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问酷网2014年浙江省杭州高级中学高考数学最后一卷(理科)


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2014 年浙江省杭州高级中学高考数学最后一卷 (理 科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?许昌三模) 已知全集 U=R, 集合 A={x|y= A.{x|x>2} B.{x|0<x≤1} , 集合 B={y|y=2 , x∈R}, 则 (?RA) ∩ B= ( C.{x|1<x≤2} D.{x|x<0}
x



考点: 交、并、补集的混合运算. 难度星级: 五星 专题: 计算题. 分析: 由全集 U=R,集合 A={x|y=
x

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}={x|2x﹣x ≥0}={x|0≤x≤2},求出?RA={x|x<0,或 x>2},再由

2

解答:

B={y|y=2 ,x∈R}={y|y>0},能求出(?RA)∩ B. 解:∵ 全集 U=R, 集合 A={x|y= }={x|2x﹣x ≥0}={x|0≤x≤2},
2

点评:

∴ ?RA={x|x<0,或 x>2}, x ∵ B={y|y=2 ,x∈R}={y|y>0}, ∴ (?RA)∩ B={x|x>2}. 故选 A. 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意指数函数性 质的灵活运用.

2. (5 分) (2014?安庆二模)已知 i 为虚数单位,复数 z=1+i,z 为其共轭复数,则 A.﹣1﹣i 考点: 专题: 分析: 解答: B.1﹣i C.﹣1+i

等于( D.1+i



复数代数形式的混合运算. 数系的扩充和复数. 求出复数的共轭复数,代入所求表达式,化简为 a+bi 的形式,即可.
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解:∵ 复数 z=1+i,∴ 则

, ,

故选:A. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查.

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2

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3. (5 分) (2014?仁寿县模拟)设函数 f(x)=x ﹣ax+b(a,b∈R) ,则“f(x)=0 在区间[1,2]有两个不同的实根” 是“2<a<4”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 难度星级: 一星 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 根据二次方程根的分布,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:若 f(x)=0 在区间[1,2]有两个不同的实根,
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则满足条件







作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分) 由图象可知 2<a<4, ∴ “f(x)=0 在区间[1,2]有两个不同的实根”是“2<a<4”的充要条件. 故选 C. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用二次方程根的分布,得到不等式组,利用数形结合是解决 本题的关键,综合性较强,难度较大. 4. (5 分)若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”下列 四个命题,其中是“可换命题”的是( ) ① 垂直于同一平面的两直线平行; ② 垂直于同一平面的两平面平行; ③ 平行于同一直线的两直线平行; ④ 平行于同一平面的两直线平行. ② ④ ③ ④ A .① B.① C .① D.③ 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的性质. 难度星级: 三星
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专题: 证明题;新定义. 分析: 根据题设中提供的可换命题的定义,对四个命题进行验证,四个命题交换后分别是 ① 垂直于同一直线的两个平面平行; ② 垂直同一直线的两条直线平行; ③ 平行于同一平面的两个平面平行; ④ 平行于同一直线的两个平面平行.根据相关条件对其进行判断,得出正确命题. 解答: 解:由题意,四个命题交换后所得命题分别是① 垂直于同一直线的两个平面平行;② 垂直同一直线的两条直 线平行;③ 平行于同一平面的两个平面平行;④ 平行于同一直线的两个平面平行. ① 垂直于同一直线的两个平面平行是正确命题; ② 垂直同一直线的两条直线平行不是正确命题,在此情况下两直线的位置关系可能是相交、平行、异面; ③ 平行于同一平面的两个平面平行是正确命题,平面的平行关系具有传递性; ④ 平行于同一直线的两个平面平行不是正确命题,在此条件下两平面可能是相交与平行关系. 综上① ③ 是正确命题 故选 C 点评: 本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,解题的关键是对四个命题所涉及的知识点熟练掌握理解,以 及有着较强的空间想像能力,能对命题涉及的几何体的结构做出想像.

5. (5 分) (2009?宜昌一模)将函数 y=sin(2x+ ( A. ) 向左移 B. 向左移

)的图象经怎样平移后所得的图象关于点(﹣

,0)中心对称

C.

