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物理竞赛中的数据处理


数据处理和力学实验

上海师范大学

数理学院

上海市青少年科技活动中心

一、测量与误差 二、测量的不确定度和测量结果的表示 三、有效数字及其运算规则 四、实验数据处理与作图要求 五、弯曲法测杨氏模量

一、测量与误差 1.测量 测量
物理实验离不开对物理量的测量,根据测量手段和 方式的不同,将物理量的测量分为两类

1)直接测量:直接从仪器或量具上读出待测量的大 直接测量
小。 例:摆长L,天平称质量等。

2)间接测量:待测量的量值是由若干个直接测量量 间接测量: 间接测量
经过一定的函数运算后才获得的量。 例:钢球体积V=1/6πD3,g=4 π2l/T2等。

2.误差 误差
1)真值与误差 真值与误差 真值:指在一定条件下,某物理量客观存在的真实值。 下列几种情况可视为约定真值 理论值: 理论值:如三角形的内角和为180等 公认值: 公认值:世界公认的一些常数,如普朗克常量、阿伏 加得罗常量等。 仪器精度 由于 测量原理和方法 测量者感官能力 限制

真值不可知。 误差: 误差:实验测量值与客观实际值(真值)的 不一致。测量值与真值之差 定义 ε=x-x0 3. 误差的分类 1) 系统误差:产生误差是单方向变化,如与标准值相比 系统误差: 始终偏大,或者始终偏小。 例:电表零点读数等不正确的读数方法。 系统误差的来源: 系统误差的来源: 理论公式的近似性; 仪器结构不完善;

环境条件的改变; 测量者生理心理因素的影响。

处理系统误差问题是困难的:系统误差的出现虽有规律 处理系统误差问题是困难的:
性,但对于不同的实验其规律性不一样,没有完整、通 用的处理计算公式。要求实验者对研究对象的特殊规律 性能充分掌握。需要学识,经验,技巧。

2)随机误差:多次重复测量同一物理量,各次有差 随机误差: 随机误差 异,产生的误差以不可预定的方式变化着,即ε时 而大,时而小。整体来说,满足高斯分布规律。
单峰性 偶然误差的三个特点: 对称性 有界性
f(x)

4. 系统误差和偶然误差的关系

0

x

它们之间的区别不是绝对的,在一定条件下可以 相互转化。
例:砝码的误差 砝码的误差,对厂家是偶然误差 砝码的误差 偶然误差 对使用者是系统误差 系统误差

5.精密度、准确度、精确度 精密度、准确度、 精密度
精密度 精密度——描述重复测量结果之间的离散程度,反映随机 误差大小。 准确度 准确度——描述测量结果与真值的偏离程度,反映系统误 差的大小。 精确度 精确度——准确度和精密度的结合。

精密度最好 准确度较好 精确度最好

精密度较好 准确度最差 精确度最

精密度最差 准确度最好 精确度居中

6.绝对误差、相对误差 绝对误差、 绝对误差 绝对误差x= x x 0 绝对误差 相对误差 E 0 =
x x0 x0 × 100 %

通常取1-2位数字来表示。
例:L1=1000米、L1=1米、 L2=100厘米、 L2=1 厘米,求L1和L2的相对误差。 解:
L1 1 E1 = = ×100% = 0.1% L1 1000

1 L 2 E2 = = ×100% = 1% L 2 100

二、测量的不确定度和测量结果的表示
1.测量的不确定度 测量的不确定度 测量误差存在于一切测量中,对被测量值不能确定的 程度称之,它给出测量结果不能确定的误差范围。完 整的测量结果要标明其量值大小和测量的不确定度。 2.不确定度的分类 不确定度的分类 1)A类不确定度 1)A类不确定度(UA):用统计方法对具有随机误差 性质的测量值计算获得的 量,又称统计不确定度。 统计不确定度 2)B类不确定度 2)B类不确定度(UB):非统计方法计算获得的量,也 称非统计不确定度。 非统计不确定度。 非统计不确定度

