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苏教版2019版高考数学(理科)一轮复习优化探究练习第三章 第一节 导数的概念及其运算 Word版含解析

一、填空题 1 1.已知曲线 y=x 上一点 A(1,1),则该曲线在点 A 处的切线方程为________. 1 1 解析:y′=( x)′=-x2,故曲线在点 A(1,1)处的切线的斜率为-1,故所求的切 线方程为 y-1=-(x-1),即为 x+y-2=0. 答案:x+y-2=0 2.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f′(2)=________. 解析:由题意得 f′(x)=2x+3f′(2), ∴f′(2)=2×2+3f′(2), ∴f′(2)=-2. 答案:-2 3.若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为 ________. 解析:设 P(x0,y0),∵f′(x)=4x3-1, 3 ∴f′(x0)=4x3 0-1,由题意知 4x0-1=3, ∴x0=1,则 y0=0.即 P(1,0). 答案:(1,0) 4.点 P 是曲线 x2-y-2ln 离为________. 1 解析:y=x2-2ln x=x2-ln x,y′=2x-x , 1 1 令 y′=1,即 2x- x=1,解得 x=1 或 x=-2(舍去),故过点(1,1)且斜率为 1 的 切线为:y=x,其到直线 y=x-2 的距离 2即为所求. 答案: 2 x=0 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最短距 π π 5.已知函数 f(x)=f′(4)cos x+sin x,则 f(4)的值为________. π π π π π π 解析: 因为 f′(x)=-f′(4)sin x+cos x, 所以 f′(4)=-f′(4)· sin4+cos 4?f′(4) = 2-1, π π π π π 故 f(4)=f′(4)cos 4+sin 4?f(4)=1. 答案:1 6. 设直线 y=-3x+b 是曲线 y=x3-3x2 的一条切线, 则实数 b 的值是________. 解析:求导可得 y′=3x2-6x,由于直线 y=-3x+b 是曲线 y=x3-3x2 的一条 切线,所以 3x2-6x=-3,解得 x=1,所以切点为(1,-2),同时该切点也在直 线 y=-3x+b 上,所以代入直线方程可得 b=1. 答案:1 7. 等比数列{an}中, a1=2, a8=4, 函数 f(x)=x(x-a1)· (x-a2)…(x-a8), 则 f′(0) =________. 解析:f′(x)=x′· [(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′· x =(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′· x 所以 f′(0)=(0-a1)(0-a2)…(0-a8)+[(0-a1)(0-a2)…(0-a8)]′· 0=a1a2…a8. 因为数列{an}为等比数列, 所以 a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8, 所以 f′(0)=84=212. 答案:212 sin θ 3cos θ 5π 8.设函数 f(x)= 3 x3+ 2 x2+tan θ,其中 θ∈[0,12],则导数 f′(1)的取 值范围是________. 解析:f′(1)=(sin θx2+ 3cos θ· x)|x=1 π =sin θ+ 3cos θ=2sin(θ+3). 5π ∵θ∈[0,12], π π 3π ∴θ+3∈[3, 4 ], π 2 ∴sin(θ+3)∈[ 2 ,1], ∴f′(1)∈[ 2,2]. 答案:[ 2,2] 1 9. 如图中, 有一个是函数 f(x)=3x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R, a≠0)的导函数 f′(x) 的图象,则 f(-1)=________. 解析:∵ f′(x)=x2+2ax+(a2-1), ∴导函数 f′(x)的图象开口向上. 又∵a≠0,∴其图象必为第(3)个图. 由图象特征知 f′(0)=0,且-a>0,∴a=-1. 1 1 故 f(-1)=-3-1+1=-3. 1 答案:-3 二、解答题 10.求下列函数的导数. (1)y=(2x2+3)(3x-1); (2)y=( x-2)2; x x (3)y=x-sin 2cos 2. 解析:(1)y′ =(2x2+3)′(3x-1)+ (2x2+3)· (3x-1)′=4x(3x-1)+3(2x2+3)= 18x2-4x+9. (2)∵y=( x-2)2=x-4 x+4, x x 1 (3)∵y=x-sin 2cos 2=x-2sin x, 1 1 ∴y′=x′-(2sin x)′=1-2cos x. 11.设函数 f(x)=ax+ y=3. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)证明曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积 为定值,并求出此定值. 解析:(1)f′(x)=a- 1 ?x+b?2 , 1 (a,b∈Z),曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 x+b ? 2+b=3 于是? 1 a- ? ?2+b? =0 2a+ 2 1 , 9 ? ? ?a=4 ?a=1 解得? 或? 8 ? b =- 1 ? ? ?b=-3 由 a,b∈Z,故 f(x)=x+ 1 x-1 . . 1 (2)在曲线上任取一点(x0,x0+ ). x0-1 x2 0-x0+1 1 由 f′(x0)=1- 知,过此点的切线方程为 y - =[1- ](x- 2 ?x0-1? x0-1 ?x0-1?2 1 x0). 令 x=1 得 y= x0+1 x0+1 ,切线与直线 x=1 的交点为(1, ). x0-1 x0-1 令 y=x 得 y=2x0-1,切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1). 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1). 1 x0+1 1 2 从而所围三角形的面积为2| -1|· |2x0-1-1|=2| ||2x

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