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函数的周期性、对称性与函数图像

同济大学第二附属中学

高三数学第一轮复习

数学学案

函数的周期性、对称性与函数图像
【学习目标】 1、 理解并掌握函数的对称性、周期性及函数零点的概念; 2、 学会利用基本的函数图像及图像的基本变换方法画函数的图像; 3、 利用函数的图像与性质解决一些与函数图像有关数学问题。 【课前导学】

? 双基点击
1、 如果函数 f ( x ) 满足 f (a) ? f (b) ? 0 且 f ( x ) 是连续不断的曲线, 则 f ( x ) 在区间 ( a, b) 上 零点;求函数零点的近似值的基本方法为 。 对称; 对称; 对称. 对称; 对称; 对称。

2、如果函数 f ( x ) 满足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ,则函数 f ( x ) 图像关于直线 如果函数 f ( x ) 满足: f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? ,则 f ( x ) 图像关于直线 如果函数 f ( x ) 满足:f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b , 则 f ( x ) 图像关于点 3、函数 y ? f ? a ? x ? 与函数 y ? f ? x ? a ? 的图像关于直线 函数 y ? f ? a ? x ? 与函数 y ? f ? a ? x ? 的图像关于直线 函数 y ? f ? a ? x ? 与 y ? f ?b ? x ? 图像关于直线 4、函数 y ? f ( x) 关于 x 轴对称的函数解析式为 函数 y ? f ( x) 关于 y 轴对称的函数解析式为 函数 y ? f ( x) 关于原点对称的函数解析式为 函数 y ? f ( x) 关于直线 y ? x 对称的函数解析式为 函数 y ? f ( x) 关于直线 x ? a 对称的函数解析式为 函数 y ? f ( x) 关于点 ( a, b) 对称的函数解析式为 5、 如果函数 f ( x ) 满足 f ? x ? a ? ? f ? x ? (a ? 0) , 则 f ( x ) 是周期为 函数 f ( x ) 满足 f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,则 f ( x ) 是周期为 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? a) ?

的周期函数。 的周期函数;

1 (a ? 0) ,则 f ( x) 是周期为 f ( x)

的周期函数;

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若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? a) ? ?

1 则 f ( x ) 是周期为 (a ? 0) , f ( x)

的周期函数; .

若 y ? f ( x) 图像关于 x ? a, x ? b(a ? b) 对称,则 y ? f ( x) 必是 个周期为 ;

函数,且一

若 y ? f ( x) 图像关于 A(a,0), B(b,0)(a ? b) 成对称中心,则 y ? f ( x) 是 数,且一个周期为 ;



若函数 y ? f ( x) 的图像关于 A(a, 0) 对称且关于 x ? b(a ? b) 对称,则函数 y ? f ( x) 必 是 函数,且一个周期为 。

6、已知函数 y ? f ( x) 的图像,如何作下列函数的图像: ① y ? f ( x ? a)

y ? f ( x) ? a
② y ? f ( x)

y ? f ( x)
③ y ? af ( x), (a ? 0)

y ? f (ax), (a ? 0)

? 双基练习
2 1、若函数 y ? x ? (a ? 2) x ? 3, x ? [a, b] 的图象关于 x ? 1 对称。则函数的最大值和最小

值分别为 2、设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 ,若存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围 是 3、函数 y ? loga ax ?1 , ?a ? 0, a ? 1? 的图象关于直线 x ? 2 对称,则 a 的值为____ 4、方程 x ? 2 x ? 20 的近似解为
3

(结果精确到 0.1 ) 。

5、对 a、b ? R ,记 max ?a, b? ? ? 为____________

? a, a ? b ,函数 f ( x) ? max ?x,| x ?1|,| x ? 2 |? 的最小值 ?b, a ? b

6 、 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x ? 2 对称,且当 x ? (?2, 2) 时,
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f ( x) ? ? x2 ? 1,则当 x ? (?6, ?2) 时, f ( x) =__________ .
7、函数 f ( x) ?

x ? a ,( x ? a) 的图像与其反函数图像没有公共点,则实数 a 的取值范围是

_____________ 8、定义 g ? x ? 表示如下函数:若 m ?

1 1 ? x ? m ? ?m ? Z ? , 2 2

则 g ? x ? ? m .给出下列关于函数 f ? x ? ? x ? g ? x ? 的四个命题: ①函数 y ? f ? x ? 的定义域是 R ,值域是 ?0, ? ;②函数 y ? f ? x ? 是 R 上的奇函数; 2 ③ y ? f ? x ? 是周期函数,最小正周期是 1 ;④ y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? 称. 其中正确命题的序号是 【课堂学习】 [例题 1] ①画出的 f ( x) ? 2
|log 2 x|

? 1? ? ?

k ?k ? Z ? 对 2

.(把你认为正确的命题序号都填上)

? x?

