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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:2.2 第2课时 双曲线的简单几何性质]


选修 1-1

第二章

2.2

第 2 课时

一、选择题 1.(2013· 福建文,3)双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( 1 A. 2 C.1 [答案] B [解析] 双曲线 x2-y2=1 的一个顶点为 A(1,0),一条渐近线为 y=x,则 A(1,0)到 y=x 距离为 d= 1 2 = . 2 2 ) B. 2 2 )

D. 2

x2 y2 x2 y2 2.椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有共同的焦点,则实数 n 的值是( 34 n n 16 A.± 5 C.25 [答案] B [解析] 依题意,34-n2=n2+16,解得 n=± 3,故答案为 B. x2 y2 3.(2013· 北京理,6)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( a b A.y=± 2x 1 C.y=± x 2 [答案] B [解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质. B.y=± 2x 2 D.y=± x 2 B.± 3 D.9

)

因为离心率 e= 3,所以 c= 3a,即 b= 2a,由双曲线的焦点在 x 轴上,所以渐近线 b 方程为 y=± =± 2x.选 B. a π x2 y2 y2 x2 4.(2013· 湖北文,2)已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 =1,与 C2: 2 - 2 = 4 sin θ cos θ cos θ sin θ 1( ) A.实轴长相等 C.离心率相等 [答案] D [解析] 本题考查双曲线的性质. 由双曲线的性质 c2=a2+b2 知,C1:c2=sin2θ+cos2θ=1,C2:c2=cos2θ+sin2θ=1. ∴C1 与 C2 的焦距相等,故选 D. B.虚轴长相等 D.焦距相等

x2 y2 5.经过点 M(2 6,-2 6)且与双曲线 - =1 有相同渐近线的双曲线方程是( 4 3 x2 y2 A . - =1 6 8 y2 x2 C. - =1 6 8 [答案] C y2 x2 B. - =1 8 6 x2 y2 D. - =1 8 6

)

x2 y2 [解析] 设双曲线方程为 - =λ(λ≠0),把点 M(2 6,-2 6)代入双曲线方程,得 λ 4 3 24 24 = - =-2, 4 3 y2 x2 ∴双曲线方程为: - =1. 6 8 y2 6.(2013· 北京文,7)双曲线 x2- =1 的离心率大于 2的充分必要条件是( m 1 A.m> 2 C.m>1 [答案] C [解析] 本题考查双曲线离心率的概念,充分必要条件的理解. 双曲线离心率 e= 1+m> 2,所以 m>1,选 C. 二、填空题 9 7.(2013· 泗阳县模拟)两个正数 a、b 的等差中项是 ,等比中项是 2 5,且 a>b,则双 2 x2 y2 曲线 2- 2=1 的离心率为________. a b [答案] 41 5 B.m≥1 D.m>2 )

9 [解析] ∵两个正数 a、b 的等差中项是 ,等比中项是 2 5,且 a>b, 2 a+b 9 ? ? 2 =2, ∴? ab=2 5, ? ?a>b,

解得 a=5,b=4,

x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1,∴c= 25+16= 41, 25 16 x2 y2 c 41 ∴双曲线 2- 2=1 的离心率 e= = . a b a 5 x2 y2 x2 y2 8.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相同的渐近线,且 a b 4 16

C1 的右焦点为 F( 5,0),则 a=________,b=________. [答案] 1 2 [解析] 利用共渐近线方程求解. x2 y2 x2 y2 x2 y2 与双曲线 - =1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 - =λ, 即 - =1.由题 4 16 4 16 4λ 16λ 1 意知 c= 5,则 4λ+16λ=5?λ= , 4 则 a2=1,b2=4.又 a>0,b>0,故 a=1,b=2. x2 y2 x2 y2 9.(2014· 天津市六校联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦 a b 16 9 点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为__________________. [答案] x2 y2 - =1 4 3

[解析] 椭圆中,a2=16,b2=9,∴c2=a2-b2=7, ∴离心率 e1= 7 ,焦点(± 7,0), 4

c 7 ∴双曲线的离心率 e2= = ,焦点坐标为(± 7,0), a 2 ∴c= 7,a=2,从而 b2=c2-a2=3, x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 4 3 三、解答题 x2 y2 5 10.(1)求与椭圆 + =1 有公共焦点,且离心率 e= 的双曲线的方程; 9 4 2 5 (2)求虚轴长为 12,离心率为 的双曲线的标准方程. 4 x2 y2 [解析] (1)设双曲线的方程为 - =1(4<λ<9),则 9-λ λ-4 a2=9-λ,b2=λ-4, ∴c2=a2+b2=5, 5 c2 5 5 2 ∵e= ,∴e = 2= = ,解得 λ=5, 2 a 9-λ 4 x2 ∴所求双曲线的方程为 -y2=1. 4 x2 (2)由于无法确定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上, 所以可设双曲线标准方程为 2- a y2 y2 x2 2=1(a>0,b>0)或 2- 2=1(a>0,b>0). b a b c 5 由题设知 2b=12, = 且 c2=a2+b2, a 4