3. 偶然误差与不确定度的 类分量 偶然误差与不确定度的A类分量 1) 偶然误差的分布与标准误差 满足高斯分布 标准误差
σ=

(x i x 0 )2 ∑
i =1

n

n 1

它反映了数据的离散程度,在该测量列中任何一个 测量值的误差在-σ~+σ之间的概率为68.3% σ小,数据比较集中,即精密度高, σ大,数据分散,精密度低

2) 多次测量平均值的标准偏差 算术平均值 n
x=

∑x
i =1

i

n

标准偏差
σx =

(x i x )2 ∑
i =1

n

n 1

平均值的标准偏差

σx =

(x i x )2 ∑
i =1

n

n (n 1)

3) 不确定度的 类分量: 不确定度的A类分量 类分量: 一般为多次测量平均值的标准偏差即

u A(x) = σx =

(x i x )2 ∑
i =1

n

n (n 1)

p=68.3%

B类不确定度:由非统计分析评定的不确定度。 uB1(x):由估读引起的,通常取分度值d的1/10或1/5, 有时也取1/2,视具体情况而定;特殊情况可取d, 甚至更大。

uB2(x):由仪器本身的特性所决定的 定义

u B 2 (x ) =

仪 3

p=68.3%

仪为仪器标定的最大允差。 常用实验仪器的最大允差见下表

4.测量结果的表示 测量结果的表示 1)测量结果的表示 测量结果的表示

u (x ) ur = ×100% x
A.单次测量 单次测量

X=(x±U(x))单位

2)直接测量的不确定度计算 直接测量的不确定度计算

U

(x )

=

U

2 B 1 (x

)

+ U

2 B 2

(x )

B.多次测量 多次测量

U

(x )

=

U

2 A

(x )

+ U

2 B 2

(x )

例:用一级千分尺测量某一圆柱体的直径,测量5次, 各测量数据分别为:3.429,3.430, 3.441,3.441, 3.432mm,求该物体直径的测量结果。(用不确定度 表示) 解:D=3.435mm
u A (D ) = σ D =

∑ (D
5 i =1

i

D)

2

n (n 1)

= 0.003mm

一级千分尺仪为0.004mm,

u B 2 (D ) =
u (D ) =



0 . 004 = = 0 . 002 mm 3 3
0 .003 2 + 0 .002 2 = 0 .004 mm

u A (D ) + u 2 2 (D ) = B

D=3.435±0.004mm
u (D ) 0 . 0036 ur = × 100 % = × 100 % = 0 . 10 % x 3 . 435

3)间接测量的不确定度计算 A.不确定度的传递公式 设 y=f(x1,x2,x3,…,xN),且x1,x2,x3,…,xN相互独立 的直接测量量
y x u x1 1
2

u (y ) =

( )

2

y + x 2

u x2

2

( )

2

y + x 3

u x3

2

( )

2

y +L + x N

u xN

2

( )

2

ur =

uy y

B.常用函数的不确定度传递公式 N=x±y ±
u (N) = u (2x ) + u (2y )
2 2 2

xk y m N= n z
N=Sinx

u( N)

u ( x ) u ( y) u ( z ) = k x +m y +n z N

u ( N ) = Cosx u ( x )
u (N) = u (x) x

N=Lnx

例1: 单摆测重力加速度的公式

4π 2 L g= T2

。经过多次测

量,得各直接测量量为T=(2.000±0.002)s, L=(100.0 ±0.1)cm,试求重力加速度g、ug和ur 。 解: g
4π2L 4 π 2 × 1 . 000 = = = 9 . 870 m / s 2 T2 2 . 000 2

由不确定度传递公式得:
u ( L ) 2 u (T ) 0.1 2 × 0.002 u r (g ) = = L + T = 100.0 + 2.000 g = 0.0022 = 0.22% u(g)=9.870×0.22%=0.022m/s2
2

u (g )

2

2

2

g=(9.870 ±0.022)m/s2

(p=68.3%)

例2:用电子天平测得一个圆柱体的质量m=80.36g,电 2: 子天平的最小指示值为0.01g,不确定度限值为0.02g。 用钢尺测量该圆柱体的高度H=H2-H1,其中H1=4.00cm, H2 =19.32cm,钢尺的分度值为0.1cm,估读1/5分度, 不确定度限值为0.01cm。用游标卡尺测量该圆柱体的 直径D(数据如下表),游标卡尺的分度值为0.002cm, 不确定度限值为0.002cm。 D/cm 2.014 2.020 2.016 2.020 2.018

