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2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)(数学文)


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2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第Ⅰ卷时, 每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 用 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无 ..... ........ 效. . 4.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 球的表面积公式

P(A + B) P ( A) + P ( B ) =
如果事件 A 、 B 相互独立,那么

S=4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P A ? B) P ( A) ? P ( B ) ( =
1+2+…+n=

n(n+ 1) 2

V=

12 + 22 + …+ n 2 = 13 + 23 + …+ n 2 =

(n + 1)(2 n + 1) 6

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径

n 2 (n + 1) 2 4

第Ⅰ卷(选择题共 55 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 55 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.若 A = x x = 1}, B = x x ? 2 x ? 3 = 0},则 A ∩ B =
2 2

{

{

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A. {3}

B. { } 1

C. ?

D. {? 1}

2.椭圆 x 2 + 4 y 2 = 1 的离心率为

A.

3 2

B.

3 4

C.

2 2

D.

2 3

3.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a 2 = 1, a 3 = 3, 则S 4= A.12 B.10 C.8 D.6

4.下列函数中,反函数是自身的函数为 A. f ( x) = x 2 , x ∈ [0, +∞ ) C. f ( x) = e x , x ∈ ( ?∞, +∞) B. f ( x) = x3 , x ∈ ( ?∞, +∞ ) D. f ( x ) =

1 , x ∈ (0, +∞) x

5.若圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y = 0 的圆心到直线 x ? y + a = 0 的距离为 A.-2 或 2

2 ,则 a 的值为 2
D.-2 或 0

B.

1 3 或 2 2

C.2 或 0

6.设 l,m, n 均为直线,其中 m, n 在平面 a 内,则“ l ⊥ a ”是“ l ⊥ m 且 l ⊥ n ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 7.图中的图象所表示的函数的解析式为 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3 | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 3 3 B. y = ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 3 C. y = ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2
A. y = D. y = 1? | x ? 1 |
2

(0≤x≤2)

8.设 a>1,且 m = log a ( a + 1), n = log a ( a ? 1), p = log a (2a ) ,则 m, n, p 的大小关系为 A.n>m>p B.m>p>n C.m>n>p D.p>m>n

?2 x ? y + 2 ≥ 0 ? 9.如果点 P 在平面区域 ? x + y ? 2 ≤ 0 上,点 Q 在曲线 x 2 + ( y + 2) 2 = 1 上,那么 | PQ | 的 ? 2y ?1 ≥ 0 ?
最小值为

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A.

3 2

B.

4 5

?1

C. 2 2 ? 1

D. 2 ? 1

10.把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角,折成直二面角后,在 A,B,C,D 四点所在的球面上,B 与 D 两点之间的球面距离为 A. 2π B. π C.

π
2

D.

π
3

11. 定义在 R 上的函数 f(x) 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期. 若将方程 f (x) =0 在闭区间[-T,T]上的根的个数记为 n,则 n 可能为 A.0 B.1 C.3 D.5

第Ⅱ卷(非选择题 共 95 分)
注意事项: 注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试卷上书写作答无效。 ... .......... 小题, 把答案填在答题卡的相应位置。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置。 填空题: 12.已知 (1 ? x ) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x + a5 x ,则 ( a0 + a2 + a4 )( a1 + a3 + a5 ) 的
5 2 3 4 5

值等于



13.在四面体 O ? ABC 中, OA = a , OB = b , OC = c ,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中 点,则 OE =

uuu r

uuu r

uuur

uuu r

(用 a, b, c 表示) .

14. 在正方体上任意选择两条棱, 则这两条棱相互平行的概率 为______________. 15.函数 f ( x ) = 3sin(2 x ?

π
3

) 的图象为 C ,如下结论中正确

的是____________(写出所有正确结论的编号) . ①图像 C 关于直线 x = ②图像 C 关于点 (

2π , 0) 对称; 3 π 5π ③函数 f ( x ) 在区间 ( ? , ) 内是增函数; 12 12
④由 y = 3sin 2 x 的图象向右平移

11 π 对称; 12

π

3

个单位长度可以得到图像 C .

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小题, 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 79 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题: 16. (本小题满分 10 分) 解不等式 (| 3 x ? 1| ?1)(sin x ? 2) > 0 .

17. (本小题满分 14 分) 如图,在六面体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形

A1 B1 C1 D1 是边长为 1 的正方形, DD1 ⊥ 平面 A1 B1 C1 D1 , DD1 ⊥ 平面 ABCD , DD1 =
2. (1)求证: A1 C1 与 AC 共面, B1 D1 与 BD 共面; (2)求证:平面 A1 ACC1 ⊥ 平面 B1 BDD1 ; (3)求二面角 A ? BB1 ? C 的大小(用反三角函数值表示) .

