学生经历图像画法的过程,了解利用正弦线画 正弦函数图像的方法; (2)通过对图像的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探究画正弦 曲线的方法,养成善于发现、善于研究的良好习惯; (3)掌握正、余弦函数的图像的画法和性质,知道它们之间的关系, 学会用“五点法”画正、余弦函数的图像; (4)遇到新问题时学会使用所学过的知识解决问题,较好地运用新旧 知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.

1.4.1 │ 三维目标

【过程与方法】 通过本节学习, 理解正弦函数、 余弦函数图像的画法. 借助图像变换, 了解函数之间的内在联系. 体会用“五点法”作图给我们学习带来的 好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图像. 【情感、态度与价值观】 通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验动手操作、合作 探究的学习方法.渗透由抽象到具体的思想,加深对数形结合思想的 认识,使学生理解动与静的辨证关系,树立科学的辩证唯物主义观.

1.4.1 │ 重点难点 重点难点
【重点】 正弦函数、余弦函数的图像. 【难点】 将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点; 正弦函数 与余弦函数图像间的关系,图像变换.

1.4.1 │ 教学建议 教学建议
由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用 单位圆中的三角函数线画出正弦函数图像是一个自然的想法,当然, 我们还可以通过三角函数的定义、 三角函数值之间的内在联系等来作 图,从画出的图形中观察得出五个关键点,用“五点法”作图画正弦 函数、余弦函数的简图.

1.4.1 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 问题 1:什么是三角函数?怎样作出角 α 的正弦线、余弦线? 问题 2:任意给定一个实数 与角 π π π ,在直角坐标系中如何作点 C ,sin ?它 3 3 3

π 的正弦线是否有关系? 3

问题 3: 能否借助上面作点 C 的方法, 在直角坐标系中作出正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图像? 问题 4:你能根据诱导公式,以正弦函数的图像为基础,通过适当的图形变 换得到余弦函数的图像吗?

1.4.1 │ 新课导入

【导入二】 复习引入 1.弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 rad 的角. 2.正、余弦函数的定义:设 α 是一个任意角,在 α 的终边上任 取(异于原点的)一点 P(x,y)(如图所示),

y P 与原点的距离为 r(r= |x| +|y| = x +y >0), 则比值 叫作 α 的正弦, r
2 2 2 2

y x x 记作 sin α = ;比值 叫作 α 的余弦,记作 cos α = . r r r

1.4.1 │ 新课导入

3.正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P

y x 作 x 轴的垂线,垂足为 M(如图所示),则有 sin α = =MP,cos α = = r r OM.有向线段 MP 叫作角 α 的正弦线,有向线段 OM 叫作角 α 的余弦线.

1.4.1 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 正弦函数、余弦函数的图像 1.正弦函数、余弦函数的图像

图 141

1.4.1 │ 预习探究
2.正弦函数y=sin x,x∈R和余弦函数y=cos x,x∈R的图 正弦 曲线和________ 余弦 像分别叫作________ 曲线.
[探究] 函数y=cos x的图像与x轴的交点个数是( A.0 B.1 C.2 D.无数个
[答案] D

)

1.4.1 │ 预习探究
? 知识点二 五点(画图)法 1.正弦曲线在区间[0,2π]上起关键作用的五个点分别为 ?π ? ?3π ? (0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0) ? ? ? ? ______________________________________________ . 2.余弦曲线在区间[0,2π]上起关键作用的五个点分别为 ?π ? ?3π ? (0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1) ? ? ? ? ______________________________________________ .

1.4.1 │ 预习探究
[探究] 用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图像时,下列哪个 点不是关键点( )

[答案] A

1.4.1│ 备课素材
备课素材
1.正弦函数图像的画法 (1)几何法,利用单位圆中的正弦线画 y=sin x 图像的方法称为几何法.其 核心首先是等分圆周及等分区间[0,2π ]和正弦线的平移;其次是根据终边 相同的角的正弦值相等,推知 y=sin x 在区间[2kπ ,(2k+2)π ](k∈Z,k≠0) 上的图像与 y=sin x 在区间[0,2π ]上的图像形状完全一样,从而通过左、 右平移(每次 2π 个单位长度)得函数 y=sin x(x∈R)的图像. (2)“五点法”作图:①作图时自变量要用弧度制,五个关键点的坐标分别为 π 3π (0,0), 2 ,1,(π ,0), 2 ,-1,(2π ,0);②在精确度要求不太高时, 作 y=sin x,x∈[0,2π ]的图像一般用“五点法”.

1.4.1│ 备课素材
2.余弦函数图像的画法 (1)平移法:因为 y=cos x=sin 左平行移动 π +x(x∈R),所以把 y=sin x 的图像向 2

π 个单位长度就得到 y=cos x 的图像.这说明余弦曲线的形状 2

和正弦曲线的形状相同,只是位置不同,余弦曲线可以由正弦曲线通过平 移而得到. (2)五点法:用“五点法”画出余弦曲线 y=cos x 在区间[0,2π ]上的图 π 3π 像时所取的五个关键点的坐标分别为(0,1), ,0,(π ,-1), ,0, 2 2 π 3π (2π , 1). 使用“五点法”时, 在 y=sin x 中, 相对于 x 值 0, , π, , 2 2 2π 的 y 值分别是 0,1,0,-1,0;而在 y=cos x 中,对应的 y 值分别为 1,0,-1,0,1.

1.4.1 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 利用“五点法”作图
例1 作出下列函数的简图: (1)y=-sin x(0≤x≤2π); (2)y=1+cos x(0≤x≤2π).

1.4.1 │ 考点类析
解:利用“五点法”作图. (1)按五个关键点列表: π 3π 0 π 2π x 2 2 sin x 0 1 0 -1 0 1 0 -sin x 0 -1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.

1.4.1 │ 考点类析
(2)按五个关键点列表: π 3π π 2π 2 2 cos x 1 0 0 1 -1 2 1 0 1 2 1+cos x 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示. x 0

1.4.1 │ 考点类析
? 考点二 利用平移变换和对称变换作图
[导入] (1)函数y=f (x+h)的图像可由y=f (x)向________( h>0)或 左 向________( h<0)平移|h|个单位得到,函数y=f (x)+k的图像可由y= 右 f (x)向________( k>0)或向________( k<0)平移|k|个单位得到. 上 下 y轴 (2)函数f (x)的图像与f (-x)的图像关于________ 对称,-f (x)的 图像与f (x)的图像关于__________ 对称,-f (-x)的图像与f (x)的图 x轴 y轴 对称. 像关于________ 原点 对称,f (|x|)的图像关于________

1.4.1 │ 考点类析
例2 如利用图像变换作出下列函数的简图: (1)y=1-cos x,x∈[0,2π]. (2)y=|sin x|,x∈[0,4π].
解:(1)首先用“五点法”作出函数y=cos x,x∈[0,2π]的简 图,再作出y=cos x,x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图,即y =-cos x,x∈[0,2π]的简图,将y=-cos x,x∈[0,2π]的简图 向上平移1个单位即可得到y=1-cos x,x∈[0,2π]的简图,如图 所示.

1.4.1 │ 考点类析
(2)首先用“五点法”作出函数 y=sin x,x∈[0,4π]的简图, 再将该简图在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴的上方, 即得到 y=|sin x|, x∈[0,4π]的简图,如图所示.

1.4.1 │ 考点类析
【变式】 利用图像变换作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π] 的简图.

解:y=sin|x|= 其图像关于y轴对称,如图所示.

1.4.1 │ 考点类析
? 考点三 正、余弦函数图像的应用
[导入] 利用正、余弦函数图像解简单的三角不等式sin x≥ a(sin x≤a)或cos x≥a(cos x≤a)(-1≤a≤1)的步骤如下:①作出相 正弦 函数图像或________ 余弦 函数的图像;②作直线y=a, 应的________ 横 找到直线y=a与函数图像在区间[0,2π]上交点的________ 坐标, 并写出在区间[0,2π]上适合不等式的解集;③把[0,2π]上的解集 推广到整个定义域 ________上去.

1.4.1 │ 考点类析
例 3 函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图像与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,求 k 的取值范围.

解:f(x)= 1<k<3.

的图如图所示.由图像易知

1.4.1 │ 考点类析
【变式】 求函数y=lg sin x+ 16-x2的定义域.

解:由题意得 借助函数y=sinx和y=16-x2的图像 可得x∈[-4,-π)∪(0,π). [小结] 利用三角函数的图像或三角函数线,可解简单的三角不 等式,但需注意诱导公式一的应用,确保解的完整性.

1.4.1│ 备课素材
备课素材
1. “五点法”作图 “五点法”的步骤是:列表、描点、连线,作图时要抓住关键点,连线时必 须用光滑曲线连接五个关键点,注意曲线的凹凸方向. [例]用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π ]上的简图. (1)y=2-sin x;(2)y=cos x-1. 解:(1)按五个关键点列表: x sin x 2-sin x 0 0 2 π 2 1 1 π 0 2 3 2π -1 3 2π 0 2

描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图 (1)所示.

1.4.1 │ 备课素材
(2)按五个关键点列表:

x

0

π 2

π

3π 2



cos x 1 0 -1 0 1 cos x-1 0 -1 -2 -1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图 (2)所示.

1.4.1 │ 备课素材

2.确定方程根的个数 求方程根的个数问题可转化为求两函数图像的交点个数问题,可采用数形 结合的方法,画出两函数的图像,观察图像并结合函数的性质求解. [例]方程 sin x= A.7 B.8

x
10

的根的个数为( D.10

)

C.9

1.4.1 │ 备课素材

【答案】A 3π x 4π [解析] 当 x=3π 时,y= = <1;当 x=4π 时,y= = >1,∴直 10 10 10 10 线 y=

x

x
10

在 y 轴右侧与曲线 y=sin x 有且只有 3 个交点. 又由对称性可知,

在 y 轴左侧也有 3 个交点,加上原点(0,0),一共有 7 个交点.故原方程 根的个数为 7.

1.4.1 │ 当堂自测 当堂自测
1.用“五点法”作y=2sin 是( ) π 3 A.0, ,π, π,2π 2 2 C.0,π,2π,3π,4π 2x的简图时,五个关键点的横坐标 π π 3 B.0, , , π,π 4 2 4 π π π 2π D.0, , , , 6 3 2 3

[答案] B

1.4.1 │ 当堂自测
2.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图像是 ( )

图142

[答案] B

1.4.1 │ 当堂自测
3.函数y=cos x与y=-cos x的图像( A.关于直线x=1对称 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称 )

[答案] C

1.4.1 │ 当堂自测
4.由函数y=cos
? π 3π? x,x∈ ?-2, 2 ? 的图像得到函数y=sin ? ? ? π 3 ? ?- , π? ? 2 2 ?

x,

x∈[0,2π]的图像,需将y=cos x,x∈ ( ) π A.-2个单位长度 B.-π个单位长度 C.π个单位长度 π D.2个单位长度
[答案] D

的图像向右平移

1.4.1 │ 当堂自测
5.若x∈[0,2π],则cos x<0的解集为( )

[答案] A

1.4.1 │ 备课素材
备课素材
[小结] 1. “五点法”是画正、余弦函数图像的重要方法 画正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图像.用“五点法”作图要正确列 π 3π 出五个关键点的坐标,它们分别是(0,0), 2 ,1,(π ,0), 2 ,- 1,(2π ,0),因此描出这五点后,正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]图 像的形状基本上就确定了.在描点时,光滑曲线是指经过最高点或最 低点的连线要保持近似“圆弧”形状, 经过位于 x 轴的点时要改变“圆弧 的圆心位置” .用“五点法”画余弦函数 y=cos x 的图像时也是一样的. 作图时,函数自变量要用弧度制,这样自变量与函数值均为实数.

