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特征方程法求数列的通项公式(1)

a an + b ......① 其中 c ≠ 0, ad ≠ bc, n ∈ N * . c an + d

ax + b 为①的特征方程,该方程的根称为数列 {an } 的特征根,记为 α , β . cx + d an +1 α a cα an α = . an +1 β a cβ an β

ax + b ad b cx 2 + (d a ) x b = 0 α + β = , αβ = cx + d c c

∴ d = a (α + β )c, b = αβ c aan + b α an +1 α can + d (aan + b) α (can + d ) (a cα )an + (b dα ) ∴ = = = an +1 β aan + b β (aan + b) β (can + d ) (a cβ )an + (b d β ) can + d =

(a cα )an + [αβ c (a cα cβ )α ] (a cα )an (a cα )α = (a cβ )an + [αβ c (a cα cβ ) β ] (a cβ )an (a cβ ) β

=

a cα an α a c β an β

1 2c 1 = + . an +1 α a + d an α

can + d can + d 1 1 = = = an +1 α aan + b α (aan + b) α (can + d ) (a α c)an + b α d can + d
can + a 2α c can + a 2α c ca + a 2α c = = n 2 2 (a α c)an (α c + aα 2α c) (a α c)(an α ) a + d (a α ) n 2

=

=

2can + 2a 4α c 2can + (a 2α c) + d 2c(an α ) + (a + d ) = = (a + d )(an α ) (a + d )(an α ) (a + d )(an α ) 2c 1 + a + d an α

=

1

a p + aq am + an = . (1 + am )(1 + an ) (1 + a p )(1 + aq )
(1)当 a = 解:由

1 4 , b = 时,求通项 an ;(2)略. 2 5

a p + aq am + an a1 + an a2 + an 1 = 得 = (1 + am )(1 + an ) (1 + a p )(1 + aq ) (1 + a1 )(1 + an ) (1 + a2 )(1 + an 1 )
2a + 1 1 4 , b = 代入上式化简得 an = n 1 2 5 an 1 + 2 2x + 1 得特征根 x = ±1 x+2

2an 1 + 1 1 an 1 an 1 + 2 1 a 1 = = n 1 所以 an + 1 2an 1 + 1 + 1 3 an 1 + 1 an 1 + 2

an 1 a1 1 1 1 = 为首项,公比为 的等比数列 是以 a1 + 1 3 3 an + 1

an 1 1 1 1 = ( ) n 1 = ( ) n an + 1 3 3 3

3n 1 3n + 1

1 , n ∈ N * ,求通项 an . an 1

1 得特征根 x = 1 x

a 1 1 1 1 = = = n 1 = 1 + an 1 (2 1 ) 1 1 1 an 1 1 an 1 1 an 1 an 1

1 1 = 1 为首项,公差为 1 的等差数列 是以 a1 1 an 1

1 =n an 1

n +1 n an 1 + 2 (n ≥ 2) ，求数列 {an } 的通项 an 2an 1 + 1

a 1 a 1 x+2 2 ，化简得 2 x 2 = 0 ，解得 x1 = 1, x2 = 1 ，令 n +1 = c n 2x + 1 an +1 + 1 an + 1

2

4 1 ，可得 c = ， 5 3
n 1

a 1 a 1 1 1 1 3n (1) n a 1 1 = ，∴ an = n ∴ 数列 n 是以 1 = 为首项，以 为公比的等比数列，∴ n an + 1 3 3 3 3 + (1) n a1 +1 3 an + 1

2 an 1 (n ∈ N * ) ，求数列 {an } 的通项 an 4 an + 6

1 2x 1 1 1 2 ，即 4 x + 4 x + 1 = 0 ，解得 x1 = x2 = ，令 = +c 1 1 4x + 6 2 an+1 + an + 2 2 3 ，求得 c = 1 ， 由 a1 = 2, 得 a2 = 14 1 1 2 1 2 3 ∴ 数列 = 为首项，以 1 为公差的等差数列，∴ = + (n 1) 1 = n ， 是以 1 5 1 5 5 an + 1 a1 + an + 2 2 2 13 5n ∴ an = 10n 6
*

