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2018版高中数学(人教A版)必修4同步练习题:必考部分 第2章 章末综合测评2

章末综合测评(二) 平面向量 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) → → 1.已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=( A.(-7,-4) C.(-1,4) 【解析】 法一:设 C(x,y), → 则AC=(x,y-1)=(-4,-3), ? ?x=-4, → 所以? 从而BC=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选 A. ?y=-2, ? ) B.(7,4) D.(1,4) → 法二:AB=(3,2)-(0,1)=(3,1), → → → BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 故选 A. 【答案】 A 2.设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c,则实数 k 的值等于( 3 A.- 2 5 C. 3 5 B.- 3 3 D. 2 ) 【解析】 c=a+kb=(1+k,2+k),又 b⊥c,所以 1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得 k= 3 - . 2 【答案】 A → → 3.已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60° ,则BD· CD=( 3 A.- a2 2 3 C. a2 4 3 B.- a2 4 3 D . a2 2 ) 3 → → → → 【解析】 由已知条件得BD· CD=BD· BA= 3a· acos 30° = a2,故选 D. 2 【答案】 D 4.对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是( A.|a· b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| ) C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)· (a-b)=a2-b2 【解析】 根据 a· b=|a||b|cos θ,又 cos θ≤1,知|a· b|≤|a||b|,A 恒成立.当向量 a 和 b 方向不相同时,|a-b|>||a|-|b||,B 不恒成立.根据|a+b|2=a2+2a· b+b2=(a+b)2,C 恒成 立.根据向量的运算性质得(a+b)· (a-b)=a2-b2,D 恒成立. 【答案】 B 5.已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角为( π A. 3 2π C. 3 【解析】 ∵a⊥(2a+b),∴a· (2a+b)=0, ∴2|a|2+a· b=0, 即 2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0. ∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0, 1 2 ∴cos〈a,b〉=- ,∴〈a,b〉= π. 2 3 【答案】 C → → 6.△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB=2a,AC=2a+b,则下 列结论正确的是( A.|b|=1 C.a· b=1 ) B.a⊥b → D.(4a+b)⊥BC π B. 2 5π D. 6 ) → → → 【解析】 在△ABC 中,由BC=AC-AB=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1,所以 a· b → =|a||b|cos 120° =-1,所以(4a+b)· BC=(4a+b)· b=4a· b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+ → b)⊥BC,故选 D. 【答案】 D 7.已知向量 a=(2,1),a· b=10,|a+b|= 50,则|b|=( A.0 C.5 B.2 D.25 ) 【解析】 因为 a=(2,1),则有|a|= 5,又 a· b=10, 又由|a+b|= 50, 所以|a|2+2a· b+|b|2=50, 即 5+2×10+|b|2=50, 所以|b|=5. 【答案】 C → → → 8.已知 AD, BE 分别为△ABC 的边 BC, AC 上的中线, 设AD=a, BE=b, 则BC等于( 【导学号:00680065】 ) 图1 4 2 A. a+ b 3 3 2 4 B. a+ b 3 3 2 4 C. a- b 3 3 2 4 D.- a+ b 3 3 2→ 1 → ? → → 【解析】 BC=2BD=2? ?3BE+3AD? 4→ 2 → 2 4 = BE+ AD= a+ b. 3 3 3 3 【答案】 B 9.设非零向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量 a,b 的夹角为( A.150° C.60° 【解析】 设向量 a,b 夹角为 θ, |c|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos θ, 1 则 cos θ=- ,又 θ∈[0° ,180° ],∴θ=120° .故选 B. 2 【答案】 B → → → → 10.在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC=1,E 是 CD 上一点,且AE· AB=1,则AE· AC的 值为( A.3 C. 3 2 ) B.2 D. 3 3 B.120° D.30° ) π → → → → 【解析】 设AE与AB的夹角为 θ,则AE与AD的夹角为 -θ, 2 π → → → → 又AD∥BC,故有AE与BC夹角为 -θ,如图. 2 → → → → → ∵AE· AB=|AE|· |AB|· cos θ= 3|AE|· cos θ=1, ∴|A E |· cos θ= → 3 , 3 π ? → → → → ∴AE· BC=|AE|cos? ?2-θ?=|AE|sin θ=1, → → → → → → → → → ∴AE· AC=AE· (AB+BC)=AE· AB+AE· BC=1+1=2. 【答案】 B → → → → 11.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在 x 轴上有一点 P,使AP· BP有最小值,则 P 点 坐标为( ) B.(3,0) D.(4,0) A.(-3,0) C.(2,0) 【解析】 设 P(x,0),则有 → → AP· BP

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