向右移

D. 向右移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 难度星级: 五星 专题: 常规题型. 分析: 先假设将函数 y=sin(2x+ )的图象平移 ρ 个单位得到关系式,然后将 x=﹣
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代入使其等于 0,再由正弦

函数的性质可得到 ρ 的所有值,再对选项进行验证即可. 解答: 解:假设将函数 y=sin(2x+ y=sin(2x+2ρ+ ∴ 将 x=﹣ sin(﹣ )的图象平移 ρ 个单位得到 ,0)中心对称

)关于点(﹣

代入得到 +2ρ+ )=sin( + +2ρ)=0

∴ +2ρ=kπ,∴ ρ=﹣ 当 k=0 时,ρ=﹣

故选 C. 点评: 本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质﹣﹣对称性. 6. (5 分) (2014?闵行区一模)如果函数 y=f(x)图象上任意一点的坐标(x,y)都满足方程 lg(x+y)=lgx+lgy, 那么正确的选项是( )
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A.y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,且 x+y≤4 B. y=f(x)是区间(1,+∞)上的增函数,且 x+y≥4 C. y=f(x)是区间(1,+∞)上的减函数,且 x+y≥4 D.y=f(x)是区间(1,+∞)上的减函数,且 x+y≤4

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考点: 函数单调性的判断与证明. 难度星级: 四星 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由给出的方程得到函数 y=f(x)图象上任意一点的横纵坐标 x,y 的关系式,利用基本不等式求出 x+y 的范 围,利用函数单调性的定义证明函数在(1,+∞)上的增减性,二者结合可得正确答案. 解答:
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解:由 lg(x+y)=lgx+lgy,得



由 x+y=xy 得: 解得:x+y≥4. 再由 x+y=xy 得: 设 x1>x2>1, 则 因为 x1>x2>1, 所以 x2﹣x10,x2﹣1>0. 则 (x≠1) .



=



,即 f(x1)<f(x2) .

所以 y=f(x)是区间(1,+∞)上的减函数, 综上,y=f(x)是区间(1,+∞)上的减函数,且 x+y≥4. 故选 C. 点评: 本题考查了函数单调性的判断与证明,考查了利用基本不等式求最值,训练了利用单调性定义证明函数单 调性的方法,是基础题.

7. (5 分)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=﹣2013, A.2013 B.2014 C .0



=6,则 S2014=( D.2



考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的前 n 项和公式表示出 S2010 和 S2004, 代入已知的等式中, 根据等差数列的性质列出关于公差 d 的方程,求出方程的解可求出公差 d 的值,再由首项的值,利用等差数列的前 n 项和公式即可求出 S2014 的值. 解答: 解:设数列{an}的公差为 d,Sn=na1+ ,
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则 = + = ∴ ﹣ =3d=6,解得 d=2 ×2=0. = , ,

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S2014=﹣2013×2014+

故选:C. 点评: 此题考查了等差数列的前 n 项和公式,以及等差数列的性质,其中求出公差 d 的值,是解题的关键. 8. (5 分) (2014?宁波二模)已知向量 , , 满足| |=4,| |=2 则| ﹣ |的最大值为( A. + ) B. +1 C. D. +1 , 与 的夹角为 , ( ﹣ )?( ﹣ )=﹣1,

考点: 平面向量数量积的运算. 难度星级: 二星 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 , , ;分别以 OA,OB 所在直线为 x,y 轴建立坐标系,及向量的数量积的坐标表示
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整理出 x,y 的关系,结合圆的性质及几何意义可求 解答: 解:设 , , ;

以 OA 所在直线为 x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵ | |=4,| |=2 , 与 的夹角为 ,

则 A(4,0) ,B(2,2) ,设 C(x,y) ∵ ( ﹣ )?( ﹣ )=﹣1, ∴ x +y ﹣6x﹣2y+9=0, 2 2 即(x﹣3) +(y﹣1) =1 表示以(3,1)为圆心,以 1 为半径的圆, | ﹣ |表示点 A,C 的距离即圆上的点与点 A(4,0)的距离; ∵ 圆心到 A 的距离为 ∴ | ﹣ |的最大值为 , ,
2 2

故选:D. 点评: 本题考查的知识点是两向量的和与差的模的最值,及向量加减法的几何意义,其中根据已知条件,判断出 满足的关系,是解答本题的关键.