2.已知数列 {an } 满足 an + 2 = c1an +1 + c2 an ② 其中 c1 , c2 为常数,且 c2 ≠ 0, n ∈ N . 的特征方程, 的特征根,记为 定义 2:方程 x = c1 x + c2 为②的特征方程,该方程的根称为数列 {an } 的特征根 记为 λ1 , λ2 . 方程
2

n n

a1 = b1λ1 + b2 λ2 . 2 2 a2 = b1λ1 + b2 λ2 a1 = (b1 + b2 )λ . 2 a2 = (b1 + 2b2 )λ

n

s + t = p st = q

（*）

（1） 若方程组（*）有两组不同的解 ( s1 , t1 ), ( s 2 , t 2 ) , 则 a n +1 t1 a n = s1 (a n t1 a n 1 ) ,

a n+1 t 2 a n = s 2 (a n t 2 a n1 ) ,

n 1

, ,

a n+1 t 2 a n = (a 2 t 21 a1 ) s 2

n 1

Q t1 ≠ t 2 , 由上两式消去 a n+1 可得
3

an =

(a 2 t1a1 ) .s n a 2 t 2 a1 .s n . 1 2 s1 (t 2 t1 ) s 2 (t 2 t1 )
s1 = s 2 ，易证此时 s1 = t1 ，则 t1 = t 2
n 1

（2） 若方程组（*）有两组相等的解
2

a n+1 t1 a n = s1 (a n t1 a n 1 ) = s1 (a n1 t1 a n 2 ) = K = s1
∴ a n+1 s1
n +1

(a2 t1a1 ) ，

an s1
n

=

a 2 t1 a 1 s1
2

,即

an 是等差数列， n s1

an s1
n

=

a1 a t a + (n 1). 2 2 1 1 ， s1 s1

a 2 t1 a1 n + .n s 1 ． 2 s1

*

2

n

n

c1 = 1 a1 = c1 + 2c2 = 2 由 ，得 1， a2 = c1 + 4c2 = 3 c2 = 2

∴ an = 1 + 2n 1

*

1 1 解：其特征方程为 4 x = 4 x 1 ，解得 x1 = x2 = ，令 an = ( c1 + nc2 ) ， 2 2
2

n

1 a1 = (c1 + c2 ) × = 1 c1 = 4 2 由 ，得 ， 1 c2 = 6 a = ( c + 2c ) × = 2 1 2 2 4

∴ an =

3n 2 2n 1

2

n

2(b1 + b2 ) = 2 b = 0 1 an = n2n 4(b1 + 2b2 ) = 8 b2 = 1

4

f(n)为常数 为常数, 此时数列为等差数列， （1）若 f(n)为常数,即： a n +1 a n = d ,此时数列为等差数列，则 a n = a1 + ( n 1) d . f(n)为 的函数时，用累加法. （2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加 方法如下： 由 a n +1 a n = f ( n) 得：

n ≥ 2 时， a n a n 1 = f (n 1) ， a n 1 a n 2 = f (n 2) ， KK a 3 a 2 = f ( 2)

a 2 a1 = f (1)

∑ f (k ) .
k =1

n 1

Q n ≥ 2 时， a n a n 1 = f (n 1) ， ∴ a n = (a n a n 1 ) + (a n 1 a n 2 ) + L + (a 2 a1 ) + a1
= f ( n 1) + f ( n 2) + L + f ( 2) + f (1) + a1 .
5

a2 a1 = 1 a a =3 3 2 ∴ a4 a3 = 5 M an an 1 = 2n 1
an a1 = n 2 1

∴ an = n 2
n 1

+ a n 1 (n ≥ 2) ,

3n 1 2
n 1

,故

a n = (a n a n 1 ) + (a n 1 a n 2 ) + L + (a 2 a1 ) + a1
=3
n 1

+ 3 n2 + L + 3 + 1 =

3n 1 . 2

∴ an =

3n 1 . 2
*

2

{an }

1 ， 且 an +1 = an + 2n( n ∈ N ) 写 出 数 列

{an }

1 (n ≥ 2) ，求此数列的通项公式. n(n 1)

