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山西省太原市2018届高三3月模拟考试(一)数学(文)试题 Word版含答案


太原市 2018 年高三模拟试题(一) 数学试卷(文史类) 第I卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? y | y ? log 2 x, x ? 1? , B ? ? x | y ?

? ?

1 ? ? ,则 A B ? ( 1 ? 2x ?
D. ? )



A.

? 1? ? 0, ? ? 2?

B. ? 0,1?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

2. 设复数 z 满足 A. i

1? z ? i ,则 z 的共轭复数为( 1? z
C. 2i D. ? 2 i

B. ?i

2 3. 已知命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 ;命题 q : 若 a ? b ,则

1 1 ? ,则下列为真命题的是 a b



) B. p ? ?q C. ? p ? q ) D. ? p ? ? q

A. p ? q

4. 执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为(

A. 3 ?

1 log 2 3 2

B. log2 3

C. 3

D.2 )

5. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? a3 ? a10 ? 9 ,则 S9 ? ( A.3 B.9 C. 18 D.27 )

2x x2 6. 函数 f ? x ? ? x 的图像大致为( 4 ?1

A.

B.

C.

D.

7. 已知不等式 ax ? 2by ? 2 在平面区域 形成平面区域的面积为( A. 4 B. 8 C. ) 16

?? x, y ? | x ? 1且 y ? 1? 上恒成立,则动点 P ? a, b? 所
D.32

8.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F ,设 A, B 是抛物线上的两个动点, AF ? BF ?

2 3 AB ,则 3

?AFB 的最大值为(
A.

) C.

? 3

B.

3? 4

5? 6

D.

2? 3


9. 某多面体的三视图如图所示,则该多面体的各棱中,最长棱的长度为(

A. 6

B. 5

C. 2

D.1

10.已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? 零点,则 ? ? ( A. ) C.

? ?

??

?? ? ? ?? ? ?? ? 0 ? ,若 f ? 0 ? ? ? f ? ? ,在 ? 0, ? 上有且仅有三个 6? ?2? ? 2?

2 3

B. 2

14 3

D.

26 3

11.三棱锥 D ? ABC 中, CD ? 底面 ABC , ?ABC 为正三角形,若

AE / /CD, AB ? CD ? AE ? 2 , 则三棱锥 D ? ABC 与三棱锥 E ? ABC 的公共部分构成的几
何体的体积为( )

A.

3 9

B.

3 3

C.

1 3

D. 3

12.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 4x2 ? 2 ,设 g ? x ? ? f ? x ? ? 2x2 ,若

g ? x ? 的最大值和最小值分别为 M 和 m ,则 M ? m ? (
A.1 B.2 C. 3 D.4



第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 道,每小题 5 分,共 20 分. 13.若双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1? b ? 0 ? 的离心率为 2,则 b ? ___________. b2

14.函数 y ? ex ? sinx 在点 ? 0,1? 处的切线方程是 ___________. 15.在正方形 ABCD 中, M , N 分别是 BC , CD 的中点,若 AC ? ? AM ? ? AN ,则实数

? ? ? ? ___________.
* 16.已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? an ? an ?1 n ? N , n ? 2 , a1 ? 2018, a2 ? 2017 ,Sn 为数列 ?an ?

?

?

的前 n 项和,则 S100 的值为__________. 三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ?ABC 的内角为 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 (1)求角 B ; (2)若 b ?

a b c ? ? . cos C sin B sin B cos C

2 ,当 ?ABC 的面积最大值.

18.某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至 少投入一元钱.现统计了连续 5 天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:

售出水量 x (单位:箱) 收入 y (单位:元)

7 165

6 142

6 148

5 125

6 150

学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前 20 名, 获一等奖学金 500 元;综合考核 21-50 名,获二等奖学金 300 元;综合考核 50 名以后的不获 得奖学金.

(1)若 x 与 y 成线性相关,则某天售出 9 箱水时,预计收入为多少元? (2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖,且各自获一等奖和二等奖的可能性相同,求三人获得 奖学金之和不超过 1000 元的概率.

? ?a ? ? bx ? ,其中 b ? 附:回归方程 y

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

? ? x ? x?
n i ?1 i

2

? . ? ? y ? bx ,a

19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形,?BAD ? 600 , PA ? PD ? AD ? 2 , 点 M 在线段 PC 上,且 PM ? 2MC, N 为 AD 的中点. (1)求证: AD ? 平面 PNB ; (2)若平面 PAD ? 平面 ABCD ,求三棱锥 P ? NBM 的体积.

20.已知椭圆 C : 椭圆 C 上.

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左顶点为 A ,右焦点为 F2 ? 2,0? ,点 B 2, ? 2 在 a 2 b2

?

?

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 y ? kx ? k ? 0? 与椭圆 C 交于 E , F 两点, 直线 AE, AF 分别与 y 轴交于点 M , N , 在 x 轴上,是否存在点 P ,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有 ?MPN 为直角?若存在,求 出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 21. 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? ? 2 ? a ? x, g ? x ? ?
2

x ? 2. ex

(1)求函数 f ? x ? 的极值; (2)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e? ,方程 f ? x ? ? g ? x0 ? 在 ? 0, e? 上总有两个不相等的实数根, 求实数 a 的取值范围. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请把答 题卡上所选题目题号后的方框涂黑.

