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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修1_1_图文

第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.2 双曲线的简单几何性质 学习目标:1.掌握双曲线的简单几何性质.(重点)2.理解双曲线的渐近线 及离心率的意义.(难点) [自 主 预 习· 探 新 知] 1.双曲线的几何性质 标准方程 x2 y2 a2-b2=1 (a>0,b>0) y2 x2 a2-b2=1 (a>0,b>0) 图形 范围 对称性 顶点 性 质 离心率 渐近线 轴长 _________________ x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a ________________ 原点 坐标轴 ,对称中心:______ 对称轴:__________ (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 2a ,虚轴长=____ 实轴长=____ 2b c e=a>1 __________ b y=± ax a y=± __________ bx 思考:(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗? (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系? [提示] 值相同. 2 2 c b b 2 (2)e =a2=1+a2,a是渐近线的斜率或其倒数. (1)渐近线相同的双曲线有无数条,但它们实轴与虚轴的长的比 2.双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的____________ 对称中心 叫做双曲线的中心. (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长 的双曲线叫做等轴双曲线,其离心率 e= 2. ________________ [基础自测] 1.思考辨析 (1)双曲线虚轴的两个端点,不是双曲线的顶点. (2)等轴双曲线的渐近线是 y=± x. (3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长. ( ( ( ) ) ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× x2 2.双曲线16-y2=1 的顶点坐标是( A.(4,0),(0,1) C.(0,1),(0,-1) ) B.(-4,0),(4,0) D.(-4,0),(0,-1) B [由题意知,双曲线的焦点在 x 轴上,且 a=4,因此双曲线的顶点坐 标是(-4,0),(4,0).] x2 y2 3 3.若双曲线 4 -m=1(m>0)的渐近线方程为 y=± 2 x,则双曲线的焦点 坐标是________. 【导学号:97792087】 (- 7,0), ( 7,0) m [由双曲线方程得出其渐近线方程为 y=± 2 x,∴m x2 y2 =3, 求得双曲线方程为 4 - 3 =1, 从而得到焦点坐标为(- 7, 0), ( 7, 0). ] [合 作 探 究· 攻 重 难] 根据双曲线方程研究几何性质 x2 y2 (1)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为a2+b2=1,双曲线 C2 的方程 x2 y2 3 为a2-b2=1,C1 与 C2 的离心率之积为 2 ,则 C2 的渐近线方程为( A.x± 2y=0 C.x± 2y=0 B. 2x± y=0 D.2x± y=0 ) (2)求双曲线 nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐 标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. a2-b2 a2+b2 [解] (1)椭圆 C1 的离心率 e1= a , 双曲线 C2 的离心率 e2= a . a2-b2 a2+b2 由 e1 e2 = a · a = ?b? 2 1-?a? · ? ? ?b?2 1+?a? = ? ? ?b?2 1 3 b ? ? 解得 a =2, 所以a= 2, ? ? 2 2 2 ,所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y=± 2 x,即 x± 2y=0. [答案] A (2)把方程 nx2-my2=mn(m>0,n>0), x2 y2 化为标准方程m- n =1(m>0,n>0), 由此可知,实半轴长 a= m,虚半轴长 b= n,c= m+n, 焦点坐标为( m+n,0),(- m+n,0), m+n c 离心率 e=a= = m n 1+m. 顶点坐标为(- m,0),( m,0). n mn ∴渐近线的方程为 y=± x=± m x. m [规律方法] 由双曲线的方程研究几何 性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定 a,b 的值. (3)由 c2=a2+b2 求出 c 值,从而写出双曲线的几何性质. 提醒:求性质时一定要注意焦点的位置. [跟踪训练] 1.(1)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=± 2x 的是( 2 y A.x2- 4 =1 ) x2 2 B. 4 -y =1 2 x D.y2- 4 =1 y2 2 C. 4 -x =1 C [A、B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上,可排除;C、D 选项中双曲线 2 y2 2 x 1 2 的焦点在 y 轴上,令 4 -x =0,得 y=± 2x;令 y - 4 =0,得 y=± 2x.故选 C.] x2 y2 (2)若双曲线a2-b2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( A.y=± 2x 1 C.y=± 2x B.y=± 2x 2 D.y=± 2 x ?b?2 1+?a? = ? ? ) c B [在双曲线中,离心率 e=a= 双曲线的渐近线方程是 y=± 2x.] b 3,可得a= 2,故所求的 利用几何性质求双曲线方程 x2 y2 (1)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,点 A 在双曲 线的渐近线上,△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方 程为( ) x2 y2 B.12- 4 =1 2 y D.x2- 3 =1 x2 y2 A. 4 -12=1 x2 2 C. 3 -y =1 1 (2) 渐 近 线 方 程 为 y = ±2 x , 且 经 过 点 A(2 , - 3) 的 双 曲 线 方 程 为 _______

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