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辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解教案新人教必修1

课题:§3.1.2 用二分法求方程的近似解 教学目标: 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的常 用方法,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用. 过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想,为学习算法做准 备. 情感、态度、价值观 体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一. 教学重点: 重点 通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数 观点处理问题的意识. 难点 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 教学程序与环节设计: 创设情境 由二分查找及高次多项式方程的求问题引入. 组织探究 二分法的意义、算法思想及方法步骤. 探索发现 体会函数零点的意义,明确二分法的适用范围. 尝试练习 二分法的算法思想及方法步骤,初步应用二分法解 决简单问题. 二分法应用于实际. 1. 二分法为什么可以逼近零点的再分析; 2. 追寻阿贝尔和伽罗瓦. 作业回馈 课外活动 1 教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 材料一:二分查找(binary-search) (第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹 克分区联赛提高组初赛试题第 15 题) 某数列有 1000 个各不相同的单元,由低至高按序排列;现要对该 数列进行二分法检索(binary-search), 在最坏的情 况下,需检索( )个单元。 A.1000 B.10 C.100 D.500 二分法检索(二分查找或折半查找)演示. 材料二:高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数 师:从高次代数方程的解 一次或二次函数,我们有熟知的公式解法(二次时, 的探索历程,引导学生认 称为求根公式). 识引入二分法的意义. 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根 公式,但对于高于 4 次的函数,类似的努力却一直 没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和 伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于 4 次的 代数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运 算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于 3 次和 4 次的代数方程, 其公式解的表示也相当复杂, 一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项 式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近 似解的方法,这是一个在计算数学中十分重要的课 题. 二分法及步骤: 对 于 在 区 间 [a , b] 上 连 续 不 断 , 且 满 足 师:阐述二分法的逼近原 理,引导学生理解二分法 的算法思想,明确二分法 求函数近似零点的具体 步骤. 师生双边互动 师:从学生感兴趣的计算 机编程问题,引导学生分 析二分法的算法思想与 方法,引入课题. 生:体会二分查找的思想 与方法. 创 设 情 境 y ? f ( x) 的零点 (即 f ( x) ? 0 的根) , 对于 f ( x) 为 组 织 探 究 f (a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把 函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两 个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法. 分析条件 给定精度 ? , 用二分法求函数 f ( x) 的零点近似 “ f ( a ) · f (b) ? 0 ”、 值的步骤如下: “精度 ? ” 、 “区间中点” 1.确定区间 [a , b] ,验证 f ( a ) · f (b) ? 0 , 及 “ | a ? b |? ? ” 的意义. 给定精度 ? ; 2 2.求区间 (a , b) 的中点 x1 ; 3.计算 f ( x1 ) : 环节 呈现教学材料 1 若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ○ 2 若 f ( a ) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零 ○ 点 x0 ? (a, x1 ) ); 3 若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零 ○ 点 x0 ? ( x1 , b) ); 4.判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? , 则得到零点零点值 a (或 b ) ; 否则重复步骤 2~4. 例题解析: 组 织 探 究 例 1.求函数 f ( x) ? x 3 ? x ? 2x ? 2 的一个 正数零点(精确到 0 .1 ). 分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算 器画出函数图象,确定函数零点大致所在的区间, 然后利用二分法逐步计算解答. 解:(略). 注意: 1 第一步确定零点所在的大致区间 (a , b) , ○ 可利用函数性质,也可借助计算机或计算器,但尽 量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常 可确定一个长度为 1 的区间; 2 建议列表样式如下: ○ 零点所在区间 中点函数值 区间长度 1 0.5 0.25 师:引导学生利用二分法 逐步寻求函数零点的近 似值,注意规范方法、步 骤与书写格式. 师:引导学生分析理解求 区间 (a , b) 的中点的方 法 x1 ? 师生互动设计 生: 结合引例 “二分查找” 理解二分法的算法思想 与计算原理. a?b . 2 生:根据二分法的思想与 步骤独立完成解答,并进 行交流、讨论、评析. f (1.5) >0 f (1.25) <0 f (1.375) <0 师:引导学生应用函数单 调性确定方程解的个数. 如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小 于精度时,即为计算的最后一步. 生:认真思考,运用所学 知识寻求确定方程解的 个数的方法,并进行、讨 论、交流、归纳、概括、 评析形成结论. 3 例 2.借助计算器或计算机用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 ). 解:(略). 思考:本例除借助计算器或计算机确定方程解 所在的大致区间和解的个数外,你是否还可以想到

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