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2014年高三第二次诊断性测验各学科参考答案及评分标准文科数学

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第二次诊断性测验

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 C 2 A
2

3 C

4 C

5 D

6 B

7 C

8 A

9 B

10 D

11 A

12 A

1.选 C.【解析】由 x ? 1 得 ?1 ? x ? 1 ,故 A ? ? ?1,1? ,∴ A ? B ? ? 0,1? . 2.选 A.【解析】∵ ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i , z1 ? z2 ? R 的充要条件是

ad ? bc ? 0 .
1 ? ?a1q ? 2, ?a1 ? 1 ?a1 ? ? 3.选 C.【解析】由题意得, ? 解得 ? ,? 2 ,又 an ? 0 , 2 3 ?q ? 2 ?q ? ?4 ?2a1q ? a1q ? 16. ?
∴?

?a1 ? 1 4 ,∴ a5 ? a1q ? 16 . ?q ? 2

4.选 C.【解析】 ,该几何体的直观图为右图所示 ∴V ?

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

5.选 D.【解析】∵ y ? f ? x ? ? x 是偶函数,∴ f ? ? x ? ? ? ? x ? ? f ? x ? ? x , ∴ f ? ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ,令 x ? 2 , f ? ?2 ? ? f ? 2 ? ? 4 ? 5 . 6.选 B.【解析】循环体执行第一次时: i ? 1, n ? 3 ;执行第二次时: i ? 2, n ? 10 ; 执行第三次时: i ? 3, n ? 5 ,∴输出 n ? 5 . 7.选 C.【解析】当向量 a, b, c 两两成 0? 角时, a ? b ? c ? a ? b ? c ? 5 ;当 a, b, c 两两 成 120? 角时, ∵ a ? b ? c ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c ? 4 , ∴ a ?b ?c ? 2
2 2 2 2

8.选 A. 【解析】 根据题意有 PA1 ? PA2 ? 2 3 ? A1 A2 ? 4 , ∴点 P 的轨迹是以 A1 ? ?2, 0 ? ,

A2 ? 2, 0 ? 为焦点,实轴长为 2a ? 2 3 的双曲线, b2 ? c 2 ? a 2 ? 1 ,点 P 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第二次诊断性测验文科数学答案第 1 页(共 9 页)

9.选 B.【解析】∵ f ? x ? 过 P ? 0,

? ? ?

3? 3 ? ? ? ,∴ sin ? ? ,又 ? ? ? ? ,∴ ? ? , ? ? 2 ? 2 2 2 3 ? 3?

∵ g ? x ? ? sin ? 2 ? x ? ? ? ?

? ?

??

2? ? ? 过 P ? 0, , ∴ ?2? ? ?? ? ? 2 ? ? ,∴ sin 3? 2 3? 3 ? ? ? ?

?

??

3

?

? 2 k? ?

?
3

,或 ?2? ?

?
3

? 2k? ?

2? ? ,即 ? ? ?k? ,或 ? ? ?k? ? ,又 ? ? 0 ,选 B. 3 6

10.选 D.【解析】∵ ∴ cos A ? ?

1 3 3 AB ? AC ? sin A ? , AB ? 1, AC ? 2 ,∴ sin A ? , 2 2 2

1 2 2 2 ,由 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos A ,得 BC ? 3 或 7 . 2
1 ,当 0 ? n1 ? n2 ? 1 时,有 log 2 n1 ? log 2 n2 ? 0 log 2 n

11.选 A.【解析】∵ log n 2n ? 1 ?

∴0 ?

1 1 log n 2n 的值越小, ? , 即, 当 0 ? n ? 1 时, 0.1 ? 0.2 ? 0.3 , n 越大, log 2 n1 log 2 n2

∴a ? b ? c. 12.选 A.【解析】设 P( x1 , y1 ), M ( x2 , y2 ) , N ( x3 , y3 ) ,由 PM 过焦点 F ,易得 x1 x2 ?

1 , 4

? 1 ? 1 1 ? 1 ? ,? ? , 同 理 Q? ,? ? , 将 P 点代入 直线方程 y1 y2 ? ?1 , 则 有 P ? y2 ? y3 ? ? 4 x2 ? 4 x3 ? 1 ? 4bx2 1 ? b?? ? ? c ? 0 , ? 4 x2c ? 0 , 有a? 两边同乘 4 x2 , 得a? ax ? by ? c ? 0 , 4 x2 y2 ? y2 ?

