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2017-2018学年高中数学苏教版必修四课件:第2章2.4 第1课时 向量数量积的概念及运算律


问题:一个物体在力 F 的作用下位移为 s,则力 F 所做 功 W=|F||s|cos θ,θ 为 F 和位移 s 的夹角,试想功 W 是力 F 和位移 s 的乘积吗? 提示:不是. 1.数量积的定义 cos θ 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则把数量 |a||b|· 叫做 a 与 b 的 数量积 (或 内积 ),记作 a· b,即 a· b= |a||b|cos θ . 2.规定 零向量与任一向量的数量积为 0 . 如图,△ABC 为等边三角形. 问题 1:向量 AB 与向量 AC 的夹角的大小 是多少? 提示:60° . 问题 2:向量 AB 与向量 BC 的夹角的大小是多少? 提示:120° . 两非零向量的夹角 (1)定义:对于两非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则 ∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)范围: 0≤θ≤180° . (3)当 θ=0° 时,a 与 b 同向 . 当 θ=180° 时,a 与 b 反向 . 当 θ=90° 时,则称 a 与 b 垂直 ,记作 a⊥b . 已知向量 a 和 b 都是非零向量,θ 为 a 与 b 的夹角. 问题 1:若 θ=90° ,求 a· b;若 a· b=0,求 θ. 提示:若 θ=90° ,则 a· b=|a|· |b|cos 90° =0; 若 a· b=0,则|a|· |b|cos θ=0,∴cos θ=0. 又∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=90° . 问题 2:若 θ=0° ,求 a· b;若 θ=180° ,求 a· b. 提示:若 θ=0° ,则 a· b=|a|· |b|cos 0° =|a|· |b|; 若 θ=180° ,则 a· b=|a|· |b|cos 180° =-|a|· |b|. 1.两个向量的数量积 (1)当 a 与 b 同向时,a· b= |a||b| ; (2)当 a 与 b 反向时,a· b=- |a||b| ; 2 (3)a· a= |a| 或|a|= a· a . 2.数量积的运算律 (1)a· b= b· a ; b) = λa· (2)(λa)· b=a(λb)= λ(a· b; (3)(a+b)· c= a· c+b· c. 1.两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,其大小与两个向 量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定. 2.向量数量积的几何意义,是一个向量的长度乘以另一向量在该 向量方向上的投影值.这个投影值可正可负也可以为零,向量的数量 积的结果是一个实数. 3.数量积的运算只适合交换律,加乘分配律及数乘结合律,但不 适合乘法结合律, 即(a· b)· c≠a· (b · c), 这是因为 a· b, b· c 都是实数, (a· b)· c 与向量 c 方向相同或相反.a· (b· c)与向量 a 方向相同或相反,而 a 与 c 不一定共线. [例 1] 已知正方形 ABCD 的边长为 2,分别求: CD ;(2) AB · AC . (1) AB · AD ;(3) DA· [思路点拨] 求数量积时,利用定义要注意两个向量的夹角大 小和实际图形联系起来. [精解详析] (1)∵ AB , CD 的夹角为 π, CD =| AB || CD |cos π=2×2×(-1)=-4. ∴ AB · π (2)∵ AB , AD 的夹角为 , 2 π ∴ AB · AD =| AB || AD |cos

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