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2014年福建省普通高中毕业班质量检查(理科数学)


2014 年福建省普通高中毕业班质量检查


目要求的. 1.下列函数中,值域为 (0, ??) 的函数是 A. f ( x ) ? 2
x
[来源:学.科.Z.X







一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

B. f ( x ) ?

x

C. f ( x) ? lg x

D. f ( x) ? x

2

2.执行右图所示的程序框图.若输入的 n 的值为 3,则输出的 k 的值为 A. 2
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B. 3

C. 4

D. 5

3. “ a ? 1 ”是“关于 x 的方程 x 2 ? 2 x ? a ? 0 有实数根”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.向圆内随机投掷一点,此点落在该圆的内接正 n ? n ? 3, n ? N ? 边形内的概率为 pn ,下列论断正确的是 A.随着 n 的增大, pn 增大 C.随着 n 的增大, pn 先增大后减小 B.随着 n 的增大, pn 减小 D.随着 n 的增大, pn 先减小后增大

? x 2 ? y 2 ? 1, ? 5.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y 的取值范围是 ? y ? 0, ?
A. ? ? 2,1?

?

?

B. ? ?1,1?

C. ? ? 2, 2 ?

?

?

D. ? ?1, 2 ?

?

?

6.如图,AB 是⊙O 的直径,VA 垂直⊙O 所在的平面,点 C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点,M,N 分别为 VA,VC 的中点,则下列结论正确的是 A.MN//AB B.MN 与 BC 所成的角为 45° C.OC⊥平面 VAC D.平面 VAC⊥平面 VBC 7.若直线 ax ? by ? 1 ? 0(a ? 0, b ? 0) 过曲线 y ? 1 ? sin ? x ? 0 ? x ? 2 ? 的对称中心,则 A. 2+1
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1 2 ? 的最小值为 a b

B. 4 2

C. 3+2 2

D.6

8.已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 ,一条渐近线为 l ,抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦 2 a b

点为 F ,点 P 为直线 l 与抛物线 C2 异于原点的交点,则 PF ? A. 2
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B. 3

C. 4

D. 5

?e x ? 1, x ? 1, ? 9.若曲线 y ? ? 1 与直线 y ? kx ? 1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 , x ?1 ? ?1 ? x
A. (3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 ) B. (0,3 ? 2 2) C. (??,0) ? (0,3 ? 2 2 )
1

D. ( ??,3 ? 2 2 )

10.在平面直角坐标系 xOy 中, ? 是一个平面点集,如果存在非零平面向量 a ,对于任意 P ?? ,均有

???? ??? ? Q ?? ,使得 OQ ? OP ? a ,则称 a 为平面点集 ? 的一个向量周期.现有以下四个命题:
①若平面点集 ? 存在向量周期 a ,则 ka ? k ? Z, k ? 0 ? 也是 ? 的向量周期; ②若平面点集 ? 形成的平面图形的面积是一个非零常数,则 ? 不存在向量周期; ③若平面点集 ? ? ④若平面点集 ? ?

?? x, y ? | x ? 0, y ? 0? ,则 b ? ? ?1, 2 ? 为 ? 的一个向量周期;
? ? ?? x, y ? | y ? sin x ? cos x ? ,则 c ? ? ? , 0 ? 为 ? 的一个向量周期. 2 ? ?

其中正确的命题个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷(非选择题
2i 等于 1? i
6

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.复数 .

1? ? 12. ? x ? ? 的展开式中的常数项等于 x? ?



13 .已知△ ABC 的角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , cos A ?

3 ? , b ? 5 3 , B ? ,则 3 5

a ? __________.
14.对于数列 ?cn ? ,如果存在各项均为正整数的等差数列 ?an ? 和各项均为正整数的等比数列 ?bn ? ,使得

cn ? an ? bn , 则称数列 ?cn ? 为 “DQ 数列” . 已知数列 ?en ? 是 “DQ 数列” , 其前 5 项分别是: 3,6,11,20,37,
则 en ? .