2 x2 ,所以 a ? 2by2 ? 4cx2 ? 0 ,同理 a ? 2by3 ? 4cx3 ? 0 ,故 y2 所求直线为 a ? 2by ? 4cx ? 0 .
又 y2 ? 2 x2 , ? y2 ?
2

二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 ?20 .【解析】依题意有 ?

? S9 ? 9a1 ? 36d ? 11 , ? S11 ? 11a1 ? 55d ? 9

两式相减得, 2a1 ? 19d ? ?2 ,∴ S20 ? 20a1 ? 190d ? ?20 . 14.填 5 .【解析】由图可知, ? 3x ? y ?max ? 3 ? 2 ? 1 ? 5 . 15.填 4 .【解析】根据题意有

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ,当 a ? 0, b ?0 时, ? ? 2 ? ,∴ ? , a b a b a b ab 4

∴ ab ? 4 ,即 ? ab ? min ? 4 ,此时, a ? b ? 2 .

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第二次诊断性测验文科数学答案第 2 页(共 9 页)

16.填 20? .【解析】设半径为 R 的球内接直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的上下底面外接圆的圆 心分别为 O1 , O2 ,则球心 O 在线段 O1O2 的中点处,连接 OO1 , OA, O1 A , 则 R ? OA ? OO1 ? O1 A ? 1 ? O1 A ,在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2, ?BAC ? 120? ,
2 2 2 2

2

∴ BC ? 2 3 ,

2 3 BC ? 2 ,∴ R ? 5 ,∴此球的 ? 2O1 A ,∴ O1 A ? 2sin ?BAC sin ?BAC
2

表面积等于 4? R ? 20? . 三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)在 Rt ?COB 中, CB ? 3 sin x , OB ? 3 cos x

OA ? DA tan 30? ? CB tan 30? ? sin x , AB ? OB ? OA ? 3 cos x ? sin x
f ? x ? ? AB ? BC ?

?

3 cos x ? sin x ? 3 sin x ? 3sin x ? cos x ? 3 sin 2 x
…6 分

?

3 3 ?? 3 ? ?? ? sin 2 x ? ,x ? ? 0, ? ?1 ? cos 2 x ? ? 3 sin ? ? 2x ? ? ? 2 2 6? 2 ? ? 3?
(Ⅱ)由 0 ? x ?

?
3

,0 ? x ?

?
4

?

?
3

,得 0 ? x ?

?
12

而 y ? f ? x? ? f ? x ?

? ?

??

? ? ?? ?? 3 ?? 3 ? ? 3 sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? 4? 6? 2 6? 2 4? ? ? ?

? ? ?? ? ?? 5? ? ? ? ? 3 ?sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? 3 ? 6 sin ? 2 x ? ?? 3 6? 6 ?? 12 ? ? ? ? ?
∵0 ? x ?

?

12 6 5? ? ? ∴ 2x ? 时, ymax ? 6 ? 3 ? ,即 x ? 12 2 24

,∴ 0 ? 2 x ?

?



5? 5? 7? , ? 2x ? ? 12 12 12
…12 分

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ AD ∥ BC ,∴ OC : OA ? BC : AD ? 2 , 又 BN ? 2 NA ,∴ NO ∥ BC ∥ AD 在 ?PAC 中,∵ OC : OA ? BC : AD ? 2 , CM ? 2MP ,∴ OM ∥ AP ∴平面 MNO ∥平面 PAD ; …6 分

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第二次诊断性测验文科数学答案第 3 页(共 9 页)

(Ⅱ)在 ?PAD 中, PA ? PD ? AD ? 2PD ? AD cos ?PDA ? 3
2 2 2

∴ PA2 ? AD2 ? PD2 ,即 PA ? AD ,又平面 PAD ⊥平面 ABCD ∴ PA ⊥平面 ABCD ,又由(Ⅰ)知 OM ∥ AP ,∴ MO ⊥平面 ABC 且 MO ?

