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圆与方程复习课件

阶段复习课

第四章 圆与方程

【答案速填】①标准方程 ②相离

③相切

④相交

类型 一

求圆的方程 圆的方程的求法及注意点

(1)求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等,运用待 定系数法时,要充分利用题目中提供的条件来确定三个独立的 参数;使用几何法时,要充分利用圆的有关性质,如垂径定理、 “半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形”等. (2)如果已知条件容易求得圆心坐标、半径,则一般选用圆的 标准方程,否则选用圆的一般方程.

【典例1】(1)过点A(1,2),且与两坐标轴同时相切的圆的方程 为 ( )

A.(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=25 B.(x-1)2+(y-3)2=2 C.(x-5)2+(y-5)2=25 D.(x-1)2+(y-1)2=1 (2)求经过两点P(-2,4),Q(3,-1),且在x轴上截得的弦长为6的 圆的方程.

【解析】(1)选A.由题意可设圆心为(a,a),则半径r=a,圆方程 为(x-a)2+(y-a)2=a2,又点A(1,2)在圆上, 所以(1-a)2+(2-a)2=a2,解得a=1或a=5. 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=25. (2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将P,Q两点的坐标分别代 入 ,得
?2D ? 4E ? F ? 20, ? ?3D ? E ? F ? ?10. ①

又令y=0,得x2+Dx+F=0. 由已知,得|x1-x2|=6(其中x1,x2是方程x2+Dx+F=0的两根), 所以D2-4F=36 ①②联立组成方程组,解得
?D ? ?2, ?D ? ?6, ? ? ?E ? ?4, 或 ?E ? ?8, ?F ? ?8 ?F ? 0. ? ?



所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.

类型 二

直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的种类及常见的问题

(1)直线与圆的位置关系有:相离、相切和相交.判定的方法有 代数法和几何法,其中几何法较常用,比代数法的运算量要小.

(2)直线与圆相离.常见的问题有:
①利用圆心到直线的距离d与半径r的关系求一些参数的范围;

②在圆上求一些最值问题,如设圆心到直线的距离为d′,设圆
上点到线上点的距离为d,则d′-r≤d≤d′+r.

(3)直线与圆相切.常见的问题有:求切线方程或已知直线与圆 相切求一些参数的值,这些问题一般都利用圆心到直线的距离 等于半径进行解题,可以直接解三角形,也可以利用d=r解方程, 确定待定系数. (4)直线与圆相交.常见的问题有:①求交点;②求弦长,圆的弦 长公式l= 2 R 2 ? d2 (R表示圆的半径,d表示弦心距),利用这 一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式 l= 要方便. (1 ? k 2[ ) (x1 ? x 2 ) 2 ? 4x1x 2]

【典例2】已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被直 线y=x截得的弦长为 2 7,求圆C的方程. 【解析】设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). 由圆C与y轴相切得|a|=r ①, ②,
2 , 因为弦心距d,半径r

又圆心在直线x-3y=0上,所以a-3b=0 圆心C(a,b)到直线y=x的距离为 d= 及弦的一半构成直角三角形,
a?b

所以 (

|a ?b| 2 ) ? ( 7) 2 =r2 2

③.

联立①②③,解方程组可得
?a1 ? 3, ?a 2 ? ?3, ? ? 或 b ? 1, ? 1 ? b 2 ? ?1, ?r ? 3 ? r ? 3. ?1 ?2

故圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.

类型 三

圆与圆的位置关系 判定圆与圆的位置关系的方法

(1)代数法:通过两圆方程组成方程组的解的个数进行判断:

(2)几何法:

【典例3】(1)两圆x2+y2=r2,(x-3)2+(y+4)2=4相切,则正实数r

的值为

.

(2)如图,已知圆心坐标为M( 3 ,1)的圆M与x轴及直线y= 3 x

均相切,切点分别为A,B,另一圆N与圆M,x轴及直线y= 3 x均相
切,切点分别为C,D.

①求圆M和圆N的方程.
②过B点作MN的平行线l,求直线l被

圆N截得的弦长.

【解析】(1)当两圆外切时,两圆圆心的距离d=5,由题意,得
r+2=5,所以r=3;当两圆内切时,由题意知r-2=5,即r=7. 答案:3或7 (2)①由于圆M与∠BOA的两边均相切,故M到OA及OB的距离均为 圆M的半径,则M在∠BOA的平分线上,同理,N也在∠BOA的平分 线上, 即O,M,N三点共线,且MN为∠BOA的平分线,

因为M的坐标为M( 3 ,1),所以M到x轴的距离为1,即圆M的 半径为1, 所以圆M的方程为(x- 3 )2+(y-1)2=1; 设圆N的半径为r(r>0),由Rt△OAM∽Rt△OCN, 得OM∶ON=MA∶NC,即 解得r=3,故OC= 3 3, 所以圆N的方程为(x- 3 3)2+(y- 3 )2=9.
2 1 ? , 3? r r

②由对称性可知,所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截 得的弦长, 此弦所在直线方程为 y ? 3 x ? 3 ,
3

?