15.设 g ?( x) 是函数 g ( x) 的导函数,且 f ( x) ? g ?( x) .现给出以下四个命题: ①若 f ( x) 是奇函数,则 g ( x) 必是偶函数;
X

②若 f ( x) 是偶函数,则 g ( x) 必是奇函数;

③若 f ( x) 是周期函数,则 g ( x) 必是周期函数;④若 f ( x) 是单调函数,则 g ( x) 必是单调函数. 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)

x x x 5? ( , 0) . cos ? cos 2 ? m 的图象过点 6 2 2 2 (I)求实数 m 的值以及函数 f ? x ? 的单调递增区间;
已知函数 f ? x ? ? 3 sin

2

(II)设 y ? f ? x ? 的图象与 x 轴、 y 轴及直线 x ? t ( 0 ? t ? 求 S 关于 t 的函数 S ? t ? 的解析式. 17. (本小题满分 13 分)

2? )所围成的曲边四边形面积为 S , 3

某地区共有 100 万人,现从中随机抽查 800 人,发现有 700 人不吸烟,100 人吸 烟.这 100 位吸烟者年均烟草消费支出情况的频率分布直方图如图.将频率视 为概率,回答下列问题: (Ⅰ)在该地区随机抽取 3 个人,求其中至少 1 人吸烟的概率; (Ⅱ)据统计,烟草消费税大约为烟草消费支出的 40%,该地区为居民支 付因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为 18800 万元.问:当地烟草消 费税是否足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用?说明理由. 18.(本小题满分 13 分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 4 正三角形, AA1⊥平面 ABC, AA1= 2 6 ,M 为 A1 B1 的 中点. (I)求证:MC⊥AB; (II)在棱 CC1 上是否存在点 P ,使得 MC ? 平面 ABP ?若存在, 确定点 P 的位置;若不存在,说明理由. (Ⅲ)若点 P 为 CC1 的中点,求二面角 B ? AP ? C 的余弦值. 19. (本小题满分 13 分) 如图, 设 P 是圆 O : x ? y ? 2 上的点, 过 P 作直线 l 垂直 x 轴于点 Q , 且 PQ ? M 为 l 上一点,
2 2

??? ?

???? ? 2 MQ ,

当点 P 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)某同学研究发现:若把三角板的直角顶点放置在圆 O 的圆周上, 使其一条直角边过点 F ?1, 0? ,则三角板的另一条直角边所在直线与曲线 你认为该同学的结论是否正确?若正确, 请证明; ? 有且只有一个公共点. 若不正确,说明理由. (Ⅲ) 设直线 m 是圆 O 所在平面内的一条直线, 过点 F ?1, 0 ? 作直线 m 的 垂线,垂足为 T ,连接 OT ,请根据“线段 OT 的长度”讨论“直线 m 与曲线 ? 的公共点个数” . (直接写 出结论,不必证明) 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? ) , a ? R . (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间;
3

1 x

(Ⅱ)若 f ( x) 的最小值为 0,回答下列问题: (ⅰ)求实数 a 的值; ( ⅱ ) 已 知 数 列 ?a n ? 满 足 a1 ? 1 , an ?1 ? f (an ) ? 2 , 记 [ x ] 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 求

Sn ? [a1 ] ? [a2 ] ? ? ? [an ] ,求 S n .
21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按 所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括 号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知 a, b ? R ,若矩阵 M ? ? ? b 3? ? 所对应的变换把直线 l : x ? y ? 1 变换为自身. ? ? (Ⅰ)求实数 a, b ; (Ⅱ)若向量 e1 ? ? ? , e2 ? ?

? ?1 a?

?1? ?1?

