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山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编10:排列、组合及二项式定理


山东省各地市 2013 届高三理科数学试题分类汇编 10:排列、组合及二项式定理
一、选择题 1 .(山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)设 a ? ? 0 (cos x ? sin x) dx ,则二项式 ( x ?
2

?

a 6 ) 展开式中 x

的 x 3 项的系数为 A.-20
?

( B.20 C.-160
?
0



D.160

【答案】 C 因为 a ? ? 0 (cos x ? sin x)dx ? (sin x ? cos x)

a 2 ? ?2 ,所以二项式为 ( x 2 ? )6 ? ( x 2 ? )6 ,所以展开 x x

k 式 的 通 项 公 式 为 Tk ?1 ? C6 ( x 2 )6? k (? ) k ? C6k x12?3k (?2) k , 由 12 ? 3k ? 3 得 k ? 3 , 所 以
3 3 T4 ? C6 x (?2) 3 ? ?160 x 3 ,所以 x3 项的系数为 ?160 .选

2 x

C.

2 .(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)市内某公共汽车站 6 个候车位(成一排),

现有 3 名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数是 A.48 B.54 C.72 D.84
【答案】 C





3 根据题意,先把 3 名乘客进行全排列,有 A3 ? 6 种排法,排好后,有 4 个空位,再将 1 个空位和余下的

2 2 个连续的空位插入 4 个空位中,有 A4 ? 12 种排法,则共有 6 ? 12 ? 72 种候车方式,选

C.

3 .(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题) 若 (1 ?

3) 4 ? a ? b 3(a, b为有理数) ,则 a+b=
( )

A.36
【答案】D

B.46
1 1 2

C.34
2 3 3

D.44
4

二 项 式 的 展 开 式 为 1 ? C4 ( 3) ? C4 ( 3) ? C4 ( 3) ? ( 3) ? 1 ? 4 3 ? 18 ? 12 3 ? 9 ? 28 ? 16 3 , 所 以

a ? 28, b ? 16 , a ? b ? 28 ? 16 ? 44 ,选 D.
4 .(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)二项式 ( ?

x 2

1
3

A.28
【答案】C

B.-7

C.7

x D.-28

)8 的展开式中常数项是





展开式的通项公式为 Tk ?1 ? C8 ( )
k

x 2

8? k

(?

4 8? k 1 k 4k k 1 8? k k 3 ) ? C ( ) ( ? 1) x ,由 8 ? ? 0 得 k ? 6 , 所以常数项为 8 3 2 3 x

1 T7 ? C86 ( )8?6 (?1)6 ? 7 ,选 2

C.

5 .(山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的

运输工作,并按出发顺序前后排成一队,要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、乙同时参加,则它们出发时不能相 邻,那么不同排法种数为 ( ) A.360 B.520 C.600 D.720
【答案】C
1 2 4 2 2 若甲乙只有一个参加,则有 C2 C5 A4 ? 480 .若甲、乙同时参加,则有 C52 A2 A3 ? 120 ,所以共有 600

种排法,选

C.

1

6 .(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n , 则二项式

1 ( x ? ) n 展开式中 x 2 项的系数为 x A. 15 B. ?15
【答案】A

( C. 30 D. ?30



因 为 函 数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的 最 小 值 为 4 ? ( ?2) ? 6 , 即 n ? 6 . 展 开 式 的 通 项 公 式 为

1 Tk ?1 ? C6k x 6? k (? ) k ? C6k x 6? 2 k (?1) k , 由 6 ? 2k ? 2 , 得 k ? 2 , 所以 T3 ? C62 x 2 (?1) 2 ? 15 x 2 , 即 x 2 项的系数为 x
15,选 A. ( )

7 .(山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)2013 年第 12 届全国运动会将在沈阳举行,

某校 4 名大学生申请当 A,B,C 三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每 人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务 A 比赛项目,则不同的安排方案共有 ( ) A.20 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种
【答案】B 若甲单独一组,则有 C2C3 A2 ? 12 种.若甲不单独一组,则 C3C2 A2 ? 12 ,所以不同的安排方案共有 24
1 2 2 1 1 2

种,选

B.

