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6.3 等比数列(2)


第 6章
6.3

数列
等比数列

6.3 等比数列

创 设 情 境 兴 趣 导 入

6.3 等比数列

创 设 情 境 兴 趣 导 入

传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔,舍罕王为了表 彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏. 国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”,这位聪明的大臣说: “陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒,在第二个格子内 国王为什 放上2颗麦粒,在第三个格子内放上4颗麦粒,在第四个格子内放上8颗麦 么不能兑现他 粒,…,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的 2倍的规律, 对大臣的奖赏 放满棋盘的64个格子.并把这些麦粒赏给您的仆人吧”. 承诺? 国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔 麦粒. 计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放1粒,第二个格内放2粒,第 三个格内放4粒,第四个格内放8粒,……,国王很快就后悔了,因为他 发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不了他对这位大臣的奖赏承 诺. 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢? 各个格的麦粒数组成首项为1,公比为2的等比数列,大臣西萨?班?达 依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和.

6.3 等比数列
等比数列 ?an ? 的前n项和为

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an.

(1)

动 脑 思 考 探 索 新 知

由于an ? q ? an?1 , 故将(1)式的两边同时乘以q,得

qSn ? a2 ? a3 ? a4 ?

? an ? an?1

(2)

用(1)式的两边分别减去(2)式的两边,得

?1 ? q ? Sn ? a1 ? an?1 ? a1 ? a1 ? q n ? a1 ?1 ? q n ? . (3)
当 q ? 1时,由(3)式得等比数列?an ?的前n项和公式
a1 (1 ? q n ) Sn ? (q ? 1). (6.7) 1? q 知道了等比数列?an ?中的a1、n和q(q ? 1),

利用公式(6.7)可以直接计算 Sn.

6.3 等比数列

动 脑 思 考 探 索 新 知

a1 (1 ? q n ) Sn ? (q ? 1). 1? q
n 由于 a1q ? an?1 ? an q,

(6.7)

因此公式(6.7)还可以写成

Sn ?

a1 ? a n q (q ? 1). 1? q

(6.8)

当q=1时,等比数列的各项都相等,此时它的前n项和为
Sn ? na1.

(6.9)

6.3 等比数列

例5

写出等比数列1,?3,9,?27,…的前n项和公式

巩 固 知 识 典 型 例 题

并求出数列的前8项的和. 解 因为
a1 ? 1, q ? ?3 ? ?3, 1

刚才学习 了等比数列 求和公式哦

所以等比数列的前n项和公式为
1 ? [1 ? (?3)n ] 1 ? (?3)n Sn ? ? , 1 ? (?3) 4



1 ? (?3)8 S8 ? ? ?1640. 4

6.3 等比数列
9 4 211 , 例6 一个等比数列首项 ,末项为 ,各项的和为 36 4 9
求数列的公比并判断数列是由几项组成.

巩 固 知 识 典 型 例 题

9 4 211 an ? , Sn ? . 解 设该数列由n项组成,其公比为q,则 a1 ? , 4 9 36 9 4 ? ?q 211 4 9 ? , 于是 36 1? q
即 解得 q ? . 3
?9 4 ? 211(1 ? q ) ? 36 ? ? q ? ?4 9 ? 2
n ?1

9 ?2? 所以数列的通项公式为 an ? ? ? ? 4 ?3?

,

4 9?2? 于是 ? ? ? 9 4? 3?
解得 n=5.

n ?1



2 故数列的公比为 ,该数列共有5项. 3

6.3 等比数列
1 2 4 8 1.求等比数列 ,,,, 的前10项的和. 9 9 9 9

运 用 知 识 强 化 练 习

?12, ? 48.
S 4 =1,求 S8. 2.已知等比数列{ an }的公比为2,

48, ? 96.

6.3 等比数列

动 脑 思 考 探 索 新 知

复利计息法:将前一期的本金与利息的 和(简称本利和)作为后一期的本金来计算

利息的方法.俗称“利滚利”.

