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数列通项公式常用求法及构造法


数列通项公式的常用求法 1 构造法求数列通项公式
一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法,将递推 公式变形成为 f (n ? 1) ? f (n) =A(其中 A 为常数)形式,根据等差数列的定义 知 f (n) 是等差数列,根据等差数列的通项公式,先求出 f (n) 的通项公式,再 根据 f (n) 与 an ,从而求出 an 的通项公式。
1 3an 例 1 在数列 {an } 中,a1 = ,an ?1 ? (n? N? ) ,求数列 {an } 通项公式. 2 an ? 3

解析:由 an ?1
1 an ?1 ? an ? 1

?

3 an an ? 3

得,an+1 an=3 an+1-3 an=0,两边同除以 an+1 an 得,

1 3 ,

1 设 bn= an ,则 bn+1- bn= 1 ,根据等差数列的定义知, 3

数列{bn}是首项 b1=2,公差 d= 1 的等差数列, 3 根据等差数列的通项公式得 bn=2+ 1 (n-1)= 1 n+ 5 3 3 3 ∴数列通项公式为 an= n ? 5
2 Sn 2 例 2 在数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,且 Sn≠0,a1=1,an= 2 S n ?1 (n≥
3

2),求 Sn 与 an。 解析:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 代入 an=
2 Sn 2 2 S n ?1

得,Sn-Sn-1= 2 S n ?1 ,变形整
1
1 Sn

2 Sn 2

理得 Sn-Sn-1= SnSn-1?两边除以 SnSn-1 得, Sn - S n ?1 =2,∴{ 1,公差为 2 的等差数列 ∴ S1n =1+2(n-1)=2n-1,

1

}是首相为

1 1 ∴ Sn= 2 n ?1 (n≥2),n=1 也适合,∴Sn= 2 n ?1 (n≥1)

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 2 n ?1 - 2 n ?3 =- 4 n 2 ?28n?3 ,n=1 不满足此式,

1

1

1

1
∴an={
?2 4 n 2 ?8 n ?3

n ?1 n?2

二、构造等比数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法,将递推公 式变形成为 f(n+1)=Af(n) (其中 A 为非零常数)形式,根据等比数列的定义 知 f (n) 是等比数列,根据等比数列的通项公式,先求出 f (n) 的通项公式,再根 据 f (n) 与 an ,从而求出 an 的通项公式。 例 3 在数列{an}中,a1=2,an=an-12(n≥2),求数列{an}通项公式。 解析:∵ a1=2,an=an-12(n≥2)>0,两边同时取对数得,lg an=2lg an-1

∴ lg an ?1 =2,

lg a n

根据等比数列的定义知,数列{lg an}是首相为 lg2,
n ?1

公比为 2 的等比数列,根据等比数列的通项公式得 lg an=2n-1lg2= lg 2 2 ∴数列通项公式为 an= 2 2
n ?1

评析:本例通过两边取对数,变形成 log an ? 2 log an?1 形式,构造等比数列

?logan } ,先求出 logan 的通项公式,从而求出 an 的通项公式。
例 4 在数列{an}中,a1=1,an+1=4an+3n+1,求数列{an}通项公式。 解析:设 an+1+A(n+1)+B=4(an+An+B) , (A、B 为待定系数) ,展开得 an+1=4an+3An+3B-A,与已知比较系数得{
3A ? 3 3B ? A ? 1

∴{

A ?1 B? 2 3

∴an+1+(n+1)+ 2 =4(an+n+ 2 ) ,根据等比数列的定义知, 3 3 数列{an+n+ 2 }是首项为 8 ,公比为 q=3 的等比数列,∴an+n+ 2 = 3 3 3 3n-1 ∴数列通项公式为 an= 例5
8 3 8 3