1 n

an .
f(n)是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ①若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; f(n)是关于 的二次函数，累加后可分组求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; f(n)是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; f(n)是关于 的分式函数，累加后可裂项求和。 ④若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。 类型一专项练习题： 类型一专项练习题： ，求 an 。 1、已知 a1 = 1 ， an = an 1 + n （ n ≥ 2 ）
6

an =

n( n + 1 ） 2

2、已知数列 {an } ， a1 =2， an +1 = an +3 n +2，求 an 。

an =

n(3n + 1) 2
2

3、已知数列 {a n } 满足 a n +1 = a n + 2n + 1，a 1 = 1 ，求数列 {a n } 的通项公式。 an = n + 1 4、已知 {a n } 中， a1 = 3, a n +1 = a n + 2 ，求 an 。
n
n

an = 2 n + 1
n 1

1 3 1 1 5、已知 a1 = , an +1 = an + ( n ∈ N * ) ,求数列 {a n } 通项公式. an = 2 2 2 2
6、 已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an = 3
n 1

3n 1 + an 1 ( n ≥ 2 ) , 求通项公式 an ？（ an = ） 2
n +1

7、若数列的递推公式为 a1 = 3, an +1 = an 2 3

(n ∈ N * ) ，则求这个数列的通项公式 an = 12 3n+1
n

8、 已知数列 {a n } 满足 a n +1 = a n + 2 3 n + 1，a 1 = 3 ，求数列 {a n } 的通项公式。 an = 3 + n 1 9、已知数列 {a n } 满足 a1 =

1 1 ， a n +1 = a n + 2 ，求 a n 。 2 n +n

an =

3 1 2 n

10、数列 {an } 中， a1 = 2 ， an +1 = an + cn （ c 是常数， n = 1， 3， ） 2， L ，且 a1，a2，a3 成公比不为 1 的等比数列． （I）求 c 的值； （II）求 {an } 的通项公式． c=2

an = n 2 n + 2

a n +1 = q （其中 q 是不为 0 的常数） 此时数列为等比数列， a n = a1 q n 1 . 的常数） 此时数列为等比数列 ，此时数列为等比数列， ， an

f(n)为 的函数时,用累乘法. （2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 由

a n +1 = f ( n) 得 an

n ≥ 2 时，

an = f (n 1) ， a n 1

∴ an =

a n a n 1 a L 2 a1 =f(n)f(n-1) L f (1) a1 . a n 1 a n 2 a1
2 2

Q a n > 0 ( n ∈ N * )∴ (n+1) a n +1 na n = 0 ,

a n +1 n = an n +1

7

∴ n ≥ 2 时，

an n 1 = a n 1 n

∴ an =

a n a n 1 a n 1 n 2 1 1 L 1= . L 2 a1 = n n 1 2 n a n 1 a n 2 a1

a n +1 + 1 = n ,故由累乘法得 an + 1

an + 1 =

a n + 1 a n 1 + 1 a + 1 a2 + 1 L 3 (a1 + 1) a n 1 + 1 a n 2 + 1 a 2 + 1 a1 + 1

= (n 1) (n 2) L 2 1 (a1 + 1) = (n 1)!(a1 + 1) 所以 a n = ( n 1)!( a1 + 1) -1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 a n +1 = na n + n 1, 转化为

a n +1 + 1 = n(a n + 1), 若令 bn = a n + 1 ,则问题进一步转化为 bn +1 = nbn 形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.

an an 1 an 2 a3 a2 L a1 an 1 an 2 an 3 a2 a1

n n 1 n 2 3 2 2 L 1 = n + 1 n n 1 4 3 n +1 2 又Q a1 也满足上式；∴ an = n +1 =

(n ∈ N * ) 2 n +n 2 an = 3n
2

n 1 an 1 ( n ≥ 2 )，求 an 。 n +1 2 n 2、已知数列 {a n } 满足 a1 = ， a n +1 = a n ，求 a n 。 3 n +1
3、已知 {a n } 中， an +1 =

an =

4 n an ，且 a1 = 2 ，求数列 {a n } 的通项公式. an = n+2 n ( n + 1)
8

4、已知 a1 = 3 ， a n +1 =

3n 1 a n (n ≥ 1) ，求 a n 。 3n + 2

an =

6 3n 1

5、已知 a1 = 1 , an = n( an +1 an ) ( n ∈ N * ) ,求数列 {a n } 通项公式. 6、已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2 an ，求通项公式 an ？
n

an = n
n2 n 2

（ an = 2

n 1

7、已知数列 {a n } 满足 a n +1 = 2(n + 1)5 a n，a 1 = 3 ，求数列 {a n } 的通项公式。 an = 3 × n !× 2
n

×5

n2 n 2

8、已知数列{an}，满足 a1=1， a n = a1 + 2a 2 + 3a3 + + ( n 1) a n 1 (n≥2)，则{an}的通项 an = n !

