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05数分B第一学期期末试题(A)


课程编号:A071001

北京理工大学 2005-2006 学年第一学期

数学分析期末试题(A)

一. 解下列各题(每小题 6 分) 1. 已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 在 x = 0 处有极值 2 , 曲线
y = f (x) 有一拐点 (?1,4) , 求 a, b, c, d 的值, 并指出 f (0) 是极大值还是

极小值.

2. 求 lim x→0

x ?∫
2

x2 0

cos t 2 dt
.



x5 0

(e x ? 1)dx

3. 设 y = f (tan x) , f ′( x) = e x 4.计算广义积分 ∫
1 0

2

?2 x+2

, 求 .

dy dx

x =0

.

xdx
(3 + x 2 ) 1 ? x 2

二. 解下列各题(每小题 7 分)
1. 求极坐标系下由方程 ρ = θ 所确定的曲线在点 ( ρ , θ ) = (π , π )

处的法线的直角坐标方程.
2. 计算 ∫
π
2 0

x ? sin x dx . 1 + cos x
x →0

3. 设 f (x) 的二阶导函数连续, 且 lim f (0), f ′(0), f ′′(0).

f ( x) + cos x = 1, 求 x2

4. 求微分方程 x 2 ydx ? ( x 3 + y 3 )dy = 0 的通解.

1

三.(8 分)设 f (x) 有二阶连续导数, 且 f (π ) = 2 ,



π
0

[ f ′′( x) + f ( x)] sin xdx = 5 , 求 f (0) .
四. (8 分)设位于第一象限内的曲线 y = f (x) 上任一点 M ( x, y )

处的切线与两坐标轴及过点 M 平行于 y 轴的直线所围成的梯形面积 等于常数 3, 且曲线经过点(1,1), 求此曲线的方程. 五. (8 分)一块边长分别为 3m,4m,5m , 重为 500kg 的直角三角形钢板水平放置在 地板上, 现将此钢板铅直立起, 使其 4m 长 的边着地(如图), 设钢板的面密度为常数 λ , 求克服重力所作的功. 六. 10 分)设函数 y = y (x) 满足方程 (
4

y
3

O

x

y ′( x) + 3 y ( x) + 2 ∫ y ( x)dx + 2 cos x = 0 , 且 y (0) = ?1 , 求 y (x) .
0

x

七. (7 分)设 lim
x →0

f ( x) = 1 , 且 f ′′( x) > 0 , 证明当 x ≠ 0 时, x

f ( x) > x .

八. (7 分)设函数 f (x) 在区间 [0,+∞) 上可导, 且 f ( x) + f ′( x) > 0 ,
1 1 又设 lim [ f ( x) + f ( )] = 0 , lim [ f ( x) ? f ( )] = 1 , 求证: + x → +∞ x→0 x x (1) 函数 y = f (x) 在 (0,+∞ ) 内必有零点; (2) 函数 y = f (x) 在 (0,+∞ ) 内只有一个零点.

2


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