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九年级数学竞赛试卷


安徽省无为县严桥中学 九年级数学竞赛试卷

一 题 号 1~8 得 分 9~14 15

二 16 17

三 总 18 分

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 以下每小题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填均得零分)

x2 ?x? 1.如果 ? ? ? ,那么代数式 m 是 6 ? m ? (2 x ? 1)
(A) ?(2 x ?1)3 (B) ?(2 x ?1)2 (C) (2 x ? 1)3

2





(D) (2 x ? 1)2

2.在平面直角坐标系中,点 A( ?x , y ? 1 )在第四象限,那么点 B( y ? 1 , x )在 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 ( (D)第四象限 )

3.如图,以数轴的单位长线段为边作一个正方形,以数轴的原点为圆心 ,正方形的 对角线长为半径画弧,交数轴于点 A,点 A 表示数 x,则 x 的平方根是 ( ) (A) ? (C) 2 4.如果 a ? (A)4
2

2

(B) ? (D)2

2
-1 O 1 A 2 ( )

2 2 1 ? 1, b ? ? 2, ,那么 c ? 等于 b c a
(C)2 (D)1

(B)3

5.考虑下列 4 个命题:
1

①有一个角是 100°的两个等腰三角形相似; ②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等; ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; ④对角线相等的梯形是等腰梯形. 其中正确命题的序号是 (A)①②③④ (B)①②④ (C)②③④ (D)①④ ( )

6. 已知如图, 在矩形 ABCD 中有两个一条边长为 1 的平行四边形.则它们的公共部分(即 阴影部分)的面积是 (A)大于 1 (B)等于 1 (C)小于 1 (D)小于或等于 1 7.已知梯形的两条对角线分别为 m 与 n, 两对角线的夹角为 60 ( ) (A)
0

(

)

.





















3 mn 2

(B)

3 mn 4

(C)

3 mn 8

(D) 3mn

8.已知,正整数 n,k 满足不等式 为 (A)29 (B)30

6 n 5 ? ? ,那么当 n 与 k 取最小值时,n+k 的值 11 k 9
( (C)31 )

(D)32

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. 已知⊙O 的直径 AB=2 2 cm,过点 A 有两条弦 AC=2cm,AD= 6 cm, 那么劣弧 CD 的 度数为_________. 10.已知,关于 x 的一元二次方程 x ? kx ? 6 ? 0 与 x ? 6 x ? k ? 0 只有一个公共的
2 2

根,那么方程 x ? k | x | ?2k ? 5 ? 0 所有的根的和是
2

.

2

2 11.在写有整式 5 , r , a ? b , m , ? , 5 x , ( x ? y)2 , 3mn 的卡片中,任意选

取其中两张分别作为分子和分母, 得到一个分式的概 率是 . 12.如图,直线 y ? ?

12 x ? 12 与 x 轴、 5
/ /

y 轴分别交于 A 点和 B 点,C 是 OB 上的一 点,若将?ABC 沿 AC 翻折得到?AB C,B 式是 13.若 x ? .

落在 x 轴上,则过 A,C 两点的直线的解析

x3 ? x ? 1 1? 5 ,则 = 2 x4

.

14.如图,在?ABC 中,?C=90?,D、E 分别是 BC 上的两个三等分点,以 D 为圆心的 圆过点 E,且交 AB 于点 F,此时 CF 恰好与 ⊙D 相切于点 F. 如果 AC= 径= .

24 ,那么⊙D 的半 5

三、解答题(共 4 题,分值依次为 12 分、12 分、12 分、14 分,满分 50 分) 15.已知,一次函数 y ?

1 ? kx ( k 是不为 0 的自然数,且是常数)的图象与两坐标 k ?1

轴 所 围 成 的 图 形 的 面 积 为 S k ( 即 k=1 时 , 得 S1 , k=2 时 , 得 S2 , ┅ ) . 试 求

S1 + S 2 + S 3 + ? ? S 2006 的值.

3

16.一商店销售某种食品,每天从食品厂批发进货,当天销售. 已知进价为每千克 5 元,售价为每千克 9 元,当天售不出的食品可以按每千克 3 元的价格退还给食品厂. 根据 以往销售统计,该商店平均一个月(按 30 天计算)中,有 12 天每天可以售出这种食品 100 千克,有 18 天每天只能售出 60 千克. 食品厂要求商店每天批进这种食品的数量相同,那 么该商店每天从食品厂批进这种食品多少千克,才能使每月获得的利润最大?最大利润是 多少?

4

17.已知,? ABC 和? A1B1C1 均为正三角形,BC 和 B1C1 的中点均为 D,如图 1. (1)当? A1B1C1 绕点 D 旋转到? A2B2C2 时,试判断 AA2 与 CC2 的位置关系,并证明你的结 论. (2)如果当? A1B1C1 绕点 D 旋转一周,顶点 A1 和 AC 仅有一个交点,设该交点为 A3,如 图 3. 当 AB=4 时,求多边形 ABDC3C 的面积.