?

即 x ? 3y ? 3 ? 0, 圆心N到该直线的距离 d= 则弦长= 2 r 2 ? d2 ? 33.
3 3 ? 3 ?3? 3 1? 3 ? 3 , 2

类型 四

数形结合思想的运用
对数形结合思想的认识

数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考 查的思想,根据解决问题的需要,可以把数量关系的问题转化 为图形的性质问题去讨论,或者把图形的性质问题转化为数量 关系的问题去研究,简而言之,就是“数形结合取长补短”.

【典例4】圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距

离为 2 的点共有(
A.1个 B.2个

)
C.3个 D.4个

【解析】选C.圆x2+2x+y2+4y-3=0 的圆心C的坐标为(-1,-2),半径r= 2 2, 如图所示,圆心C到直线x+y+1=0的 距离为 2,故过圆心C与直线x+y+1=0 平行的直线l与圆的两个交点A,B到直 线x+y+1=0的距离为 2. 又圆的半径r=2 2, 故过圆心C作

直线x+y+1=0的垂线段,并延长与圆的交点C′到直线x+y
+1=0的距离为 2,故选C.

【跟踪训练】 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3)为圆心,4为半 径的圆,则D,E,F的值分别为 A.4,-6,3 C.-4,6,-3 2.直线x+ ( )

B.-4,6,3 D.4,-6,-3 y-2=0被圆(x-1)2+y2=1截得的线段的长为

(
A.1 B. C. D.2

)

1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3)为圆心,4为半 径的圆,则D,E,F的值分别为 A.4,-6,3 C.-4,6,-3 ( )

B.-4,6,3 D.4,-6,-3
2 2 2 E 2

【解析】选D.圆心为( ? D , ? E ),所以 ? D =-2, ? =3, 所以D=4,E=-6,又R= 1 D 2 ? E 2 ? 4F,代入算得F=-3.
2

2.直线x+ 3 y-2=0被圆(x-1)2+y2=1截得的线段的长为 ( A.1 B. 2 C. 3 D.2
1 = , 12 ? ( 3) 2 2 1? 0 ? 2

)

【解析】选C.圆心到直线的距离 d= 所以弦长l= 2 r 2 ? d2= 3.

3.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,
则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为( )

A.(-1,1)
C.(1,-1)

B.(-1,0)
D.(0,-1)

4.一动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点 轨迹是( ) B.(x-3)2+y2=1 D.(2x-3)2+4y2=1

A.(x+3)2+y2=4 C.(x+ ) 2+y 2=1

3.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积, 则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为( A.(-1,1) B.(-1,0) )

C.(1,-1)
2

D.(0,-1)

【解析】选D.r= 1 k 2 ? 4 ? 4k 2 ≤1,即当有最大半径时有最大

面积,此时k=0,半径为1,圆心为(0,-1).

4.一动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点
轨迹是( )

A.(x+3)2+y2=4
C.(x+
3 2 ) +y 2=1 2

B.(x-3)2+y2=1
D.(2x-3)2+4y2=1

【解析】选D.设圆上任意一点为A(x′,y′),AB的中点为
3 ? x? ? x ? , ? ? x? ? 2x ? 3, 由于A(x′,y′)在圆x2+ 2 P(x,y),则 ? 即 ? ? y ? ? y? ? 2y, ?y ? , ? 2 ?

y2=1上,所以满足x′2+y′2=1,即(2x-3)2+4y2=1.

5.已知直线l经过坐标原点,且与圆x2+y2-4x+3=0相切,切点

在第四象限,则直线l的方程为_________. 6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m4=0(m∈R).

(1)证明:不论m取什么实数,直线l必与圆相交.
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

5.已知直线l经过坐标原点,且与圆x2+y2-4x+3=0相切,切点

在第四象限,则直线l的方程为_________.
【解析】设切线方程为y=kx,代入圆方程中,得(1+k2)x2-4x

+3=0.由Δ=0,解得k= ? 3 (舍去k=
3

3 ),所以切线方程为 3

x+ 3 y=0.

答案:x+ 3 y=0

6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m4=0(m∈R). (1)证明:不论m取什么实数,直线l必与圆相交. (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. 【解析】(1)直线方程可变形为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0. 因为m∈R, 所以 ? ?
2x ? y ? 7 ? 0, ? x ? y ? 4 ? 0, ? y ? 1,

又因为(3-1)2+(1-2)2=5<
x ? 3, 25, 解得 ? ?

所以直线l必过定点A(3,1).

所以点(3,1)在圆C内,

故直线l必与圆C相交.

6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-

4=0(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l必与圆相交.

(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
(2)要使弦长最小,必须l⊥AC.因为圆心C(1,2)和定点A(3,
1 ? , 1)所在的直线l1的斜率k1= 2

所以直线l的斜率k=2. 所以所求直线l的方程为2x-y-5=0.


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