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第12讲 二次函数的图象与性质最新版九年级数学下册(HK)精品中考知识点梳理完美版_图文

第 12 讲 一、 知识清单梳理 知识点一:二次函数的概念及解析式 二次函数的图象与性质 关键点拨与对应举例 例:如果函数 y=(a-1)x2 是二 次函数, 那么 a 的取值范围是 a≠0. 1. 一 次 函 数的定义 形如 y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数. (1)三种解析式:①一般式:y=ax +bx+c;②顶点式:y=a(x-h) +k(a≠0),其 中二次函数的顶点坐标是(h,k); ③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 为 抛物线与 x 轴交点的横坐标. (2)待定系数法:巧设二次函数的解析式;根据已知条件,得到关于待定系 数的方程(组) ;解方程(组) ,求出待定系数的值,从而求出函数的解析 式. 2 2 若已知条件是图象上的三个 点或三对对应函数值, 可设一 般式; 若已知顶点坐标或对称 轴方程与最值,可设顶点式; 若已知抛物线与 x 轴的两个交 点坐标,可设交点式. 2.解析式 知识点二 :二次函数的图象与性质 y x O y (1 )比较二次函数函数值大 图象 x O 小的方法:①直接代入求值 法;②性质法:当自变量在对 称轴同侧时, 根据函数的性质 判断; 当自变量在对称轴异侧 时, 可先利用函数的对称性转 化到同侧,再利用性质比较; ④图象法:画出草图,描点后 比较函数值大小. 失分点警示 (2 )在自变量限定范围求二 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 开口 向上 x= 向下 3. 二 次 函 数的图象 和性质 对称 轴 顶点 坐标 ? b 2a ? b 4ac ? b2 ? ?? , ? 4a ? ? 2a b b 首先考虑对 当 x> ? 时,y 随 x 的增大而减小; 次函数的最值时, 当 x > 时, y 随 x 的增大而增大; ? 增减 2 a 2a 称轴是否在取值范围内, 而不 性 当 x< ? b 时, y 随 x 的增大而减小. 当 x< ? b 时, y 随 x 的增大而增大. 能盲目根据公式求解. 2a 2a 最值 例:当 0 ≤x≤5 时,抛物线 y=x2+2x+7 的最小值为 7 . 4ac ? b 2 b x= ? y 最小= . 4a 2a , 决 定 抛 物 线 的开 口 方 向及开口大小 决定对称轴(x=-b/2a) 的位置 4ac ? b 2 b x= ? y 最大= . 4a 2a , a a、 b 当 a>0 时,抛物线开口向上; 当 a<0 时,抛物线开口向下. 当 a,b 同号,-b/2a<0,对称轴在 y 轴左边; 当 b=0 时, -b/2a=0,对称轴为 y 轴; 当 a,b 异号,-b/2a>0,对称轴在 y 轴右边. 当 c>0 时,抛物线与 y 轴的交点在正半轴上; 当 c=0 时,抛物线经过原点; 当 c<0 时,抛物线与 y 轴的交点在负半轴上. b -4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点; b -4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点; b -4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点 2 2 2 某些特殊形式代数式的符号: ① a±b+c 即为 x=±1 时,y 的值; ②4a±2b+c 即为 x=± 2 时,y 的值. ③ 2a+b 的符号, 需判断对称 轴-b/2a 与 1 的大小.若对称轴 在直线 x=1 的左边,则-b/2a >1,再根据 a 的符号即可得 出结果.④2a-b 的符号, 需判断 对称轴与-1 的大小. 3.系数 a、 b、c c b2 - 4ac 决定抛物线与 y 轴的交 点的位置 决定抛物线与 x 轴的交 点个数 知识点三 :二次函数的平移 第 1 页 共 2 页 失分点警示: 4.平移与解 析式的关 系 y=ax2 的图象 向左(h<0)或向右(h>0) 平移|h|个单位 y=a(x-h)2 的图象 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k 的图象 抛物线平移规律是“上加下减,左 加右减”,左右平移易弄反. 例:将抛物线 y=x2 沿 x 轴向右平 移 2 个单位后所得抛物线的解析 式是 y=(x-2)2. 注意:二次函数的平移实质是顶点坐标的平移,因此只要找出原函数顶 点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 知识点四 :二次函数与一元二次方程以及不等式 5.二次函数 与一元二 次方程 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 当 Δ=b2-4ac>0,两个不相等的实数根; 当 Δ=b2-4ac=0,两个相等的实数根; 当 Δ=b2-4ac<0,无实根 6.二次函数 与不等式 例:已经二次函数 y=x2-3x+m(m 为常数)的图象 与 x 轴的一个交点为 (1,0) , 则关于 x 的一元二次方程 2 抛物线 y= ax +bx+c=0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应 x2-3x+m=0 的两个实数根为 的 x 的所有值就是不等式 ax2+bx+c>0 的解集; 在 x 轴下方的部分点的 2,1. 2 纵坐标均为负,所对应的 x 的值就是不等式 ax +bx+c<0 的解集. 第 2 页 共 2 页

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