5

18.给出一个三位数. 重排这个三位数三个数位上的数字,得到一个最大的数和一 个最小的数,它们的差构成一个三位数(允许百位数字为零) ,再重排这个得到的三位数 三个数位上的数字,又得到一个最大的数和一个最小的数,它们的差又构成另一个三位 数(允许百位数字为零) ,重复以上过程. 问重复 2007 次后所得的数是多少?证明你的 结论.

初三数学竞赛参考答案和评分意见
6

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1—8:ACAD BCBC 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 30?或 150? 10. 0 11.

3 4

12. y ? ?

2 10 x? 3 3

13.1

14.

8 3 5

三、解答题(共 4 题,分值依次为 12 分、12 分、12 分、14 分,满分 50 分) 15.一次函数 y ?

1 ? kx 1 1 的图象与两坐标轴的交点为( ,0) 、 (0, ) , k ?1 k k ?1

所围成的图形的面积为 S k ?

1 1 1 1 1 ? ? ? . 2 k k ? 1 2 k (k ? 1)

…………4 分

∴ S1 + S 2 + S 3 + ? ? S 2006

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??? ? …………8 分 2 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 4 2 2006 ? 2007 1 1 1 1 1 ? ? ??? ) = ( 2 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 2006 ? 2007 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) = (1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 3 4 2006 2007 1 1 ) = (1 ? 2 2007 1003 = . …………12 分 2007
= 16.设该商店每天批进这种食品 x 千克,每月获得的利润为 y 元. (1)当 60 ? x ? 100 时,由题意,30 天中批进这种食品的成本为 5 ? 30 x 元,销售 收入为元 9(12 x ? 60 ?18) ,退货所得为 3 ?18( x ? 60) 元, 于是可得

y ? 9(12 x ? 60 ?18) ? 3 ?18( x ? 60) ? 5 ? 30 x
…………4 分

即 y ? 12 x ? 6480 ∵ y ? 12 x ? 6480 是一次函数,且 y 随 x 的增大而增大,

∴当 x ? 100 时, 即每天批进这种食品 100 千克时, 可获得最大利润, 最大利润为 7680 元. (2)当 x ? 100 时,由题意, …………8 分

y ? 9(12 ?100 ? 60 ?18) ? 3 ?12(9 x ? 100) ? 3 ?18( x ? 60) ? 5 ? 30 x

7

化简得 y ? ?60 x ? 13680 ∵ y ? ?60 x ? 13680 是一次函数,且 y 随 x 的增大而减小, ∴当 x ? 100 时, 即每天批进这种食品 100 千克时, 可获得最大利润, 最大利润为 7680 元. …………12 分 A 17.AA2⊥CC2. (1)在图 2 中,连接 AD、A2D、延长 AA2 交 BC 于 E,交 CC2 于 F, ∵?ADA2=90?-?A2DC=?CDC2, A2 …………2 分

AD DC = DA 2 DC2

B

B2 D C2

E F

C

(2)在图 3 中,连接 A3D,过 C3 作 C3G⊥BC 于 G,由(1)得 AC⊥CC3, 由题意又得 A3D⊥AC, 四边形 A3CC3D 是矩形. ∴C3C=A3D= 2sin 60? ? 3 , C3G= 3 sin(90? ? 60?) ? A

3 , 2

B3 B D G C3 …………12 分 …………2 分

A3 C

∴多边形 ABDC3C 的面积= S?ABC ? S?CC3D =

3 2 1 3 9 3 = . ? 4 ? ? 2? 4 2 2 2

18.经过 2007 步后得到 495 或 0.

不妨设选定的三位数中的最大数字为 x ,最小数字为 z ,还有一个数字为 y ,则

P ? (100 x ? 10 y ? z ) ? (100 z ? 10 y ? x) ? 99( x ? z ) ,
现讨论如下:

…………4 分

8

(1) x ? z ? 0 , P ? 0 ,第一步结果 0. (2) x ? z ? 1 , P ? 99 ,第一步结果 099,第二步结果 891,第三步结果 792 ,第四步结 果 693,第五步结果 954,第六步结果 495. (3) x ? z ? 2 , P ? 198 ,第一步结果 198,第二步结果 792,第三步结果 692,第四 步结果 954,第五步结果 495. (4) x ? z ? 3 , P ? 297 ,第一步结果 297,第二步结果 693,第三步结果 954 ,第四步 结果 495.

果 495. (10) x ? z ? 9 , P ? 891 ,第一步结果 891,第二步结果 792 ,第三步结果 693,第四步 结果 954,第五步结果 495. 由以上讨论可知至多 6 步可将一个三位数变为 495 或 0,然后就进入循环,所以经 过 2007 步后将得到 495 或 0. 当 x ? z 时,得到 0;当 x ? z 时,得到 495. 分) …………14 分(讨论一种情况给 1

9


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