×

×3n-1-n- 2 3
a

在数列{an}中,a1=1 ,an+1an=4n ,求数列{an}通项公式。 ∴anan-1=4 n-1
1 两式相除得 a nn ? =4 , ?1

解析:∵an+1an=4n

∴a1,a3,a5??与 a 2,a 4 ,a 6 ??是首相分别为 a1,a 2 ,公比都是 4 的等比数列, 又∵a1=1,an+1an=4n ,∴a2=4

2

4
∴an={

n ?1 2 n 2

4

n n
1 , 先求出 a n a n ?1

三、等差等比混合构造法 数列有形如 f (an , an?1 , an an?1 ) ? 0 的关系, 可在等式两边同乘以
1 , 再求得a n . an

例 6.设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ?

an (n ? N), 求 a n . an ? 3
1 , 得 an ? an?1

解 : 原 条 件 变 形 为 an?1 ? an ? 3 ? an?1 ? an . 两 边 同 乘 以
1 1 . ? a n a n ?1

1? 3?

∵( 3

1 1 1 1 1 1 ? )? ? ,? ? ? 3n?1 an 2 an?1 2 an 2

2 . 2 ? 3 n ?1 ? 1 四、辅助数列法 有些数列本身并不是等差或等比数列,但可以经过适当的变形,构造出一个 新的数列为等差或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式。 2 1 例 7.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3 2 1 1 解析:在 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n 两边减去 a n?1 ,得 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? (a n ?1 ? a n ) 3 3 3 1 ∴ ? an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,以 ? 为公比的等比数列, 3 1 ∴ a n ?1 ? a n ? (? ) n ?1 ,由累加法得 3

∴ an ?

an = (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
1 1 1 = ( ? ) n ? 2 ? ( ? ) n ?3 ? ? ( ? ) ? 1 ? 1 = 3 3 3

1 1 ? (? ) n?1 3 1 3 = [1 ? (? ) n ?1 ] ? 1 1 4 3 1? 3

3

=

7 3 1 n ?1 ? (? ) 4 4 3

练习 1、在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2n(n∈N*) ,求数列{an}通项公式。 n * n+1 解:由 an+1=3an+2 (n∈N )得,an+1+2 =3(an+2n) (n∈N*) , 设 bn= an+2n 则 bn+1=3bn,∴
bn ? 1 bn

=3,根据等比数列的定义知,

数列{bn}是首相 b1=3,公比为 q=3 的等比数列, 根据等比数列的通项公式得 bn=3n,即 an+2n=3n, ∴数列通项公式为 an=3n-2n 注意:2n+1-2n=2n 2、在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 n ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解: 、由 an?1 ? an ? 2 n ? 3 得, (an?1 ? 2n?1 ) ? (an ? 2n ) ? 3 ,根据等差数列的 定义知,数列 {an ? 2n } 是首项为 3,公差为 3 的等差数列,所以

an ? 2n ? 3n ,所以 an ? 3n ? 2 n
3、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解: 由条件知
2 n a n ,求 an , a n ?1 ? 3 n ?1

an?1 n , 分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代入上式得 (n ? 1) 个 ? an n ?1

等式累乘之,即
a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n

又? a1 ?

2 2 ,? a n ? 3 3n

1 4. 数列{a n }满足 a 1 =1,a n = a n?1 +1(n≥2) ,求数列{a n }的通项公式。 2 1 1 解:由 a n = a n?1 +1(n≥2)得 a n -2= (a n?1 -2) ,而 a 1 -2=1-2=-1, 2 2 1 ∴数列{ a n -2}是以 为公比,-1 为首项的等比数列 2 1 n ?1 1 ∴a n -2=-( ) ∴a n =2-( ) n ?1 2 2

5. 数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2,3an?2 ? 2an?1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公式。

4

2 1 a n ?1 ? a n , 设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) 3 3 1 1 2 1 ? kh ? ,解得 k ? 1, h ? ? 或 k ? ? , h ? 1 比较系数得 k ? h ? , 3 3 3 3 1 1 若取 k ? 1, h ? ? ,则有 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? (a n ?1 ? a n ) 3 3 1 ∴ {an?1 ? an }是以 ? 为公比,以 a2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 1为首项的等比数列 3 1 ∴ a n ?1 ? a n ? (? ) n ?1 3 由逐差法可得 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

解:由 3an?2 ? 2an?1 ? an 得 a n ? 2 ?