1

n =1 n≥2

2

9、设{an}是首项为 1 的正项数列, 且(n + 1)a 2 +1 - na 2 +an+1an = 0 (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式. n n

an =

1 n
2

10、数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a1 = 1 ， S n ＝ n a n ( n ∈ N *) ，求数列 {a n } 的通项公式.

an =

2 n +n
2

∴ n ≥ 2 时， a n + a n 1 = 2(n 1) ，

∴ a1 , a 3 , a 5 , L , 构成以 a1 ,为首项，以 2 为公差的等差数列; a 2 , a 4 , a 6 , L , 构成以 a 2 ,为首项，以 2 为公差的等差数列 ∴ a 2 k 1 = a1 + (k 1)d = 2k 2 a 2 k = a 2 + (k 1)d = 2k .
9

n 1, n为奇数, ∴ an = n, n为偶数.

1 2

3 , 求数列{an}的通项公式. 2 1 = a n + a n 1所以a n + a n 1 = 3 ( ) n 1 ( n ≥ 3), 2

1 n 1 4 3 ( 2 ) , n为奇数, an = 4 + 3 ( 1 ) n1 , n为偶数. 2

n *

1 2

B 的等比数列， 即可。 ，则数列 {an + t} 为公比等于 A 的等比数列，然后求 an 即可。 A 1

d , ( c ≠ 0) c 1 d d = c(a n 1 + ) 所以有： a n + c 1 c 1 (c 1)λ = d ,所以 λ =
10

d d 为首项，以 c 为公比的等比数列， 构成以 a1 + c 1 c 1

d d = (a1 + ) c n 1 c 1 c 1 d d 即： a n = ( a1 + ) c n 1 . c 1 c 1

d d d = c( a n + ) ,构造成公比为 c 的等比数列 {a n + } 从而求得 c 1 c 1 c 1

d d + c n 1 (a1 + ) 1 c c 1

n

∴ t = 1 ，于是 an + 1 = 3 ( an 1 + 1)

∴{an + 1} 是以 a1 + 1 = 2 为首项，以 3 为公比的等比数列。
∴ an = 2 3n 1 1

1 1 a n + , 求通项 a n . 2 2

d ,构造新的等比数列。 c 1 1 1 1 解：由 a n +1 = a n + , 得 a n +1 1 = ( a n 1) , 2 2 2 1 所以数列 {a n 1} 构成以 a1 1 = 1 为首项，以 为公比的等比数列 2 1 n 1 1 n 1 所以 a n 1 = ( ) ,即 a n = ( ) +1. 2 2

2

= c a n 3 + d (1 + c + c ) = L = c n 1 a1 + d (1 + c + c 2 + L + c n 2 )
3 2

= (a +

d d )c n 1 . c 1 c 1
11

1、 在数列 {an } 中， a1 = 1 ， an +1 = 2an + 3 ，求数列 {an } 的通项公式。 ( an = 3 2)
n

2、若数列的递推公式为 a1 = 1, an +1 = 2an 2( n ∈ 3、已知数列{a n }中，a 1 =1，a n =

*

) ，则求这个数列的通项公式 an = 2 2n 1

1 a n 1 + 1 ( n ≥ 2) 求通项 a n ． an = 2 21 n 2 1 1 11 1 n 4、在数列 {an } (不是常数数列)中, an +1 = an + 2 且 a1 = ,求数列 {an } 的通项公式. an = 4 2 2 3 3
5、在数列{an}中， a1 = 1, a n +1 = 3 a n 1, 求 a n .