1.4.1 │ 备课素材
2.对于某些函数图像,如 y=-sin x,y=|sin x|,y=sin|x|等可 通过图像变换,如平移变换、对称变换等作图. (1)把 y=sin x 图像在 x 轴上方的保留,x 轴下方的图像翻折到 x 轴 上方,就可得 y=|sin x|的图像; (2)保留 y=sin x 的图像在 y 轴右侧的曲线,去掉 y 轴左侧的图像, 再作 y 轴右侧图像关于 y 轴的对称图像,就可得 y=sin|x|的图像. 下节课预习问题 1.周期函数的定义是什么?正、余弦函数是否是周期函数?其周期 如何计算? 2.正、余弦函数的奇偶性如何?正、余弦函数的图像有怎样的对称 性?

1.4.2 正弦函数、余弦函数的 性质

1.4.2 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)理解周期函数的概念,知道周期函数的周期和最小正周期的含义. (2)理解正弦、余弦函数的周期性,会求一些简单三角函数的周期. (3)掌握正、余弦函数的奇偶性、单调性. (4)能熟练地求一些简单正、余弦函数的单调区间.

1.4.2 │ 三维目标

【过程与方法】 从生活中的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景的分析 与 y=sin x 图像的比较,概括出周期函数的概念.运用数形结合方法研究 正弦函数 y=sin x 的周期性、单调性,通过类比研究余弦函数 y=cos x 的周期性、单调性. 【情感、态度与价值观】 让学生体会数学来源于生活,体会从感性到理性的思维过程,体会数形结 合思想.让学生亲身经历数学研究的过程,享受成功的喜悦,感受数学的 魅力.

1.4.2 │ 重点难点 重点难点
【重点】 掌握正、余弦函数的主要性质,包括周期性、单调性、奇偶性、最值及值 域.会求三角函数的周期、会求三角函数的单调区间以及会判断三角函数 的奇偶性. 【难点】 了解周期函数与最小正周期的意义.正、余弦函数周期性、单调性的理解 与应用.

1.4.2 │ 教学建议 教学建议
根据课程标准的“倡导积极主动,勇于探索的学习方式”理念,教材 内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素,本节课宜采用问题探究 法.

1.4.2 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 问题:(1)今天是星期二,过了七天是星期几?过了十四天呢? (2)物理中的单摆振动、圆周运动、质点运动有什么规律呢? 【导入二】
世界上有许多事物都呈现“周而复 创 设 问 始”的变化规律,你知道生活中有哪 题情景 些周而复始现象? 学生举例 引导学生回顾: 1.诱导公式一;2.正弦线; 复 习 回 3.利用正弦线画正弦函数图像(动画 顾 演示 ) ; 4.观察正弦函数的图像,由 图像你能推出正弦函数的哪些性 质? 从实际问题引入,使学生了 解数学来源于生活.问题的 提出为学生的思维提供强大 动力,激发学生的探究欲望

引导学生回顾旧知,为新课 做准备.通过动画演示让学 生直观感知周而复始的变化 规律

1.4.2 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性 非零 常 1.定义:一般地,对于函数f(x),如果存在一个________ f(x+T)=f(x) , 每一个 值时,都有____________ 数T,使得当x取定义域内的________ 那么函数f(x)就叫作周期函数.非零常数T叫作这个函数的周期 ____. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那 最小正周期 . 么这个最小正数就叫作f(x)的____________ 2.两种特殊的周期函数 2kπ(k∈Z且k≠0) 都是它 (1)正弦函数y=sin x是周期函数,________________ 2π 的周期,最小正周期是________ . 2kπ(k∈Z且k≠0) 都是它 (2)余弦函数y=cos x是周期函数,________________ 2π 的周期,最小正周期是________ .

1.4.2 │ 预习探究

[思考] 周期函数有哪些特征?

解:(1)对于周期函数,当x取定义域内的每一个值时,都 有f(x+T)=f(x)成立,即只要有一个定义域内的值(x)不满足f(x +T)=f(x),就不能说f(x)为周期函数. (2)周期具有不唯一性,即若T为函数y=f(x)的周期,则2T, 3T,?,nT(n∈Z且n≠0)都为f(x)的周期. (3)并非所有的周期函数都有最小正周期.例如,对于常函 数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期, 但它没有最小正周期.

1.4.2 │ 预习探究
[探究] 已知函数f(x)是周期函数,10是f(x)的一个周期,

且f(2)= 3,则f(22)=________.

3

[解析] f(22)=f(12+10)=f(12)=f(2+10)=f(2)= 3.

1.4.2 │ 预习探究
? 知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性 奇 原点 对称,正弦函数y=sin x是________ 1.正弦曲线关于________ 函数. y轴 偶 2.余弦曲线关于________ 对称,余弦函数y=cos x是________ 函数.

1.4.2 │ 预习探究
? 知识点三 正弦函数、余弦函数的单调性 ? π ? π ?- +2kπ, +2kπ?(k∈Z) 2 ? 2 ? 1.正弦函数在每一个闭区间___________________________ -1 增大到________ 1 上都是增函数,其值从________ ;在每一个闭区 ?π ? 3π ? +2kπ, +2kπ?(k∈Z) 2 1 ?2 ? 间_____________________________ 上都是减函数,其值从_____ 减小到_____ -1 . [(2k-1)π,2kπ](k∈Z) 2.余弦函数在每一个闭区间___________________________ -1 1 上都是增函数,其值从________ 增加到________ ;在每一个闭区 [2kπ,(2k+1)π](k∈Z) 上都是减函数,其值从________ 间______________________ 减小 1 -1 到________ .

1.4.2 │ 预习探究

[探究] 函数y=sin 2x的单调递减区间是(

)

1.4.2 │ 预习探究
π 3π π B [解析] 由2kπ+ ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z,得kπ+ ≤x≤kπ 2 2 4 ? π 3π? 3 + 4 π,k∈Z,∴y=sin 2x的单调递减区间是 ?kπ+4,kπ+ 4 ? , ? ? k∈Z.

1.4.2 │ 预习探究
? 知识点四 正弦函数、余弦函数的最值

π?? ? 2kπ+ ?k∈Z?? 2 1 ; 1.当 x=__________________ 时,y=sin x 取得最大值____ π?? ? ? 2 k π - ?k∈Z? -1 当 x=____________ 时,y=sin x 取得最小值________ . 2
2kπ??k∈Z?? 1 2.当 x=____________ 时,y=cos x 取得最大值________ ;
2kπ+π??k∈Z?? -1 当 x=____________时,y=cos x 取得最小值________ .
? ?

?

?

1.4.2 │ 预习探究
[讨论] 根据正弦函数、余弦函数的图像与性质,完成下表: 名称 y=sin x y=cos x 图像 定义域 值域 奇偶性 最小正周期 增区间 减区间 对称轴方程 对称中心

1.4.2 │ 预习探究
名称 图像 定义域 值域 奇偶性 最小正周期 增区间 减区间 对称轴方程 对称中心 R [-1,1] 奇函数 2π ? π ? π ?- +2kπ, +2kπ?,k∈Z 2 ? 2 ? ?π ? 3π ? +2kπ, +2kπ?,k∈Z 2 ?2 ? π x=kπ+2,k∈Z (kπ,0),k∈Z R [-1,1] 偶函数 2π [-π+2kπ,2kπ],k∈Z [2kπ,2kπ+π],k∈Z x=kπ,k∈Z
? ? π ?kπ+ ,0?,k∈Z 2 ? ?

y=sin x

y=cos x

1.4.2│ 备课素材
备课素材
1.对函数周期性的理解 若函数 y=f(x)是周期函数,T 是一个周期,则①定义域中含有无限个 实数;②对定义域内任意 x,均有 f(x+kT)=f(x),其中 k∈Z;③f(x) 的图像每隔一个周期 T 重复出现一次.

1.4.2 │ 备课素材

2.正、余弦函数的对称性 (1)正弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标为(kπ ,0)(k∈Z),即正 弦曲线与 x 轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴方程是 x π =kπ + (k∈Z),所有对称轴都垂直于 x 轴,且与正弦曲线交点的纵坐标 2 是正弦函数的最大(小)值. π (2)余弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标是 kπ + ,0(k∈Z),即 2 余弦曲线与 x 轴的所有交点; 余弦曲线也是轴对称图形, 其对称轴方程是 x =kπ (k∈Z),所有对称轴垂直于 x 轴,且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦 函数的最大(小)值.

1.4.2 │ 备课素材

3.三角函数单调区间的求法 (1)求函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0, ω ≠0)或 y=Acos(ω x+φ )(A>0, ω ≠0) 的单调区间,一般将ω x+φ 视作整体,代入 y=sin x 或 y=cos x 相关的 单调区间所对应的不等式,解之即得. (2)当 ω <0 时,y=Asin(ω x+φ )(A,ω ≠0)变形为 y=-Asin(-ω x- φ ),y=Acos(ω x+φ )(A,ω ≠0)变形为 y=Acos(-ω x-φ ),再求函数 的单调区间. 所有的这些变形都是为了使 x 的系数为正值. 同时要注意 A<0 时单调区间的变化.

1.4.2 │ 备课素材

4.三角函数的值域问题 (1)可化为 y=Asin(ω x+φ )+B 或 y=Acos(ω x+φ )+B 的形式, 这种类 型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性. (2)与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数 的有界性和二次函数的区间最值.一般进行换元再配方可求得.

1.4.2 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 三角函数的周期性

例1 (1)函数y=sin x,y=cos x的最小正周期分别是T1,T2,则 T1+T2 tan 16 =________. (2)若函数 ________. 的最小正周期为π,则ω的值为

1.4.2 │ 考点类析
3π (3)设f (x)是定义域为R,最小正周期为 2 的函数,
? π ? ? ?cos x?- ≤x<0?, ? 15π? 2 ? ? 若f (x)=? 则f ?- 4 ?等于( ? ? ? ?sin x(0≤x<π), 2 A.1 B. 2 2 C.0 D.- 2

)

1.4.2 │ 考点类析
T1+T2 4π [解析] (1)T1=T2=2π,则tan =tan 16 16

(1)1

(2)± 2 (3)B

π =tan 4=1.
? ? π? π? (2)由已知得3cos?ω(x+π)+4?=3cos?ωx+4?, ? ? ? ? ? ? ? π π? 即3cos?ωx+4+ωπ?=3cos?ωx+4?,易知ωπ=±2π,解得ω=± 2. ? ? ? ?

(3)f

? 15π? ?- ?= 4 ? ?

=f

?3π? ? ?=sin ?4?

3π 2 4= 2 .

1.4.2 │ 考点类析
? 考点二 三角函数的奇偶性
原点 对称是函数具有奇偶性 [导入] (1)函数的定义域关于________ 的前提. 0 (2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=__________ .

1.4.2 │ 考点类析
例2 (1)若函数y=cos(ωx+φ)是奇函数,则( A.ω=0 B.φ=kπ(k∈Z) π C.ω=kπ(k∈Z) D.φ=kπ+2(k∈Z) (2)下列函数是最小正周期为π的偶函数的为( x x A.y=sin 2 B.y=cos2 C.y=cos x D.y=cos 2x )

)

1.4.2 │ 考点类析
(1)D (2)D [解析] (1)由函数 y=cos(ωx+φ)是奇函数, 可知 y=cos(ωx+φ)=sin ωx 或 y=cos(ωx+φ)=-sin ωx, π 由诱导公式,得 φ=kπ+ (k∈Z). 2 (2)A 中函数为奇函数;B 中函数的最小正周期为 4 π;C 中 函数的最小正周期为 2π,故选 D.

1.4.2 │ 考点类析

【变式】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=cos(2π-x)-x3sin x; (2)f(x)= sin x-1; (3)f(x)= 1-cos x+ cos x-1.