22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 过点 P ? a,1? ,其参数方程为 ?

? ? x ? a ? 2t ? ? y ? 1 ? 2t

( t 为参数,

a?R ) ,以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为

? cos2 ? ? 4cos? ? ? ? 0 .
(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求已知曲线 C1 和曲线 C2 交于 A, B 两点,且 PA ? 2 PB ,求实数 a 的值.

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? m ? 2x ?1 . (1)当 m ? ?1 时,求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (2)若 f ? x ? ? 2x ? 1 的解集包含 ? , 2 ? ,求 m 的取值范围. 4 试卷答案 一、选择题 1-5: AABDD 6-10: AADAC 11、12:BB 二、填空题 13.

?3 ?

? ?

3

14. 2 x ? y ? 1 ? 0

15.

4 3

16. 2016

三、解答题 17.解: (1)利用正弦定理得:

sin A cos C ? sin C ? , cos C sin B cos C

sin B cos C ? sin B sin C ? sin B cos C ? cos B sin B ,又 sinB ? 0 ,
所以 tan B ? 1, B ?

?
4



(2)由正弦定理得:

b ? sin B

2 ? 2 ? 2 R ,∴ R ? 1 , 2 2
2 ?1 . 2

? 1 2? S max ? ? 2 ? ? 1? ?? ? 2 2 ? ? ?

? ? 20 x ? ? 26 ,据此预算售出 8 箱水时,预计收入为 206 18.解: (1) 由题意可求得回归方程为 y

元;

x?

7?6?6?5?6 165 ? 142 ? 148 ? 125 ? 150 ? 6, y ? ? 146 , 5 5

?? b

? ? x ? x ?? y ? y ? 19 ? 0 ? 0 ? 21 ? 0
n i ?1 i i

?? x ? x?
n i ?1 i

2

1? 0 ? 0 ?1? 0

? ? 146 ? 20 ? 6 ? 26 ,∴ ? ? y ? bx ? 20, a

? ? 20 x ? ? 26 , y ? ? 20 ? 9 ? 26 ? 206 ,即某天售出 9 箱水的预计收益是 206 元; 当 x ? 9 时, y
(2)设事件 A 1 :甲获一等奖;事件 A2 :甲获二等奖;事件 B 1 :乙获一等奖,事件 B2 :乙获 二等奖, 事件 C1 :丙获一等奖;事件 C2 :丙获二等奖, 则总事件有:

? A1, B1,C1 ? , ? A1, B1, C2 ? , ? A1, B2 , C1 ? , ? A1, B1, C2 ? , ? A2 , B1, C1 ?, ? A2 , B1, C2 ?, ? A2 , B2 , C1 ?, ? A2 , B2, C2 ?
,8 种情况.甲、乙、丙三人奖金不超过 1000 的事件有 ? A2 , B2 , C2 ? 1 种情况,则求三人获得 奖学金之和不超过 1000 元的概率 P ?

1 . 8

19.解: (1)∵ PA ? PD, N 为 AD 的中点, ∴ PN ? AD , 又∵底面 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60 ,
0

∴ ?ABD 为等边三角形, ∴ BN ? AD ,又∵ PN ? BN ? N ,∴ AD ? 平面 PNB , ∵ PA ? PD ? AD ? 2 ,∴ PN ? NB ? 3 , 又∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ∴ PN ? NB ,∴ S ?PNB ? 平面 ABCD ? AD, PN ? AD ,

1 3 ? 3? 3 ? , 2 2

∵ AD ? 平面 PNB, AD/ / BC , ∴ BC ? 平面 PNB ,又 PM ? 2 MC ,

∴ VP ? NBM ? VM ? PNB ?

2 2 1 3 2 VC ? PNB ? ? ? ? 2 ? . 3 3 3 2 3

20.解: (1)依题意, c ? 2 ,∵点 B 2, ? 2 在 C 上, ∴

?

?

4 2 ? ? 1, a 2 b2
2 2 2

又∵ a ? b ? c ,∴ a2 ? 8, b2 ? 4 ,

x2 y 2 ? ? 1; ∴椭圆方程为 8 4
(2)假设存在这样的点 P ,设 P ? x0 ,0? , E ? x1, y1 ? ,则 F ? ? x1 , ? y1 ? ,

? y ? kx 2 2 2 2k ? 2 , ? ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 8 ? 0 ,解得 x1 ? , y1 ? ?x y2 2 ?1 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? ? 4 ?8
A ?2 2, 0 ,∴ AE 所在直线方程为 y ?
? ? ?, 2 ? ? 1 ? 1 ? 2k ? 2 2k ? 2 2k ? 1 ? 1 ? 2k 2 ? ? ? 2 2k , PM ? ? ? x0 , ? ? ? 1 ? 1 ? 2k 2 ? ? ? ? 2 2k , PN ? ? ? ? ? ? x0 , 1 ? 1 ? 2k 2 ? ? ? ? ?, ?