8 .(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )某大学的 8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、

大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位 置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自于同一年级的乘坐方式 共有 ( ) A.24 种 B.18 种 C.48 种 D.36 种 【答案】A
2 1 1 【解析】若大一的孪生姐妹乘坐甲车,则此时甲车中的另外 2 人分别来自不同年级,有 C3 C2C2 ? 12 种,若大一 1 1 1 的孪生姐妹不乘坐甲车,则 2 名同学来自一个年级,另外 2 名分别来自两个年级.有 C3 C2C2 ? 12 ,所以共有 24

种乘车方式,选 A.
9 . ( 山 东 省 淄 博 市 2013





届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) ) 若
2 3 11

?x

2

? 1? ? x ? 3? ? a0 ? a1 ? x ? 2 ? ? a2 ? x ? 2 ? ? a3 ? x ? 2 ? ? ??? ? a11 ? x ? 2 ? ,则
9

a1 ? a2 ? ??? ? a11 的值为
A.0
【答案】C

( C.5 D.255



B. ?5



解 析 】 令 x ? 2 , 则 a0 ? (22 ? 1)(2 ? 3)9 ? ?5 . 令 x ? 3 , 则 a0 ? a1 ? ??? ? a11 ? 0 , 所 以 C.
( )

a1 ? ??? ? a11 ? ?a0 ? ?( ?5) ? 5 ,选

10.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理

A.)某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、

“环保宣传”五个项目的社会实践活动,每天只安排一项活动,并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂” 与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天,“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是
2

( A.48
【答案】C



B.24

C.36

D.64

4 2 【解析】将“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动可做一个整体有 A4 A2 ? 48 种排法.当“民俗调查”排在周 3 2 一时有 A3 A2 ? 12 种,所以满足条件的不同安排方法有 48 ? 12 ? 36 种,选

C.
( )

11.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A.)若 x 2 ? 1 ? x ? 3? ? a0 ? a1 ? x ? 2 ? ? a2 ? x ? 2 ? ? a3 ? x ? 2 ? ? ??? ? a11 ? x ? 2 ? ,
9 2 3 11

?

?

则 a1 ? a2 ? ??? ? a11 的值为 A.0
【答案】C

( C.5 D.255



B. ?5

【 解 析 】 令 x ? 3 , 则 有 a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a11 ? 0 , 令 x ? 2 , 则 a0 ? (22 ? 1)(2 ? 3)9 ? ?5 , 所 以

a1 ? a2 ? ??? ? a11 ? ?a0 ? 5 ,选

C.

12.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)从 0,1, 2,3, 4,5 ,六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组

成没有重复数字的四位奇数,有多少种取法 A. 72 B. 84 C. 144
【答案】B

( D. 180



2 1 3 1 2 1 1 2 若不选 0,则有 C3 C2 A3 ? 36 ,若选 0,则有 C2 C3 C2C2 A2 ? 48 ,所以共有 48 ? 36 ? 84 种,所以选

B.
13.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)把 5 张座位编号为 1,2,3,4,5 的电影票发给 3

个人,每人至少 1 张,最多分 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 A.360 B.60 C.54 D.18 【答案】D





3 【 解析】 5 张电影票分 3 份,两张连续,则有 1-23-45;12-3-45;12-34-5 三种分发,然后发给三个人,有 A3 ? 6 种,

所以不同的分法有 6 ? 3 ? 18 .
14.(山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理)) ( ax ?

1 )(2 x ? 1)5 的展开式中各项系数的和为 2,则 x
( )

该展开式中常数项为 A.-20 B.—10 【答案】C

C.10

D.20
5

【 解 析 】 令 x ? 1 , 可 得 各 项 系 数 和 为 (a ? 1)(2 ? 1) ? a ? 1 ? 2 , 所 以 a ? 1 . 所 以

1 1 1 (ax ? )(2 x ? 1)5 ? ( x ? )(2x ? 1)5 ? ? (x ? )(1? 2x )5 , (1 ? 2 x)5 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 x x x 1 1 Tk ?1 ? C5k (?2 x) k ? (?2) k x k C5k ,当 k ? 1 时, T2 ? C5 (?2 x) ? ?10 x ;所以展开式的常数项为 ? ? (?10 x) ? 10 , x

二、填空题
3

C.

