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导数的概念与计算练习题带答案


导数概念与计算
1.若函数 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c ,满足 f '(1) ? 2 ,则 f '(?1) ? ( A. ?1 B. ?2 C.2 ) D.0

2.已知点 P 在曲线 f ( x) ? x4 ? x 上,曲线在点 P 处的切线平行于直线 3 x ? y ? 0 ,则点 P 的 坐标为( A. (0, 0) ) B. (1,1) C. (0,1) ) D. (1,0)

3.已知 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e 2 B.e C.

ln 2 2

D. ln 2

4.曲线 y ? e x 在点 A(0,1) 处的切线斜率为( A.1 B.2

) C. e D.

1 e

5.设 f0 (x) ?sin x , f1 ( x) ? f 0 '( x) , f 2 ( x) ? f1 '( x) ,…, f n ?1 ( x) ? f n '( x) ,n ? N ,则 f 2013 ( x) ? 等于( A. sin x ) B. ? sin x C. cos x D. ? cos x )

6.已知函数 f ( x) 的导函数为 f '( x) ,且满足 f ( x) ? 2 xf '(1) ? ln x ,则 f '(1) ? ( A. ?e B. ?1 C.1 D. e

7.曲线 y ? ln x 在与 x 轴交点的切线方程为________________. 8.过原点作曲线 y ? e x 的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为____________. 9.求下列函数的导数,并尽量把导数变形为因式的积或商的形式: (1) f ( x) ? ax ?

1 ? 2ln x x

(2) f ( x) ?

ex 1 ? ax 2

1 (3) f ( x) ? x ? ax2 ? ln(1 ? x) 2

(4) y ? x cos x ? sin x

(5) y ? xe1?cos x

(6) y ?

ex ? 1 ex ? 1

10.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 x ? ?1 时, 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ? x . x ?1

b 11.设函数 f ( x) ? ax ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 . x
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形 面积为定值,并求此定值.

12.设函数 f ( x) ? x2 ? e x ? xe x . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若当 x ? [?2, 2] 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

导数作业 1 答案——导数概念与计算
1.若函数 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c ,满足 f '(1) ? 2 ,则 f '(?1) ? ( A. ?1 选 B. 2.已知点 P 在曲线 f ( x) ? x4 ? x 上,曲线在点 P 处的切线平行于直线 3 x ? y ? 0 ,则点 P 的 坐标为( A. (0, 0) ) B. (1,1) C. (0,1) D. (1,0) B. ?2 C.2 ) D.0

解:由题意知,函数 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线的斜率等于 3,即 f′(x0)=4x3 0-1=3, ∴x0=1,将其代入 f (x)中可得 P(1,0) . 选 D. 3.已知 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e 2 B.e C. )

ln 2 2

D. ln 2

解:f(x)的定义域为(0,+∞) , f′(x)=ln x+1,由 f′(x0)=2, 即 ln x0+1=2,解得 x0=e. 选 B. 4.曲线 y ? e x 在点 A(0,1) 处的切线斜率为( A.1 B.2 ) C. e D.

1 e

解:∵y′=ex,故所求切线斜率 k=ex|x=0=e0=1. 选 A. 5.设 f0 (x) ?sin x , f1 ( x) ? f 0 '( x) , f 2 ( x) ? f1 '( x) ,…, f n ?1 ( x) ? f n '( x) ,n ? N ,则 f 2013 ( x) ? 等于( A. sin x ) B. ? sin x C. cos x D. ? cos x

解:∵f0(x)=sin x,f1(x)=cos x, f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,… ∴fn(x)=fn+4(x) ,故 f2 012(x)=f0(x)=sin x, ∴f2 013(x)=f′2 012(x)=cos x. 选 C. 6.已知函数 f ( x) 的导函数为 f '( x) ,且满足 f ( x) ? 2 xf '(1) ? ln x ,则 f '(1) ? ( A. ?e B. ?1 C.1 D. e )

