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2016届泰州市高三一模数学试卷和答案


泰州市 2016 届高三第一次模拟考试 数学试题

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上. )
2 1.已知集合 A ? x x ≤ 1 ,集合 B ? ??2, ?1,0,1,2? ,则 A ? B ?

?

?





2.如图,在复平面内,点 A 对应的复数为 z1 ,若 则 z2 ? ▲ .

z2 ? i ( i 为虚数单位) , z1

3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 ▲ .

x2 ? y 2 ? 1 的实轴长为 2

(第 2 题)

4.某校共有教师 200 人,男学生 800 人,女学生 600 人,现用分层抽样的方 法从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从男学生中抽取的人数为 100 人,那么 n ? ▲ .

Read a, b i ?1 While i ? 2 a ? a?b b ? a ?b i ? i ?1 End While Print a
(第 5 题)

5.执行如图所示的伪代码,当输入 a , b 的值分别为 1,3 时,最后输出的 a 的值为 ▲ .

6.甲乙两人下棋,若甲获胜的的概率为 1 ,甲乙下成和棋的概率为 2 ,则乙不输棋的概率为 5 5 ▲ .

2 2 7.已知直线 y ? kx(k ? 0) 与圆 C : ( x ? 2) ? y ? 1 相交于 A, B 两点,若 AB ?

2 5, 5

则k ?




2

8.若命题“存在 x ? R, ax ? 4x ? a ≤ 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是





高三数学试卷第 1 页

共4页

9.如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 为 BD1 的中点,三棱锥

D1

C1

O ? ABD 的体积为 V1 ,四棱锥 O ? ADD1 A1 的体积为 V2 ,则
的值为 ▲ .

V1 V2

A1 D

O

B1 C

A

(第 9 题)

B

10.已知公差为 2 的等差数列 {an } 及公比为 2 的等比数列 {bn } 满足 a1 ? b1 ? 0, a2 ? b2 ? 0 , 则 a3 ? b3 的取值范围是 ▲ .
x

11.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? ln

x ,记 an ? f (n ? 5) ,则数列 4

{an } 的前 8 项和为





12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A, B 分别为 x 轴, y 轴上一点,且 AB ? 2 ,若点

??? ? ??? ? ??? ? P(2, 5) ,则 AP ? BP ? OP 的取值范围是





13.若正实数 x , y 满足 (2 xy ?1)2 ? (5 y ? 2)( y ? 2) ,则 x ? 1 的最大值为

2y





14.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ) ? cos x cos( π ? x ) (其中 A 为常数, ? ? (? π, 0) ) ,若实

2

6

2

数 x1 , x2 , x3 满足:① x1 ? x2 ? x3 ,② x3 ? x1 ? 2π ,③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 ? 的值为 ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B 的对边分别为 a , b ,向量 m ? (cos A,sin B), n ? (cos B,sin A) . (1)若 a cos A ? b cos B ,求证: m / / n ; (2)若 m ? n , a ? b ,求 tan

A? B 的值. 2

高三数学试卷第 2 页

共4页

16. (本题满分 14 分) ?PAC ? ?BAC ? 90? ,PA ? PB , 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, 点 D ,F 分别为 BC , AB 的中点. (1)求证:直线 DF / / 平面 PAC ; P (2)求证: PF ? AD .

A

F

B

D C

17. (本题满分 14 分) 一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成, AB ? 1 米,如图所 示.小球从 A 点出发以 ?v 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处后,经弹射器以 6v 的速度沿与 O E ? ? 弧度, 点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内, 落点记为 F . 设 ?A 小球从 A 到 F 所需时间为 T . (1)试将 T 表示为 ? 的函数 T (? ) ,并写出定义域; (2)求时间 T 最短时 cos ? 的值.

A E O

B

F D
18. (本题满分 16 分) 已知数列 {an },{bn }满足 2Sn ? (an ? 2)bn ,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和.

C

2 1 ,公比为 ? 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式; 3 3 (2)若 bn ? n , a2 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式; a (3)在(2)的条件下,设 cn ? n ,求证:数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其他 bn
(1)若数列 {an } 是首项为 两项之积.