2.018 2.020 2.022 2.016 2.020 试根据上述数据,计算该圆柱体的密度及其不确定度。

解:(1)圆柱体的质量m=80.36g
u (m =

)=
0 . 01
2

(u B 1 (m ))2
0 . 02 + 3

+ (u
2

(m ))2 B2

= 0 . 015 g

(2)圆柱体的高度H=H2-H1=(19.32-4.00)cm=15.32cm
u (H =

)=

2 (u

(H 1 ))2 B1
2

+ 2 (u

(H 1 ))2 B 2

2 × 0 . 02

2 0 . 01 + = 0 . 029 cm 3

(3)圆柱体的直径的平均值

1 D = 10

∑D
i =1

10

i

= 2 . 0184 cm

u

A

(D ) =

∑ (D
10 i=1

i

D

)

2

10 (10 1 )
2

= 0 . 00078

cm

u (D =

) = (u (D ))
A

+ (u

B2

(D ))
2

2

0 . 00078

2

0 . 002 + 3

= 0 . 0014 cm

(4)计算材料的密度ρ
m 4m 4 × 80.36 = 1.639g / cm 3 ρ= = = v πD 2 H 3.1416 × 2.0184 2 ×15.32

u (ρ ρ =

)=

u (m m
2

) 2


u (D + 2 D

) 2

2

u (H + H

) 2

2

0 . 015 80 . 36

0 . 014 + 2 2 . 0184

0 . 029 + 15 . 32

= 0 . 24 %

u (ρ ) u (ρ ) = × ρ = 0.24 % × 1 .639 = 0.0039 g / cm 3 ≈ 0 .004 g / cm 3 ρ ρ ± u (ρ ) = (1.639 ± 0.004 )g / cm 3 = (1 .639 ± 0.004 )× 10 3 kg / m 3

三、有效数字及其运算规则
1.有效数字的一般概念 有效数字的一般概念
可靠数字和可疑(欠准确)数字合起来的值,称为有效数字。 例:
3 4 5

5.23cm

2.有效数字的基本特性 2.有效数字的基本特性
有效数字的位数与仪器精度(最小分度值)有关,也与被测量的 大小有关。 例:用千分尺(最小分度值0.01mm),测量某物体的长度读 数为4.834mm,4位有效数字;用精度为0.02mm的游标 卡尺来测量,其读数为4.84mm ,3位有效数字。

用同一仪器测量大小不同的被测量,被测量越大,测量结果的 有效位数越多。 有效数字的位数与小数点的位置无关,单位换算时有效数字 的位数不应发生变化。
& & & 例:L= 5 .2 3 cm = 52 . 3 mm = 0 .052 3 m

3位

注意: 用以表示小数点位置的“0”不是有效数字, “0”在数字中间 或 数字后面都是有效数字不能随意增减。
& & 5 . 2 3 cm = 5 . 2 3 × 10
4

um

3.有效数字与不确定度的关系 有效数字与不确定度的关系 规定不确定度的有效位数只取1位,任何测量结果, 必须与之对齐。 例:

ρ ± u(ρ) = (1.639± 0.004)g / cm3 = (1.639± 0.004)×103 kg / m3 ρ ± u (ρ ) = (1.639 ± 0.0039 )g / cm 3 ρ ± u (ρ ) = (1.6394 ± 0.004 )g / cm 3
×

×

2.有效数字的运算规则 有效数字的运算规则 1)加、减的运算规则 加 最后结果的欠准确数与参与运算的诸数中最 先出现欠准确数位置对齐。 例: 325.7-16.78=308.9 325.7 - 16.78 308.92

2) 乘除法 最后结果的有效数字的位数与参与运算诸数中 有效数字位数最少的那个相同。 例:2.35×2.1=4. 9 2.35 × 2.1 235 470 4.935