an =

1 + 3n 1 2

6、已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2an + 1( n ∈ N ). 求数列 {an } 的通项公式. an = 2 1
*

n

7、设二次方程 a n x 2 - a n＋1. x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足 6α-2αβ+6β=3． (1)试用 a n 表示 a n +1 ；

an +1 =

1 1 an + 2 3

（2）求证：数列 an 是等比数列；

2 3

7 （3）当 a1 = 时，求数列 {an } 的通项公式 6
8、在数列 {an } 中， Sn 为其前 n 项和，若 a1 = 不是等比数列？ 是

2 1 an = + 3 2

n

3 ，a2 = 2 ，并且 Sn +1 3S n + 2Sn 1 + 1 = 0(n ≥ 2) ，试判断 {an 1} (n ∈ N ) 是 2

∴ n ≥ 2 时， a n = 3a n 1 + 2(n 1) ，

a n +1 a n = 3(a n a n 1 ) + 2 .令 bn = a n +1 a n ,则 bn = 3bn 1 + 2

n 1

+2

a n +1 a n = 5 3 n 1 1

12

5 n 1 1 3 n . 2 2 5 n 1 1 亦可联立 ① ②解出 a n = 3 n . 2 2 3 例 2. 在数列 { an } 中， a1 = ,2a n a n 1 = 6n 3 ,求通项 a n . 2

9 1 ,公比为 . 2 2

9 1 n 1 1 n ( ) 即： a n 6n + 9 = 9 ( ) 2 2 2 1 n 故 a n = 9 ( ) + 6n 9 . 2 ∴ bn =
(2)若 f ( n) = q n (其中 q 是常数，且 n ≠ 0,1) ①若 p=1 时，即： a n +1 = a n + q ，累加即可.
n

②若 p ≠ 1 时，即： a n +1 = p a n + q ，
n

a n +1 a n 1 p n a 1 p = n + ( ) ,令 bn = nn ，则 bn +1 bn = ( ) n , n +1 p q p q p q p

a n +1 p a n 1 = + , q n +1 q q n q

an p 1 ,则可化为 bn +1 = bn + .然后转化为类型 5 来解， n q q q

iii.待定系数法： 设 a n +1 + λ q
n +1

= p (a n + λ p n ) .通过比较系数，求出 λ ，转化为等比数列求通项.

1 证明对任意 n ≥1， a n = [3 n + (1) n 1 2 n ] + (1) n 2 n a 0 ； 5
n 证法 1：两边同除以（-2） ,得

an a 1 1 3 = n n 1 + ( ) n n 3 2 (2) (2)

13

an 1 3 n ,则 bn bn 1 = ( ) n 3 2 (2)

∴ bn = (bn bn 1 ) + (bn 1 bn 2 ) + L + (b2 b1 ) + b1
=

1 3 n 3 n 1 3 2 a1 ( 2 ) + ( 2 ) + L + ( 2 ) + 2 3

3 3 ( ) 2 [1 ( ) n 1 ] 1 1 2 2 (1 2a 0 ) = 3 2 3 1 ( ) 2 1 3 n = L = [( ) 1] + a 0 5 2 1 ∴ a n = (2) n bn = L = [3 n + (1) n 1 2 n ] + (1) n 2 n a 0 . 5

an 3
n

=

1 2 a n 1 . 3 3 3 n 1

an 3
n

，则 b n =

2 1 1 2 1 bn 1 + . 即： bn = (bn 1 ) , 3 3 5 3 5 1 2 1 2 = ( a 0 ) 为首项， 为公比的等比数列. 5 3 5 3