6.3 等比数列

巩 固 知 识 典 型 例 题

例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小王从银行货款20万元, 贷款期限为5年,年利率为5.76%. (1)如果5年后一次性还款,小王应偿还银行多少钱?(精确到0.000001万元); 解 货款第一年后的本利和为
20 ? 20 ? 5.76% ? 20(1 ? 0.0576) ? 1.0576 ? 20,

第二年后的本利和为
1.0576 ? 20 ? 1.0576 ? 20 ? 5.76% ? 1.05762 ? 20,

依次下去,从第一年后起,每年后的本利和组成的数列为等比数列
1.0576 ? 20,1.05762 ? 20,1.05763 ? 20,

通项公式为 an ? 1.0576 ? 20 ?1.0576n?1 ? 1.0576n ? 20
a5 ? 1.05765 ? 20 ? 26.462886

答 小王应偿还银行26.462886万元.

6.3 等比数列

巩 固 知 识 典 型 例 题

例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小王从银行货款20万元, 贷款期限为5年,年利率为5.76%. (2)如果每年一期,分5期等额还款(每期以相等的额度平均偿还本息),那 么小王每年偿还银行多少钱. 设小王每次应偿还银行a万元,则 第1次还款a万元,已还款数为a (万元); (万元); 第2次还款a万元,已还款数为 a ? a(1 ? 5.76%) (万元); 第3次还款a万元,已还款数为a ? a(1 ? 5.76%) ? a(1 ? 5.76%)2
2 3 第4次还款a万元,已还款数为 a ? a(1 ? 5.76%) ? a(1 ? 5.76%) ? a(1 ? 5.76%) (万元);

a ? a(1 ? 5.76%) ? a(1 ? 5.76%)2 ? a(1 ? 5.76%)3 ? a(1 ? 5.76%)4 第5次还款a万元,已还款数为
a(1 ? (1 ? 5.76%)5 ) a((1 ? 5.76%)5 ? 1) ? ? (万元); 1 ? (1 ? 5.76%) 5.76%

6.3 等比数列

巩 固 知 识 典 型 例 题

例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小王从银行货款20万元, 贷款期限为5年,年利率为5.76%. (2)如果每年一期,分5期等额还款(每期以相等的额度平均偿还本息),那 么小王每年偿还银行多少钱. 由于第5次将款还清,所以
a ((1 ? 5.76%)5 ? 1) ? 26.482886 5.76%

因此

a?

26.482886 ? 5.76% ? 4.716971(万元). 5 (1 ? 5.76%) ? 1

这类问题为等额分期付款模型.计算每期偿还本息的公式为

A ? i ? (1 ? i )n a? (1 ? i)n ? 1
其中,A为贷款本金,n为还款期数,i为期利率.

6.3 等比数列

1 243 a ? , a ? { a } 1. 在等比数列 n 中, 1 2 n 2 , S n ? 182,求q与n.

运 用 知 识 强 化 练 习

q ? 3,n ? 6.

3 129 ,求项数n. a ? ? , S ? a ? 6 , 4 2. n 等比数列 {an }中,1 4 32

n ? 7.

6.3 等比数列

理 论 升 华 整 体 建 构

等比数列的求和公式是什么?

.

a1 (1 ? q n ) Sn ? (q ? 1), 1? q a1 ? an q Sn ? (q ? 1). 1? q

6.3 等比数列

求 q 与 a3. 1.已知等比数列 {an }中, a 1 ? 2, S 3 ? 26.

自 我 反 思 目 标 检 测

q ? ?4,a3 ? 32或q ? 3,a3 ? 18.

2.等比数列 {an }的首项是6,第6项是 ?

3 255 ? , 这个数列的前多少项的和是 16 64

8.

6.3 等比数列

学习效果

自 我 反 思 目 标 检 测

学习行为
学习方法

6.3 等比数列

读书部分:阅读教材相关章节

继 续 探 索 活 动 探 究

书面作业:教材习题6.3A组(必做) 教材习题6.3B组(选做) 实践调查:解决生活中等比数 列求和的实际问题


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