18. (本小题满分 14 分) 设 F 是抛物线 G : x 2 = 4 y 的焦点. (1)过点 P (0,-4)作抛物线 G 的切线,求切线方程; (2)设 A 、 B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA ? FB =0,延长 AF , BF 分 别交抛物线 G 于点 C 、 D ,求四边形 ABCD 面积的最小值.

uuu uuu r r

本卷第 4 页(共 13 页)

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19. (本小题满分 13 分) 在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有 6 只果蝇的笼子里,不慎混 入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇) ,只好把笼子打开一个小孔, 让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔. .. (1)求笼内恰好剩下 1 只果蝇的概率; .... (2)求笼内至少剩下 5 只果蝇的概率. ....

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = ? cos x ? 4t sin
2

x x cos + 4t 3 + t 2 ? 3t + 4 ,x ∈ R , | t |≤ 1 , f ( x) 其中 将 2 2

的最小值记为 g (t ) . (1)求 g (t ) 的表达式; (2)讨论 g (t ) 在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

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21. (本小题满分 14 分) 某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1 ,以后 每年交纳的数目均比上一年增加 d ( d > 0) ,因此,历年所交纳的储备金数目 a1 , a2 ,... 是一 个公差为 d 的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计 算复利,这就是说,如果固定年利率为 r (r > 0) ,那么,在第 n 年末,第一年所交纳的储备 金就变为 a1 (1 + r )
n ?1

,第二年所交纳的储备金就变为 a2 (1 + r )

n?2

,... ,以 Tn 表示到第 n 年末

所累计的储备金总额. (1)写出 Tn 与 Tn ?1 ( n≥2) 的递推关系式; (2)求证: Tn = An + Bn ,其中 { An } 是一个等比数列, {Bn } 是一个等差数列.

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数学(文科) 数学(文科)试题参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 55 分。 选择题:本题考查基本知识和基本运算。 1.D 11.D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 16 分。 填空题:本题考查基本知识和基本运算。 12.-256 三.解答题 16.本小题主要考查三角函数的基本性质,含绝对值不等式的解法,考查基本运算能力.本 小题满分 10 分. 解:∵任意 x ∈ R , sin x ? 2 < 0 ,∴原不等式等价于 3 x ? 1 ? 1 < 0 . 即 3 x ? 1 < 1 , ?1 < 3 x ? 1 < 1 , 0 < 3 x < 2 , ∴ 原不等式的解集为 ? x 0 < x < 故解为 0 < x < 13. 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.B 9.A 10.C

1 1 1 a + b + c 2 4 4

14.

3 11

15.①②③

2 . 3

? ?

2? ?. 3?

17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等 有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力,本小题 满分 14 分。 : 解法 1(向量法) (向量法) 以 D 为原点,以 DA,DC,DD 1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系

D ? xyz 如图,则有 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2)
(1) 证明: Q

A1C 1 = (?1,1,0),AC = (?2,2,0), D1B1 = (1,1,0),DB = (2,2,0),
uuur uur uuuu r

uuur

uuu r

uuuu r

uur

∴ AC = 2A1C 1 ,DB = 2D 1B 1 . ∴ AC与 A1C1平行, DB与D1 B1平行, 于是 A1C1 与 AC 共面, B1 D1 与 BD 共面。

uuu r

uuur uuuu r

uuu uuuur r

uuu uuu r r
(2)证明: DD 1

AC = (0,0,2)(?2,2,0) = 0,

DB AC = (2,2,0)(?2,2,0) = 0,
本卷第 7 页(共 13 页)

uur uuu r

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uuuu uuur uuu uuur r r ∴ DD1 ⊥ AC , DB ⊥ AC. DD1 与 DB 是平面 B1 BDD1 内的两条相交直线,
∴ AC ⊥ 平面 B1 BDD1.
又 ∴ 平面 A1 ACC1 过 AC 平面 A1 ACC1 ⊥ 平面 B1 BDD1.