1 5

1 2 1 2 1 2 = ( a 0 )( ) n 1 = ( a 0 )(1) n 1 ( ) n , 5 3 5 3 5 3

1 2 1 = bn = ( a 0 )(1) n 1 ( ) n + , 5 3 5 3
n

an

1 故 a n = [3 n + (1) n 1 2 n ] + (1) n 2 n a 0 . 5

n n 1

) , 即: a n = 2a n 1 5λ 3 n 1 ,
1 5

1 n 1 3 = 2(a n 1 3 n 1 ) , 5 5

n 所以数列 a n 3 是公比为－2，首项为 a1 3 的等比数列. 5 5

∴ an

3n 3 = (1 2a0 )(2) n 1 ( n ∈ N ). 5 5

1 即 a n = [3 n + (1) n 1 2 n ] + (1) n 2 n a 0 . 5

14

1 an 1 + 2n 1( n ≥ 2 ) 求数列 {an } 的通项公式。 2

∴ an + An + B =

1 an 1 + A ( n 1) + B 2

A +2=0 A = 4 2 展开后比较得 A + B 1 = 0 B = 6 2 2

1 bn 1 ( n ≥ 2 ) 且bn = an 4n + 6 2 1 ∴{bn } 是以 3 为首项，以 为公比的等比数列 2

1 ∴ bn = 3 2 1 即 3 2
n 1

n 1

1 = an 4n + 6 ，∴ an = 3 2

n 1

+ 4n 6

n +1

n +1

( n ≥ 2 ) 求数列 {an } 的通项公式。

( n ≥ 2)
an an 1 a a n 1 = 2 ∴ n 是以 1 =1 为首项，2 为公差的等差数列。 n n 2 2 2 2
n

∴ an 2an 1 = 2n +1 ，两边同除以 2n 得

an = 1 + ( n 1) × 2 = 2n 1 2n

n

( 2n 1)

n

(

N

*

) 求数列 {a } 的通项公式。
n

n

( an 1) 2 ( an1 1) = 2n

an 1 an 1 1 n 1 = 1; 2n 2

a 1 a 1 ∴ n n 是以 1 = 2 为首项，1 为公差的等差数列。 2 2

15

an 1 = 2 + ( n 1) = n + 1 ， 2n

∴ an = 2n ( n + 1) + 1

n
n

∴ 2t = 4 ，

t = 2 ；∴ an+1 + 2 = 3 ( an + 2 ) , 再加上 5 2n 得， an +1 + 2 3 an + 2 5 = ， 2n +1 2 2n 2

∴ an+1 + 2 = 3 ( an + 2 ) + 5 2n ，整理得：

an + 2 3 5 = bn ，则 bn +1 bn = n 2 2 2 3 3 t 令 bn +1 + t = ( bn + t ) , bn +1 = bn + ； 2 2 2 t 5 ∴ = , t = 5; 2 2 3 a +2 13 3 即 bn +1 + 5 = ( bn + 5 ) ；∴ 数列 {bn + 5} 是以 b1 + 5 = 1 + 5 = 为首项， 为公比的等比数列。 2 2 2 2

∴ bn + 5 =

13 3 2 2

n 1

，即

an + 2 13 3 +5 = n 2 2 2

n 1

；整理得 an = 13 3

n 1

5 2n 2

4 1 2 an 2 n +1 + ( n ≥ 1, n ∈ N * ) ，求数列 {an } 的通项公式。 3 3 3

(a

n

= 4n 2n ) 1 , 点 ( n, 2an +1 an ) 在直线 y = x 上，其中 n = 1, 2, 3LL. 2

2、已知数列 {an } 中， a1 =

（1） 令 bn = an +1 an 1, 求证：数列 {bn } 是等比数列； （2） 求数列 {an } 的通项 ； 3、已知 a1 = 2 ， an +1 = 4an + 2
n +1

3 an = n + n 2 2 an = 4 n 2 n
n 1

，求 an 。

4、设数列 {a n } ： a1 = 4, a n = 3a n 1 + 2n 1, ( n ≥ 2) ，求 a n . an = 4 3

n 1 2n 1

5、已知数列 {a n } 满足 a1 = 2, an +1 = 2an + (2n 1) ，求通项 a n an = 5 2 6、在数列 {a n } 中， a1 =

n 1

3 9 ， 2a n a n 1 = 6n 3 ，求通项公式 a n 。 an = n 2 2
16

5 1 1 n+1 2 7、已知数列 {a n } 中， a1 = , a n +1 = a n + ( ) ，求 a n 。 an = 2 6 3 2 3
8、已知数列｛a n ｝ a 1 =1, n∈N + ，a n +1 = 2a n ＋3 ，
n

n

,求通项公式 a n ． an = 3 2
n

n

9、已知数列 {a n } 满足 a n +1 = 3a n + 2 3 n + 1，a 1 = 3 ，求数列 {a n } 的通项公式。 an = (2n ) 3
n

5 6

1 2

10、若数列的递推公式为 a1 = 1, an +1 = 3an 2 3

n +1

(n ∈ ) ，则求这个数列的通项公式

7 an = 3n ( 2n) 3
11、已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 3an + 2
n +1

,求 an .

