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江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第65练直线与圆锥曲线综合练练习理


(江苏专用) 2018 版高考数学专题复习 专题 9 平面解析几何 第 65 练 直线与圆锥曲线综合练练习 理
训练目标 会判断直线与圆锥曲线的位置关系,能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解 决有关问题. 训练题型 (1)求曲线方程;(2)求参数范围;(3)长度、面积问题;(4)与向量知识交汇应 用问题. 解题策略 联立直线与曲线方程,转化为二次方程问题,再利用根与系数的关系转化为代 数式、方程组、不等式组,结合已知条件解决具体问题.
2 2

1.(2016?南通模拟)若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支交于不同的两点,则 k 的 取值范围是__________________. 2.设 a,b 是关于 t 的方程 t cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根,则过 A(a,a ),B(b,
2 2

b2)两点的直线与双曲线 x2 y2 a b

- 2 =1 的公共点的个数为________. cos θ sin θ
2

x2

y2

3.点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直 于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的 取值范围是________. 4. 已知直线 kx-y+1=0 与双曲线 -y =1 相交于两个不同的点 A, B, 若 x 轴上的点 M(3,0) 2 到 A,B 两点的距离相等,则 k 的值为________.

x2

2

x2 y2 5.(2016?唐山一模)F 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,过点 F 向 C 的一条渐 a b
→ → 近线引垂线,垂足为 A,交另一条渐近线于点 B.若 2AF=FB,则 C 的离心率是________. 6.设 F1,F2 为椭圆 C1: 2+ 2=1(a1>b1>0)与双曲线 C2 的公共的左,右焦点,椭圆 C1 与双 曲线 C2 在第一象限内交于点 M,△MF1F2 是以线段 MF1 为底边的等腰三角形,且 MF1=2,若椭

x2 y2 a1 b1

?3 4? 圆 C1 的离心率 e∈? , ?,则双曲线 C2 的离心率的取值范围是________. ?8 9?
7.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0),其焦点为 F1,F2,离心率为 0 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B, (1)若点 A 是椭圆 E 的一个顶点,求椭圆的方程; (2)若线段 AB 上存在点 P 满足 PF1+PF2=2a,求 a 的取值范围.

x2 y2 a b

2 ,直线 l:x+2y-2= 2

1

8.(2016?山东实验中学第三次诊断)已知点 A(-2,0),B(2,0),曲线 C 上的动点 P 满足

→ → A P ?B P =-3.
(1)求曲线 C 的方程; (2)若过定点 M(0,-2)的直线 l 与曲线 C 有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (3)若动点 Q(x,y)在曲线 C 上,求 u=

y+2 的取值范围. x-1

x2 y2 9.(2016?苏北四市联考)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的上,下顶点分别为 A,B,右 a b
焦点为 F,点 P 在椭圆 C 上,且 OP⊥AF. (1)若点 P 坐标为( 3,1),求椭圆 C 的方程; (2)延长 AF 交椭圆 C 于点 Q, 若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍, 求椭圆 C 的离心率; (3)求证:存在椭圆 C,使直线 AF 平分线段 OP.

2

答案精析 15 ,-1) 2.0 3

1.(-

3.(1,2) 解析 如图,由题意知 A 点的纵坐标为 ,若△ABE 是锐角三角形,则必有∠AEF<45°,

b2 a

∴tan∠AEF=

b2 a

a+c

<1,即 c -ac-2a <0,亦即 e -e-2<0,∴-1<e<2.

2

2

2

又 e>1,∴1<e<2. 1 4. 2 解析 联立直线与双曲线方程

kx-y+1=0, ? ? 2 ?x 2 -y =1 ? ?2
得(1-2k )x -4kx-4=0, ∵直线与双曲线相交于两个不同的点,
? ?1-2k ≠0, ∴? 2 2 2 ? ?Δ =16k +16?1-2k ?=16?1-k ?>0,
2 2 2

解得-1<k<1 且 k≠±

2 . 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= 4k 2. 1-2k

设 P 为 AB 的中点, 则 P( 即 P(

x1+x2 k?x1+x2?
2 , 2 2k 1 2, 2). 1-2k 1-2k

+1),

∵M(3,0)到 A,B 两点距离相等, ∴MP⊥AB,

3

1 2 1-2k ∴kMP?kAB=-1,即 k? =-1, 2k 2-3 1-2k 1 1 得 k= 或 k=-1(舍),∴k= . 2 2 2 5. 3 3 解析 由已知得渐近线为 l1:y= x,l2:y=- x,由条件得,F 到渐近线的距离 FA=b, 则 FB=2b, 在 Rt△AOF 中,OF=c, 则 OA= c -b =a. 设 l1 的倾斜角为 θ ,即∠AOF=θ ,则∠AOB=2θ . 在 Rt△AOF 中,tan θ = ,在 Rt△AOB 中,tan 2θ = 2b
2 2

b a

b a

b a

3b

a

2tan θ ,而 tan 2θ = , 2 1-tan θ

a 3b 2 2 即 = ,即 a =3b , a b2 1- 2 a
所以 a =3(c -a ),
2 2 2

c 4 2 所以 e = 2= , a 3
2 3 又 e>1,所以 e= . 3

2

?3 ? 6.? ,4? ?2 ?
解析 设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1(a2>0,b2>0),由题意知 MF1=2,F1F2=MF2=2c,其 中 c =a2+b2=a1-b1.又根据椭圆与双曲线的定义得
?MF1+MF2=2a1, ? ? ?MF1-MF2=2a2 ? ?2+2c=2a1, ? ?? ?2-2c=2a2 ?
2 2 2 2 2