3) 乘方、开方 乘方、 最后结果的有效数字位数与被乘方、开方数的有效 数字位数相同。 例: 200 = 14 . 1 4) 对数和三角函数 对某测量值x取一函数值,而x的有效位数已知,可通 过改变x的末位数的一个单位,并观察函数值的变 化,以决定原来函数值的位数。 例:x=206′求Sinx ∵Sin 207′=0.34393 和 Sin 205′=0.34339

∴ Sin 206′=0.3436596946≈0.3437

注意: 注意:
常数项不算有效位数 中间过程可以多保留一位

例:3.78+4.543+3.785=8.323+3.785=12.108 =12.11

四、实验数据处理与作图要求
1. 列表法 (1)表格中各栏目(纵或横)所列物理量均应 标明其名称和单位; (2)表格中各物理量的排列应尽量与测量顺 序一致; (3)表格中所列的数据主要是原始数据,重 要的中间计算结果也列入表中; (4)有必要,还应记下测量仪器和规格。

例:自行设计测量钢珠直径的表格 一级螺旋测微计量程0-25mm
测量次数 初读数D’/mm 末读数D”/mm

最小刻度0.01mm
钢珠直径D=D”-D’/mm

1 2 3 … 8 平均值

0.004 0.003 0.004 … 0.003

1.672 1.670 1.670

1.668 1.667 1.666

1.670

1.667 1.6672≈1.667

2.作图法 作图法
图是表达实验数据变化规律的重要方法,也是进行实验数据处 理的重要方法。

作图规则: 作图规则:
(1)选用合适大小的坐标纸,一般是 20×25cm作图纸, 对应3~4位有效数字; (2)画出坐标轴和标度线,坐标比例取1、2、5; (3)自变量: x/单位,应变量 : y/单位 ; (4)实验数据点用“+”、“ ”、“ ”等表示; (5)作直线:相当于取平均值概念; (6)写出Y-X图(图名); Y2 Y1 K (7) 用A(X1,Y1)、B(X2,Y2) 求出斜率。 = X X
2 1

例:用惠斯登电桥测定铜丝在不同温度下的电阻值, 数据见下表。试求铜丝的电阻与温度的关系。
t/C R/ t/C R/ 15.5 54.9 3.207 24.0 26.5 31.1 35.0 40.3 45.0 49.7

2.807 2.897 2.919 2.969 3.0033.059 3.107 3.155

解:设铜丝电阻与温度为线性关系R=α+βt
由斜率求β ,由截距求α

(10.0,2.755)

铜丝电阻与温度曲线

在图上任取两点(t1,R1)、(t2,R2)代入公式R=α+βt得 R1=α+βt1 R2=α+βt2 斜率β和截距α,即
R 2 R 1 3.225 2.853 β= = 0.0101 / °C t 2 t1 60.0 20.0 t 2 R 1 t1R 2 60.0 × 2.853 20.0 × 3.225 α= = = 2.652 t 2 t1 60.0 20.0

或者α=R-βt=2.755-0.0101×10.0=2.654 ∴铜丝电阻与温度的关系为 R=2.652+0.0101t

3.逐差法 逐差法
逐差法是物理实验中处理数据常用的一种方法,这里只 讨论x是作等间距变化。 若要测量相邻两条条纹的间距,用平均值求解,并不合理。 平均值:
x =

(x 2 x 1 ) + (x 3 x 2 ) + L + (x 8 x 7 )
7
x1 x2 x1
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

逐差法的优点:是可以充分利用全部实验数据。

求平均值逐差法的公式
x =

x6 x7 x8

(x5 x1) + (x6 x2 ) +L+ (x8 x4 )
4× 4

设x与y之间的线性关系为:y=a+bx
斜率
b=
y x

∑ y n +i yi i= 1 2 = n 2 ∑ x n +i xi i= 1 2

n 2

截距
a = y bx =

∑yi b∑xi
i= 1 i= 1

n

n

n

由下表数据用逐差法法求弹簧的劲度系数K 例:由下表数据用逐差法法求弹簧的劲度系数 由下表数据用逐差法法求弹簧的劲度系数
mi/g Y/cm 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 2.00 4.01 6.05 7.85 9.70 11.85 13.75 16.02 17.86 19.94