(3)解: AA1 = (?1,0,2),BB 1 = (?1, ?1,2),CC 1 = (0, ?1,2) 设 n = ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 A1 ABB1 的法向量,

uuu r

uuu r

uuu r

n AA1 = ?x 1 + 2x 1 = 0,n BB1 = ?x 1 ? y 1 + 2z1 = 0,
于是 y1 = 0, 取 z1 = 1, 则 x 1 = 2,n = (2,0,1) 设 m = ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 B1 BCC1 的法向量,

uuu r

uuu r

m BB 1 = ?x 2 ? y 2 + 2z2 = 0,m CC 1 = ?y 2 + 2x 2 = 0 .
于是 x2 = 0, 取 z2 = 1, 则 y 2 = 2, m = (0,2,1).

uuu r

uuu r

cos < m ,n >=

m n
| m || n |

=

1 5
1 . 5

∴二面角 A ? BB1 ? C 的大小为 π ? arccos 解法 2(综合法) (综合法) :

(1)证明:∵ D1 D ⊥ 平面 A B1C1 D1 , D1 D ⊥ 平面 ABCD, 1 ∴ D1 D ⊥ DA, D1 D ⊥ DC , 平面 A1 B1C1 D1 ∥平面 ABCD。 于是 C1 D1 ∥CD, D1 A1 ∥DA . 设 E,F 分别为 DA,DC 的中点,连接 EF, A1 E , C1 F , 有 A1 E ∥ D1 D , C1 F ∥ D1 D , DE = 1, DF = 1. ∴ A1 E ∥ C1 F , 于是 A1C1 ∥EF . 由 DE=DF=1 ,得 EF∥AC,
本卷第 8 页(共 13 页)

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故 A1C1 ∥AC,

A1C1 与 AC 共面。
过点 B1 作 B1O ⊥ 平面 ABCD 于点 O,则 B1O 于是 OE

A1 E , B1O

C1 F .连结 OE,OF,

B1 A1 ,OF

B1C1 ,∴ OE = OF .

Q B1 A1 ⊥ A1 D1 ,∴ OE ⊥ AD. Q B1C1 ⊥ C1 D1 ,∴ OF ⊥ CD.
所以点 O 在 BD 上,故 D1 B1 与 DB 共面. (2)证明:Q D1 D ⊥ 平面 ABCD,∴ D1 D ⊥ AC , 又 BD ⊥ AC (正方形的对角线互相垂直) D1 D与BD是平面B1BDD1 内的两条 , 相交直线,

∴ AC ⊥ 平面B1BDD1. 又平面A1AC1过AC, 平面A1ACC1 ⊥ 平面B1BDD1. ∴
(3)解:Q 直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影,AC ⊥ DB, 根据三垂线定理,有 AC ⊥ B1B.

过点A在平面ABB1A1内作AM ⊥ B1B于M,连结MC,MO。
则 B1B ⊥ 平面AMC , 于是 B1B ⊥ MC,B1B ⊥ MO, 所以, ∠AMC 是二面角 A-B1 B-C 的一个平面角 根据勾股定理, 有 A1A =

5,C1C= 5,B1B= 6.
B1O OB 2 2 = ,BM= ,AM = B1B 3 3 10 ,CM = 3 10 , 3

Q OM ⊥ B1B,有 OM =

cos∠AMC=

AM 2 + CM 2 ? AC 2 1 = ? , 2AM ? CM 5

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∠AMC= π ? arccos

1 , 5 1 . 5

二面角 A-BB1-C 的大小为 π ? arccos

18.本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线与抛 物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力.本小题满 分 14 分. 解: (1)设切点 Q ( x0 ,

x0 2 x x ) .由 y ' = ,知抛物线在 Q 点处的切线斜率为 0 , 4 2 2
x0 2 x0 = ( x ? x0 ) 4 2

故所求切线方程为: y ?

即y=

x0 x2 x? 0 2 4

∵点 P ( 0, ?4 ) 在切线上, ∴ ?4 = ?

x0 2 2 , x0 = 16 , x0 = ±4 . 4
y = ±2 x ? 4 .

所求切线方程为

(2)设 A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) . 由题设知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k > 0 . 因直线 AC 过焦点 F (0,1) ,所以直线 AC 的方程为 y = kx + 1 . 点 A,C 的坐标满足方程组

y = kx + 1 , x2 = 4 y



x 2 ? 4kx ? 4 = 0 x1 + x2 = 4k , x1 ? x2 = ?4 .

由根与系数的关系知

AC =

( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 )
2

2

= 1+ k 2

( x1 + x2 )

2

? 4 x1 x2 = 4(1 + k 2 ) 。

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因为 AC ⊥ BD ,所以 BD 得斜率为 ?

同理可求得

? ? 1 ?2 ? 4 (1 + k 2 ) BD = 4 ?1 + ? ? ? ? = . k2 ? ? k? ? ? ?
2 2

1 1 ,从而 BD 的方程为 y = ? x + 1 . k k

S ABCD

8 (1 + k 1 = AC BD = 2 k2

)

1 ? ? = 8 ? k 2 + 2 + 2 ? ≥ 32 . k ? ?