1 1 1 1 = ( ? ) n ? 2 ? ( ? ) n ?3 ? ? ? ( ? ) 2 ? ( ? ) ? 1 ? 1 3 3 3 3 1 1 ? (? ) n ?1 3? 1 ? 7 3 1 3 = ? 1 = ?1 ? (? ) n?1 ? ? 1 ? ? ? (? ) n?1 1 4? 3 ? 4 4 3 1? 3 6. 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对于任意正整数 n,都有等式:

an ? 2an ? 4Sn 成立,求 ?an ?的通项 an.
2 2

2 解: an ? 2an ? 4Sn ? an?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ,
2 2 ∴ an ? an ?1 ? 2an ? 2an?1 ? 4(S n ? S n?1 ) ? 4an ∵ an ? an?1 ? 0 , ∴ an ? an?1 ? 2 . 即 ?an ?是以 2 为公差 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,

的等差数列,且 a12 ? 2a1 ? 4a1 ? a1 ? 2 . ∴ an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n

2 2 7. 设 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 an (n∈N*) ,求数 ? an ?1 ? nan ? nan?1 ? 0 , 列的通项公式 an. 解:由题设得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? n) ? 0 .

∵ an ? 0 , an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 0 . ∴ an ? an?1 ? n
an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?(an ? an?1 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1) 2

1 ,前 n 项的和 Sn ? n2 an ,求 a n ?1 . 2 解: an ? Sn ? Sn?1 ? n2 an ? (n ?1) 2 an?1 ? (n2 ?1)an ? (n ?1) 2 an?1 a n ?1 , ? n ? an?1 n ? 1 a a a n ?1 n ? 2 1 1 1 ? ? ? ? ∴ an ? n ? n?1 ? 2 ? a1 ? n ?1 n 3 2 n(n ? 1) an?1 an?2 a1 1 ∴ an?1 ? (n ? 1)(n ? 2)

8. 数列 ?an ?中, a1 ?

5

2 9.设正项数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , an ? 2an an ?的通项公式. ?1 (n≥2).求数列 ?
an ?1 an ?1 an n n 解:两边取对数得: loga , loga 2 ? 1 ? 2 log2 2 ? 1 ? 2(log2 ? 1) ,设 bn ? log2 ? 1, 则 bn ? 2bn?1

?bn ? 是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log12 ?1 ? 1 .
n ?1

n?1 n?1 n n , loga ?1 , bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 , loga 2 ?1 ? 2 2 ?2

∴ an ? 2 2

?1

总结 而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一 般为: an?1 ? pan ? f ?n? ; an?1 ? pan ? q n (1) 通过分解常数, 可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。 一般地, 形如 a n?1 =p a n +q ( p ≠ 1 , pq ≠ 0 )型的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法:设 a n?1 +k=p(a n +k)与原式比较系数可得 pk-k=q,即 k= {a n +k}。 (2)通过分解系数,可转化为特殊数列 {an ? an?1} 的形式求解。这种方法适用于
q ,从而得等比数列 p ?1

an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推式,通过对系数 p 的分解,可得等比数列 {an ? an?1} :
设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h, k 。 3、构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析, 联想出一种适当的辅助模型,进行命题转换,产生新的解题方法,这种思维方法 的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公 式. (1)构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构 造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造方法. (2)构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法 就可求得这一数列的通项公式. (3)构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简 (4)构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以 解决.
6

补充一般方法: 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法, 这种方法适应 于已知数列类型的题目. 例 1.等差数列 {a n } 是递增数列,前 n 项和为 Sn ,且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列,
2 S5 ? a 5 .求数列 {a n } 的通项公式

解:设数列 {a n } 公差为 d(d ? 0) 2 ∵ a 1 , a 3 , a 9 成等比数列,∴ a 3 ? a1a 9 ,
2 2 即 (a 1 ? 2d) ? a 1 (a 1 ? 8d) ,得 d ? a 1d ∵ d ? 0 ,∴ a 1 ? d ????????①
2 ∵ S5 ? a5 5? 4 5a 1 ? ? d ? (a 1 ? 4d ) 2 2 ∴ ????② 3 3 a1 ? d? 5, 5 由①②得: 3 3 3 a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5 ∴ 二、累加法 求形如 an-an-1=f(n)(f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列 通项,可用累加法,即令 n=2,3,?n—1 得到 n—1 个式子累加求得通项。 1 an ? an ?1 ? n(n ? 1) , 例 2. 已知数列{a }中, a =1, 对任意自然数 n 都有 求 an .

n

1

解:由已知得

an ? an ?1 ?