?1? ? ,试判断 e1 和 e 2 是否为 M 的特征向量,并证明之. ? ?1?
? ;在极坐标系(与直角坐标系 xOy 6

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P ? 0,1? ,倾斜角为

取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? 2 ? 4 ? sin ? ? 1 . (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求弦 AB 的长. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a, b, c ? R ? ,且满足 a ? b ? c ? 2 . (Ⅰ)求 abc 的最大值; (Ⅱ)证明:

1 1 1 9 ? ? ? . a b c 2

4

2014 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.A; 2.B; 3.A; 4.A;5.A;6.D;7.C;8.D;9.C;10.A. 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11.1+ i ; 12.20; 13.8; 14. n ? 2 ;
n

15.①.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础 知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分 13 分.

3 1 1 x x x sin x ? cos x ? ? m cos ? cos 2 ? m ? 2 2 2 2 2 2 ?? 1 ? ……………………3 分 ? sin ? x ? ? ? ? m . 6? 2 ? 5? 1 ? 5? ? ? 1 因为 f ? x ? 的图象过点( ,0) ,所以 sin ? ? ? ? ? m ? 0 ,解得 m ? ? . ………5 分 6 2 ? 6 6? 2 ?? ? ? ? 2? ? ? 所以 f ? x ? ? sin ? x ? ? ,由 ? ? 2k ? ? x ? ? ? 2k ? ,得 ? ? 2k ? ? x ? ? 2k ? , k ? Z . 6? 2 6 2 3 3 ? ? ? 2? ? 故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? ……………7 分 ? 2k ?, ? 2k ? ? , k ? Z . 3 ? 3 ?
解法一: (I) f ? x ? ? 3 sin

3 1 sin x ? cos x . 2 2 ? t? 3 1 sin x ? cos x ? 所以 S ? ? ? ……………9 分 ? ?dx 0 2 ? 2 ? ? ? ? ? 3 1 3 1 3 3 1 ? ?? ? cost ? sint ? ?? ? cos 0 ? sin 0 ? ? sin ? t ? ? ? ?? cosx ? sin x t0 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? 3? 2 ? 2 ? ? 2 ?
(Ⅱ)由(I)得, f ? x ? ? . ……………12 分 所以 S ? t ? ? sin ? t ? 解法二:

? ?

?? 3 2? (0 ? t ? ). ?? 3? 2 3

……………13 分

?5 ? f ? ?? ? 0 . ?6 ? 3 5 1 5 1 5 5 5 ?5 ? sin ? ? cos ? ? ? m ? cos ? ? cos 2 ? ? m ? 又 f ? ? ? ? 3 sin 2 6 2 6 2 12 12 12 ?6 ? 3 3 1 1 ? ? ? ? m ? ? m. ………………3 分 4 4 2 2 1 1 所以 ? m ? 0 ,解得 m ? ? . ………………5 分 2 2
(Ⅰ)因为函数 f ? x ? 的图象过点( 以下同解法一.
5

5? ,0) ,所以 6

(II)由(I)得 f ? x ? ? sin ? x ? 所以 S ?

? ?

?? ?. 6?
……………9 分 ………………12 分

x ? ?dx ? sin ? 6? ?
0 t 0

t

?

??

?? ? ? ? cos ? x ? ? 6? ?

3 ? ?? ? ? cos ? t ? ? ? . ? 6? 2 ? ? ?? 3 2? (0 ? t ? ). ?? 6? 2 3

所以 S ? t ? ? ? cos ? t ?

………………13 分

17.本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用 用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)依题意可知,该地区吸烟者人数占总人数的 所以抽取的 3 个人中至少 1 人吸烟的概率为
0 1 0 7 3 p ? 1 ? C3 ( ) ( ) ……………..5 分 8 8 169 . ? 512

1 . 8

……………..2 分

……………..6 分

(Ⅱ)由频率分布直方图可知,吸烟者烟草消费支出的平均数为

0.15 ? 0.1 ? 0.25 ? 0.3 ? 0.35? 0.3 ? 0.45? 0.1? 0.55? 0.1? 0.65? 0.1
. ? 0.36 (万元) 又该地区吸烟者人数为 ?100 万, ……………..8 分