?

?

k 1 ? 1 ? 2k 2

? x ? 2 2 ?,

∴ M ? 0, ?

同理可得 N ? 0,

2 PM PN ? 0 ? x0 ?4 ? 0 ,

∴ x0 ? 2 或 x0 ? ?2 ,∴存在点 P ,使得无论非零实数 k 怎么变化,总有 ?MPN 为直角,点

P 坐标为 ? 2, 0 ? 或 ? ?2,0 ? .
21.解: (1) f ? ? x ? ?

? 2 x ? 1?? ?ax ? 1? , 1 ? 2ax ? ? 2 ? a ? ? x x

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递增, f ? x ? 无极值; ②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 0 ? x ?

1 ? 1? ?1 ? ,故 f ? x ? 在 ? 0, ? 递增, ? , ?? ? 递减, a ? a? ?a ?

1 1 ?1? f ? ? ? ln ? ? 1, a a ? a ?极大

综上所述, a ? 0 时, f ? x ? 无极值; a ? 0 , f ? (2) g ? x ? ?

1 1 ?1? ? ? ln ? ? 1. a a ? a ?极大

x 1? x ? 2, g ? ? x ? ? x ,令 g? ? x ? ? 0, x ? ? ??,1? ,g ? x ? 单增; x e e

1 ? ? x ? ? ??,1? g? ? x ? ? 0, g ? x ? 递减. x ? ? 0, e? 时, g ? x ? ? ? ?2, ? 2? . e ? ?
? ? ? ? 依题意, ? f ? ? ? ?
由f?

0?

1 ?1 a

3 ? 2e ?1? 2 ? ? ? g ? x ?max ,由 f ? e? ? 1 ? ae ? 2e ? ea ? ?2 ,得 a ? e 2 ? e , ?a? f ? e ? ? ?2

1 1 1 1 1 1 1 ?1? ? ? ln ? ? 1 ? ? 2 ,即 ln a ? a ? e ? 1 ,令 h ? a ? ? ln a ? a ? e ,可知 h ? a ? 单 a a e ?a? 1 1 3 ? 2e ? ? 1 ,得 a ? ? 0, e ? ,综上所述, 2 ? a ? e. a e e ?e

增,且 h ? e ? ? 1 ,∴ ln a ?

22.考点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线的参数方程中 t 的几何意义. 解: (1) C1 的参数方程 ?

? ? x ? a ? 2t ? ? y ? 1 ? 2t

,消参得普通方程为 x ? y ? a ? 1 ? 0 ,

C2 的极坐标方程为 r cos2 q ? 4cos q ? r ? 0 两边同乘 r 得 r 2 cos2 q ? 4r cos q ? r 2 ? 0 即 y2 ? 4x ;
? ?x ? a ? ? (2)将曲线 C1 的参数方程标准化为 ? ? y ? 1? ? ?


2 t 2 ( 为参数, a? ?R )代入曲线 C : y 2 ? 4x t 2 2 t 2
1 ?1 4a ? ? 0 ,得 a ? 0 , 2

1 2 t ? 2t ? 1 ? 4a ? 0 ,由 D ? ? 2 2

?

?

2

? 4?

设 A, B 对应的参数为 t1 , t2 ,由题意得 t1 ? 2 t2 即 t1 ? 2t2 或 t1 ? ?2t2 ,

t1 ? 2t2 ? ? 1 当 t1 ? 2t2 时, ? t1 ? t2 ? 2 2 ,解得 a ? , 36 ?t t ? 2 ?1 ? 4a ? ?12

? t1 ? ?2t2 ? 9 当 t1 ? ?2t2 时, ? t1 ? t2 ? 2 2 解得 a ? , 4 ?t t ? 2 ?1 ? 4a ? 1 2 ?
综上: a ?

1 9 或 . 36 4

23.考点:绝对值不等式 解: (1)当 m ? ?1 时, f ? x ? ? x ?1 ? 2x ?1 , ① x ? 1 时, f ? x ? ? 3x ? 2 ? 2 ,解得 1 ? x ? ②当

4 ; 3

1 1 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 2 ,解得 ? x ? 1 ; 2 2 1 1 ③当 x ? 时, f ? x ? ? 2 ? 3x ? 2 ,解得 0 ? x ? ; 2 2
综合①②③可知,原不等式的解集为 ? x | 0 ? x ?

? ?

4? ?. 3? ?3 ? ? ?

(2)由题意可知 f ? x ? ? 2x ? 1 在 ? , 2 ? 上恒成立,当 x ? ? , 2 ? 时, 4 4

?3 ?

? ?

f ? x ? ? x ? m ? 2x ?1 ? x ? m ? 2x ?1 ? 2x ?1 ? 2x ? 1 ,从而可得 x ? m ? 2 ,即
?2 ? x ? m ? 2 ? ?2 ? x ? m ? 2 ? x ,且 ? ?2 ? x ? max ? ?

11 , ? 2 ? x ?min ? 0 ,因此 4

? 11 ? m ? ? ? , 0? . ? 4 ?


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