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2

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的最大值为( D. )

9. (5 分)设抛物线 y =4x 的交点为 F,顶点为 O,M 是抛物线上的动点,则 A. B. C.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 M 到准线的距离等于 d,由抛物线的定义可得
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=

=

=

,令 2m﹣1=t,利用

基本不等式求得最大值. 2 解答: 解:焦点 F(1,0) ,设 M(m,n) ,则 n =4m,m>0,设 M 到准线 x=﹣1 的距离等于 d, 则 = = = .

令 2m﹣1=t,t>﹣1,则 m= (t+1) , ∴ = ≤ = (当且仅当 t=3 时,等号成立) .



的最大值为



故选:B. 点评: 本题考查抛物线的定义、简单性质,基本不等式的应用,体现了换元的思想,把 是解题的关键和难点,属于中档题. 10. (5 分) (2014?浙江二模)正四面体 ABCD,线段 AB∥ 平面 α,E,F 分别是线段 AD 和 BC 的中点,当正四面 体绕以 AB 为轴旋转时,则线段 AB 与 EF 在平面 α 上的射影所成角余弦值的范围是( ) A. B. C. D. [ ,1] [0, ] [ ,1] [ , ] 化为 ,

考点: 异面直线及其所成的角. 难度星级: 一星 专题: 空间角. 分析: 取 AC 中点为 G,由已知条件推导出线段 AB、EF 在平面 α 上的射影所成角等于 GF 与 EF 在平面 α 上的射
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影所成角, 当 CD 与平面 α 垂直时, EF 在平面 α 上的射影 E1F1 的长取得最小值 , 当 CD 与平面 α 平行时, E1F1 取得最大值 ,由此能求出 AB 与 EF 在平面 α 上的射影所成角余弦值的范围.

解答: 解:如图,取 AC 中点为 G, ∵ E,F 分别是线段 AD 和 BC 的中点,∴ GF∥ AB, ∴ 线段 AB、EF 在平面 α 上的射影所成角等于 GF 与 EF 在平面 α 上的射影所成角, 在正四面体中,AB⊥ CD,又 GE∥ CD, 2 2 2 ∴ GE⊥ GF,∴ EF =GE +GF ,
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当四面体绕 AB 转动时,∵ GF∥ 平面 α,GE 与 GF 的垂直性保持不变, ∴ 当 CD 与平面 α 垂直时,GE 在平面上的射影长最短为 0, 此时 EF 在平面 α 上的射影 E1F1 的长取得最小值 , 当 CD 与平面 α 平行时,GE 在平面上的射影长最长为 ,E1F1 取得最大值 ∴ 射影 E1F1 长的取值范围是[ , ], ,

而 GF 在平面 α 上的射影长为定值 , ∴ AB 与 EF 在平面 α 上的射影所成角余弦值的范围是[ 故选:B. ,1].

点评: 本题考查两条直线在平面上的射影所成角的余弦值的范围的求法,解题时要注意空间思维能力的培养,注 意旋转问题的合理运用. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (4 分) (2014?安庆二模)如果(1+x+x ) (x﹣a) (a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为 0,则展开式 4 中含 x 项的系数为 ﹣5 . 考点: 专题: 分析: 解答: 二项式系数的性质. 二项式定理.
2 5

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利用赋值法求出 a,然后化简已知表达式,求出 x 项的系数即可. 2 5 2 5 解:∵ (1+x+x ) (x﹣a) 的展开式所有项的系数和为(1+1+1 ) (1﹣a) =0, ∴ a=1, 2 5 2 5 3 4 3 4 4 ∴ (1+x+x ) (x﹣a) =(1+x+x ) (x﹣1) =(x ﹣1) (x﹣1) =x (x﹣1) ﹣(x﹣1) , 其展开式中含 x 项的系数为
4

4



故答案为:﹣5. 点评: 本题考查二项式定理的应用,赋值法以及特定项的考查,考查基本知识的应用.

12. (4 分) (2014?惠州模拟)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最大值为 1 .

考点: 简单线性规划.

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难度星级: 一星 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:由 z=x﹣2y 得 y= , 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分) : 平移直线 y= , ,过点 A(1,0)时,直线 y= 的截距最小,此时 z 最大,

由图象可知当直线 y=

代入目标函数 z=x﹣2y,得 z=1 ∴ 目标函数 z=x﹣2y 的最大值是 1. 故答案为:1

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问 题的基本方法. 13. (4 分) (2013?浙江)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 24 cm .
3

考点: 由三视图求面积、体积. 难度星级: 五星 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 先根据三视图判断几何体的形状,再利用体积公式计算即可. 解答: 解:几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边分别为 3,4,侧面的高为 5, 被截取的棱锥的高为 3.如图:
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V=V 棱柱﹣V 棱锥= 故答案为:24.