1 解:由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ , x

∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. 选 B. 7.曲线 y ? ln x 在与 x 轴交点的切线方程为________________. 1 解:由 y=ln x 得,y′= ,∴y′|x=1=1,∴曲线 y=ln x 在与 x 轴交点(1,0)处的切线方程为 x y=x-1,即 x-y-1=0. 8.过原点作曲线 y ? e x 的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为____________. y0 ex0 解:y′=ex,设切点的坐标为(x0,y0)则 =ex0,即 =ex0,∴x0=1.因此切点的坐标为(1, x0 x0 e) ,切线的斜率为 e. 9.求下列函数的导数,并尽量把导数变形为因式的积或商的形式: (1) f ( x) ? ax ? (2) f ( x) ?

1 ? 2ln x x

ex 1 ? ax 2

1 (3) f ( x) ? x ? ax2 ? ln(1 ? x) 2
(4) y ? x cos x ? sin x ∵y=xcos x-sin x, ∴y′=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. (5) y ? xe1?cos x ∵y=xe1 ∴y′=e
-cos

x


-cos

1-cos x

+xe1

x

(sin x)=(1+xsin x)e1

-cos

x

.

(6) y ?

ex ? 1 ex ? 1

ex+1 -2ex 2 ex y= x =1+ x ∴y′=-2 x . 2= x e -1 e -1 (e -1) (e -1)2 10.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 x ? ?1 时, 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ? x . x ?1

解: (1)函数 f(x)的定义域为(-1,+∞) . f′(x)= -x 1 -1= x+1 x+1

f′(x)与 f(x)随 x 变化情况如下: x (-1,0) 0 (0,+∞)

f′(x) f(x)

+ ?

0 0

- ?

因此 f(x)的递增区间为(-1,0) ,递减区间为(0,+∞) . (2)证明 由(1) 知 f(x)≤f(0) . 即 ln(x+1)≤x 1 设 h(x)=ln (x+1)+ -1 x+1 1 1 x h′(x)= - 2= x+1 ?x+1? ?x+1?2 可判断出 h(x)在(-1,0)上递减,在(0,+∞)上递增. 1 因此 h(x)≥h(0)即 ln(x+1)≥1- . x+1 1 所以当 x>-1 时 1- ≤ln(x+1)≤x. x+1

b 11.设函数 f ( x) ? ax ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 . x
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形 面积为定值,并求此定值. 7 (1)解 方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3, 4

?2a-2=2, 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ ,于是? 2 x b 7 ?a+4=4,
2

b 1

? ?a=1, 3 解得? 故 f(x)=x- . x ?b=3. ?

(2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点, 3 3 1+ 2?(x-x0) 由 f′(x)=1+ 2知,曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=? , x ? x 0? 3 3 x0- ?=?1+ 2?(x-x0) 即 y-? . x x ? ? ? ?
0 0

6 6 0,- ?. 令 x=0 得,y=- ,从而得切线与直线 x=0 交点坐标为? x0? ? x0 令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0) . 6 1 - ?|2x |=6. 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 ? 2? x0? 0

故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值, 此定值为 6.

12.设函数 f ( x) ? x2 ? e x ? xe x . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若当 x ? [?2, 2] 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为(- ∞,+∞) , f′(x)=2x+ex-(ex+xex)=x(2-ex) ,

x
f '( x) f ( x)

(??,0)

0 0 极小

(0, ln 2)

ln 2
0 极大

(ln 2, ??)

递减

+ 递增

递减

所以,递增区间为 (0, ln 2) ,递减区间为 (??,0) 和 (ln 2, ??) . (2)由(1)可知

x
f '( x) f ( x)

?2

(?2,0)

0 0 极小

(0, ln 2)

ln 2
0 极大

(ln 2, 2)

2

递减

+ 递增

递减

因为, f (0) ? 1 , f (2) ? 4 ? e2 ? 2e2 ? 4 ? e2 ? 1 所以, f ( x)min ? f (2) ? 4 ? e2 故 m ? 4 ? e2 .


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