1.4.2 │ 考点类析
解:(1)函数的定义域为R, f(x)=cos(2π-x)-x3sin x=cos x-x3sin x, f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos x-x3sin x=f(x), ∴函数f(x)为偶函数. (2)∵sin x-1≥0,∴sin x≥1,又sin x≤1,∴sin x=1,∴x= π? ? 2kπ+2??k∈Z??. 函数的定义域不关于原点对称,故函数f(x)为非奇非偶函数. (3)∵1-cos x≥0且cos x-1≥0, ∴cos x=1,∴x=2kπ(k∈Z), 此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数. [小结] 判断函数的奇偶性时要注意:函数的定义域关于原点 对称是函数具有奇偶性的前提.

1.4.2 │ 考点类析
【拓展】求函数 轴方程. 的图像的对称中心及对称

π 解:由正弦函数的对称性知,当x-3=kπ(k∈Z),即x=kπ+ π (k∈Z)时, 3 y= ∴函数y= 1 =2sin kπ-1=-1, 的对称中心为
? ? π ?kπ+ ,-1? 3 ? ?

π π 5π (k∈Z),对称轴方程为x- 3 =kπ+ 2 (k∈Z),即x=kπ+ 6 (k∈Z).

1.4.2 │ 考点类析
? 考点三 三角函数的单调性及应用
[导入] (1)对于函数y=f(x)=sin x, 当

? π π? ?- , ? ? 2 2? x∈____________ 时,曲线逐渐上升,f(x)是增函数,sin x的值由 ?π 3π? ? , ? 2? -1增大到1;当x∈____________ 时,曲线逐渐下降,f(x)是减函 ?2

数,sin x的值由1减小到-1. [-π,0] (2)对于函数y=g(x)=cos x,x∈[-π,π],当x∈________ 时,曲线逐渐上升,g(x)是增函数,cos x的值由-1增大到1;当 [0,π] 时,曲线逐渐下降,g(x)是减函数,cos x的值由1减小 x∈________ 到-1.

1.4.2 │ 考点类析
例3 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:

1 (2)sin5________cos 5;

1.4.2 │ 考点类析
(1)< (2)< (3)> 21π π 42π 2π π 2π π [解析] (1)∵sin 5 =sin 5,sin 5 =sin 5 ,又0<5< 5 <2, ? π? 且y=sin x在区间?0,2?上单调递增, ? ? π 2π 21π 42π ∴sin <sin ,即sin <sin . 5 5 5 5 (2)sin 1 = 5 π 1 cos 5=cos(2π-5),而 - 和2π-5均 2 5

π 1 为锐角,且2π-5<2-5,y=cos x在区间[0,π]上单调递减, ∴ 1 <cos(2π-5),即sin <cos 5. 5

1.4.2 │ 考点类析
3π π 3π 3π (3)∵cos =sin ,∴0<cos <sin <1. 8 8 8 8 而y=sin
? x在区间(0,1)内单调递增,∴sin? ? ? 3π? 3π? cos ?<sin?sin ?. 8? 8? ?

1.4.2 │ 考点类析
例 4 求下列函数的单调区间: (1) (2)y=cos 2x.

1.4.2 │ 考点类析
π 解:(1)令u=x-3,函数y=sin u的单调递增区间为 ? ? π π? π 3π? ?2kπ- ,2kπ+ ?,k∈Z,单调递减区间为?2kπ+ ,2kπ+ ?,k∈Z. 2 2? 2 2? ? ? π π π π 5π 由2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得2kπ- ≤x≤2kπ+ , 2 3 2 6 6 k∈Z; π π 3π 5π 11π 由2kπ+ 2 ≤x- 3 ≤2kπ+ 2 ,k∈Z,得2kπ+ 6 ≤x≤2kπ+ 6 , k∈Z. ? π 5π? 故函数 的单调递增区间是 ?2kπ-6,2kπ+ 6 ? , ? ? ? 5π 11π? k∈Z,单调递减区间是?2kπ+ 6 ,2kπ+ 6 ?,k∈Z. ? ?

1.4.2 │ 考点类析
π (2)由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-2≤x≤kπ,k∈Z; π 由2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,得kπ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 ? ? π 故函数y=cos 2x的单调递增区间为 ?kπ-2,kπ? ,k∈Z,单调 ? ? ? π? 递减区间为?kπ,kπ+2?,k∈Z. ? ?

1.4.2 │ 考点类析
? π π? x∈ ?-3,3? 的单调递减区 ? ?

【变式】 (1)函数 间为________________. (2)函数
? π? A.?0,3? ? ? ?π 5π? C.?3, 6 ? ? ?

(x∈[0,π])的单调递增区间是(
?π 7 ? B.?12,12π? ? ? ?5π ? D.? 6 ,π? ? ?

)

1.4.2 │ 考点类析
? π 2π? ?π π? (1)?-3,- 9 ?,?9,3? ? ? ? ?

(2)C

π π 3π π 2kπ 4π [解析] (1)由 2 +2kπ≤3x+ 6 ≤ 2 +2kπ(k∈Z),得 9 + 3 ≤x≤ 9 +
? π π? 2kπ ?- , ?,所以函数 ( k ∈ Z ) .又 x ∈ 3 ? 3 3? ? π 2π? ?π π? 调递减区间是?-3,- 9 ?,?9,3?. ? ? ? ? ? π π? x∈?-3,3?的单 ? ?

(2)∵函数 ∴函数 的增区间为 的减区 π π 3π π 5π 间.由2kπ+ 2 ≤2x- 6 ≤2kπ+ 2 ,k∈Z,得kπ+ 3 ≤x≤kπ+ 6 ,k∈Z, 令k=0,可得C为正确答案.

1.4.2 │ 考点类析
[小结] 比较三角函数值大小的步骤:①异名函数化为同名函数; ②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比较大 小.

1.4.2 │ 考点类析
? 考点四 求三角函数的值域及最值
[-|A|,|A|] . [导入] 函数y=Asin ωx(A,ω≠0)的值域是______________

1.4.2 │ 考点类析
2

例5 值域为(

(1)已知函数y=3cos x-4cos

?π 2π? x+1,x∈?3, 3 ? ,则该函数的 ? ?

) ? 1 15? A.?-4, 4 ? ? ? ? 15 1? C.?- 4 ,4? ? ? (2)已知函数

?1 15? B.?4, 4 ? ? ? ? 15 1? D.?- 4 ,-4? ? ?

①求出该函数的单调递减区间; ? π? ②当x∈ ?0,2? 时,f(x)的最小值是-2,最大值是 3 ,求实数a,b ? ? 的值.

1.4.2 │ 考点类析
? (1)A [解析] y=3cos x-4cos x+1=3?cos ? ?π 2π? ? 1 1? ∵x∈?3, 3 ?,∴cos x∈?-2,2?, ? ? ? ?
2

2?2 1 x-3? - . 3 ?

1 π 1 1 2π ∴当cos x=2,即x=3时,ymin=-4;当cos x=-2,即x= 3 15 时,ymax= 4 . 故函数y=3cos x-4cos
2

?π 2π? ? 1 15? x+1,x∈?3, 3 ?的值域为?-4, 4 ?. ? ? ? ?

1.4.2 │ 考点类析
π π 3π 5π (2)解:①由2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得kπ+ ≤x≤ 2 3 2 12 ? 5π 11π? 11π kπ+ 12 ,k∈Z,∴函数f(x)的单调递减区间为 ?kπ+12,kπ+ 12 ? , ? ? k∈Z. ? π? π π π 2π 3 ②∵0≤x≤2,∴-3≤2x-3≤ 3 ,∴- 2 ≤sin?2x-3?≤1, ? ? 3 ∴f(x)min=- a+b=-2,f(x)max=a+b= 3. 2 3 ? ?- a+b=-2, ? ?a=2, 由? 2 得? ? ?b=-2+ 3. ? a + b = 3 ?

1.4.2 │ 考点类析
3-cos x 【变式】 求 y= 的最小值,并求 y 取得最小值时 x 3+cos x 的集合.
3-cos x 6 解:∵y= =-1+ , 3+cos x 3+cos x 1 ∴当 cos x=1,即 x=2kπ(k∈Z)时,ymin=2. 1 故当 y 取得最小值 时,x 的取值集合是{x|x=2kπ,k∈Z}. 2 [小结] 解决关于三角函数的最值问题时,要特别注意角的 取值范围及三角函数的有界性.

1.4.2│ 备课素材
备课素材
1.求三角函数周期的方法: (1)定义法. (2)公式法:函数 y=Asin(ωx+φ)+b,y=Acos(ωx+φ)+b(ω>0)的周期 T= 2π . ω (3)观察法(图像法). [例]求下列函数的最小正周期. 1 (1)y=|sin 2x|;(2)y=-2cos-2x-1

1.4.2 │ 备课素材

2π 解:(1)因为 y=sin 2x 的周期是 =π ,且 y=|sin 2x|的图像是将 y= 2 sin 2x 在 x 轴下方的部分折到 x 轴上方,并且保留 x 轴上方的图像而得到 的, 所以最小正周期 T= π . 2

1 1 2π (2)y=-2cos- x-1=-2cos x+1,所以最小正周期 T= =4π . 2 2 1 2

1.4.2 │ 备课素材

2.函数周期性的应用与理解 (1)用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题时, 只需找到一个非零实 数 T,对定义域内任意 x 总有 f(x+T)=f(x)成立. (2)解答利用周期性求值问题的关键是利用化归转化的思想, 借助周期性定 义把待求问题转化到已知区间上,代入求解即可. (3)并不是每一个函数都是周期函数.若函数具有周期性,周期也不一定唯 一.一般地,如果 T 是函数 f(x)的一个周期,则 nT(n∈Z,n≠0)也是它的 周期. (4)三角函数的周期性实质上是由终边相同的角具有相同的三角函数值决 定的.

1.4.2 │ 备课素材

[例]已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=2,且当 x∈[-1, 1]时,f(x)=x2,求函数 f(x)的解析式. 解:当 x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时,x-2k∈[-1,1],又∵函数 y=f(x) 的周期 T=2, ∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2, 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=(x-2k)2(x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)).

1.4.2 │ 备课素材

3.函数奇偶性的判断 解决此类问题,利用函数奇偶性的定义,分三步走:先求定义域,再用-x 代入,最后得出结论. [例]判断下列函数的奇偶性: 1+sin x-cos x (1)f(x)= ; 1+sin x+cos x (2)f(x)=sin4x-cos4x+cos 2x. 解:(1)当 x= π π π π 时,f =1 有意义;而当 x=- 时,f- 无意义,故 2 2 2 2

f(x)为非奇非偶函数. 4 4 (2)显然 f(x)的定义域为 R.因为 f(-x)=sin (-x)-cos (-x)+cos(- 2x)=sin4x-cos4x+cos 2x=f(x),所以 f(x)是偶函数.

1.4.2 │ 备课素材

4.函数单调区间的确定 结合正、余弦函数图像,熟记它们的单调区间. [例]函数 y=sin(π [答案]
?π ? ?2 ? ? π +x),x∈? ?- 2 ?

,π

? ? ?的单调递增区间为________. ?

,π

? ? ? ? ? π +x)在? ?- 2 ?

[解析] y=sin(π +x)=-sin x,∴y=sin(π π 间为 ,π 2

,π

? ? ?上的增区 ?

1.4.2 │ 备课素材

5.比较三角函数值大小问题 比较两个三角函数值的大小,一般应先化为同名三角函数,再运用诱导公 式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数,最后运用函数的单调性 进行比较. [例]比较下列各组三角函数值的大小: (1)cos- 23 17 π 与 cos- π ; 5 4

(2)sin 194°与 cos 160°; (3)sin 1,sin 2,sin 3.

1.4.2 │ 备课素材
解:(1)cos- 7 =cos π . 4 7 7 7 7 23 17 ∵π < π < π <2π ,∴cos π <cos π ,即 cos- π <cos- π . 5 4 5 4 5 4 (2)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,cos 160°=cos(180° -20°)=-cos 20°=-sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°,∴sin 14°<sin 70°, ∴-sin 14°>-sin 70°,即 sin 194°>cos 160°. (3)∵1< π <2<3<π ,又 sin(π -2)=sin 2,sin(π -3)=sin 3,0<π - 2 23 7 7 17 7 π =cos-6π + π =cos π ,cos- π =cos-6π + π 5 5 5 4 4

π π 3<1<π -2< ,而 y=sin x 在区间 0, 上单调递增,∴sin(π -3)<sin 2 2 1<sin(π -2),即 sin 3<sin 1<sin 2.