高三数学试卷第 3 页

共4页

19. (本题满分 16 分)

x2 ? y 2 ? 1, A 为 4 椭圆右顶点. 过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B, C 两点, 直线 AB 与圆 O 的另一 6 交点为 P ,直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q ,其中 D ( ? , 0) .设直线 AB, AC 的斜率分别 5 为 k1 , k2 .
如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 , 椭圆 C : (1)求 k1k 2 的值; (2)记直线 PQ, BC 的斜率分别为 kPQ , kBC ,是否存在常数 ? ,使得 kPQ ? ? kBC ?若存在, 求 ? 值;若不存在,说明理由; (3)求证:直线 AC 必过点 Q .
y P B

D

O

A x

C Q

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ?
4

(1) 若 a ? 0 ,求证:

1 2 x , x ? (0, ??) , g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? . 2

(ⅰ) f ? x ? 在 f ?( x ) 的单调减区间上也单调递减; (ⅱ) g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点;

(2) 若 a ? 1 ,记 g ? x ? 的两个零点为 x1 , x2 ,求证: 4 ? x1 ? x2 ? a ? 4 .

高三数学试卷第 4 页

共4页

高三数学参考答案
一、填空题 1. ?1,0,1? ; 6.

?

2. ?2 ? i ; 7.

3. 2 2 ; 8. (2, ??) ;

4. 200 ; 9.

5. 5 ; 10.(??, ?2) ;

4 ; 5

1 ; 2

1 ; 2 2? . 3

11. ?16 ; 二、解答题

12. [7,11] ;

13.

3 2 ?1 ; 2

14. ?

15. 证明: (1)因为 a cos A ? b cos B , 所以 sin A cos A ? sin B cos B ,所以 m / / n .

?????7 分

(2)因为 m ? n ,所以 cos A cos B ? sin A sin B ? 0 ,即 cos( A ? B) ? 0 , 因为 a ? b ,所以 A ? B ,又 A, B ? (0, ? ) ,所以 A ? B ? (0, ? ) ,则 A ? B ? 所以 tan

?
2

,?12 分

A? B ? ? tan ? 1 . 2 4

?????14 分

16. 证明(1)∵点 D , F 分别为 BC , AB 的中点, ∴ DF / / AC , 又∵ DF ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , ∴直线 DF / / 平面 PAC . ?????6 分 (2)∵ ?PAC ? ?BAC ? 90? , ∴ AC ? AB , AC ? AP , 又∵ AB ? AP ? A , AB, AP 在平面 PAB 内, ∴ AC ? 平面 PAB , ?????8 分 ∵ PF ? 平面 PAB ,∴ AC ? PF , ∵ PA ? PB , F 为 AB 的中点,∴ PF ? AB ,

P

A

F

B

D C

∵ AC ? PF , PF ? AB , AC ? AB ? A , AC, AB 在平面 ABC 内, ∴ PF ? 平面 ABC , ∵ AD ? 平面 ABC ,∴ AD ? PF . ?????12 分 ?????14 分

17. 解: (1)过 O 作 OG ? BC 于 G ,则 OG ? 1 ,

OG 1 1 OF ? ? , EF ? 1 ? ,? AE ? ? , sin ? sin ? sin ?
高三数学试卷第 5 页 共4页

A E O D

B

G F C

所以 T (? ) ?

? π 3π AE EF ? 1 1 ? ? ? ? , ? ? [ , ] .??7 分 4 4 5v 6v 5v 6v sin ? 6v

(写错定义域扣 1 分) (2) T (? ) ?

?
5v

?

1 1 ? , 6v sin ? 6v

T ?(? ) ?

1 cos ? 6sin 2 ? ? 5cos ? (2cos ? ? 3)(3cos ? ? 2) ? ? ?? ,????9 分 2 2 5v 6v sin ? 30v sin ? 30v sin 2 ?
2 π 3π ], ,?0 ? [ , 3 4 4 ? ? ( ,? 0 ) 4 T ?(? )

记 cos ? 0 ?

?0
0

(? 0 ,

3? ) 4 +

T (? )
故当 cos ? ?

?

?
????14 分

2 时,时间 T 最短. 3 2 1 n ?1 1 n 18. 解: (1)因为 an ? (? ) ? ?2(? ) , 3 3 3 2 1 [(1 ? (? ) n ] 3 ? 1 [(1 ? (? 1 ) n ] , Sn ? 3 1 2 3 1 ? (? ) 3 1 1 ? (? ) n 2Sn 1 3 所以 bn ? ? ? . an ? 2 ?2(? 1 ) n ? 2 2 3
(2)若 bn ? n ,则 2Sn ? nan ? 2n ,∴ 2Sn?1 ? (n ? 1)an?1 ? 2 , 两式相减得 2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 2 ,即 nan ? (n ? 1)an?1 ? 2 , 当 n ? 2 时, (n ?1)an?1 ? (n ? 2)an ? 2 , 两式相减得 (n ?1)an?1 ? (n ?1)an?1 ? 2(n ?1)an ,即 an?1 ? an?1 ? 2an , 又由 2S1 ? a1 ? 2 , 2S2 ? 2a2 ? 4 得 a1 ? 2 , a2 ? 3 , 所以数列 {an } 是首项为 2 ,公差为 3 ? 2 ? 1 的等差数列, 故数列 {an } 的通项公式是 an ? n ? 1.