=24(cm )

3

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点评:

本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算.V 椎体= Sh,V 柱体=Sh.考查空间想象能力.

14. (4 分)双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0) ,以原点为圆心,c 为半径的圆与双曲线在

第二象限的交点为 A,若此圆在 A 点处的切线的斜率为

,则双曲线 C 的离心率为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: 设 A (m, n) , 根据切线垂直于过切点的半径算出 n=﹣ m. 而以点 O 为圆心, c 为半径的圆方程为 x +y =c , 2 2 2 将 A 的坐标代入圆方程,算出点 A 的坐标,将此代入双曲线方程,并结合 c =a +b 化简整理,再根据离心 4 2 率公式整理得 e ﹣8e +4=0,解之即可得到该双曲线的离心率. 解答: 解:设 A 的坐标为(m,n) ,可得直线 AO 的斜率满足 k=﹣ ,即 n=﹣ m…① 2 2 2 ∵ 以点 O 为圆心,c 为半径的圆方程为 x +y =c
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∴ 将① 代入圆方程,得 m +3m =c ,解得 m=﹣ ,n=

2

2

2

c

将点 A(﹣ ,
2 2

c)代入双曲线方程,得
2 2 2 2

化简得: c b ﹣ c a =a b , ∵ c =a +b 2 2 2 4 2 2 4 ∴ b =c ﹣a 代入上式,化简整理得 c ﹣8c a +4a =0 4 4 2 2 2 两边都除以 a ,整理得 e ﹣8e +4=0,解之得 e =4+2 或 e =4﹣2 ∵ 双曲线的离心率 e>1,∴ 该双曲线的离心率 e= . 故答案为: . 点评: 本题给出双曲线满足的条件,求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与 圆的位置关系等知识,属于中档题. 15. (4 分)由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且 4 不在第四位,则这样的六位 数共有 120 个. 考点: 排列、组合的实际应用.
2 2 2

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难度星级: 二星 专题: 应用题;排列组合. 分析: 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,奇数不相邻,有 是奇偶奇,后两位是奇偶或偶奇,共有 2 解答:

=144 个,4 在第四位,则前 3 位

=24 个,利用间接法可得结论. =144 个, =24 个,

解:1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,奇数不相邻,有 4 在第四位,则前 3 位是奇偶奇,后两位是奇偶或偶奇,共有 2 ∴ 所求六位数共有 120 个. 故答案为:120. 本题考查排列组合知识,考查间接法的运用,属于基础题.

点评:

16. (4 分)我校社团将举行一届象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行 到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为 ,且各局比赛胜 负互不影响.设 ξ 表示比赛停止时已比赛的局数,则随机变量 ξ 的数学期望为 .

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: 这是一个独立重复试验,设 ξ 表示比赛停止时已比赛的局数,设 ξ 表示比赛停止时已比赛的局数,ξ 只能取 值 2,4,6,不能为 3,5,分别求出 ξ 的取值为 2,4,6 的概率,从而求出数学期望. 解答: 解:由题意知,ξ 的取值为 2,4,6.
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则 P(ξ=2)= P(ξ=4)= P(ξ=6)=( )=
2

= , + , = ,

随机变量 ξ 的数学期望为: Eξ= 故答案为: . = .

点评: 本题考查独立重复事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望,考查学生的逻辑推理能力以及基本 运算能力,易错点为 ξ 的取值不正确,导致结果错误. 17. (4 分) (2014?上海模拟)若正实数 x,y 满足 x+2y+4=4xy,且不等式(x+2y)a +2a+2xy﹣34≥0 恒成立,则实 数 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣3]∪ [ ,+∞) .
2

考点: 基本不等式. 难度星级: 五星 专题: 不等式的解法及应用.
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分析: 原不等式恒成立可化为 xy≥

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恒成立,由基本不等式结合不等式的解法可得 xy≥2,故只需

2≥

恒成立,解关于 a 的不等式可得.