1.4.2 │ 备课素材

6.求与三角函数有关的最值(值域)问题 (1)形如 y=asin x 或 y=acos x 的函数的最值要注意对 a 进行讨论. (2)可化为 y=Asin(ω x+φ )+k 或 y=Acos(ω x+φ )+k 的形式, 利用三 角函数性质求最值,易得最大值为|A|+k,最小值为-|A|+k(其中 A,ω , k 为常数,A≠0,ω ≠0). (3)可化为 y=Asin2x+Bsin x+C 或 y=Acos2x+Bcos x+C(A≠0)的最大 值、最小值可利用二次函数在区间[-1,1]上的最大值、最小值的求法来 求.(换元法) [例](1)求函数 y=3-2sin x 取得最大值、最小值时的自变量 x 的集合, 并分别写出最大值、最小值;
?π 5π ? 1 ? ? (2)求函数 f(x)=2sin x+2sin x- ,x∈? , ?的值域. 6 6 2 ? ?
2

1.4.2 │ 备课素材
3π 解:(1)∵-1≤sin x≤1,∴当 sin x=-1,即 x=2kπ + ,k∈Z 时, 2

y 取得最大值 5,相应的自变量 x
当 sin x=1,即 x=2kπ +
? ? ? x=2kπ 的集合为?x? ? ? ? ?

? ? ? 的集合为?x? ?x=2kπ ? ? ?

? 3π ? + ,k∈Z?. ? 2 ?

π ,k∈Z 时,y 取得最小值 1,相应的自变量 x 2

? π ? + ,k∈Z?. ? 2 ?

(2)令 t=sin

?π x,y=f(x).∵x∈? ?6 ?

5π ? ? , , 6 ? ?

1 1 1 12 2 ∴ ≤sin x≤1,即 ≤t≤1,∴y=2t +2t- =2t+ -1, 2 2 2 2
? 7? 7 ? ∴1≤y≤ ,∴函数 f(x)的值域为?1, ? ?. 2 2 ? ?

1.4.2 │ 当堂自测 当堂自测
1.函数 π A.2 π B.4 的最小正周期是( C.2π D.π )

[答案] C

1.4.2 │ 当堂自测
2.函数 y= 2sin 2x 是( A.奇函数 C.奇函数又是偶函数 ) B.偶函数 D.非奇非偶函数

[答案] A

1.4.2 │ 当堂自测
3.函数 y=sin 2x 的一个单调递减区间为( ? π π? ?π 3π? A.?-4,4? B.?4, 4 ? ? ? ? ? ? ?π ? π? C.?0,2? D.?2,π? ? ? ? ? )

[答案] B

1.4.2 │ 当堂自测
4.y=2cos x-3 的取值不可能是( ) A.-5 B.-3 C.-1

D.0

[答案] D

1.4.2 │ 当堂自测

5.已知函数 则下列结论正确的 是( ) A.f(x)是最小正周期为 1 的奇函数 B.f(x)是最小正周期为 2 的偶函数 C.f(x)是最小正周期为 1 的非奇非偶函数 D.f(x)是最小正周期为 2 的非奇非偶函数

[答案] B

1.4.2│ 备课素材
备课素材
[小结] 1.对周期函数概念的理解 (1)存在一个不等于零的常数 T,对于定义域内每一个值,都有 f(x+T)=f(x) π π 成立. 若只有个别 x 满足 f(x+T)=f(x), 则不能把 T 看作周期, 如 sin 4 + 2 π π π π π =sin ,但 sin + ≠sin ,所以 不是 y=sin x 的周期. 4 3 2 3 2 (2)并不是所有函数都有周期性. 2.对最小正周期的理解 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量 x 要加上的那个最小正 数,这个正数是对 x 而言的. (2)并不是所有的周期函数都有最小正周期,如常数函数 f(x)=C,任一个正 实数都是它的周期,因而不存在最小正周期. (3)未特别说明,周期一般都是指函数的最小正周期.

1.4.2│ 备课素材
3.正、余弦函数的奇偶性 (1)由诱导公式 sin(-x)=-sin x 可得 y=sin x,x∈R 是奇函数,图像 关于原点对称. (2)由诱导公式 cos(-x)=cos x 可得 y=cos x,x∈R 是偶函数,图像关 于 y 轴对称. 4.函数 y=Asin(ω x+φ )单调区间的求法 确定函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0, ω >0)单调区间的方法: 把 ω x+φ 看作 一个整体,由- π π +2kπ ≤ω x+φ ≤ +2kπ (k∈Z)解出 x 的范围,所得 2 2

π 3π 区间即为增区间; 由 +2kπ ≤ω x+φ ≤ +2kπ (k∈Z)解出 x 的范围, 2 2 所得区间即为减区间.对于函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω <0),可先运用 诱导公式将其化为 y=-Asin(-ω x-φ ), 则 y=Asin(-ω x-φ )的增区 间即为原函数的减区间, 减区间为原函数的增区间, 余弦函数 y=Acos(ω x +φ )的单调性讨论同上.这一做法的理论依据是复合函数单调性确定法 则:同增异减.

1.4.2│ 备课素材

5.判断三角函数值的大小的一般思路:先判断三角函数值的正负,若三角 函数值同号,再利用诱导公式转化到同一个单调区间内的同名函数值进行 比较. 6.求三角函数值域或最值的常用方法 (1)求有关 y=Asin(ω x+φ )+b, x∈R 的最值或值域这类题目的关键在于 充分利用好正弦函数 y=sin x 的有界性,即|sin x|≤1. 2 (2)形如 y=psin x+qsin x+r(p≠0)型的三角函数最值问题常利用二次函 数的思想转化成在给定区间[m,n]上求二次函数最值的问题,解答时依然 采用数形结合的思想加以分析,必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变 区间定”或“轴定区间变”问题. (3)形如 y=

Asin x+B Acos x+B 2 2 或 y= (A +C ≠0)的最大值最小值可解出 Csin x+D Ccos x+D

sin x 或 cos x 后利用其有界性来求.

1.4.2│ 备课素材

下节课预习问题 1.如何借助单位圆画出函数 y=tan x 的图像? 2.由 y=tan x 的图像反映出 y=tan x 的哪些性质? 3.由 y=tan x 的图像怎样求解函数 y=Atan(ω x+φ )的定义域、值域、 周期及单调区间等问题?

1.4.3 正切函数的性质与图像

1.4.3 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 会用单位圆内的正切线画正切曲线,并根据正切函数图像掌握正切函数的 性质,用数形结合的思想理解和处理问题. 【过程与方法】 首先学生自主绘图,通过投影仪纠正图像,投影完整的正确图像,然后让 学生观察,类比正弦曲线,探索知识. 【情感、态度与价值观】 在得到正切函数图像的过程中,学会一种周期性函数的研究方式,通过自 己动手得到图像,让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增 强学习数学的兴趣.

1.4.3 │ 重点难点 重点难点
【重点】 正切函数的图像及其主要性质. 【难点】 利用正切线画出函数 y=tan x 的图像, 对直线 x=kπ + π , k∈Z 是 y=tan 2

x 的渐近线的理解,对单调性这个性质的理解.

1.4.3 │ 教学建议 教学建议
研究正切函数的图像与性质的过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的 一种再现,更是一种提升,同时又为后续的学习奠定了基石.教材直接进 入画图工作,没有给出任何提示.正切函数与正弦函数在研究方法上类似, 采用类比的方式,让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法,进而启发、引 导学生发现作正切曲线的一种方法.在画图的过程中引导学生探究、发现 和总结正切函数的性质.

1.4.3 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 教师:利用诱导公式 tan(x+π )=tan x,我们分析一下正切函数是否为周 期函数?若是,其最小正周期是多少? 学生:正切函数是周期函数,最小正周期为π . 教师:利用诱导公式 tan(-x)=-tan x,我们分析一下正切函数是否具有 奇偶性?若有,其是奇函数还是偶函数? 学生:有,是奇函数.

1.4.3 │ 新课导入

教师:就我们前面所学的内容中,正切函数与正、余弦函数有何区别? 学生补充表格.

三角函数 定义域 值域

y=sin x y=cos x
R R

y=tan x
π x≠kπ + ,k∈Z 2 R π 奇函数

[-1,1] [-1,1] 2π 偶函数

最小正周期 2π 奇偶性 奇函数

1.4.3 │ 新课导入

【导入二】 教师:我们是用什么方法得到正、余弦函数的图像的? 学生:利用单位圆内的正、余弦线,得到在一个周期,即 [0,2π ]内的图 像,再利用周期性得到在定义域内的图像. 教师:请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案. 学生:第一步,画出正切函数在一个周期内的图像; 第二步,将图像向左、向右平移拓展到整个定义域上去; 第三步,根据图像总结性质.

1.4.3 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 正切函数的性质
? ? π ? ? ? ?x?x≠ +kπ,k∈Z? R 定义域: ___________________________ ; 值域: ________ ; 2 ? ? ? ? ?

π 周期:________ ;奇偶性:由 tan(-x)=-tan x 知,正切函数 ? π ? π ?- +kπ, +kπ?,k∈Z. 奇函数 2 ? 2 ? 是________; 单调性: 在开区间___________________________ 内,函数单调递增.

1.4.3 │ 预习探究
[探究] y=tan x( ) A.在整个定义域上为增函数 B.在整个定义域上为减函数 C.在每一个开区间 函数
? π ? π D.在每一个闭区间?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上都为增函数 ? ?

(k∈Z)上都为增

[答案] C

1.4.3 │ 预习探究
知识点二 正切函数的图像 π x=2+kπ(k∈Z) 正切曲线是被相互平行的直线 _________________ 所隔开的无穷多 支曲线组成的. ?

图 143

1.4.3 │ 预习探究
[思考] 正切函数的图像和性质与正弦、 余弦函数的图像和性质 有什么不同?
解:正切函数的图像和性质与正弦、余弦函数的图像和性质的 不同主要有: (1)正切函数的单调区间是开区间,与正弦、余弦函数不同,并 且正切函数的最小正周期是 π; (2)y=|sin x|与 y=|cos x|的最小正周期分别是 y=sin x,y=cos x 1 的最小正周期的2,而 y=tan x 与 y=|tan x|的最小正周期都是 π. ? π ? π (3)正切函数在每一个开区间?-2+kπ,2+kπ?,k∈Z 内单调递 ? ? 增,但在定义域内不是增函数.

1.4.3│ 备课素材
备课素材
1.正切函数的图像与性质 π (1)正切函数的图像是被互相平行的直线 x= 2 +kπ (k∈Z)分割而成的平行 π 曲线.把直线 x= 2 +kπ (k∈Z)称为正切曲线的渐近线,正切曲线无限接 近渐近线. (2)正切函数的图像关于原点对称,正切曲线是中心对称图形,正切函数图 ?kπ ? ? 像的对称中心是? ,0? 正切曲线不是轴对称图形, 不存在对称轴. ?(k∈Z). ? 2 ? π π 2.y=tan x 在每一个区间 kπ - 2 ,kπ + 2 ,k∈Z 内都是增函数,在整个 定义域内不具有单调性,它不会在某一个区间内是减函数.

1.4.3│ 备课素材

3.作函数 y=|f(x)|以及周期函数图像的方法 (1)作函数 y=|f(x)|的图像一般利用图像变换法,具体步骤是: ①保留函数 y=f(x)的图像在 x 轴上方的部分; ②将函数 y=f(x)的图像在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折. (2)若函数为周期函数,可先研究其在一个周期上的图像,再利用周期性, 延展到整个定义域上即可.