????2 分

????4 分

????8 分

????10 分

高三数学试卷第 6 页

共4页

(3)由(2)得 cn ?

n ?1 , n

对于给定的 n ? N * ,若存在 k , t ? n, k , t ? N * ,使得 cn ? ck ? ct ,

n ?1 k ?1 t ?1 ? ? , n k t 1 1 1 1 1 1 1 n(k ? 1) 即 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ,即 ? ? ? ,则 t ? , n k t n k t kt k ?n 取 k ? n ? 1 ,则 t ? n(n ? 2) ,
只需 ∴ 对 数 列 {cn } 中 的 任 意 一 项 cn ?

????12 分

n 2 ? 2n ? 1 n ?1 n?2 , 都 存 在 cn ?1 ? 和 cn2 ? 2 n ? 使得 n n ?1 n 2 ? 2n
????16 分

cn ? cn?1 ? cn2 ?2n .
19.解: (1)设 B( x0 , y0 ) ,则 C (? x0 , ? y0 ) ,

x0 2 ? y0 2 ? 1 4

1 2 x0 y0 y0 y0 1 4 ? ? 2 ? 2 ?? . 所以 k1k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 2 4
2

1?

????4 分

(2)联立 ?

? y ? k1 ( x ? 2) ?x ? y ? 4
2 2

得 (1 ? k12 ) x2 ? 4k12 x ? 4(k12 ?1) ? 0 ,

2(k12 ? 1) ?4k1 解得 xP ? , , yP ? k1 ( xP ? 2) ? 2 1 ? k1 1 ? k12
? y ? k1 ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 得 (1 ? 4k12 ) x2 ?16k12 x ? 4(4k12 ?1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
解得 xB ?

2(4k12 ? 1) ?4k1 , , yB ? k1 ( xB ? 2) ? 2 1 ? 4k1 1 ? 4k12
yB ?2k ? 2 1 , k PQ xB 4k1 ? 1

????8 分

所以 k BC ?

?4k1 yP 1 ? k12 ?5k ? ? ? 2 1 , 2 6 2(k1 ? 1) 6 4k1 ? 1 xP ? ? 5 1 ? k12 5
????10 分

5 5 5 k BC ,故存在常数 ? ? ,使得 k PQ ? k BC . 2 2 2 6 8 (3)当直线 PQ 与 x 轴垂直时, Q ( ? , ? ) , 5 5
所以 k PQ ?
高三数学试卷第 7 页 共4页

则 k AQ ?

?

6 ? ?2 5

8 5

?

1 ? k2 ,所以直线 AC 必过点 Q . 2
?5k1 6 (x ? ) , 2 4k1 ? 1 5

当直线 PQ 与 x 轴不垂直时,直线 PQ 方程为: y ?

?5k1 6 ? ?2(16k12 ? 1) 16k1 ? y ? 4k 2 ? 1 ( x ? 5 ) 联立 ? ,解得 xQ ? , , yQ ? 1 2 16k1 ? 1 16k12 ? 1 ? x2 ? y2 ? 4 ?

所以 k AQ

16k1 16k12 ? 1 1 ? ?? ? k2 ,故直线 AC 必过点 Q . 2 ?2(16k1 ? 1) 4k1 ?2 16k12 ? 1

????16 分

(不考虑直线 PQ 与 x 轴垂直情形扣 1 分) 20. 证: (1)因为 f ? x ? ? ax ?
4

1 2 x ? x ? 0 ? ,所以 f ?( x) ? 4ax3 ? x , 2

3 2 由 (4ax ? x)? ? 12ax ?1 ? 0 得 f ?( x ) 的递减区间为 (0,

1 ), 2 3a

????2 分

当 x ? (0,

1 ) 时, f ?( x) ? 4ax3 ? x ? x(4ax2 ?1) ? 0 , 2 3a
????4 分

所以 f ? x ? 在 f ?( x ) 的递减区间上也递减. (2)解 1: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4

