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2011届高考数学复习好题精选 一元二次不等式及其解法


一元二次不等式及其解法
题组一 x+5 1.不等式 ≥2 的解集是 (x-1)2 A. 1 C.[ ,1)∪(1,3] 2 B. D. 一元二次不等式的解法 ( )

解析: 法一: 首先 x≠1, 在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为 x+5≥2(x 1 -1)2,即 2x2-5x-3≤0,即(2x+1)(x-3)≤0,解得- ≤x≤3,故原不等式的解集 2 是. 法二:特殊值检验法.首先 x≠1,排除 B,显然 x=0,x=2 是不等式的解,排除 A、 C. 答案:D 2.解关于 x 的不等式 12x2-ax>a2(a∈R). 解:由 12x2-ax-a2>0?(4x+a)(3x-a)>0 a a ?(x+ )(x- )>0, 4 3 a a ①a>0 时,- < , 4 3 a a 解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 ②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a ③a<0 时,- > , 4 3 a a 解集为{x|x< 或 x>- }. 3 4

题组二

一元二次不等式的实际应用

3.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x2(0<x< 240), 若每台产品的售价为 25 万元, 则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最 低 ( ) B.120 台 D.180 台 产 量 是

A.100 台 C.150 台

解析:依题意得 25x≥3 000+20x-0.1x2,

整理得 x2+50x-30 000≥0,解得 x≥150 或 x≤-200, 因为 0<x<240,所以 150≤x<240,即最低产量是 150 台. 答案:C 4.某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销 售量为 1000 辆. 本年度为适应市场需求, 计划提高产品质量, 适度增加投入成本. 若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时 预计年销售量增加的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围 内? 解:(1)由题意得 y=×1000(1+0.6x)(0<x<1), 整理得 y=-60x2+20x+200(0<x<1).
? ?y-(1.2-1)×1000>0, (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有? ? ?0<x<1,
2 ? ?-60x +20x>0, 即? ?0<x<1. ?

1 解得 0<x< . 3 1 ∴投入成本增加的比例应在(0, )范围内. 3

题组三

不等式的恒成立问题

5.若不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是( A.a≥2 或 a≤-3 C.a>2
2

)

B.a>2 或 a≤-3 D.-2<a<2

解析:原不等式可化为(a+2)x +4x+a-1>0,显然 a=-2 时不等式不恒成立,所 以要使不等式对于任意的 x 均成立,必须有 a+2>0,且 ?<0,即
?a+2>0, ? ? ? ?16-4(a+2)(a-1)<0,

解得 a>2. 答案:C 6.(2010·宁波模拟)设奇函数 f(x)在上是单调函数,且 f(-1)=-1,若函数 f(x)≤t2-2at +1 对所有的 x∈都成立,当 a∈时,则 t 的取值范围是________. 解析:∵f(x)为奇函数,f(-1)=-1,

∴f(1)=-f(-1)=1. 又∵f(x)在上是单调函数, ∴-1≤f(x)≤1, ∴当 a∈时,t2-2at+1≥1 恒成立, 即 t2-2at≥0 恒成立, 令 g(a)=t2-2at,a∈,
?t2-2t≥0, ? ∴? 2 ?t +2t≥0, ? ?t≥2或t≤0, ? ∴? ? ?t≤-2或t≥0,

∴t≥2 或 t=0 或 t≤-2. 答案:(-∞,-2]∪{0}∪时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围. 解:(1)f(x)≥a 恒成立,即 x2+ax+3-a≥0 恒成立,必须且只需 ?=a2-4(3-a)≤0, 即 a2+4a-12≤0, ∴-6≤a≤2. a a2 (2)f(x)=x2+ax+3=(x+ )2+3- . 2 4 a ①当- <-2,即 a>4 时,f(x)min=f(-2)=-2a+7, 2 7 由-2a+7≥a 得 a≤ ,∴a∈?. 3 a2 a ②当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4 时,f(x)min=3- , 2 4 a2 由 3- ≥a,得-6≤a≤2.∴-4≤a≤2. 4 a ③当- >2,即 a<-4 时,f(x)min=f(2)=2a+7, 2 由 2a+7≥a,得 a≥-7,∴-7≤a<-4. 综上得 a∈.

题组四 8.不等式 x2-|x|-2<0 的解集是 A.{x|-2<x<2} C.{x|-1<x<1}

一元二次不等式的综合应用 ( B.{x|x<-2 或 x>2} D.{x|x<-1 或 x>1} )

解析:原不等式?|x|2-|x|-2<0?(|x|-2)(|x|+1)<0?|x|-2<0?-2<x<2. 答案:A

?x2-4x+3<0, ? 9.已知不等式组? 2 的解集是不等式 2x2-9x+a<0 的解集的子集,则实 ? ?x -6x+8<0

数 a 的取值范围是________.
? 2 ?x -4x+3<0, 解析:因为不等式组? 2 的解集是{x|2<x<3},设 f(x)=2x2-9x+a, ?x -6x+8<0 ? ?f(2)≤0, ? 解得 a≤9. 则由题意得? ? ?f(3)≤0,

答案:a≤9 10.已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 解:(1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所以 x1=1 与 x2=b 是 方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根,且 b>1.由根与系数的关系,得

?1+b=a, ? 2 ?1×b=a.

3

?a=1, ?a=1, ? ? 解得? 所以? ? ? ?b=2. ?b=2.

(2)所以不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0, 即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. ①当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 综上所述:当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?.


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