1 8

……………..10 分
4

所以该地区年均烟草消费税为 ?100 ?10 ? 0.4 ? 0.36 ? 18000 (万元).……………..12 分 又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为 18800 万元,它超过了当地烟草消费税, 所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用.……………..13 分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思 想.满分 13 分. 解: (I)取 AB 中点 O,连接 OM,OC. ∵M 为 A1B1 中点,∴MO∥A1A,又 A1A⊥平面 ABC,∴MO⊥平面 ABC,∴MO⊥AB…………….2 分 ∵△ABC 为正三角形,∴AB⊥CO 又 MO∩CO=O,∴AB⊥平面 OMC 又∵MC ? 平面 OMC ∴AB⊥MC……………5 分 (II)以 O 为原点,以 OB , OC , OM 的方向分别为 x 轴, y 轴,z 轴的正 向,建立空间直角坐标系.如图.依题意

1 8

??? ?

????

???? ?



6

O(0, 0, 0), A(?2, 0, 0), B(2, 0, 0), C (0, 2 3, 0), M (0, 0, 2 6) .
设 P(0, 2 3, t )(0 ? t ? 2 6) ,

…………….6 分

则 MC ? (0, 2 3, ?2 6), AB ? (4, 0, 0), OP ? (0, 2 3, t ) .………….7 分

???? ?

??? ?

??? ?

???? ? ??? ? ? OP ? 0, ? MC ? 要使直线 MC ? 平面 ABP ,只要 ? ???? ? ??? ? ? ? MC ?AB ? 0.
即 (2 3) ? 2 6t ? 0 ,解得 t ? 6 .
2

…………….8 分

∴ P 的坐标为 (0, 2 3, 6) . ∴当 P 为线段 CC1 的中点时, MC ? 平面 ABP .…………….10 分 (Ⅲ)取线段 AC 的中点 D ,则 D(?1, 3, 0) ,易知 DB ? 平面 A1 ACC1 , 故 DB ? (3, ? 3, 0) 为平面 PAC 的一个法向量.……….11 分 又由(II)知 MC ? (0, 2 3, ?2 6) 为平面 PAB 的一个法向量. 设二面角 B ? AP ? C 的平面角为 ? ,则

??? ?

???? ?

…………….12 分

???? ? ??? ? MC ?DB 3? 0 ? 3 ? 2 3 ? 0 ? 2 6 3 ?? . cos ? ? ????? ???? ? 6 2 3?6 MC ?DB
3 . 6
…………….13 分

∴二面角 B ? AP ? C 的余弦值为

19.本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)设 M ( x, y ) , P ( x p , y p ) , 因为 PQ 垂直 x 轴于点 Q , M 为直线 l 上一点,且 PQ ? 所以 x p ? x , y p ?

??? ?

???? ? 2 MQ ,

2 y ,…………….2 分
2 2

2 2 因为点 P 在圆 O : x ? y ? 2 上,所以 x p ? y p ? 2

x2 ? y 2 ? 1. 即 x ? ( 2 y ) ? 2 ,整理得 2
2 2

7

x2 故曲线 ? 的方程为 ? y 2 ? 1 .…………….4 分 2
(Ⅱ)设三角板的直角顶点放置在圆 O 的圆周上的点 N (a, b) 处,则 a ? b ? 2 ,
2 2

又设三角板的另一条直角边所在直线为 l ? . (ⅰ)当 a ? 1 时,直线 NF ? x 轴, l ? : y ? ?1 , 显然 l ? 与曲线 ? 有且只有一个公共点. (ⅱ)当 a ? 1 时,则 k NF ? ?????5 分

b . a ?1

若 b ? 0 时,则直线 l ? : x ? ? 2 ,显然 l ? 与曲线有且只有一个公共点;???6 分

1? a , b 1? a 1? a 2?a 所以 l ? : y ? b ? ,?????7 分 x? ? x ? a ? ,即 y ? b b b
若 b ? 0 时,则直线 l ? 的斜率 k ?