1.4.3 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 正切函数的奇偶性、周期性
)

例 1 (1)f(x)=tan2x 是( A.奇函数 B.偶函数 C.奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 (2)函数

的图像的一个对称中心是(

)

1.4.3 │ 考点类析

(1)B (2)C [解析] (1)由题意可知, f(x)=tan2x 的定义域关 于原点对称. 又 f(-x)=tan2(-x)=tan2x=f(x), 所以 f(x)是偶函数. (2)将各点的坐标分别代入函数,可知选项 C 正确.

1.4.3 │ 考点类析
【变式】 求下列函数的最小正周期:

解: ∴ (2)
? tan? ?2 ?

=tan

? 1 ? 1 -2x-π =tan?-2(x+2π)?, ? ?

的最小正周期为 2π. = tan π x+2
? π ?,∴ +12? ?

π 2x + 12 + π π 的最小正周期为2.



1.4.3 │ 考点类析
? 考点二 正切函数的单调性及应用
π π kπ-2,kπ+2 ,k∈Z 上都是 [导入] (1)y=tan x 在每一个区间_______________________ 单调 增函数,在整个定义域内不具有__________ 性,它不会在某一个区间

(

)

内是减函数. (2)比较两个三角函数值的大小,只需将所涉及的两个角通过诱导 同一个 单调区间内,再借助函数的单调性即可解决. 公式转化到__________

1.4.3 │ 考点类析

例 2 (1)求函数 的单调区间; (2)比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
π 则由 kπ- 2

解:(1) 1 π π π 3π <2x-4<kπ+2(k∈Z),得 2kπ-2<x<2kπ+ 2 (k∈Z), ∴函数 (k∈Z). 的单调递减区间是

1.4.3 │ 考点类析
π (2)tan 2 = tan(2 - π) , tan 3 = tan(3 - π) ,显然- <2 - π<3 - 2 π π<1< , 又 y=tan x 在 内是增函数, ∴tan(2-π)<tan(3 2 -π)<tan 1,即 tan 2<tan 3<tan 1. π [小结] (1)求 y=Atan(ωx+φ)的单调区间, 只需令 kπ-2<ωx+ π φ<kπ+2(k∈Z),解出 x 即可,但当 ω<0 时,应先用诱导公式将其 化为正的,还要注意 A 的正负对单调性的影响. (2)比较两个三角函数值的大小时,若所给的两个角不在同一 单调区间内,要用诱导公式将它们化到同一单调区间,不是同名 函数的要利用诱导公式化成同名函数.

1.4.3 │ 考点类析

【拓展】 函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域为( A. B. C. D. (k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)

)

1.4.3 │ 考点类析
? ?tan x+1≥0, 由题意得? 即-1≤tan ? ?1-tan x>0,

A [解析] 在

x<1.

内,满足上述不等式的 x 的取值范围是 又 y=tan x 的最小正周期为 π,所以所求 x 的取值范

围是

(k∈Z).

1.4.3 │ 考点类析
? 考点三 正切函数图像的应用
类似于“五点法”作图, 可用“三点两线法”作出正切函数 π 的图像. “三点”指的是(kπ, 0), __________, kπ-4, -1 (k∈Z). “两 π kπ+ (k∈Z) ,x=kπ-π(k∈Z). 线”指的是 x=_________________ 2 2 [导入]

(

)

1.4.3 │ 考点类析
例 3 观察正切曲线,写出满足下列条件的 x 的取值范围. 3 (1)tan x>1;(2)- <tan x< 3. 3

π 解:(1)观察正切曲线(图略),可知 tan 4=1. ? π π? ?π π ? 在区间?-2,2?内,满足 tan x>1 的区间是?4,2?, ? ? ? ? 又由正切函数的最小正周期为 π, 可知满足 tan x>1 的 x 的取 ? π π? 值范围是?kπ+4,kπ+2?(k∈Z). ? ?

1.4.3 │ 考点类析
3 π (2)观察正切曲线(图略),可知 3 ,tan3= 3. ? π π? ? π π? 3 在区间?-2,2?内,满足- 3 <tan x< 3的区间是?-6,3?, ? ? ? ? 3 又由正切函数的最小正周期为 π,可知满足- 3 <tan x< 3的 x ? π π? 的取值范围是?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). ? ?
? π? tan?-6?=- ? ?

1.4.3 │ 考点类析

【变式】 方程 sin x=tan x, x∈ 个.

的实数解有____

1 得.

[解析] 在同一坐标系内画出 y=sin x,y=tan x 的图像观察可

[小结] 一般地,解关于简单三角函数的不等式时,既可以用三角 函数线,又可以用三角函数图像求解.先在一个周期内找到满足不等 式的解,再根据周期性加上最小正周期的整数倍即可得完整解集,要 注意定义域对解集的限制.

1.4.3│ 备课素材
备课素材
1.求函数周期与单调区间的方法 (1)求函数的周期利用定义法,即 f(x+T)=f(x),在应用中是自变量 x 加 T, 而不是在整个式子中. (2)求 y=Atan(ωx+φ),A≠0,ω>0 的单调区间,可以通过解不等式的方法去 求.把 ωx+φ(ω>0)看为一个“整体”,A>0(A<0)时,与 y=tan x 的单调性相 同(反). 1 π [例]求 y=tan2x+ 4 的单调区间及最小正周期. π 1 π π 3π π 解:由 kπ - 2 <2x+ 4 <kπ + 2 得,2kπ - 2 <x<2kπ + 2 (k∈Z),∴y= π 1 π 3 tan2x+ 4 的单调递增区间为 2kπ -2π ,2kπ + 2 (k∈Z).最小正周期 T= 2π .

1.4.3 │ 备课素材
2.比较函数值的大小 比较两个同名函数值的大小,应转化到同一单调区间上来比较.对不同名 的三角函数,应先化为同名的. 13 17 [例]比较 tan- π 与 tan- π 的大小. 4 5 13 π π 解:∵tan- π =-tan3π + =-tan , 4 4 4 17 2π 2π 2π π tan- π =-tan3π + =-tan ,而 > , 5 5 5 5 4 2π π 2π π ∴tan >tan ,∴-tan <-tan , 5 4 5 4 13π 17π 即 tan- >tan- . 4 5

1.4.3 │ 备课素材
3.判断函数的奇偶性 利用函数奇偶性定义判断,或利用复合函数的奇偶性判断. [例]试判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=1-2cos x+|tan x|; (2)f(x)=x2tan x-sin2x.
? π ? ? ? ? 解:(1)因为该函数的定义域是 x?x≠ ? 2 ? ?

+kπ

? ? ,k∈Z?,关于原点对称,且 ? ?

f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|=1-2cos x+|tan x|=f(x),所以 函数 f(x)为偶函数.
(2)函数
? π ? ? x ≠ f(x)的定义域是?x? ? ? 2 ? ?

+kπ

? ? ,k∈Z?,关于原点对称.又 ? ?

f(-x)

=(-x)2tan(-x)-sin2(-x)=-x2tan x-sin2x,f(-x)≠f(x)且 f(- x)≠-f(x),所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

1.4.3 │ 当堂自测 当堂自测
1.函数
? π? ? ? ? ? ? A. x x∈R,且x≠-3? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? B. x x∈R,且x≠6π? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? C. x x∈R,且x≠kπ+6π,k∈Z? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? ? D.?x?x∈R,且x≠kπ-6π,k∈Z? ? ? ? ? ?

的定义域是(

)

[答案] C

1.4.3 │ 当堂自测

π π 2.当- <x< 时,函数 y=f(x)=tan|x|的图像( 2 2 A.关于原点对称 B.关于 x 轴对称 C.关于 y 轴对称 D.不是对称图形

)

[答案] C

1.4.3 │ 当堂自测

3.函数

的单调递增区间为(

)

A. k∈ Z B.[kπ,(k+1)π],k∈Z C. D. k∈ Z k∈ Z

[答案] C

1.4.3 │ 当堂自测

4. 与函数 能是( ) π A.x= 2

的图像不相交的直线的方程可 π B.y= 2 π C.x= 8 π D.y= 8

[答案] C

1.4.3 │ 当堂自测
? π 5π? x∈?-6,12?的值域是( ? ?

5.函数 A.[-2,2] C.[-2 3,2]

)

B.[-1,1] D.[- 3,1]

[答案] C

1.4.3│ 备课素材
备课素材
[小结] π π π π 1.函数 y=tan x,x∈- 2 , 2 的图像过-4,-1, 4 ,1,(0,0)三点,以 π 直线 x=±2 为渐近线,这样根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图 像的草图. 2.正切函数 y=tan x 在整个定义域上不具有单调性,但在每一个区间 kπ π π - 2 ,kπ + 2 (k∈Z)上都单调递增.在求函数 y=tan(ωx+φ)(ω≠0)的单调 区间时,首先保证 ω>0,或先利用诱导公式化为正的,再利用整体换元的 方法求出单调区间.

1.4.3 │ 备课素材

3.函数 y=tan x 的图像的对称中心有两类:一类是图像与 x 轴的交点, π 即(kπ ,0)(k∈Z),另一类是函数值不存在的点,即 kπ + ,0(k∈Z), 2 这两类对称中心可以合并为


2

,0(k∈Z).

下节课预习问题 1.参数 φ ,ω ,A 对函数 y=Asin(ω x+φ )的图像有什么影响? 2.由 y=sin x 的图像变换到 y=Asin(ω x+φ )的图像有几种途径? 3.如何根据图像求 y=Asin(ω x+φ )的表达式?

1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的 图像

1.5│ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)能够将 y=sin x 的图像通过平移、伸缩等变换得到 y=Asin(ω x+φ ) 的图像. (2)能正确理解参数 φ , ω, A 对函数 y=Asin(ω x+φ )的图像变化的影响, 知道 φ ,ω ,A 的物理意义. (3)会用“五点法”画函数 y=Asin(ω x+φ )的图像. (4)整体把握函数 y=Asin(ω x+φ )的图像与性质,并能应用解决有关问 题.

1.5│ 三维目标

【过程与方法】 借助计算机画出函数 y=Asin(ω x+φ )的图像,并观察φ ,ω ,A 对函数 图像变化的影响,通过对由函数 y=sin x 的图像得到 y=Asin(ω x+φ ) 的图像的变换规律的探索,体会由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想. 【情感、态度与价值观】 通过对问题的自主探究,培养独立思考能力;小组交流中, 培养合作意识;在解决问题的难点时,培养解决问题抓主要矛盾的思想.

1.5│ 重点难点 重点难点
【重点】 理解参数 φ ,ω ,A 对函数 y=Asin(ω x+φ )图像变化的影响.掌握函数 y=Asin(ω x+φ )的图像变换过程. 【难点】 参数 ω 对函数 y=Asin(ω x+φ )的图像的影响.

1.5│ 教学建议 教学建议
本节课突出体现了以学生能力的发展为主线,应用启发式、讲述式引导学 生层层深入,培养学生自主探究以发现问题、分析问题和解决问题的能 力.注重利用非智力因素促进学生的学习,实现数学知识价值、思维价值 和人文价值的统一.

1.5│ 新课导入 新课导入
【导入一】 简谐运动中质点的位移 y 随时间 x 的变化关系的图像如图所示.

观察图像与正弦曲线有什么关系? 经观察,图像与正弦曲线很相似. 在物理和工程技术的许多问题中都要遇到 y=Asin(ω x+φ )的函数,这些 问题的实际意义往往都可以从函数的图像上直观地看出,因此,我们有必 要研究这些函数的图像.

1.5│ 新课导入

【导入二】 电在人类社会中起着非常重要的作用,交流电中电流强度 I 与时间 t 的关 系,物理学中波的传播等,都可以用函数 y=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为 常数)来表示. 由于图像是函数最直观的模型, 那么如何作这类函数的图像, 这类函数的图像与正弦曲线有什么关系?