1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x , 2 2 1 1 2 4 3 3 2 因为 x ? 0 ,由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 1 3 2 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ,则 ? ?( x) ? 3ax ? 8ax ? , 2 2 1 因为 a ? 0 ,且 ? ?(0) ? ? ? 0 ,所以 ? ?( x ) 必有两个异号的零点,记正零点为 x0 ,则 2

x ? (0, x0 ) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减; x ? ( x0 , ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增,
若 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零点,则 ? ( x0 ) ? 0 , 由 ? ?( x0 ) ? 3ax0 ? 8ax0 ?
2

????7 分

1 1 ? 0 得 3ax0 2 ? 8ax0 ? , 2 2 4 8 1 32 1 7 ax0 ? x0 ? ,又因为对称轴为 x ? , 所以 ? ( ) ? ? (0) ? ? ? 0 , 所以 ? ( x0 ) ? ? 3 3 2 9 3 9
高三数学试卷第 8 页 共4页

8 7 32 1 7 ? ,所以 ? ( x0 ) ? ? ax0 ? ( x0 ? ) ? 0 , 3 3 9 3 3 1 1 2 1 3 2 2 又 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ? ax ( x ? 8) ? x(ax ? 1) ? 1 , 2 2 2
所以 x0 ? 设

1 ,8 中的较大数为 M ,则 ? (M ) ? 0 , a

故 a ? 0 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点. ????10 分

1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x , 2 2 1 1 2 4 3 3 2 因为 x ? 0 ,由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 3 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 , 2
解 2: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4

若 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点,则 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零点, 当 x ? 2 时, 由 ? ( x) ? 0 得 a ? 0 ,此时 ? ( x) ? ? 意;
3 2 当 x ? 2 时,由 ? ( x) ? ax ? 4ax ?

1 x ? 1 在 (0, ??) 上只有一个零点,不合题 2

1 1 x3 ? 4 x 2 x ?1 ? 0 得 ? , 2 2a x?2

????7 分

令 ?1 ( x) ?

x3 ? 4 x 2 8 ? x2 ? 2 x ? 4 ? , x?2 x?2
5 7 2 x[( x ? ) 2 ? ] 2 4 ? 0, ( x ? 2) 2
2

2 x( x 2 ? 5 x ? 8) ?( x ) ? ? 则 ?1 ( x ? 2) 2

当 x ? (0, 2) 时, ? ( x) 单调递增,且由 y ? x ? 2 x ? 4, y ? ?

8 值域知 x?2
,由 0

? ( x) 值 域 为 ( 0 ?? , ) 当 x ? (2, ??) 时 , ?1 ( x) 单 调 递 增 , 且 ?1 ( 4 ? ; )

8 2 y? x ?2 x ?4 , y ? ? 值域知 ? ( x) 值域为 (??, ??) ; x?2 1 1 ? 0 ,而 y ? 因为 a ? 0 ,所以 与 ?1 ( x) 有两个交点,所以 ?1 ( x) 在 (0, ??) 上恰有 2a 2a
两个零点. (3)解 1:由(2)知,对于 ? ( x) ? ax ? 4ax ?
3 2

????10 分

1 x ? 1 在 (0, ??) 上恰有两个零点 x1 , x2 , 2 1 1 1 不妨设 x1 ? x2 ,又因为 ? (0) ? 1 ? 0 , ? ( ) ? (6 ? 7 a) ? 0 ,所以 0 ? x1 ? ,??12 分 2 8 2
高三数学试卷第 9 页 共4页

又因为 ? (4) ? ?1 ? 0 , ? ( ) ?

9 9 1 (657 a ? 10) ? 0 ,所以 4 ? x2 ? , 2 2 8 1 9 所以 4 ? x1 ? x2 ? ? ? 5 ? a ? 4 . 2 2

????16 分

解 2:由(2)知

1 x3 ? 4 x 2 ? , 2a x?2
1 2 7 1 1 ? ?1 ( ) , , ?1 (0) ? 0 ? ?1 ( x1 ) ? 12 2a 2
????12 分

因为 x ? [0, 2) 时, ?1 ( x) 单调递增, ? ( ) ? 所以 0 ? x1 ?

1 , 2 9 2

当 x ? (2, ??) 时, ?1 ( x) 单调递增, ?1 ( ) ? 所以 4 ? x2 ?

81 1 9 ? ?1 ( ) , , ?1 (4) ? 0 ? ?1 ( x2 ) ? 20 2a 2

9 , 2

所以 4 ? x1 ? x2 ?

1 9 ? ?5? a?4. 2 2

????16 分

高三数学试卷第 10 页 共 4 页


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