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江苏省响水中学高中数学 第二章《指数函数的图象与性质》导学案 苏教版必修1


江苏省响水中学高中数学 第二章《指数函数的图象与性质》导学案 苏教版必修 1

1.理解指数函数的概念和意义. 2.能画出指数函数的图象. 3.初步掌握指数函数的性质并会简单应用.

将一张厚度为 1 个单位的纸进行对折,对折一次后厚度变为原来的 2 倍,即纸的厚度变为 2 3 了 2 个单位;然后再将其对折,这样第二次对折 后纸的厚度变为了 2 ,第三次对折后变为了 2 , 假设可以无限次地对折.

问题 1:(1) 那么第 x 次后纸的厚度 y 与 x 的函 数解析式为 . (2) 一般地 , 函数 叫作指数函数 , 其中 x 叫自变量 , 函数的定义域 为

.

(3)判断一个函数是否是指数函数,一看底数是否是一个大于 0 且不为 1 的常数,二看自 变量 x 是否是在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数. 问题 2:指数函数的图象有何特点?有哪些性质? 函数 y=ax(0<a<1) y=ax(a>1)

图象

定义域 性 值域 质 过定点 单调性 在 R 上是减函数

在 R 上是增函数

问题 3:为什么指数函数的概念中规定 a>0,且 a≠1? x 因为当 a=0 时,a 总为 或 ;
1

当 a<0 时,如 a=-2,x= ,a =(-2 = 当 a=1 时,a 恒等于 因此规定 a>0,且 a≠1.
x x

x

显然没意义;

,没有研究必要.

问题 4:(1)函数 y=2 与函数 y=( ) 的图象有什么特点? (2)函数 y=a (a>0,a≠1)随着底数 a 的变化,图象有什么变化?随着底数取值的不同,函 数的增长情况也不同,你能得出什么规律呢? x x+m (3)y=a 与 y=a (a>0,a≠1,m∈R)之间有什么关系? (1)函数 y=2 的图象与函数 y=( ) 的图象关于
x x x

x

对称.

(2)当 a>1 时,底数越大,图象 得越快,在 y 轴的 侧,图象越靠近 y 轴; 当 0<a<1 时,底数越小,图象 得越快,在 y 轴的 侧,图象越靠近 y 轴. x+m x (3)y=a 的图象可以由 y=a 的图象变换而来. x x+m 当 m>0 时,y=a 的图象向 移动 m 个单位得到 y=a 的图象. x x+m 当 m<0 时,y=a 的图象向 移动|m|个单位得到 y=a 的图象.

1.下列以 x 为自变量的函数中属于指数函数的是 ①y=(a+1)x(a>-1 且 a≠0,a 为常数); ②y=(-3)x; ③y=-2x; ④y=3x+1. -x 2.函数 y=2 的图象是图中 的 .

.

3.函数 y=

的定义域为

.

4.已知函数 f(x)=a +b(a>0,且 a≠1).若 f(x)的图象如图所示,求 a,b 的值.

x

2

指数函数的概念 2 x 函数 y=(a -3a+3)a 是指数函数,求 a 的值.

对指数函数图象和性质的简单应用 x 若函数 y=a +b-1(a>0,且 a≠1)的图象经过第二、三四象限,则一定有 ①0<a<1,且 b>0; ②a>1,且 b>0; ③0<a<1,且 b<0; ④a<1,且 b>0. (2)比较下列各题中两个值的大小; ①3π 与 33.14; ②0.99-1.01 与 0.99-1.11; ③1.40.1 与 0.90.3.

.

指数函数的实际应用问题 某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每期利率为 r,设存期是 x 的本利和(本金加上 利息)为 y 元. (1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式; (2)如果存 入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利和.

若函数 y=(4-3a) 是指数函数,则实数 a 的取值范围为

x

.

(1)函数 y=a +3(a>0,且 a≠1)的图象过定点 (2)设 y1=4 ,y2=8
0.9 0.48

x-3

. .

,y3=( )

-1.5

,则三者间的大小关系为

3

(3)指数函数①y=a ,②y=b ,③y=c ,④y=d 的图象如图所示,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系 是

x

x

x

x

.

某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克,如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%,粮食总产 量平均每年增长 4%,那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食,求 y 关于 x 的函数解析式.

1.函数 f(x)=a 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是

x-b

.

①a>1,b<0; ②a>1,b>0; ③0<a<1,b>0; ④0<a<1,b<0. x 2 2.若集合 A={y|y=2 ,x∈R},B={y|y=x ,x∈R},则 A B. x 3.指数函数 y=(2-a) 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围是 4.已知指数函数 y=f(x)的图象过点 M(3,8),求 f(4),f(-4)的值.

.

(2012 年·四川卷)函数 y=a - (a>0,且 a≠1)的图象可能是(

x

).