1.5│ 预习探究 预习探究
? 知识点一 φ,ω,A 对 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图像的作用 1.φ 对 y=sin(ωx+φ),x∈R 的图像的影响 如图 151 所示,对于函数 y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像,可以看 作是把 y = sin x 的图像上所有的点向 ________( 左 当 φ>0 时 ) 或向 φ 个单位长度得到的. ________( 当 φ<0 时)平行移动|______| 右

1.5│ 预习探究

图 151

1.5│ 预习探究

2.ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ),x∈R 的图像的影响 如图 152 所示, 函数 y=sin(ωx+φ)的图像, 可以看作是把 y=sin(x 横 坐标缩短(当 ω>1 时)或伸长(当 0<ω<1 时) +φ)的图像上所有点的_____

1 ω 倍(纵坐标不变)而得到的. 到原来的_____

1.5│ 预习探究

图 152

1.5│ 预习探究

图 153

1.5│ 预习探究

3.A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ),x∈R 的图像的影响 如图 153 所示,函数 y=Asin(ωx+φ)的图像,可以看作是把 y=sin(ωx 纵 坐标伸长 ( 当 A>1 时 ) 或缩短 ( 当 + φ) 的图像上的所有点的 ________ 0<A<1 时)到原来的________ A 倍(横坐标不变)而得到的.

1.5│ 预习探究

4.由函数 y=sin x 的图像通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图像,有 两种方法:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. (1)先平移后伸缩

sin(x+φ )

1.5│ 预习探究

sin(ωx+φ)

Asin(ωx+φ)

1.5│ 预习探究

sinωx

sin(ωx+φ)

Asin(ωx+φ)

1.5│ 预习探究

[思考] 上述两种变换有区别吗?

1.5│ 预习探究

解:有区别.(1)两种变换顺序不同,变换的量也有所 不同:方法一是先相位变换后周期变换,平移|φ|个单位; 方法二是先周期变换后相位变换, 平移 φ ω 个单位长度. (2) 图像的平移或伸缩变换的本质是沿 x 轴或 y 轴进行平移或 伸缩变换,变换的主体是 x 或 y,平移时相位变化,伸缩 时系数变化.

1.5│ 预习探究
用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ) 的图像 用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换, π 设 z=ωx+φ,由 z 取________ ,________ ,________ , π 0 2 ? 知识点二
3π 2π 来求出相应的 x 的值,然后列表、描点, ________ ,________ 2

再用平滑的曲线连接各点,就可得到一个周期内的函数简图, 最后将简图向左、 右平行移动, 就得到 y=Asin(ωx+φ), x∈R 的图像.

1.5│ 预习探究
[探究] 用五点法作 y=2sin 3x+1 的图像时, 描出的五点的 横坐标可以是( ) π 3π π π 3π A.0,2,π, 2 ,2π B.0,4,2, 4 ,π π π π 2π C.0,π,2π,3π,4π D.0,6,3,2, 3

[答案] D

1.5│ 预习探究
? 知识点三 定义域 值域 周期 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
R _______ [- A,A] _______

2π T= ω _______ 当 φ=kπ(k∈Z)时,该函数为_______ 奇函数 ;
π 偶函数 ; 当 φ=kπ+ (k∈Z)时,该函数为_______ 2 kπ 当 φ≠ (k∈Z)时,该函数为 2 _______________ 非奇非偶函数

奇偶性

1.5│ 预习探究

单调递增区间可由 单调性
π π 2kπ-2≤ωx+φ≤2kπ+2(k∈Z) _________________________________

得到,单调递减区间可由

π 3π 2kπ + 2 ≤ωx + φ≤2kπ + 2 _____________________________ 得到 (k∈Z)

对称轴方程: 对称性
kπ π φ x= ω +2ω-ω(k∈Z) _____________________________ ;
?kπ φ ? ? - ,0?(k∈Z) ω 对称中心:__________________ ?ω ?

1.5│ 预习探究
知识点四 函数 y=Asin(ωx+φ)中各量的物 理意义 当 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)表示一个振动量时: 振动时物体离开平衡位置的最大距离 A 表示 ________________________________________ ,称为振 幅. ?
2π T=________ ,表示往复振动一次所需的时间,称为周期. ω ω 1 2π ,表示单位时间内往复振动的次数,称 f=________ =________ T

为频率. ωx+φ 称为相位. ________ ________ x=0 时的相位 φ,称为初相.

1.5 │ 备课素材
备课素材
1.图像变换 (1)将函数 y=f(x)的图像沿 x 轴方向平移|a|个单位长度后,得到函数 y=f(x +a)(a≠0)的图像.当 a>0 时,向左平移,当 a<0 时,向右平移,简记为“左 加右减”. (2)函数 y=f(ωx)(ω>0)的图像,可以看作是把函数 y=f(x)的图像上的点的横 1 坐标缩短(当 ω>1 时)或伸长(当 0<ω<1 时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到 ω 的. (3)函数 y=Af(x)(A>0,且 A≠1)的图像,可以看作是把函数 y=f(x)的图像上 的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到 的.

1.5 │ 备课素材
2.函数 y=Asin(ω x+φ )的性质的综合运用 (1)函数 y=Asin(ω x+φ )性质的综合应用,往往涉及单调性、奇偶性、对 称性、最值等,要充分结合函数的性质解题,考查综合应用数学知识的能 力. π (2)与正弦函数 y=sin x 比较可知,当 ω x+φ =2kπ ± (k∈Z)时,函数 2

y=Asin(ω x+φ )取得最大值(或最小值),因此函数 y=Asin(ω x+φ )的
π 对称轴由 ω x+φ =kπ + (k∈Z)解出,其对称中心的横坐标由 ω x+φ 2 =kπ (k∈Z)解出,即对称中心为

kπ -φ
ω

,0(k∈Z).同理 y=Acos(ω x+

φ )的对称轴由 ω x+φ =kπ (k∈Z)解出, 对称中心的横坐标由 ω x+φ = π kπ + (k∈Z)解出. 2

1.5│ 考点类析 考点类析
? 考点一 图像变换问题?
例 1 为了得到函数

?
)

? π? ? y=cos 2x+3?的图像,需( ? ?

A.将函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的一半, 5π 纵坐标不变,再将得到的函数图像向左平移12个单位长度 B.将函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍, 5π 纵坐标不变,再将得到的函数图像向左平移 6 个单位长度

1.5│ 考点类析

C.将函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍, 5π 纵坐标不变,再将得到的函数图像向左平移12个单位长度 D.将函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的一半, 5π 纵坐标不变,再将得到的函数图像向右平移12个单位长度

1.5│ 考点类析
? π? ?2x+ ? 3? ? ? 5π π? ?2x+ - ? 6 2? ?

A

[ 解 析 ] 因 为 y = cos

= cos



? 5π? sin?2x+ 6 ?,所以只需先将函数 ? ?

y=sin x 的图像上所有点的横坐

标变为原来的一半,纵坐标不变,得到函数 y=sin 2x 的图像; 5π 再将得到的函数图像向左平移12个单位长度,即可得到函数 y ? ? 5π? π? =sin?2x+ 6 ?,即 y=cos?2x+3?的图像. ? ? ? ?

1.5│ 考点类析

例2

如何由函数 y=sin x 的图像通过变换得到函数 y= 的图像?

? π? 2sin?3x+4?-2 ? ?

1.5│ 考点类析
π 解:先把 y=sin x 的图像上所有点向左平移4个单位长度,
? π? 得到 y=sin?x+4?的图像上所有点的纵 ? ? ? π? 1 坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得到 y=sin?3x+4?的图像; 3 ? ? ? π? 然后使 y=sin?3x+4?的图像上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍, ? ? ? π? 横坐标不变,得到 y=2sin?3x+4?的图像;最后再将得到的图像 ? ? ? π? 向下平移 2 个单位长度,得到 y=2sin?3x+4?-2 的图像. ? ? ? π? y=sin?x+4?的图像; 再把 ? ?

1.5│ 考点类析

【拓展】 用“五点法”作出函数

? π? y=2sin?x-3?+3 ? ?

在一个周期

内的图像,并指出它的最小正周期、最值及单调区间.

1.5│ 考点类析

解:(1)列表: x π x-3 y π 3 0 3 5π 6 π 2 5 4π 3 π 3 11π 6 3π 2 1 7π 3 2π 3

1.5│ 考点类析
(2)描点画图.

由图像得最小正周期 T=2π,最大值为 5,最小值为 1, ? 5π 11π? 该函数的单调递减区间为 ?2kπ+ 6 ,2kπ+ 6 ?, k∈Z,单调 ? ? π 5π 递增区间为 2kπ- ,2kπ+ ,k∈Z. 6 6

1.5│考点类析

?

考点二

y=Asin(ωx+φ)的图像的性质应用 )

π 例 3 (1)函数 y=6sin(3x-8)的最大值是( A.6 B.7 C.8 D.18

1.5│考点类析

A [解析] 易知该函数的最大值为 6.

1.5│考点类析
(2)设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),函数 y=f(x)的图像 π 的一条对称轴是直线 x=8. ①求 φ 的值; ②求函数 y=f(x)的单调区间及最值.

1.5│考点类析
π kπ π φ k π π (2)解:①由 2x+φ=kπ+2,k∈Z,得 x= 2 +4-2.令 2 +4- π 3π φ π 2 =8,得 φ=kπ+4,k∈Z.∵-π<φ<0,∴φ=- 4 . 3π π 3π π ②由①知, f(x)=sin (2x- ) .由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 4 2 4 2 π 5π 得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z) , 故 函 数 的 单 调 递 增 区 间 是 8 8 ? π 5π? ?kπ+ ,kπ+ ? (k∈Z) . 同 理 可 得 函 数 的 单 调 递 减 区 间 是 8 8? ? ? 5π 9π? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z). 8 8? ?

1.5│考点类析

3π π 5π 当2x- =2kπ+ (k∈Z),即x=kπ+ (k∈Z)时,函数取得最 4 2 8 大值1; 3π π π 当2x- 4 =2kπ- 2 (k∈Z),即x=kπ+ 8 (k∈Z)时,函数取得最小 值-1.

1.5│考点类析

【变式】 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶 ?3π ? ? π? 函数,其图像关于点 M? 4 ,0?对称,且在区间?0,2?上是单调函数, ? ? ? ? 求 ω 和 φ 的值.

1.5│考点类析

解:∵f(x)=sin(ωx+φ)是 R 上的偶函数, π?? ? ? ? ? ? ? ωx + φ ∴sin(-ωx+φ)=sin? ?,∴φ=kπ+ ?k∈Z?. 2

1.5│考点类析

π 又∵0≤φ≤π,∴φ=2,∴f???x???=cos ωx. ?3π ? 3π 3π π ∵f(x)的图像关于点? 4 ,0?对称, ∴cos ω=0, ∴ ω= +kπ, 4 4 2 ? ? k∈Z, 2 4 ∴ω=3+3k,k∈Z. ? π? 2π 1 π ? ? 又∵f(x)在区间 0,2 上是单调函数,∴ ω × 2≥2,∴ω≤2. ? ? 2 又∵ω>0,∴ω=3或 ω=2.

1.5│考点类析

函数 y=Asin(ωx+φ)的性质的综合应用往往涉及单调性、奇偶性、 对称性、 最值等, 要充分结合函数的性质解题, 牢固掌握函数 y=Asin(ωx +φ)的性质是准确解决问题的关键.

1.5│考点类析

考点三 确定函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 [导入] 确定函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式,就是确定其中的 参数 A,ω,φ.可以从图像的特征上或已知条件中寻找答案,A 由 最值 确定,ω 由________ 周期 确定,周期通常通过观察特殊点求 ________ 半个 周期, 得,如两个相邻的最大值、最小值点的横坐标相差________ φ 可由点在函数图像上的坐标列方程求得, 确定 φ 值时, 注意它的 不唯一性. ?

1.5│考点类析
例 4 图 154 是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的部分图像, 确定 A, ω,φ 的值.