解答: 解:∵ 正实数 x,y 满足 x+2y+4=4xy,可得 x+2y=4xy﹣4, 2 ∴ 不等式(x+2y)a +2a+2xy﹣34≥0 恒成立, 2 即(4xy﹣4)a +2a+2xy﹣34≥0 恒成立, 2 2 变形可得 2xy(2a +1)≥4a ﹣2a+34 恒成立, 即 xy≥ 恒成立, ,

∵ x>0,y>0,∴ x+2y≥2 ∴ 4xy=x+2y+4≥4+2 , 即2 ﹣ ?

﹣2≥0,解不等式可得



,或

≤﹣

(舍负)

可得 xy≥2,要使 xy≥ 化简可得 2a +a﹣15≥0,
2

恒成立,只需 2≥

恒成立,

即(a+3) (2a﹣5)≥0,解得 a≤﹣3 或 a≥ , 故答案为: 点评: 本题考查基本不等式的应用,涉及恒成立问题,变形并求出需要的最小值是解决问题的关键,属中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分) (2014?赤峰模拟) 如图, △ ABC 中, sin 求:BC 的长; (Ⅱ )求△ DBC 的面积. = , AB=2, 点 D 在线段 AC 上, 且 AD=2DC, BD= . (Ⅰ )

考点: 解三角形. 难度星级: 四星 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ ) 由 sin

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的值, 利用二倍角的余弦函数公式即可求出 cos∠ ABC 的值, 设 BC=a, AC=3b, 由 AD=2DC

得到 AD=2b,DC=b,在三角形 ABC 中,利用余弦定理得到关于 a 与 b 的关系式,记作① ,在三角形 ABD
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和三角形 DBC 中,利用余弦定理分别表示出 cos∠ ADB 和 cos∠ BDC,由于两角互补,得到 cos∠ ADB 等于﹣ cos∠ BDC,两个关系式互为相反数,得到 a 与 b 的另一个关系式,记作② ,① ② 联立即可求出 a 与 b 的值,即 可得到 BC 的值; (Ⅱ )由角 ABC 的范围和 cos∠ ABC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sin∠ ABC 的值,由 AB 和 BC 的值, 利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积, 由 AD=2DC, 且三角形 ABD 和三角形 BDC 的高相等,得到三角形 BDC 的面积等于三角形 ABC 面积的 ,进而求出三角形 BDC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ )因为 sin = ,所以 cos∠ ABC=1﹣2 =1﹣2× = . (2 分)

在△ ABC 中,设 BC=a,AC=3b, 由余弦定理可得: ① (5 分)

在△ ABD 和△ DBC 中,由余弦定理可得:



. (7 分)

因为 cos∠ ADB=﹣cos∠ BDC,所以有

,所以 3b ﹣a =﹣6 ②

2

2

由① ② 可得 a=3,b=1,即 BC=3. (9 分) (Ⅱ )由(Ⅰ )知 cos∠ ABC= ,则 sin∠ ABC= 则△ ABC 的面积为 AB?BCsin∠ ABC= 又因为 AD=2DC,所以△ DBC 的面积为 ×2 = = ,又 AB=2,BC=3,

, . (12 分)

点评: 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值,灵活运用三角形的面积公式化简 求值,是一道中档题. 19. (14 分)在数列{an}中,a1=1023, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bk=k?a (k∈N ) ,记数列{bk}的前 k 项和为 Bk,求 Bk 的最大值和相应 k 的值.
*



=

(n∈N )

*

考点: 数列递推式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 ﹣ ,知{
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}是公差为

的等差数列,可求

,进而可求 an;

(2)由(1)可求 bk,由 bk≥0 可得 Bk 最大时的 k 值,运用分组求和、错位相减法可求得 Bk; 解答: 解: (1)由 ﹣ = (n∈N ) ,知
*

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{ ∴ ∴ (2) 由 bk≥0 得 B9=( S=
8

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}是公差为 = ;

的等差数列,首项为 = ,

=

=

﹣k, =0,故 B9 或 B10 最大, ﹣9)=( + +… + )﹣(1+2+…+9)

0,解得 1≤k≤10,且 ﹣1)+( ﹣2)+…+(
9 8

+
7

+…+

=2 +2?2 +…+9?2① ,

=2 +2?2 +…+9② ,
9 8 7

① ﹣② 得

=2 +2 +2 +…+2﹣9=

﹣9=1013,

∴ S=2026, ∴ B9=2026﹣(1+2+…+9)=1981, ∴ Bk 的最大值为 1981,最大时 k=9 或 10. 点评: 该题考查由数列递推式求数列通项、数列的求和,考查学生的运算求解能力,考查分组求和、错位相减法 求和.