2 2 3 AP ? 3 3

在梯形 ABCD 中, CD ? BC ? 2 AD ? 2 ,

?BAD ? 90? ,∴ AB ? 3 ,
1 AB ? BC ? 3 2 1 2 ∴几何体 M ? ABC 的体积 V ? MO ? S ? 3 3
∴ ?ABC 的面积 S ? 19.(本小题满分 12 分) 将 3 个红球,分别记为 a1 , a2 , a3 , 2 个黑球分别记为 b1 , b2 ,一次取 3 个球,共有如下

…12 分

a1 , a2 , a3 ; a1 , a2 , b1 ; a1 , a2 , b2 ; a1 , a3 , b1 ; a1 , a3 , b2 ; a2 , a3 , b1 ; a2 , a3 , b2 ; a1 , b1 , b2 ;
a2 , b1 , b2 ; a3 , b1 , b2 , 10 种情形
(Ⅰ)取出的 3 个球中有 2 个红球,有 a1 , a2 , b1 ;a1 , a2 , b2 ;a1 , a3 , b1 ;a1 , a3 , b2 ;a2 , a3 , b1 ;

a2 , a3 , b2 , 6 种情形,故概率为

6 3 ? ; 10 5

…6 分

(Ⅱ)取出的 3 个球中红球数多于黑球数, a1 , a2 , a3 ; a1 , a2 , b1 ; a1 , a2 , b2 ; a1 , a3 , b1 ;

a1 , a3 , b2 ; a2 , a3 , b1 ; a2 , a3 , b2 , 7 种情形,故概率为
20.(本小题满分 12 分)

7 . 10

…12 分

?c 2 ? ? 2 2 2 (Ⅰ)根据题意有 ? a 3 ,又 a ? b ? c ,解得 a ? 3, b ? 5, c ? 2 ? 2b ? 2 5 ?
∴椭圆 M 的方程为

x2 y2 ? ?1 9 5

…5 分

(Ⅰ)不妨设 F 为椭圆 M 的右焦点 ? 2, 0 ? 当直线 l1 的斜率 k1 存在时, l1 的方程为 y ? k1 ? x ? 2 ? ? k1 x ? m ? m ? ?2k1 ? …⑴,

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第二次诊断性测验文科数学答案第 4 页(共 9 页)

设 A ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,把⑴代入椭圆的方程,得关于 x 的一元二次方程:

? 5 ? 9k ? x
2 1

2

? 18mk1 x ? 9m 2 ? 45 ? 0 …⑵

?18mk1 9m 2 ? 45 , x1 x2 ? ∵ x1 , x2 是方程⑵的两个实数解,∴ x1 ? x2 ? …⑶ 5 ? 9k12 5 ? 9k12
又 y1 ? k1 ? x1 ? 2 ? , y2 ? k1 ? x2 ? 2 ? ∴ FA ?

? x1 ? 2? ? ? y1 ? 0?
2

2

? 1 ? k12 x1 ? 2 ,同理 FC ? 1 ? k12 x2 ? 2 ,
1 2

∴ FA ? FC ? 1 ? k1

?

2

? x x ? 2? x ? x ? ? 4
1 1

…⑷

把⑶代入⑷得, FA ? FC ? 1 ? k1

?

2

?18mk m ? 45 ?2 ? 95 ? 9k 5 ? 9k
2 2 1

1 2 1

? 4 …⑸

记 ?1 为直线 l1 的倾斜角,则 k1 ? tan ?1 ,由⑸知 FA ? FC ?

25 …⑹ 9 ? 4 cos 2 ?1 ? ? 5? 3?

当 l1 的斜率不存在时, ?1 ? 90? ,此时 A, C 的坐标可为 ? 2, ? 和 ? 2, ? ?

? ?

5? 3?

或 ? 2, ? ? 和 ? 2, ? ,∴ FA ? FC ?

? ?

5? 3?

? ?

5? 3?

25 …⑺ 9
25 …⑻ 9 ? 4 cos 2 ?1

由⑹⑺知,当直线 l1 的倾斜角为 ?1 时 FA ? FC ?

同理,记直线 l 2 的倾斜角为 ? 2 时 FB ? FD ?

25 …⑼ 9 ? 4 cos 2 ? 2

2 2 由 FA ? FC ? FB ? FD 得, cos ?1 ? cos ? 2 ,

0 ? ?1 ,?2 ? ? ,∴ ?1 ? ? 2 或 ?1 ? ? ? ?2 ,依题意 ?1 ? ? 2 ,∴ ?1 ? ? ? ?2
当 ?1 ? 90? 时, AC ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2
2

2

? 1 ? k12

? x1 ? x2 ?

2

? 4x1x2

? 1? k
?

2 1

2 2 ? ?18mk1 ? 9m2 ? 45 30 ?1 ? k1 ? 30 ?1 ? tan ?1 ? ?4 ? ? ? 2 ? 5 ? 9k12 5 ? 9k12 5 ? 9 tan 2 ?1 ? 5 ? 9k1 ?