15.(2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)在 ( x ? 【答案】

2 6 ) 的二项展开式中,常数项等于_______. x 2 k 6?k 【答案】?160 展开式的通项公式为 Tk ?1 ? C6 x (? ) k ? (?2) k C6k x 6? 2 k ,由 6 ? 2k ? 0 ,得 k ? 3 , x

3 所以 T4 ? (?2)3 C6 ? ?160 ,即常数项为 ?160 .
2

16.(山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)若(x -

1 n ) 的展开式中含 x 的项为第 6 项,设 (1-3x)n x

=ao+a1x+a2x ++anx ,则 al+a2++an 的值为_____________ 【答案】255 展 开 式 (x 2

2

n

1 n 1 k k ( x 2 ) n ? k ( ? ) k ? Cn (?1) k x 2 n ?3k , 因 为 含 x 的 项 为 第 6 项 , 所 以 ) 的 通 项 公 式 为 Tk ?1 ? Cn x x

k ? 5, 2n ? 3k ? 1 , 解 得 n ? 8 , 令 x ? 1 , 得 a0 ? a1 ??? a8 ? (1 ? 3)8 ? 28 , 又 a0 ? 1 , 所 以

a1 ? ? ? a8 ? 28 ?1 ? 255 .
17.(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)两个正整数的公因数只有 1 的两个数,叫做互质数,例如:2

与 7 互质,3 与 4 互质,在 2,3,4,5,6,7 的任一排列中使相邻两数都互质的不同排列方式共有_______种(用数字 作答 P). 【答案】72 要使任一排列中使相邻两数都互质,则 6 放在 5,7 之间,或把 6 放在边上与 5,7 相邻.先排 3,5,7.若
2 2 6 放在 5,7 之间,则 ?3?567 ? 或 ?567 ?3? ,此时空中放 2,4,此时有 2 A2 A3 ? 24 .若 6 放在边上,则 ?3?5?76 1 2 2 或 67 ?3?5? ,此时 5,7 或 3,5 可交换位置,所以有 2 A2 A2 A3 ? 48 种,所以共有 48 ? 24=72 种.

1? ? 18.(山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题) 二项式 ? 3x ? 2 ? 的展开式中,常数项等于 x ? ?
______(用数字作答). 【答案】1215 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tk ?1 ? C6 (3x )
k 6? k

6

(

1 k ) ? C6k 36? k x 6?3k , 由 6 ? 3k ? 0 得 k ? 2 , 所 以 常 数 项 为 2 x

2 T3 ? 34 C6 ? 1215 .

19.(山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)设 a

? ? sin xdx,则二项式(a x ?
0

?

1 6 ) 的 x

展开式中的常数项等于________.
【 答 案 】

?160

a ? ? sin xdx = ? cosx ? , 所 以 二 项 式 的 展 开 式 为 0 ? 2
0

?

Tk ?1 ? C6k (a x )6? k (?

1 k ) ? (?1) k C6k ? 26? k ? x 3? k , 由 3 ? k ? 0 时 , k ? 3 , 所 以 常 数 项 为 x

3 T4 ? (?1)3 C6 ? 23 ? ?160 .

4

20.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 ) (ax

2

?

1 5 ) 的展开式中各项系数的和为 243, x

则该展开式中常数项为 【答案】10 【解析】因为展开式中各项系数的和为 243,所以当 x ? 1 时, (a ? 1)5 ? 243 ,解得 a ? 2 ,展开式的通项公式为

Tk ?1 ? C (2 x )
k 5

2 5? k

5k 10? 5k 1 k k 5? k 4 ? 0 ,解得 k ? 4 ,所以常数项为 T5 ? C5 ( ) ? C5 2 x 2 ,由 10 ? ? 2 ? 10 . 2 x

21.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) (

x 1 8 ? ) 的展开式中,常数项为___________. 2 3x

【答案】 7

展开式的通项公式为 Tk ?1 ? C8 ( )
k

x 2

8? k

(?

4k 8? 1 k 4k k 1 8? k k 3 ) ? ( ? 1) ( ) C x ,由 8 ? ? 0 ,解得 k ? 6 , 8 3 2 3 x

6 所以常数项为 T7 ? (?1) 2 ( ) 2 C8 ?7.

1 2

5


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