20. (15 分) 如图四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, PG⊥ 平面 ABCD, 垂足为 G, G 在 AD 上且 AG= GD, BG⊥ GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点,四面体 P﹣BCG 的体积为 . (1)求直线 DP 到平面 PBG 所成角的正弦值; (2)在棱 PC 上是否存在一点 F,使异面直线 DF 与 GC 所成的角为 60°,若存在,确定点 F 的位置,若不存在, 说明理由.

考点: 异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知条件推导出 PG=4,作 DK⊥ BG 交 BG 的延长线于 K,由已知条件推导出 DK⊥ 面 BPG,直线 DP 与平面 PBG 所成角为∠ DPK,由此能求出直线 DP 与平面 PBG 所成角的正弦值.
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(3)分别以 GB,GC,GP 为 x,y,z 轴建立坐标系,利用向量法能求出满足满足条件的点 F 不存在. 解答: 解: (1)∵ BG⊥ GC,GB=GC=2,四面体 P﹣BCG 的体积为 , ∴ × ×2×2×PG= ,解得 PG=4, EG= = ,

∵ GB=GC=2,AG= GD,BG⊥ GC,E 是 BC 的中点, ∴ △ BGC 为等腰直角三角形,GE 为∠ BGC 的角平分线, 作 DK⊥ BG 交 BG 的延长线于 K, ∵ PG⊥ 平面 ABCD,垂足为 G,G 在 AD 上, ∴ DK⊥ 面 BPG ∵ ∠ DGK=∠ BGA=45°,DK⊥ GK, ∴ DK=GK, ∵ AG= GD, ∴ DK =GK =DG =( ∴ DK=CK= . ∵ PG=4,DG= ∴ PD= = = , ,PG⊥ DG,
2 2 2

)=

2

= ,

设直线 DP 与平面 PBG 所成角为 α ∵ DK⊥ 面 BPG ∴ ∠ DPK=α, ∴ sinα= = , .…(8 分)

∴ 直线 DP 与平面 PBG 所成角的正弦值为

(2)∵ GB,GC,GP 两两垂直,分别以 GB,GC,GP 为 x,y,z 轴建立坐标系 假设 F 存在, 设 F(0,y,4﹣2y) (0<y<2) , ∵ ∴ 又直线 DF 与 GC 所成的角为 60° ∴ , ,G(0,0,0) ,C(0,2,0) , ,

化简得:y2﹣7y+

=0,解得

,不满足 0<y<2

∴ 这样的点不存在.…(12 分)
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点评: 本题考查二面角正切值的求法,考查直线与平面所成角的正切值的求法,考查满足条件的点是否存在的判 断,综合性强,解题时要注意合理地化空间问题为平面问题,要注意向量法的合理运用.

21. (15 分)已知椭圆 C 两焦点坐标分别为



,且经过点



(Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ )已知点 A(0,﹣1) ,直线 l 与椭圆 C 交于两点 M,N.若△ AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,试求 直线 l 的方程. 考 点 : 专 题 : 分 析 : 直线与圆锥曲线的综合问题.

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综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

(Ⅰ )利用椭圆的定义求出 a,根据椭圆



,求出 c,从而可求 b,即可求椭圆

C 的标准方程; (Ⅱ ) 设直线 l 的方程为 y=kx+m, 代入椭圆方程, 利用韦达定理, 根据|AM|=|AN|, 线段 MN 中点为 Q, 所以 AQ⊥ MN, 分类讨论,利用△ AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,即可求直线 l 的方程. .

解 (Ⅰ )设椭圆标准方程为 答 解: : 依题意 又 ,所以 b =a ﹣c =1. .
2 2 2

,所以 a=2.