图 图 154

1.5│考点类析
5π 解:由图像知,A=3,又最小正周期 T= - 6 2π ∴ω= T =2.图像过点 π 得 φ=3+2kπ,k∈Z. ,令

=π,

× 2+φ=2kπ,k∈Z,

1.5│考点类析
π 【变式】 (1)已知函数 y=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|< 的部分图像如图 155 2 所示,则( )

图 155

1.5│考点类析
π A.ω=1,φ=6 π B.ω=1,φ=-6 π C.ω=2,φ=6 π D.ω=2,φ=-6

1.5│考点类析
π (2)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<2)的部分图像如图 156 所 示 , 则 f(x) = __________ , 该 函 数 图 像 的 对 称 轴 方 程 为 ________________.

图 156

1.5│考点类析

(1)D

(2)f(x)=2sin

+1

kπ π x= 2 +6,k∈Z = π , ∴ω = 2 , 又

[ 解 析 ] (1) 依 题 意 得 T = 4× sin π π =1,且|φ|<2,∴φ=-6.

1.5│考点类析
1 T 2π π π (2) 依题意,知 = - = ,∴T= π,∴ω=2.A= (3 2 3 6 2 2 1 π π π +1)=2, b= (3-1)=1, 又 2× +φ= +2kπ, k∈Z, 且|φ|< , 2 6 2 2 π ∴φ=6, ∴f(x)=2sin +1, 该函数图像的对称轴方 kπ π 程为 x= 2 +6,k∈Z. [小结] 确定函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式的难点是确定 φ, 常用的方法是把图像上一个已知点的坐标代入解析式 (此时 A, ω 已知)或代入图像与 x 轴的交点坐标求解(此时要注意交 点是在增区间上还是在减区间上).

1.5│考点类析
? 考点四 认识函数 y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义 ?

例 5 已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I=Asin(ωt+φ).图 157 是 I= π Asin(ωt+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图像,则电流 I 关于时间 t 2 的解析式为( )

图 157

1.5│考点类析
? π? A.I=300sin?150πt+6?,t∈[0,+∞) ? ? ? π? B.I=300sin?75πt+6?,t∈[0,+∞) ? ? ? π? C.I=150sin?150πt+6?,t∈[0,+∞) ? ? ? π? D.I=150sin?75πt+6?,t∈[0,+∞) ? ?

1.5│考点类析
A [解析] 由题图可知
? 1 1 ? 1 A=300,T=2?180+900?= , ? ? 75

2π ∴ω= T =150π.
? ? 1 1 π ? ? 又当 t=180时,I=0,∴sin 150π×180+φ =0.又|φ|<2, ? ? π ∴φ=6. ? π? 故所求的解析式为 I=300sin?150πt+6?,t∈[0,+∞). ? ?

1.5│考点类析
例 6 如图 158 所示,一个小球做简谐运动,当时间 t=0 s 时,小球 在平衡位置,当 t=1 s 时,小球第一次达到偏离平衡位置最大距离,这时 小球离开平衡位置 2 cm.若该简谐运动的解析式为 y=Asin(ωt+φ),则 A, ω,φ 的值分别是多少?

图 158

1.5│考点类析
π T 解:由题意可知,A=2,φ=0,又 =1,∴T=4,∴ω= . 4 2

1.5 │ 备课素材
备课素材
1.三角函数 f(x)=Asin(ωx+φ)图像的做法 (1)五点法:用“五点法”画函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的简图,先作变量 π 3 代换,令 X=ωx+φ,再用方程思想令 X 取 0, 2 ,π ,2π ,2π 来确定对 应的 x 值,最后根据 x,y 的值描点、连线画出函数的图像. (2)图像变换: 由函数 y=sin x 的图像到函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的图像的变 换通常需要三个变换:相位变换、周期变换、振幅变换,并且也常是这个 顺序,但也可以先周期变换,再相位变换,最后振幅变换,只是左、右平 移的单位长度不同.

1.5 │ 备课素材

π [例]写出将 y=3sin(2x- )的图像变换为 y=sin x 的图像的过程. 6

1.5 │ 备课素材

2.求三角函数解析式 确定函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式,就是确定其中的参数 A,ω ,φ 的 值,其关键是 φ 值的确定.从图像的特征上寻找答案,A 由最值确定,ω 由周期确定,周期通常通过观察特殊点求得,如相邻两个最大、最小值点 的横坐标相差半个周期, φ 可由点在函数图像上列方程求得, 确定 φ 值时, 注意它的不唯一性.

1.5 │ 备课素材
[例]下列函数的图像的一部分如图所示的是( )

π A.f(x)=3sin(x+ ) 3 π B.f(x)=3sin(x- ) 3 1 π C.f(x)=3sin( x+ ) 2 6 1 π D.f(x)=3sin( x- ) 2 6

1.5 │ 备课素材

【答案】 C 【解析】方法一:把- π 2 ,0 代入选项,可排除 B,D.再将 π ,3 代入,可 3 3

排除 A.故 C 正确. 方法二:设 f(x)=Asin(ω x+φ ). 由图知,振幅 A=3,又
?2 T=4? ?3π ?

1 ? -- π ? =4π , 3 ? ?

2π 1 π π 1 ∴ω = = .由点- ,0 在函数图像上,可得- ? +φ =0,得 φ = T 2 3 3 2 π +2kπ ,k∈Z. 6 1 π ∴f(x)=3sin x+ . 2 6

1.5 │ 备课素材
3.函数 y=Asin(ω x+φ )性质的运用 (1)①对称性:函数图像与 x 轴的交点是对称中心,即对称中心是

kπ -φ
ω



0,对称轴与函数图像的交点的纵坐标是函数的最值,即对称轴是直线 x=

kπ + -φ
(其中 k∈Z). ②对于函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0, ω >0)的图像, 相邻的两个对称中心或 两条对称轴相距半个周期;相邻的一个对称中心和一条对称轴相距四分之 一周期. ③求函数 y=Asin(ω x+φ )的性质,要善于采用整体策略,即把 ω x+φ 看成一个整体,将问题化归为正弦函数的性质来解决. (2)函数 y=Asin(ω x+φ )的性质较为综合, 在历年高考题中都有所体现和 考查.围绕着函数单调性、最值、奇偶性,图像的对称性等都有所体现和 考查.

π 2 ω

1.5 │ 备课素材

[例]已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0, 0≤φ ≤π )是 R 上的偶函数, 其 3 π 图像关于点 M π , 0 对称, 且在区间 0, 上是单调函数, 求 φ 和 ω 的值. 4 2

1.5 │ 备课素材
π 解:∵f(x)是偶函数且 0≤φ ≤π ,∴φ = . 2 3 π 又 f(x)的图像关于点 M 对称,∴ π ?ω =kπ + ,k∈Z, 4 2 2 又 ω >0,∴ω = (2k+1),k=0,1,2,3,?? 3
? π? 2 2 π ? 当 k=0 时,ω = ,f(x)=sin( x+ )在?0, ? ?上单调递减; 2 3 3 2 ? ? ? π? π ? 当 k=1 时,ω =2,f(x)=sin(2x+ )在?0, ? ?上单调递减; 2 2 ? ? ? π? 10 π ? 当 k≥2 时,ω ≥ ,f(x)=sin(ω x+ )在?0, ? ?上不单调. 2 3 2 ? ?

2 综上可知,ω = 或 ω =2. 3

1.5│ 当堂自测 当堂自测
π 1.函数 y=-2sin(2x+4)的图像的一个对称中心是( π π A.8,0 B.-8,0 π π C.4,0 D.-4,0 )

[答案] B

1.5│ 当堂自测
π 2.电流 I 随时间 t 变化的函数关系式为 I=5sin(100πt+3), t∈[0,+∞),则初相为( ) 1 A.5 B.50 π π C.3 D.100πt+3

[答案] C

1.5│ 当堂自测
x π 3.函数y=3(sin - )的振幅、周期、初相分别为( 2 8 π A.-3,4π,8 π B.3,4π,-8 π C.3,π,- 8 π D.-3,π, 8

)

[答案] B

1.5│ 当堂自测
4.已知在函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期内, π 1 4π 当x= 9 时,y取得最大值 2 ;当x= 9 时,y取得最小值- 1 ) 2,则该函数的解析式为( x π A.y=2sin(3-6) 1 π B.y= sin(3x+ ) 2 6 1 π C.y=2sin(3x-6) 1 x π D.y= sin( - ) 2 3 6
[答案] B

1.5│ 当堂自测
π 5. 为了得到函数 y=3sin(2x+ )的图像, 只要把函数 y=3sin 5 x 的图像上所有点( ) 1 A.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再把所得图像 2 π 上所有的点向左平移10个单位长度 B.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把所得图 π 像上所有的点向左平移10个单位长度

1.5│ 当堂自测
π C.向右平移 5 个单位长度,再把所得图像上所有点的横坐 1 标缩短到原来的2(纵坐标不变) π D.向左平移 5 个单位长度,再把所得图像上所有点的横坐 标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)

[答案] A

1.5│ 备课素材
备课素材
[小结] 1.作 y=Asin(ωx+φ)的图像 用图像变换法由函数 y=sin x 的图像得到函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,且 φ≠0) 的图像有两种途径:

1.5 │ 备课素材
2.由图像或部分图像确定 y=Asin(ω x+φ )的解析式 解决问题的关键在于确定参数 A,ω ,φ 的值.其基本方法是在观察图像 的基础上,利用待定系数法求解. (1)A:一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|. (2)ω :因为 T= 2π ,所以往往通过求周期 T 来确定 ω .也可通过已知曲线 ω

与 x 轴的交点从而确定 T. φ (3)φ :从寻找“五点法”中的第一零点- ,0(也叫初始点)作为突破口, ω 要从图像的升降情况找准第一零点的位置. 另外应注意,A,ω ,φ 三个量中初相 φ 的确定是一个难点,除使用初始 点- φ ,0 外,还可利用五点法确定初相 φ ,即在五点中找两个特殊点列 ω

方程组解出φ .

1.5 │ 备课素材

下节课预习问题 1.运用函数知识解决实际问题一般分为几步? 2.三角函数最显著的特点是周期性,用三角函数模型解决的实际问题也必 然是具有周期性变化规律的,在现实生活中,你能举例说明哪些现象具有 周期性吗?

1.6 三角函数模型的简单应用

1.6 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 根据已知建立三角函数模型, 掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法. 【过程与方法】 经历根据实际问题选择数学模型、研究数学模型、解决实际问题的数学建 模过程,体会“数形结合”与“函数与方程”的数学思想的应用. 【情感、态度与价值观】 培养学生的观察、分析、探究、归纳、概括能力以及运用图形、计算器等 信息技术手段解决实际问题的能力,增强学生的应用意识.

1.6 │ 重点难点 重点难点
【重点】 精确模型的应用——由图像求解析式,由解析式研究图像及性质. 【难点】 分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模 型,并调动相关学科的知识来解决问题.由图像求解析式时φ 的确定.

1.6 │ 教学建议 教学建议

通过几何画板、动画等技术制作的媒体课件,直观说明生活中的三角函数 例子,并用多媒体反映图形的变化过程.

1.6 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 生活中普遍存在着周期性变化的现象,如昼夜交替、四季轮回、潮涨潮落 等,一切都逃不过数学的眼睛!这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞 察我们身边存在的周期现象. 【导入二】 在前面我们已经学习了三角函数的概念、图像与性质,特别研究了三角函 数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么它 是否可以借助三角函数来描述呢?面临一个实际问题,应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢?

1.6 │ 预习探究 预习探究
? 知识点 解答三角函数应用题的基本步骤 应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽 象为数学问题,通过分析它的变化趋势确定它的周期,从而 建立起适当的三角函数模型.解答三角函数应用题的步 骤可分为四步:审题、建模、解模、还原评价.