解:

(11.85 2.00) + (13.75 4.01) + (16.02 6.05) + (17.86 7.85) + (19.94 9.70) y =
5 = 9.962cm

m=5.00g

5.00 ×10 3 × 9.794 K= ≈ 0.492 N / m 2 9.962 ×10
自行用逐差法的公式计算前面铜丝电阻与温度的线性关系式

4.线性回归法 线性回归法 1)最小二乘法原理 最小二乘法原理
偏差平方和取最小值

(x i x )2 → 极小值 即∑
i =1

n

2)一元线性回归 一元线性回归 若两物理量x,y满足线性关系即y=bx+a,利用最小 二乘法原理可得:
n 1 n ∑(xiyi) n ∑xi∑yi xyxy i=1 i=1 b = i=1 n = 2 n 1 x x2 2 2 ∑xi n (∑xi) i=1 i=1 n

a=

∑y
i=1

n

i

b i=1 = y bx n n

∑x

n

i

于是可得线性回归方程

xy x y y =( )x + (y bx) 2 x (x)
2

为检验线性拟合的好坏,定义相关系数

r=

xy x y (x x2 )( y y2 )
2 2

r 越接近1,x , y 之间的线性关系越好

例:

见作图法例子

∑x
i =1

9

i

= 322

∑y
i =1

9

i

= 27.123
9 2

∑ x i yi = 983.7914
i =1
n

9

∑ x i = 12843.9
i =1

n 1 n 27 ∑(xiyi) n ∑xi∑yi 983.7914 322×9 .123 i=1 i=1 β = i=1 n = ≈ 0.0101/o C 1 n 3222 2 2 12843.9 ∑xi n (∑xi) 9 i=1 i=1

27.123 0.0101×322 27.1233.252 α= b = = ≈ 2.652 n n 9 9 9
i i

∑y
i=1

n

∑x
i=1

n

∴ R=0.0101t+ 2.652

五、弯曲法测杨氏模量
1.杨氏模量及其测 量方法 一根长度为d、 厚度为a、宽度 为b的矩形梁, 两端自由地放在 一对平行的水平 刀口上,中点悬 挂一重物M,梁 中点下垂的距离 为ΔZ,则

d Mg Z = 4 Ea 3 b

3

弯曲法测杨氏模量
1.杨氏模量及其测量方法 1.杨氏模量及其测量方法 梁的杨氏模量定 义为:

d Mg E= 3 4a bZ

3

弯曲法测杨氏模量 2. 长度的测量
1)钢尺 钢尺 最小分度值为1mm, 测量长度时常可估读1/10分 度(0.1mm)或1/5分度(0.2mm) 2)游标卡尺 游标卡尺

弯曲法测杨氏模量
游标卡尺读数原理: 游标卡尺读数原理:
游标上p个分格的总长与主尺上(p-1)个分格的总长相等. 设y代表主尺上一个分格的长度,x代表游标上一个分格的 长度,则有

px=(p-1)y, x=(P-1)y/p

弯曲法测杨氏模量
游标卡尺读数原理: 游标卡尺读数原理: 以p=10的游标卡尺为例,主尺上一个分格长 y=1mm,那么游标上一个分格的长度是 x= (P-1)y/p =0.9mm 那么,主尺与游标上每个分格的差值是 δx=y-x=1.0-0.9=0.1mm δx=y-x=y-(P-1)y/p =y/p=0.1mm

弯曲法测杨氏模量
游标卡尺读数原理: 游标卡尺读数原理: 当游标卡尺合拢时,游标上的”0”线与主尺上 的”0”线重合,此时,游标上第一条刻线在主尺第一条 刻线的左面0.1mm处,游标上第二条刻线在主尺第二条 刻线的左面0.2mm处.