考题变式(我来改编):

4

第 2 课时 指数函数的图象与性质 知识体系梳理 问题 1:(1)y=2 (x∈N )
x *

(2)y=a (a>0,且 a≠1) R

x

问题 2:R (0,+∞) (0,1) 问题 3:0 没有意义 1 问题 4:(1)y 轴 (2)上升 右 下降 左 (3)左 右 基础学习交流 1.① 根据指数函数的定义判断,填①. 2.② y=2 =( ) . 3.[3,+∞) 由题意可知 x-3≥0,即 x≥3. 4.解由图象得,函数 f(x)过点(2,0),(0,-2),所以 重点难点探究 探究一:【解析】由 y=(a -3a+3)a 是指数函数,可得
2

-x

x

解得

x

解得

∴a=2.
【小结】判断一个函数是否为指数函数或求指数函数中未知数的值或取值范围时,要紧 扣指数函数的概念,特别要注意底数的取值范围. 探究二:

5

【解析】(1)根据题意画出函数 y=a +b-1(a>0,且 b<0)的大致图象 (如图), 所以 0<a<1 且 1+b-1<0,即 0<a<1 且 b<0,故填③. (2)①构造函数 y=3 , 由 a=3>1,知 y=3 在(-∞,+∞)上是增函数. 而 π >3.14,故 3 >3
x
π 3.14

x

x

x

.

②构造函数 y=0.99x,由 0<a=0.99<1,
知 y=0.99 在(-∞,+∞)上是减函数. 而-1.01>-1.11,故 0.99
-1.01

<0.99-1.11.
x x

③分别构造函数 y=1.4x 与 y=0.9x.
由 1.4>1,0<0.9<1,知 y=1.4 与 y=0.9 由 0.1>0,知 1.4 >1.4 =1. 由 0.3>0,知 0.9 <0.9 =1, 而 1.4 >1>0.9 ,故 1.4 >0.9 . 【答案】(1)③ 【小结】 (1)如果本题改为函数 y=a +b-1(a>0 且 a≠1)过第一、 三、 四象限那么参数 a,b 会取怎样的值呢?事实上,应满足 a>1 且 b<0.当然本题也可按照我们后面将要研究的图象平 移变换的规律来考虑.(2)注意③的指数式的底数和幂指数都不同,可考虑引入中间值进行比 较. 探究三:【解析】(1)已知本金为 a 元,利率为 r,则 1 期后的本利和为 y=a+a×r=a(1+r); 2 期后的本利和为 y=a(1+r)+a(1+r)·r=a(1+r) ; 3 期后的本利和为 y=a(1+r) ; …
3 2 0.1 0.3 0.1 0.3 0.3 0 0.1 0

在(-∞,+∞)上分别为增函数和减函数.

x

x 期后的本利和为 y=a(1+r)x,x∈N*.
(2) 将

a=1000



,r=2.25%,x=5











y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1.117.68(元),
即 5 期后本利和约为 1117.68 元. 【小结】指数 型函 数,形如 y=ka (k∈R,a>0 且 a≠1)的函数称为指数型函数,它是一个 常见的指数增长模型,如设原有量为 N,平均增长率为 P,则经过时间 x 后的总量为 y=N(1+P) . 思维拓展应用 应用一:{a|a< 且 a≠1} y=(4-3a) 是指数函数,需满足:
6
x x x

解得 a< 且 a≠1,

故 a 的取值范围 为{a|a< 且 a≠1}. 应用二:(1)(3,4) (2)y1>y3>y2 (3)b<a<1<d<c
x x-3

(1)(法一)因为指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象过定点(0,1),所以在函数 y=a +3 中, 令 x=3 得 y=1+3=4,所 以函数的图象过定点(3,4). (法二)将原函数变形,得 y-3=a ,然后把 y-3 看作是(x-3)的指数函数,所以当 x-3=0 时,y -3=1,即 x=3,y=4,所以原函数的图象过定点(3,4). (2)y1=4 =2 ,y2=8
0.9 1.8 0.48

x-3

=21.44,y3=( )-1.5=21.5. 因 为 函 数 y=2x 在 R 上 是 增 函 数 , 且

1.8>1.5>1.44,所以 y1>y3>y2. (3)作直线 x=1,与四个图象分别交于 A、B、C、D 四点,由于 x=1 代入各个函数可得函数 值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知 b<a<1<d<c.

应用三:设该乡镇现在人口数量为 M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M 千克. 1 年后,该乡镇粮食总产量为 360M(1+4%)千克,人口数量为 M(1+1.2%), 则人均一年占有粮食为 千克,

2 年后,人均一年占有粮食为 ……

千克,

x 年后,人均一年占有粮食为 y=

千克,

即所求函数解析式为 y=360( 基础智能检测 1.④ 2.?

) (x∈N ).

x

*

由图知函数 f(x) 是减函数 ,∴0<a<1. 函数 f(x)=a
x

x-b

的图象是由 y=a 向左平移所
2

x

得,∴-b>0,即 b<0,故选④. 集合 A 表示函数 y=2 的值域为(0,+∞),集合 B 表示函数 y=x 的值域为[0,+∞),所以

7

A? B.
3.(1,2) 由题意可知,0<2-a<1,即 1<a<2. 4.解:设指数函数是 y=a (a>0,且 a≠1), 则有 8=a ,∴a=2,∴y=2 . 从而 f(4)=2 =16,f(-4)=2 = . 全新视角拓展 D (法一)当 a> 1 时,函数单调递增,由于 0< <1,函数图象应该向下平移不超过 1 个单位,
4 3

x

x

-4

根据选项排除 A、 B;当 0<a<1 时有 >1,此时函数图象向下平移超过 1 个单位,也即是与 y 轴 交点应该在 x 轴下方,所以选择 D. (法二)由解析式知函数图象过点(-1,0),所以选 D. 思维导图构建 减函数 增函数 R (0,1)

8


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