x2 y2 a2 b2

? a1-a2=2c, 其中 2a1,2a2 分别为椭圆的长轴长和双

曲线的实轴长. 9 8 1 2 ?3 4? 所以3≤ c ≤4, 因为椭圆的离心率 e∈? , ?, 所以 c≤a1≤ c, 而 a2=a1-2c, 所以 c≤a2≤ 8 a1 9 4 3 4 3 ?8 9? 3 c ?3 ? c,所以 ≤ ≤4,即双曲线 C2 的离心率的取值范围是? ,4?. 2 a2 ?2 ? 7.解 (1)由椭圆的离心率为 ∵直线 l 与 x 轴交于 A 点,
4

2 ,得 a= 2c, 2

∴A(2,0),∴a=2,c= 2,b= 2, ∴椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)由 e= 2 ,可设椭圆 E 的方程为 2

x2 y2

x2 2y2 + =1, a2 a2 x 2y ? ? 2+ 2 =1, 联立?a a ? ?x+2y-2=0,
得 6y -8y+4-a =0, 若线段 AB 上存在点 P 满足 PF1+PF2=2a,则线段 AB 与椭圆 E 有公共点, 等价于方程 6y -8y+4-a =0 在 y∈[0,1]上有解. 设 f(y)=6y -8y+4-a ,
? ?Δ ≥0, ∴? ?f?0?≥0, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

4 ? ?a2≥ , 3 即? ? ?4-a2≥0,

4 2 ∴ ≤a ≤4, 3 2 3 故 a 的取值范围是 ≤a≤2. 3 8.解 (1)设 P(x,y),

→ → A P ?B P =(x+2,y)(x-2,y)
=x -4+y =-3, 得 P 点轨迹(曲线 C)方程为 x +y =1, 即曲线 C 是圆. (2)可设直线 l 的方程为 y=kx-2, 其一般方程为 kx-y-2=0, 由直线 l 与曲线 C 有交点, |0-0-2| 得 ≤1, k2+1 得 k≤- 3或 k≥ 3, 即所求 k 的取值范围是(-∞,- 3 ]∪[ 3,+∞). (3)由动点 Q(x,y),设定点 N(1,-2),
5
2 2 2 2

则直线 QN 的斜率 kQN=

y+2 =u, x-1

又点 Q 在曲线 C 上,故直线 QN 与圆有交点, 设直线 QN 的方程为 y+2=u(x-1), 即 ux-y-u-2=0. |-u-2| 当直线与圆相切时, =1, u2+1 3 解得 u=- , 4 当 u 不存在时,直线与圆相切, 3 所以 u∈(-∞,- ]. 4 9.(1)解 因为点 P( 3,1),所以 kOP= 又因为 AF⊥OP,- ?
2

1

, 3

b c

1 3

=-1,
2

所以 3c=b,所以 3a =4b ,① 3 1 又点 P( 3,1)在椭圆上,所以 2+ 2=1,②

a

b

13 13 2 2 联立①②,解得 a = ,b = . 3 4 故椭圆方程为 + =1. 13 13 3 4 (2)解 由题意,直线 AF 的方程为

x2

y2

x y + =1, c b
与椭圆 C 方程 2+ 2=1 联立, 消去 y 得

x2 y2 a b

a2+c2 2 2x x - = 0, a2c2 c
2a c , a2+c2 2a c b?c -a ? , ), a2+c2 a2+c2
2 2 2 2

解得 x=0 或 x=

所以点 Q 的坐标为(

所以直线 BQ 的斜率为

b?c2-a2? +b a2+c2 bc kBQ= = 2, 2 2a c a a2+c2

6

由题意得 =

c 2bc 2 2 ,所以 a =2b , b a2 c a

所以椭圆的离心率 e= = 1- 2=

b2 a

2 . 2

(3)证明 因为线段 OP 垂直于 AF, 则直线 OP 的方程为 y= ?x, 与直线 AF 的方程 + =1 联立, 解得两直线交点的坐标为(

c b

x y c b

b2c bc2 , ). a2 a2

因为线段 OP 被直线 AF 平分, 2b c 2bc 所以点 P 的坐标为( 2 , 2 ),
2 2

a

a

4b c 4b c 由点 P 在椭圆上得 6 + 4 2 =1,

4 2

2 4

a

ab

又 b =a -c ,设 2=t(t∈(0,1)), 代入上式得 4[(1-t) ?t+t ]=1.(*) 令 f(t)=4[(1-t) ?t+t ]-1 =4(t -t +t)-1, 则 f′(t)=4(3t -2t+1)>0 在(0,1)上恒成立, 所以函数 f(t)在(0,1)上单调递增, 又 f(0)=-1<0,f(1)=3>0, 所以 f(t)=0 在(0,1)上有解,即(*)式有解, 故存在椭圆 C,使线段 OP 被直线 AF 垂直平分
2 3 2 2 2 2 2

2

2

2

c a

2

7


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