an = 5 3n 1 2n +1
n 1

12、 已知数列 {a n } 满足 a n +1 = 2a n + 3 2 n ， a 1 = 2 ，求数列 {a n } 的通项公式。 an = (3n 1) 2 13、已知数列 {a n } 满足 a n +1 = 2a n + 3 5 n ，a 1 = 6 ，求数列 {a n } 的通项公式。 an = 5 + 2
n n 1

14、 已知 a1 = 1 ， an = an 1 + 2

n 1

，求 an 。

an =

2n + 1 3
1 an = 2 n n 2

15、 已知 {an } 中， a1 = 1 ， an = 2an 1 + 2 ( n …2) ，求 an .
n

16、已知数列 {a n } 中， S n 是其前 n 项和，并且 S n +1 = 4an + 2( n = 1, 2,L), a1 = 1 ， ⑴设数列 bn = a n +1 2a n ( n = 1,2, LL) ，求证：数列 {bn } 是等比数列； ⑵设数列 c n =

an , (n = 1,2, LL) ，求证：数列 {c n }是等差数列； 2n
n 1

⑶求数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和。 an = 2

+ 3(n 1) 2 n 2 ; sn = 3n 1) 2n + 2 （

1、已知数列 {a n } 中， a1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2
n 1 2 1 3 1 = a n+1 + a n ，求 a n 。 an = 1 + 1 3 3 4 3

5 5 2 2 2、 已知 a1=1，a2= ， an + 2 = an +1 - an ,求数列｛ an ｝的通项公式 an . an = 3 3 3 3 3 3
3、已知数列 {a n } 中， S n 是其前 n 项和，并且 S n +1 = 4an + 2( n = 1, 2,L), a1 = 1 ， ⑴设数列 bn = a n +1 2a n ( n = 1,2, LL) ，求证：数列 {bn } 是等比数列；

n

17

⑵设数列 c n =

an , (n = 1,2, LL) ，求证：数列 {c n }是等差数列； 2n
n 1

⑶求数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和。 an = 2

+ 3(n 1) 2 n 2 ; sn = 3n 1) 2n + 2 （

4、数列 {a n } ： 3an + 2 5an +1 + 2an = 0( n ≥ 1, n ∈ N ) ， a1 = a, a 2 = b ，求数列 {a n } 的通项公式

2 an = 3b 2a + 3(a b) 3

n 1

1、若数列的递推公式为 a1 = 3,

c an （c pd ≠ 0） pan + d

1 1 3 = 2(n ∈ ) ，则求这个数列的通项公式。 an = 7 6n an +1 an
1 2n 1

2、已知数列{ a n }满足 a1 = 1, n ≥ 2 时， a n 1 a n = 2a n 1 a n ，求通项公式 a n 。 an = 3、已知数列｛an｝满足： a n =

a n 1 1 , a1 = 1 ，求数列｛an｝的通项公式。 an = 3 a n1 + 1 3n 2
an 2 , 求 a n . an = n 1 an + 3 2 3 1

4、设数列 {a n } 满足 a1 = 2, an +1 =

5、已知数列{ a n }满足 a1=1， a n +1 =

3a n 1 ，求 a n an = n 3a n + 6 2 1
3an 6 ，求数列 {an } 的通项公式. an = an + 3 2n + 1

6、 在数列 {an } 中， a1 = 2, an +1 =

7、若数列｛a n ｝中，a 1 =1，a n +1 =

2a n an + 2

n∈N + ，求通项 a n ． an =

2 n +1

. （2）求通项公式 a n .

(n = 1) s an = 1 sn sn 1 (n ≥ 2)

1 2 n2

(1) 求 a n+1 与 an 的关系；

2 ) n ≥ 2 时， an = sn sn 1 = 4 an

1 2
n2

4 + an 1 +

1 2 n 3

1 1 an + n 。 2 2
18

（2）在上式中两边同乘以 2

n+1

n +1

an +1 2n an = 2 ；

∴数列 2 n an 是以 21 a1 = 2 为首项，2 为公差的等差数列； ∴ 2n an = 2 + 2n 2 = 2n ；得 an =

n 1

{

}

n 。 2n 1

1 (an + 2) 2 ，求数列 {an } 的通项公式. 8

an = 4 n 2
3、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn = 3 – 2, 求数列{an}的通项公式. an =
n