弯曲法测杨氏模量
游标卡尺读数原理: 游标卡尺读数原理: 如果在游标卡尺放进0.1mm的纸片, 游标就要向 右移动0.1mm,那么,游标上第一条刻线与主尺第一条 刻线重合,而游标上其他各条刻线都不与主尺任一条 刻线重合. 如果在游标卡尺放进0.2mm的纸片, 如图所 示:

弯曲法测杨氏模量
游标卡尺读数原理: 游标卡尺读数原理: 上述把游标等分为10个分格(即p=10)的游标卡尺 叫作”十分游标”. “二十分游标” δx=1.0-19/20=0.05mm

弯曲法测杨氏模量
游标卡尺读数原理: 游标卡尺读数原理: “二十分游标” δx=2.0-39/20=0.05mm

弯曲法测杨氏模量
游标卡尺读数原理: 游标卡尺读数原理: “五十分游标” δx=1.0-49/50=0.02mm

弯曲法测杨氏模量
游标卡尺正确读数 “五十分游标” δx=1.0-49/50=0.02mm
对齐

L=21.48mm=2.148cm

弯曲法测杨氏模量
2.长度的测量 2.长度的测量 3)千分尺(螺旋测微器) 千分尺( 千分尺 螺旋测微器) 螺旋套筒旋 转一周,螺杆前 进或后退)一个 螺距0.5mm。 套筒上刻有 50个分格,所以 套筒旋过1格分格 时,螺杆仅移动 0.01mm。

弯曲法测杨氏模量
千分尺(螺旋测微器)的读数 千分尺

4.0+0.183

4.5+0.187

1.5+0.478

弯曲法测杨氏模量 千分尺(螺旋测微器)的系统误差

测量前,应注意零读数,测量后,要从测量 值中减去零读数。

弯曲法测杨氏模量
2. 长度的测量 4)测微目镜
测微目镜一般作为光学仪器的附件使用,可安装在 移测显微镜、望远镜、测长仪等仪器上,也可以单 独使用。用来测量由光学系统所成实像的大小。

弯曲法测杨氏模量
测微目镜的使用

0 0

2 4 6 8 2 4 6 8

0

2

4

6

8

测量时,使目镜的一根十字叉丝逐次 和被测物体长度的两端点相重合。

弯曲法测杨氏模量
测微目镜的读数
30

0

2

4

6

8

20

鼓轮旋转一圈,竖线和叉丝移动1 mm; 鼓轮上有100个等分格,因此鼓轮每转1小 格,叉丝就移动0.01mm; 再估读一位,最小读数为 0.001mm。

弯曲法测杨氏模量
2. 长度的测量 5)霍尔位置传感器 霍尔位置传感器
B

霍尔器件

UH



I

UH=KIB

弯曲法测杨氏模量
2. 长度的测量 5)霍尔位置传感器 )
如果保持霍尔元件的电流I不变,而使其在一个均匀梯度的 磁场中移动时,则输出的霍尔电势差变化量为

dB U H = KI Z dZ

弯曲法测杨氏模量
3. 实验步骤 如讲义中所写。

弯曲法测杨氏模量
4. 实验注意点 1)霍尔位置传感器零点的调节。

弯曲法测杨氏模量
4. 实验注意点 1)霍尔位置传感器 零点的调节。

弯曲法测杨氏模量
4. 实验注意点 1)霍尔位置传感器 零点的调节。

弯曲法测杨氏模量
4. 实验注意点 2) 读数显微目镜的调节。

弯曲法测杨氏模量
5. 数据的处理
砝码质量 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 M/g 增加砝码 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z/mm 减少砝码 …. …. …. ….

弯曲法测杨氏模量
5. 数据的处理 可求得弯曲位移Z:
Z2-Z1, Z3-Z2,Z4-Z3,Z5-Z4,Z6-Z5,Z7-Z6, Z8-Z7,

不能简单地求Z 的平均值: Z=( Z2-Z1 + Z3-Z2 + Z4-Z3 + Z5-Z4 + Z6-Z5 +Z7-Z6 + Z8-Z7)÷7 =(Z8-Z1) ÷ 7,

弯曲法测杨氏模量
5. 数据的处理
砝码质量 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 M/g 增加砝码 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z/mm 减少砝码 …. …. …. ….

逐差法求Z
Z=( Z5-Z1+Z6-Z2+Z7-Z3+Z8-Z4)÷4, 注意此处的Z是砝码重量40g的弯曲位移量


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