∴b=6,c=10,a=8. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36

一、选择题 11.已知方程 ax2-ay2=b,且 a、b 异号,则方程表示( A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 [答案] D x2 y2 b [解析] 方程变形为 - =1, 由 a、 b 异号知 <0, 故方程表示焦点在 y 轴上的双曲线, b b a a a 故答案为 D. x2 y2 12.(2014· 吉林延边州质检)已知双曲线 - =1 的一个焦点在圆 x2+y2-4x-5=0 上, 9 m 则双曲线的渐近线方程为( 3 A.y=± x 4 2 2 C.y=± x 3 [答案] B [解析] ∵方程表示双曲线,∴m>0,∵a2=9,b2=m, ∴c2=a2+b2=9+m,∴c= 9+m, ∵双曲线的一个焦点在圆上,∴ 9+m是方程 x2-4x-5=0 的根,∴ 9+m=5,∴m =16, 4 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,故选 B. 3 x2 y2 1 x2 y2 13. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , 则双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为( a b 2 a b 3 A.y=± x 2 C.y=± 2x [答案] A [解析] 由题意得 a2-b2 1 = , a 2 1 B.y=± x 2 2 3 D.y=± x 3 ) ) 4 B.y=± x 3 3 2 D.y=± x 4 )

B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线

b 3 ∴3a2=4b2,∴ = . a 2

x2 y2 3 ∴双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x. a b 2 x2 y2 14.(2014· 天津理,5)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y= a b 2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x y A . - =1 5 20 3x2 3y2 C. - =1 25 100 [答案] A [解析] 由于一个焦点在直线 y=2x+10 上,则一个焦点为(-5,0),又由渐近线平行于 b 直线 y=2x+10.则 =2,结合 a2+b2=c2,c=5 得, a x2 y2 ∴a2=5,b2=20,双曲线标准方程为 - =1,选 A. 5 20 二、填空题 x2 y2 15.(2014· 三峡名校联盟联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x- a b x2 y2 2y=0,则椭圆 2+ 2=1 的离心率 e=________. a b [答案] 3 2
2 2

)

x y B. - =1 20 5 D. 3x2 3y2 - =1 100 25

2

2

b 1 [解析] 由条件知 = ,即 a=2b, a 2 ∴c2=a2-b2=3b2,c= 3b, c 3b 3 ∴e= = = . a 2b 2 三、解答题 16.焦点在 x 轴上的双曲线过点 P(4 2,-3),且点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, 求此双曲线的标准方程. x2 y2 [解析] 因为双曲线焦点在 x 轴上,所以设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b F1(-c,0),F2(c,0). 因为双曲线过点 P(4 2,-3), 32 9 所以 2 - 2=1. a b 又因为点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, → → 所以QF1· QF2=0,即-c2+25=0. 所以 c2=25. ② ①

又 c2=a2+b2, 所以由①②③可解得 a2=16 或 a2=50(舍去). x2 y2 所以 b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是 - =1. 16 9



x2 y2 17.设双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0)、(0,b)两点,且原点到直 a b 线 l 的距离为 3 c,求双曲线的离心率. 4

[分析] 由截距式得直线 l 的方程,再由双曲线中 a、b、c 的关系及原点到直线 l 的距 c 离建立等式,从而求出 . a [解析] 由 l 过两点(a,0)、(0,b),得 l 的方程为 bx+ay-ab=0. 由原点到 l 的距离为 3 ab 3 c,得 2 2= 4 c. 4 a +b

将 b= c2-a2代入,平方后整理,得 a ?2 a a 16? ? c2? -16×c2+3=0.令c2=x, 3 1 则 16x2-16x+3=0,解得 x= 或 x= . 4 4 c 由 e= 有 e= a 1 2 3 .故 e= 或 e=2. x 3 b2 1+ 2> 2, a
2 2 2

a2+b2 c 因 0<a<b,故 e= = = a a

2 3 所以应舍去 e= ,故所求离心率 e=2. 3


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