? x2 ? y 2 ? 1, ? ? 1 ? 1 ? a ? 2 ? 2 2 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ?? 2 ? a ? 2 ? ? 2 x ? ? x ? 由? 得? ?? ?? ? ? ? ? 1? ? 0 , 2 2 b b b 1 ? a 2 ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ?y ? ? ? ? x? , ? ? b b ?
2 2 即 ?b2 ? 2 ?1 ? a ? ? x2 ? 4 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ? x ? 2 ?? 2 ? a ? ? b2 ? ? 0 . (*)

?

?

?

?

又b ? 2? a ,
2 2

?????8 分
2 2 2

所以方程(*)可化为 ? a ? 2 ? x ? 4 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ? x ? 4 ? a ? 1? ? 0 , 所以 ? ? ? ? 4 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ? ? ? 16 ? a ? 2 ?
2 2

? a ? 1?

2

? 0,

?????9 分

所以直线 l ? 与曲线 ? 有且只有一个公共点. 综上述,该同学的结论正确。 (Ⅲ)当 OT ? 当 OT ? 当 OT ?

?????10 分

2 时,直线 m 与椭圆 ? 没有公共点; 2 时,直线 m 与椭圆 ? 有且只有一个公共点; 2 时,直线 m 与椭圆 ? 有两个公共点.
………….13 分

20.本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识 等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 (0, ??) ,且 f ( x) ?
/
/

1 a x?a ? ? 2 .?????1 分 x x2 x

当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 (0, ??) 内单调递增;???????2 分 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? a ;由 f ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? a .
/ /

8

所以 f ? x ? 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a) .????????3 分 综上述: a ? 0 时, f ? x ? 的单调递增区间是 (0, ??) ;

a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 (0, a) ,单调递增区间是 (a, ??) .???????4 分
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ? x ? 无最小值,不合题意;???????????5 分 当 a ? 0 时, [ f ( x)]min ? f (a) ? 1 ? a ? ln a ? 0. ?????????????6 分 令 g ( x) ? 1 ? x ? ln x( x ? 0) ,则 g / ( x) ? ?1 ?
/ /

1 1? x , ? x x

由 g ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;由 g ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 所以 g ? x ? 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) . 故 [ g ( x)]max ? g (1) ? 0 ,即当且仅当 x=1 时, g ? x ? =0. 因此, a ? 1 .???????????????8 分 (ⅱ)因为 f ( x) ? ln x ? 1 ? 由 a1 ? 1, 得 a2 ? 2, 于是 a3 ?

1 1 ? ln an . ,所以 an ?1 ? f (an ) ? 2 ? 1 ? an x

3 1 5 ? ln 2 .因为 ? ln 2 ? 1 ,所以 2 ? a3 ? . 2 2 2 5 猜想当 n ? 3 , n ? N 时, 2 ? an ? .??????????????10 分 2
下面用数学归纳法进行证明.

3 5 ? ln 2 ,故 2 ? a3 ? 成立.????????????11 分 2 2 5 ②假设当 n=k( k ? 3 , k ? N )时,不等式 2 ? ak ? 成立. 2
①当 n ? 3 时, a3 ? 则当 n=k+1 时, ak ?1 ?? 1 ?

1 ? ln ak , ak

由(Ⅰ)知函数 h( x) ? f ? x ? ? 2 ? 1 ?

1 ? 5? ? ln x 在区间 ? 2, ? 单调递增, x ? 2? 1 ? ln 2 ? 2 , 2

所以 h(2) ? h(ak ) ? h( ) ,又因为 h(2) ? 1 ?

5 2

5 2 5 2 5 h( ) ? 1 ? ? ln ? 1 ? ? 1 ? . 2 5 2 5 2 5 故 2 ? ak ?1 ? 成立,即当 n=k+1 时,不等式成立. 2
根据①②可知,当 n ? 3 , n ? N 时,不等式 2 ? an ?
9

5 成立.??????????13 分 2

因此, Sn ? [a1 ] ? [a2 ] ? ? ? [an ] = 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1. ?????????????14 分 21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 7 分. (Ⅰ)解法一:解:在直线 l : x ? y ? 1 上任取两点(1,0)和(0,1) , 由?