1 的特征草图; x

x ? x ?1 ? 2 ②已知 f ?x ? ? ? ,画出函数 y ? f ?2 ? x ? 的特征草图。 log1 x x ? 1 ? ? 2

1

1 1

0

0

1

[例题 2] 设函数 f ( x) ? x ? 为 g ( x) .

1 的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)对称的图象为 C2,C2 对应的函数 x

(1)求 g ( x) 的解析表达式;(2)若直线 y ? b 与 C2 只有一个交点,求 b 的值,并求出交 点坐标; (3)解不等式 log a g ( x) ? log a

9 . 2

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[例题 3]已知 a 是实数,函数 f ?x ? ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上 有零点,求 a 的取值范围.

[例题 4]设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?

?| log 2 | x ? 1||, x ? 1 0, x ? 1 ?
1

y

(1)在直角坐标系内画出该函数的图像; (2)就实数 b 和 c 的取值,举例说明关于 x 的方程 (每一种情况 f 2 ( x) ? b ? f ( x) ? c ? 0 的实数根所有可能的情况。 只需举一组 b 和 c 的取值即可)

0

1

x

【自主小结】 【课后练习】

1 ) 3 ? , 3 ) = 1、 设 f ( x ) 为奇函数, 对任意 x ? R , 均有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 。 若 f (? 则 f (?

.

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2、函数

y?log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的 图 像 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线
1 2 ? 的最小值为 m n

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 m, n ? 0 ,则

3、已知 f ( x) ? 10|lg x| ,若 f ( x) ? b 的两个不相等的实数根记为 x1 和 x2 ,则 2x1 ? x2 的最小 值为 4、将 y ? log 2 x 的图像作其关于直线 y ? x 的对称图像后得到 图像 C1 ,再将 C1 的图像向右平移 1 个单位得到图像 C2 , 最后再作 C2 关于原点对称的图像 C3 ,则 C3 所对应的函数 的解析表达式是 5、若 f(x)是 R 上的减函数,且 f(x)的图象经过点 A(0,3) 和 B(3,-1) ,则不等式|f(x+1)-1|<2 的解集是_________________ 6、对任意的 x1 ? 0 ? x2 ,若函数 f ( x) ? a x ? x1 ? b x ? x2 的大致图像为如图所示的一条 y

x1
O

x2

x

第 6 题图

b 应满足的条件 折线 (两侧的射线均平行于 x 轴) , 试写出 a 、

.

7 、已知 f ? x ? 是以 2 为周期的偶函数,当 x ??0,1? 时, f ? x? ? x ,若关于 x 的方程

f ( x) ? kx? k ? 1 ? 0在 ? ?1,3? 内恰有四个不同的零点, 则 k 的取值范围是
8、已知函数



f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? | , 关 于 x 的 方 程 f 2 ( x)? a f( x)? b ? 0 x x
.

( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是 9、作出下列函数 f ( x ) 的图像并讨论方程 f ( x) ? a 的实根的个数。 ① f ( x) ?|

x | x ?1

② f ( x) ?| x ? 2 | ?( x ? 1)

1

1 1

0

0

1

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10、已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) 。 (1)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 6a 只有一个零点,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的范围。

11、对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x ) 的不动点。 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? (b ?1)(a ? R, a ? 0) ①当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; ②若对任意数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围 。

4 3 2 *12、 已知函数 f ( x) ? x ? 4x ? 4x ? a , 若点 (2, 1) 关于 M (1, f (1)) 的对称点在函数 f ( x )

的图像上. ①求实数 a 的值;②求证:函数 y ? f ( x) 的图像关于 x ? 1 对称; ③是否存在实数 b ,
2 使得函数 g ( x) ? bx ? 1的图像与 f ( x ) 的图像恰好有 3 个交点,若存在,求 b 的值;若不

存在,说明理由。

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