30 …⑽ 9 ? 4 cos 2 ?1

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第二次诊断性测验文科数学答案第 5 页(共 9 页)

当 ?1 ? 90? 时, AC ? 2 ?

5 10 …⑾ ? 3 3
30 …⑿ 9 ? 4 cos 2 ?1

由⑽、⑾知当直线 l1 的倾斜角为 ?1 时, AC ?

同理, BD ?

30 30 ? …⒀ 2 9 ? 4 cos ?? ? ?1 ? 9 ? 4 cos 2 ?1
450sin 2?1 1 AC ? BD sin 2?1 ? 2 2 ? 9 ? 4 cos2 ? ?
1

由⑿、⒀知,四边形 ABCD 的面积为 S ?

令 g ?? ? ?

? 9 ? 4 cos ? ?
2

sin 2?

2

,∵ cos 2 ? ?

sin 2? 1 ? cos 2? ,∴ g ?? ? ? 2 2 ? 7 ? 2 cos 2? ?

? ?? 2 ? 2 cos 2? ? 1?? cos 2? ? 4 ? sin 2? 则 g ? ?? ? ? ? ? ? 3 ? ? 7 ? 2 cos 2? ?2 ? ? 7 ? 2 cos 2? ? ? ?
∵ 0 ? ? ? ? , ∴ 0 ? 2? ? 2? ,当 0 ? 2? ?

?

3 5? g ?? ? 递增,当 ? 2? ? 时, g ? ?? ? ? 0 , g ?? ? 递减, 3 3

,或

?

5? ? 2? ? 2? 时, g ? ?? ? ? 0 , 3

∴当 2? ?

? ?

3 ?? ?? ? ? ? ? ? 时, g ?? ? 取最大值,即 g ?? ?max ? g ? ? ? 6? 3? ? 6 ? 72
时, 四边形 ABCD 的面积 Smax ?

∴当 ? ?

?
6

25 3 4

…12 分

21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)当 a ? 1 时,令 g ? x ? ? ln x ? x ? 1 ,则 g ? ? x ? ?

1 1? x ?1 ? x x

当 0 ? x ? 1 时, g ? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时, g ? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? g ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上为减函数, ∴ g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 , …⑴, ∴ x ? 1 时, 0 ? ln x ? x ? 1 , (Ⅱ)已知 f ? x ? ?

ax ? 1 , a?R , ln x

x ?1 ? 1 ,故,由 x ? 1 , f ? x ? ? 1 成立; ln x

…5 分

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第二次诊断性测验文科数学答案第 6 页(共 9 页)

? 1 ? 1 1 a ln x ? ? a ? a ? ln ? 1? ? ? ? ax ? 1 ? ? x ? x …⑵ x ? 则 f ?? x? ? ? ? ? 2 2 ? ln x ? ? ln x ? ? ln x ?
由⑴知 x ? 0 时,且 x ? 1 时,

1 1 1 1 1 ? 0 ,故 ln ? ? 1 ,即 ln ? 1 ? …⑶ x x x x x

1 1 1 ?a ? ?1 ? a ? x x ? x ?0 ⅰ)当 0 ? a ? 1时,由⑵和 1 ? a ? 0 知 f ? ? x ? ? 2 2 ? ln x ? ? ln x ?

ax ? 1 的增区间为 ? 0,1? 和 ?1, ?? ? ln x 1 ax ? 1 ⅱ)当 a ? 1 时, ln a ? 0 ,由⑵,令 h ? x ? ? a ln x ? ? a ,则 h? ? x ? ? …⑷ x x2 1 1 1 令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? ,当 0 ? x ? 时, h? ? x ? ? 0 ;当 x ? 时, h? ? x ? ? 0 ; a a a
则当 0 ? a ? 1时,函数 f ? x ? ? ∴函数 y ? h ? x ? 的减区间为 ? 0, ? ,增区间为 ? , ?? ? a a

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

∴函数 h ? x ?min ? h ?

?1? ? ? ?a ln a ? 0 …⑸ ?a?

当 x ? e 时, h ? e ? ? a ln e ? 根据函数 y ? h ? x ? , x ? ?

1 1 ? a ? ? 0 …⑹ e e

?1 ? , ?? ? 为增函数,和函数零点定理及⑸⑹知,存在 ?a ?