(n = 1) 1 n 1 2 3 (n ≥ 2)
n 1

4、设正整数{an}的前 n 项和 Sn = (a n + 1) 2 ，求数列{an}的通项公式. an = 3
3 2

1 4

5、如果数列{an}的前 n 项的和 Sn = a n 3 , 那么这个数列的通项公式是 an = 23
*

n

6、已知无穷数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ，并且 an + S n = 1( n ∈ N ) ，求 {a n } 的通项公式？

an = 2 n 类型十：周期型

1 2 a n , (0 ≤ a n ≤ 2 ) 6 = ，若 a1 = ，则 a 20 的值为___________。 7 2a 1, ( 1 ≤ a < 1) n n 2

6 5 3 6 5 3 6 ， ， ， ， ， ， LL ；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期； 7 7 7 7 7 7 7 5 ∴ a20 = a2 = . 7

an 3 3a n + 1

(n ∈ N * ) ，则 a 20 = （ B
3 2
-4

A．0

B． 3

C． 3

D．

2、在数列 {a n } 中， a1 = 1, a 2 = 5, a n + 2 = a n+1 a n , 求a1998.
19

(2n + 1) 1 8(n + 1) 8 ，a 1 = ，求数列 {a n } 的通项公式。 an = 2 2 9 (2n + 1) 2 (2n + 1) (2n + 3)
2

8 24 48 得， a2 = , a3 = ,LL 9 25 49

(2n + 1)2 1 所以猜测 an = ，下面用数学归纳法证明它； (2n + 1) 2

1) n = 1 时成立（已证明） 2 ) 假设 n = k (k ≥ 2) 时，命题成立，即 ak = (2k + 1) 2 1 ， (2k + 1) 2

8 ( k + 1) 8(k + 1) (2k + 1) 2 1 = + 2 2 2 2 2 (2k + 1) (2k + 3) (2k + 1) ( 2k + 1) ( 2k + 3)

=

16k 4 + 64k 3 + 84k 2 + 44k + 8

( 2k + 1) ( 2k + 3)
2

2

( 2k + 1) ( 2k + 3) 1 ( 2k + 3) 1 = 。 = 2 2 2 ( 2k + 1) ( 2k + 3) ( 2k + 3)
2 2 2

∴ n = k + 1 时命题成立；

*

2

an = n + 1 ，

2、已知 {a n } 是由非负整数组成的数列，满足 a1 = 0 ， a 2 = 3 ， a n +1 a n = ( a n 1 + 2)(a n 2 + 2) （n=3，4，5…） 。 （1）求 a3 ； 2 （2）证明 a n = a n 2 + 2 （n=3，4，5…） ；(数学归纳法证明)

n 1 （3）求 {a n } 的通项公式及前 n 项的和。 an = n + 1
3、已知数列 {an } 中 a1 = (1) (2)

n2 + n + 2 (n为奇数） 2 ； sn = 2 (n为偶数） n + n 2

(n为奇数） (n为偶数）

an 3 ， an +1 = 。 5 2 an + 1 3 3 3 ； ； 11 17 23 3 6n 1
20

r 类型十二 为常数) 类型十二. a n +1 = pa n (其中 p,r 为常数)型

2

（1）p>0， a n > 0

a a a a

a

{bn }

1

bn = 1 × 2 n1 = 2 n1 ， log + 1 = 2 n 1 ， log
an 2

an 2

= 2 n1 1 ，∴

an = 22

n1

1

a n = 2 22

2n

（2）p<0 时 用迭代法. 例.（2005 江西卷） 已知数列 {a n }的各项都是正数, 且满足 : a 0 = 1, a n +1 = （1）证明 an < an +1 < 2, n ∈ N ; 解： （1）略 （2） a n +1 =

1 a n (4 a n ), n ∈ N ， 2

（2）求数列 {a n } 的通项公式 an.

1 1 a n ( 4 a n ) = [ ( a n 2) 2 + 4], 2 2 所以 2( a n +1 2) = ( a n 2) 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 令bn = a n 2, 则bn = bn 1 = ( bn 2 ) 2 = ( ) 2 bn 1 = L = ( ) 1+ 2 +L+ 2 bn 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 1 2 n 1 bn = ( ) , 即 a n = 2 + bn = 2 ( ) . 2 2
2 n 1

n

b n= － 1 ， 所 以

1 2 c n 1 ,转化为上面类型（1）来解. 2

21