1 n(n ? 1) , 1 (n ? 1)n ,

an?1 ? an?2 ?

??,
a3 ? a2 ?
a2 ? a1 ?

1 3? 4 ,
1 2?3 ,
7

以上式子累加,利用 1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 得
1 1 1 1 1 1 ? ... ? ? ? ? an - a1 = 2 ? 3 (n ? 2)(n ? 1) (n ? 1)n n(n ? 1) = 2 n ? 1 ,
? an ? 3 1 ? 2 n ?1

三、累乘法 an?1 ? f ( n) 对形如 an 的数列的通项,可用累乘法,即令 n=2,3,?n—1 得到 n—1 个式子累乘求得通项。 1 a1 ? 3 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是 Sn ? n(2n ? 1)an ,求 例 3.已知数列 ?an ? 中, 通项公式 an . 解:由 S n ? n(2n ? 1)an 得 Sn?1 ? (n ?1)(2n ? 3)an?1 两式相减得: (2n ? 1)an ? (2n ? 3)an?1, ,
? an 2n ? 3 ? an?1 2n ? 1 ,

an?1 2n ? 5 a 1 ? , , 2? an?2 2n ? 1 a1 5 将上面 n—1 个等式相乘得: an (2n ? 3)(2n ? 5)(2n ? 7) 3 ?1 3 ? ? a1 (2n ? 1)(2n ? 1)(2n ? 3) 7 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 ? an ? . (2n ? 1(2n ? 1) ?

四、公式法

若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式

?S n ???? n ? 1 an ? ? ?S n ? S n?1 ? n ? 2 求解。
n 例 4.已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1.求数列 ?an ?的 通项公式; 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1, 得a1 ? 1.
n 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) , ?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1,

an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ??,
8

a2 ? 2a1 ? 2. ?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ? ? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ?2
n ?1

2[1 ? (?2) n ?1 ] ? (?1) 3
n

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3

经验证 a 1 ? 1 也满足上式,所以

2 an ? [2n ? 2 ? (?1) n ?1 ] 3

?S n ???? n ? 1 an ? ? ?S n ? S n?1 ? n ? 2 求解时,要注意对 n 分类讨论,但 点评:利用公式 若能合写时一定要合并. 五、 “归纳—猜想—证明”法 直接求解或变形都比较困难时,先求出数列的前面几项,猜测出通项,然后 用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法. n?1 例 5.若数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ? 2 , 计算 a2,a3,a4 的值,由此归
纳出 an 的公式,并证明你的结论. 解:∵a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°, a3=2(2×1+3×2°)+3×21=22×1+2×3×21, a4=2(22×1+2×3×21)+3×22=23×1+3×3×22; 猜想 an=2n-1+(n-1)×3×2n-2=2n-2(3n-1) ; 用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时,a1=2-1×=1,结论正确; 2°假设 n=k 时,ak=2k-2(3k-1)正确, ∴当 n=k+1 时,
ak ?1 ? 2ak ? 3 ? 2k ?1 ?2k ?1 (3k ? 1) ? 3 ? 2k ?1

=2

k ?1

(3k ? 2) ? 2 ( k ?1)?1[3(k ? 1) ? 1], 结论正确;
n?2

由 1°、2°知对 n∈N*有 an ? 2 (3n ? 1). 点评:利用“归纳—猜想—证明”法时要小心猜测,切莫猜错,否则前功尽 弃;用数学归纳法证明时要注意格式完整,一定要使用归纳假设.

9


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