?1 ? x0 ? ? , e ? ,使得 h ? x0 ? ? 0 ,若 x0 ? 1 ,由 h ?1? ? 0 ,得 a ? 1 ,这与 a ? 1 矛 ?a ?
盾,∴ 0 ? x0 ? 1 ,或 x0 ? 1 .当 0 ? x0 ? 1 时,对 ?x ? ?

?1 ? , x0 ? ,由函数 h ? x ? 在 ?a ?

?1 ? , ?? ? 为增函数,得 h ? x ? ? h ? x0 ? ? 0 ,从而 f ? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? f ? x ? , ? ?a ? ?1 ? x ? ? , x0 ? 为减函数,∴ a ? 1 不符合题意 ?a ?
当 x0 ? 1 时,对 ?x ? ?1, x0 ? ,同理, h ? x ? ? h ? x0 ? ? 0 ,从而 f ? ? x ? ? 0 , ∴函数 y ? f ? x ? , x ? ?1, x0 ? 为减函数,∴ a ? 1 不符合题意 ⅲ)当 a ? 0 时,由⑷和 x ? 0 ,知 h? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? h ? x ? , x ? 0 为减函数
乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第二次诊断性测验文科数学答案第 7 页(共 9 页)

当x?e

a ?1 a

? e ? 1 ,∴

1 a ?1 ,即 a ln x ? a ? 1 ? 0 ? 1 ,∴ ln x ? x a

∴ h ? x ? ? a ln x ?

1 ? a ? a ln x ? a ? 1 ,∴ f ? ? x ? ? 0 x

?1 ? aa ? ∴函数 y ? f ? x ? , x ? ? e , ?? ? 为减函数,∴ a ? 0 不符合题意; ? ?

综上可知,函数 f ? x ? ?

ax ? 1 的增区间为 ? 0,1? 和 ?1, ?? ? 时,实数 a ? ? 0,1? . …12 分 ln x

22.选修 4—1:几何证明选讲 (Ⅰ)连接 DE ,因为四边形 ACED 是圆的内接四边形, 所以 ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA ,

BE BD , ? AB BC 又 AB ? 2BE ,所以 BC ? 2BD …5 分 BE ED (Ⅱ)由(Ⅰ) ?DBE ∽ ?CBA ,知 , ? AB AC 又 AB ? 2BE ,∴ AC ? 2DE , ∵ AC ? 2 ,∴ DE ? 1 ,而 CD 是 ?ACB 的平分线 ∴ DA ? 1 ,设 BD ? x ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC
所以 ?DBE ∽ ?CBA ,即有 即 x ? x ? 1? ?

1 1 ,解得 x ? 1 ,即 BD ? 1 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1? ? ? 2 ?2 ?

…10 分

23.选修 4-4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 圆心到直线的距离为 d ? 圆 C 的方程是 x ? y ? 1
2 2

0?0? 2 12 ? 12

? 1 ,等于圆半径,
…5 分

∴直线 l 与圆 C 的公共点个数为 1 ; (Ⅱ) 圆 C 的参数方程方程是 ? ∴ 4x
2

? x ? cos ? ? x ? cos ? ? 0 ? ? ? 2? ? ∴曲线 C ? 的参数方程是 ? ? y ? sin ? ? y ? 2sin ?

+xy ? y 2 ? 4cos 2 ? ? cos ? ? 2sin ? ? 4sin 2 ? ? 4 ? sin 2?
?
4
或? ?

当? ?

5? 2 2 时, 4 x +xy ? y 取得最大值 5 4
? 2 ? ? ? 2 ? 2 , 2? ? 或? ?? 2 ,? 2 ? ? ? ? ? ?
…10 分

此时 M 的坐标为 ?

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24.选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)∵ f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? x ? 2 ? x . 因此只须解不等式 x ? 2 ? x ? 2 . 当 x ? 0 时,原不式等价于 2 ? x ? x ? 2 ,即 x ? 0 . 当 0 ? x ? 2 时,原不式等价于 2 ? 2 ,即 0 ? x ? 2 . 当 x ? 2 时,原不式等价于 x ? 2+x ? 2 ,即 x =2 . 综上,原不等式的解集为 ? x | 0 ? x ? 2? . (Ⅱ)∵ f (ax) ? af ( x) ? ax ? 1 ? a x ? 1 又 a ? 0 时, ax ? 1 ? a x ? 1 ? ax ? 1 ? ?ax ? a ? ax ? 1 ? ax ? a ? a ? 1 ? f (a ) ∴ a ? 0 时, f (ax) ? af ( x) ? f (a ) . 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分. …10 分 …5 分

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