于是椭圆 C 的标准方程为

…(5 分)

(Ⅱ )依题意,显然直线 l 斜率存在.设直线 l 的方程为 y=kx+m,则
2 2 2


2 2

得(4k +1)x +8kmx+4m ﹣4=0.
2 2 2 2

因为△ =64k m ﹣4(4k +1) (4m ﹣4)>0,得 4k ﹣m +1>0. …①

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设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 中点为 Q(x0,y0) ,则

于是



因为|AM|=|AN|,线段 MN 中点为 Q,所以 AQ⊥ MN. (1)当 x0≠0,即 k≠0 且 m≠0 时, 因为 AM⊥ AN, 所以 = ,整理得 3m=4k +1. ,
2

…②


2

整理得 5m +2m﹣3=0,解得

或 m=﹣1.

当 m=﹣1 时,由② 不合题意舍去. 由① ② 知, 时, .

(2)当 x0=0 时, (ⅰ )若 k=0 时,直线 l 的方程为 y=m,代入椭圆方程中得 设 即 , ,解得 m=﹣1 或 . .

,依题意,若△ AMN 为等腰直角三角形,则 AQ=QN. .m=﹣1 不合题意舍去,

即此时直线 l 的方程为

(ⅱ )若 k≠0 且 m=0 时,即直线 l 过原点. 依椭圆的对称性有 Q(0,0) ,则依题意不能有 AQ⊥ MN,即此时不满足△ AMN 为等腰直角三角形. 综上,直线 l 的方程为 或 或 .…(14 分)

点 本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力. 评 :
3 2 2

22. (14 分)已知函数 f(x)= x ﹣ (2a+1)x +(a +a)x (1)若函数 h(x)= 为奇函数,求 a 的值

(2)若?m∈R,直线 y=kx+m 都不是曲线 y=f(x)的切线,求 k 的取值范围.
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(3)若 a>﹣1,求 f(x)在区间[0,1]上的最大值.

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考点: 函数奇偶性的判断;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由题意求得 f′ (x)的解析式,根据函数 h(x)= 为奇函数,可得 f′ (x)为偶函数,故
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2a+1=0,由此求得 a 的值. (2)由题意根据导数的几何意义可得 k 不再 f′ (x)的取值范围内,求得 f′ (x)的值域,再取补集可得 k 的范围. (3)求出 f′ (x)=(x﹣a﹣1) (x﹣a) ,分别① 当 a≥1 时、② 当﹣1<a<0 时、③ 当 0<a<1 时、④ 当 a=0 时四 种情况,分别利用导数求出 f(x)区间[0,1]上的最大值,综合可得结论. 解答: 解: (1)∵ 函数 f(x)= x ﹣ (2a+1)x +(a +a)x,∴ f′ (x)=x ﹣(2a+1)x+a +a. ∵ 函数 h(x)= =2x﹣(2a+1)+ 为奇函数,∴ f′ (x)为偶函数,∴ 2a+1=0,a=﹣ .
3 2 2 2 2

(2)若?m∈R,直线 y=kx+m 都不是曲线 y=f(x)的切线,故 k 不在 f′ (x)的取值范围内. 由于 f′ (x)=x ﹣(2a+1)x+a +a=
2 2 2 2

﹣ ≥﹣ ,∴ k<﹣ .

(3)∵ a>﹣1,f′ (x)=x ﹣(2a+1)x+a +a=(x﹣a﹣1) (x﹣a) ,∴ a+1>0, ① 当 a≥1 时,f′ (x)≥0 在区间[0,1]上恒成立,故 f(x)区间[0,1]上是增函数, 故 f(x)的最大值为 f(1)=a ﹣ . ② 当﹣1<a<0 时,在(0,a+1)上,f′ (x)<0,f(x)是减函数; 在(a+1,1)上,f′ (x)>0,f(x)是增函数. 再根据 f(0)=0,f(1)=a ﹣ ,故当﹣1<a≤﹣ 当﹣ <a<0 时,最大值为 f(0)=0.
2 2

时,最大值为 f(1)=a ﹣ ;

2

③ 当 0<a<1 时,在(0,a)上,f′ (x)>0,f(x)是增函数; 在(a,1)上,f′ (x)<0,f(x)是减函数,f(x)区间[0,1]上的最大值为 f(a)= a + a . ④ 当 a=0 时,f′ (x)<0,f(x)是减函数,f(x)区间[0,1]上的最大值为 f(0)=0.
3 2

综上可得,fmax(x)=



点评: 本题主要考查奇函数的性质,利用导数研究函数的单调性,由单调性求函数的最大值,体现了分类讨论的 数学思想,属于中档题.

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