当 k = 1 时,等号成立.所以,四边形 ABCD 面积得最小值为 32. 19.本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识分 析问题及解决实际问题的能力.本小题满分 13 分. 解: 以 Ak 表示恰剩下 k 只果蝇的事件 ( k = 0,1, ???, 6 ) , 以 Bm 表示至少剩下 m 只果蝇的事件 ( m = 0,1, ???, 6 ) . 可以有多种不同的计算 P ( Ak ) 的方法. 方法 1(组合模式) :当事件 Ak 发生时,第 8 ? k 只飞出的蝇子是苍蝇,且在前 7 ? k 只 飞出的蝇子中有一只是苍蝇,所以

P ( Ak ) =

1 C7 ? k 7 ? k = . C82 28

方法 2(排列模式) :当事件 Ak 发生时,共飞走 8 ? k 只蝇子,其中第 8 ? k 只飞出的蝇 子是苍蝇, 哪一只?有两种不同可能. 在前 7 ? k 只飞出的蝇子中有 6 ? k 只是果蝇, C6 有 种不同的选择可能,还需考虑这 7 ? k 只蝇子的排列顺序,所以
6?k

P ( Ak ) =
由上式得

1 C2 ? C66? k ( 7 ? k ) ! 7 ? k = . 8 A8 ? k 28

P ( A1 ) =

6 3 = ; 28 14 3 . 28

P ( B5 ) = P ( A5 + A6 ) = P ( A5 ) + P ( A6 ) =

20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数得值域,多项式 函数得导数,函数的单调性.考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间、极值与最值等 问题的综合能力.本小题满分 14 分. 解: (1)我们有

x x f ( x) = ? cos 2 x ? 4t sin cos + 4t 3 + t 2 ? 3t + 4 2 2
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= sin 2 x ? 1 ? 2t sin x + 4t 3 + t 2 ? 3t + 4 = sin 2 x ? 2t sin x + t 2 + 4t 3 ? 3t + 3

= (sin x ? t ) 2 + 4t 3 ? 3t + 3
由于 (sin x ? t ) ≥ 0 , t ≤ 1 ,故当 sin x = t 时, f ( x ) 达到其最小值 g ( t ) ,即
2

g ( t ) = 4t 3 ? 3t + 3 .
(2)我们有

g ' ( t ) = 12t 2 ? 3 = 3 ( 2t + 1)( 2t ? 1) , ?1 < t < 1 .
列表如下:

t

1? ? ? ?1, ? ? 2? ?

?

1 2

? 1 1? ?? , ? ? 2 2?

1 2

?1 ? ? ,1? ?2 ?

g ' (t ) g (t )



0



0



极大值 g ? ?

? 1? ? ? 2?

极小值 g ?

?1? ? ?2?

由此可见, g ( t ) 在区间 ? ?1, ?

? ?

1? ?1 ? ? 1 1? ? 和 ? ,1? 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值 2? ?2 ? ? 2 2?

为g?

?1? ? 1? ? = 2 ,极大值为 g ? ? ? = 4 . ?2? ? 2?

21.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取 信息、建立数学模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分 14 分. 解: (1)我们有Tn = Tn ?1(1 + r ) + an (n ≥ 2) (2) T1 = a1 ,对 n ≥ 2 反复使用上述关系式,得

Tn = Tn ?1(1 + r ) + an = Tn ? 2(1 + r )2 + an ?1(1 + r ) + an = …
= a1(1 + r )n ?1 + a2(1 + r )n ? 2 + ? ? ? + an ?1(1 + r ) + an
在①式两端同乘 1 + r ,得
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(1 + r ) n = a1(1 + r )n + a2(1 + r )n ?1 + ? ? ? + an ?1(1 + r )2 + an(1 + r )② T
②-①,得
n ?1 n ?2 rTn = a1(1 + r )n + d ?(1 + r ) + (1 + r ) + ? ? ? + (1 + r ) ? ? an ? ? ? ?
n d ? 1 + r) ? 1 ? ?( r ?

=


r ? + a1 (1 + r ) ? an , ?
n

?

a1r + d d a r+d n (1 + r ) ? n ? 1 2 . 2 r r r a1r + d ar+d d n 如果记 An = (1 + r ) , Bn = ? 1 2 ? n , 2 r r r Tn =
则 Tn = An + Bn 其中 { An } 是以

a1r + d (1 + r ) 为首项,以 1 + r ( r > 0 ) 为公比的等比数列; r2

{Bn } 是以 ?

a1r + d d d ? 为首项, ? 为公差的等差数列 2 r r r

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