1.6 │ 预习探究
(1)审题:先审清楚题目条件、要求,理解数学关系. (2)建模:在细心阅读与深入理解题意、分析题目条件 (如周期性等)的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学 语言统统转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系, 即建立三角函数模型,这时要注意三角函数的定义域应符合 实际问题要求,这样便将实际问题转化成了数学问题. (3)解模:对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三 角函数的有关知识进行推理、运算,使问题得到解决. (4)还原评价:把数学结论还原为实际问题的解答.

1.6│ 备课素材
备课素材
运用三角函数模型解决问题的几种类型 (1)由图像求解析式.首先由图像确定解析式的基本形式, 例如:y=Asin(ωx +φ),然后根据图像特征确定解析式中的参数,在求解过程中还要结合函 数性质与实际意义决定判断数据是否满足要求. (2)由图像研究函数性质.观察分析函数图像,能解决单调性、奇偶性、对 称性、周期性、最值等问题. (3)利用三角函数研究实际问题.首先分析、归纳实际问题,抽象概括出数 学模型,再利用图像及性质解答数学问题,最后解答出实际问题.

1.6 │考点类析 考点类析
? 考点一 三角函数模型在日常生活中的应用
例 1 (1)如图 161 所示, 某地一天从 6 时到 14 时的温度变化 π 曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+bA>0, |φ|<2, 则这段曲线的函 数解析式为
?π 3 ? ? x+ π?+20,x∈[6,14] y = 10sin _______________________________________________ . 4 ? ?8

图 161

1.6 │ 考点类析

[解析] (1)从图中可以看出,从 6 时到 14 时的图像是函 1 数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图像,所以 A= × (30- 2 1 1 2π π 10)=10,b=2× (30+10)=20.因为2· = 14 - 6 ,所以 ω = ω 8. ?π ? 5π 将 x=6,y=10 代入 y=10sin?8x+φ?+20,得 φ=2kπ- 4 , ? ? π 3π k∈Z , 又 |φ|< 2 , 所 以 φ = 4 . 综 上 , 所 求 解 析 式 为 y = ?π 3π? 10sin?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14]. ? ?

1.6 │ 考点类析
(2)动点 A(x,y)在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速 1 3 旋转, 12 秒旋转一周. 已知时间 t=0 时, 点 A 的坐标是(2,2 ), 则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 的函数的单调递增 区间是( ) A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[0,1],[7,12]

1.6 │ 考点类析
[解析] (2)由已知可得该函数的最小正周期 T=12, 则ω 2π π 1 3 = T =6.又当 t=0 时,A 的坐标为(2, 2 ) ,∴此函数的解 π π 析式可以为 y=sin(6t+3) ,t∈[0,12],易得此函数的单调 递增区间是[0,1],[7,12].

1.6 │考点类析

?

考点二

三角函数模型在物理学中的应用

例2 大风车的叶轮最高顶点离地面 14.5 m,风车叶轮直径 为 14m,叶轮以每分钟 2 周的速度逆时针匀速转动,叶轮顶点从 最初点经 16 s 后到达最高点,将叶轮离地面高度 y(m)与叶轮转的 时间 t(s)建立一个数学模型,用函数 y=asin[ω(t-b)] π y=7sin15(t-8.5)+7.5 +c 来表示,则其解析式为____________________ .

1.6 │考点类析
2 1 [解析] 风车叶轮每分钟旋转 2 周,即 f=60=30,又 f= 1 ω T,∴f=2π, 1 π ∴ω=2πf=2π×30=15. π ? ? ? ? 16 - b 由题意可知,该正弦函数的振幅 a=7,c=7.5,ω? ?= , 2 即 b=8.5, π ∴函数解析式为 y=7sin15(t-8.5)+7.5.

1.6 │考点类析
【变式】 如图 162 所示是电流 I 与时间 t 的函数 I= π Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,|φ|<2在一个周期内的图像.

图 162 (1)根据图像写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)使 I=Asin(ωt+φ)在任意100 s 内能同时取得最大值和最小 值的正整数 ω 的最小值为多少?

1.6 │考点类析
1 1 1 1 T 解: (1)由图知 A=300, (-300) =100, 即 T=50, 2 =150- 2π 2π ∴ω= T = =100π,∴I=300sin(100πt+φ).由图知 300sin(- 1 50 1 300×100π+φ)=0, π π π 又|φ|< ,∴φ= ,∴I=300sin(100πt+ ). 2 3 3 1 2π 1 (2)依题意,有 T≤ ,即 ω ≤ ,∴ω≥200π.∵ω 为正整数, 100 100 ∴ωmin=629.

1.6 │考点类析
解决此类问题时,根据已知判断函数的类型,用适当的形式 设出其解析式,并结合实际问题的意义,注明函数的定义域,利 用待定系数法及数形结合思想、方程思想,就可求出函数解析 式.有了函数的解析式,其它相关问题就都能得到解决.

1.6│ 备课素材
备课素材

1.建模方法解决函数图像与解析式问题 函数图像与解析式的对应问题是高考考查的热点之一.解决此问题的一般 方法是根据图像所反映的函数性质建立合适的三角函数模型,再解决如函 数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域等问题.

1.6│ 备课素材

[例]如图所示,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离 s(cm)随时间 t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像. (1)经过多少时间,小球往复振动一次? (2)求这条曲线的函数解析式; (3)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少?

1.6│ 备课素材
解:(1)由图可知,周期 T=2 7π π - =π ,所以小球往复振动一次所需要 12 12

的时间为π ≈3.14 s. (2)由图可设该曲线的函数解析式为 s=Asin(ω t+φ ),t∈[0,+∞). 从图中易知 A=4.又 2π =π ,∴ω =2.从而 s=4sin(2t+φ ). ω

π π π 将 t= ,s=4 代入上式,得 sin +φ =1,∴φ = +2kπ ,k∈Z. 12 6 3 π 故这条曲线的函数解析式为 s=4sin2t+ ,t∈[0,+∞). 3 π (3)当 t=0 时,s=4sin =2 3 3. 3 cm.

故小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是 2

1.6│ 备课素材

2.三角函数模型的应用问题 三角函数模型是描述现实世界中具有周期现象的一种数学模型,在刻画周 期变化规律等方面发挥着十分重要的作用.

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[例]交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒)的关系可用 E=220 π sin100π t+ 来表示.求: 6 (1)开始时电压; (2)电压最大值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 解:(1)当 t=0 时,E=110 2伏,即开始时的电压为 110 2伏. 2

2π 1 (2)T= = (秒),即时间间隔为 0.02 秒. 100π 50 (3)电压的最大值为 220 2伏,

π π 1 当 100π t+ = ,即 t= 秒时第一次取得最大值. 6 2 300

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1.弹簧振子的振幅为 2 cm,在 6 s 内振子通过的路程是 32 cm, 由此可知该振子振动的( ) A.频率为 1.5 Hz B.周期为 1.5 s C.周期为 6 s D.频率为 6 Hz

[答案] B

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π 2.某地一天从6时到14时的温度(单位:℃)的变化满足y=10sin( t 8 3π + 4 )+20,t∈[6,14],则最高气温和最低气温分别是( ) A.10 ℃,-10 ℃ B.20 ℃,-20 ℃ C.30 ℃,20 ℃ D.30 ℃,10 ℃

[答案] D

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3.如图163所示是一个简谐运动的图像,则下列判断正确 的是( )

图163

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A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为-5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
[答案] D

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4.设 y=f(t)是某港口水的深度 y(m)关于时间 t(h)的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港口某一天从 0 h 至 24 h 记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 3 6 9 12 15 18 21 24

12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1

经观察,函数 y=f(t)的图像可以近似地看成函数 y=k+ Asin(ωt+φ)(t∈[0,24])的图像.下面的函数中,最能近似 表示表中数据间对应关系的是( )

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π π π A.y=12+3sin6t B.y=12+3(sin6t+3) π π π C.y=12+3sin t D.y=12+3sin( t+ ) 12 12 2
[答案] A

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5.某物体相对于某一固定位置的位移 y(cm)和时间 t(s)之间的 一组对应值如下表所示: t y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 - 2.8 0.8 - 4.0

- - 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 4.0 2.8

则可近似地描述该物体的位移 y 和时间 t 之间关系的一个 5π y=-4cos t 2 函数为_____________________ .

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[小结] 1.解决有关三角函数的实际问题常见方法有:求出三角函数的解析式,画 出函数的图像,利用函数的性质进行解题.要注意:自变量 x 的变化范围; 数形结合,通过观察图形,获得本质认识;要认真仔细地审题,多进行联 想、利用适当的数学模型;涉及复杂的数据,往往需要借助使用信息技术 工具. 2.通常用函数 y=Asin(ωx+φ)+b 来刻画现实生活中重复出现的现象.

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【知识网络】

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【知识辨析】 判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”) (1)小于 90° 的角是锐角.( ? ) (2)长度相等的弧所对的圆心角的弧度数相等.( ? ) (3)由于点 P 在角 α 终边上的位置不同, 因此角 α 的三角函数值也 不相同.( ? ) (4)在单位圆的三角函数线中, 线段的长度就是相应角的三角函数 值.( ? )

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2 (5)当 sin α= 2 时,tan α=1.( ? ) (6)任意一个周期函数都有最小正周期.( ? ) 3π (7)函数 y=sin(x+ 2 )是奇函数.( ? ) (8)函数 y=2-3cosx 的单调递减区间是[2kπ-π,2kπ],k∈Z.( √ ) π (9)正切函数 y=tanx(x≠2+kπ,k∈Z)在定义域内是增函数.( ? ) π (10)要得到函数 y=sin 2x 的图像,只需把函数 y=sin(2x+3)的图 π 像向右平移3个单位长度.( ? )

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? 题型一 三角函数的概念 [类型总述] (1)应用三角函数的概念求三角函数值;(2)利用各 象限角的函数值的符号规律求角. 例 1 (1)若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)[全国卷] 已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α=( ) 4 3 A.5 B.5 3 4 C.-5 D.-5

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(1)C (2)D [解析] (1)由sin α<0,知α的终边在第三象限 或第四象限或在y轴的非正半轴上.由tan α>0,知α的终边在 第一或第三象限,因此α是第三象限角. -4 4 (2)根据题意,cos α= 2 2=-5. (-4) +3

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【变式】 若角 α 的终边在直线 y=3x 上,且 sin α<0,又 P(m,n) 是 α 终边上一点,且|OP|= 10,求 sin α,cos α,tan α.

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解:∵sin α<0,且角 α 的终边在直线 y=3x 上,∴角 α 的终 边在第三象限, 又∵P(m,n)为终边上一点,∴m<0,n<0. ? ? ?n=3m, ?n=-3, 又∵? 2 ∴? 2 ? ?n +m =10, ? ?m=-1, -3 -1 3 10 10 n m ∴sin α=|OP|= =- 10 ,cos α=|OP|= =- 10 , 10 10 3 10 - 10 sin α tan α= = =3. cos α 10 - 10

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?

同角三角函数的基本关系式和诱导公式的 应用 [类型总述] (1)三角函数求值,包括给角求值、给值求值、 给式求值、给值求角等题型;(2)三角函数式的化简与证明.

题型二

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π 4 例 2 已知 0<α<2,sin α=5,则 sin2α+2sin αcos α 20 (1) =________ ; 2 2 2cos α-sin α

1 tan α-1 (2) =_______ 7 . tan α+1

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sin2α+2sin αcos α π 4 3 [解析] (1)由 0<α<2, sinα=5, 得 cosα=5, 所以 2cos2α-sin2α =20. tan α-1 1 sin α 4 (2)∵tan α=cos α=3,∴ = . tan α+1 7

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已知 sin α 是方程 5x2-7x-6=0 的根,且 α 是第三 ? ? 3 ? ?3 sin?-α-2π?cos?2π-α? ? ? ? ? 2 象限角,求 · tan (π-α) 的值. ?π ? ?π ? cos?2-α?sin?2+α? ? ? ? ? 例3

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3 解:方程 5x -7x-6=0 的两根为 x1=-5,x2=2. 3 4 2 又 α 是第三象限角,∴sin α=-5,∴cos α=- 1-sin α

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