? ?1 a ? ? 1 ? ? -1? ? ?1 a ? ? 0 ? ? a ? ………….2 分 ?? ? ? ? ? 和? ?? ? ? ? ? ? b 3??0? ? b ? ? b 3??1? ? 3? ,

知点 (?1, b) 和点 (a, 3) 均在直线 x ? y ? 1 上,

所以 ?

? ?1 ? b ? 1, ? a ? 3 ? 1,

解得 ?

? ?1 - 2? ? a ? -2, 所以矩阵 M ? ? ? 2 3? ? . ?b ? 2. ? ?

经检验,所求矩阵 M 符合要求.………….4 分 (Ⅱ)因为 ?

? ?1 -2 ? ?1? ? -3 ? ? 1? ? ? 1 - 2 ?? 1 ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?, ? 2 3 ? ?1? ? 5 ? ? 1? , ? 2 3 ?? - 1? ? - 1?
………….7 分

所以 e1 不是 M 的特征向量, e 2 是 M 的特征向量.

解法二: (Ⅰ)设 P( x, y ) 为直线 x ? y ? 1 上任意一点,其在 M 的作用下变为 Q ( x?, y ?) .

则?

? ?1 a ?? x ? ? - x ? ay ? ? x? ? ? x? ? - x ? ay, ? ? , 所以 ………….2 分 ? ?? ? ? ? ? ? ? b 3 ?? y ? ? bx ? 3 y ? ? y? ? ? y? ? bx ? 3 y.

依题意,点 Q 在直线 x ? y ? 3 上,所以 ? x ? ay ? bx ? 3 y ? 1, 即 (b ? 1) x ? (a ? 3) y ? 3 .依题意,直线 (b ? 1) x ? (a ? 3) y ? 1 与直线 x ? y ? 1 重合,

所以 ?

? ?1 - 2? ?b ? 1 ? 1, ? a ? ?2, 解得 ? 故矩阵 M ? ? ? 2 3? ?. ?a ? 3 ? 1, ?b ? 2, ? ?

………….4 分

(Ⅱ)同解法一 ………….7 分 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.满分 7 分.

? 3 x? t, ? ? 2 ? t为参数 ? . 解: (Ⅰ)依题意知,直线的参数方程为 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
由 ? 2 ? 4 ? sin ? ? 1 ,得 x ? y ? 4 y ? 1 ,
2 2

………….2 分

10

所以圆 C 的标准方程为 x ? ? y ? 2 ? ? 5 .
2 2

………….4 分

? 3 2 2 x? t, ? ? ? 3 2 ? ?1 ? 2 2 (Ⅱ) 设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 , 将? 代入 x ? ? y ? 2 ? ? 5 , 得? t ? 1? ? 5 , ? 2 t? ? ?? ? ? y ? 1? 1 t ? ? ?2 ? ? 2 2 即 t ? t ? 4 ? 0 ,所以 t1 ? t2 ? 1 , t1t2 ? ?4 ,所以 t1 ? t2 ? 17 ,
由参数 t 的几何意义知 AB ? t1 ? t2 ? 17 . (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查平均值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力, 考查化归与转化思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)因为 a, b, c ? R ? ,所以 2 ? a ? b ? c ? 33 abc ,故 abc ? 当且仅当 a ? b ? c ? ………….7 分

8 .………….3 分 27
………….4 分

2 8 时等号成立,所以 abc 的最大值为 . 27 3

(Ⅱ)证明:因为 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 2 ,所以根据柯西不等式, 可得

1 1 1 1 1 1 1 ? ? = ? a ? b ? c ? ( ? ? ) ………….5 分 a b c 2 a b c
= [( a ) ? ( b ) ? ( c ) ] ? [(
2 2 2

1 2

1 2 1 1 ) ? ( )2 ? ( )2 ] a b c

?

1 1 1 1 2 9 ( a? ? b? ? c? ) = . 2 a b c 2

所以

1 1 1 9 ? ? ? . a b c 2

………….7 分

11


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