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【新】2018-2019学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.5.3对数函数的图像和性质课时作业1北师大版必修1

小中高 精品 教案 试卷

3.5.3

对数函数的图像和性质

|基础巩固|(25 分钟,60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知函数 f(x)=loga(x-m)的图像过点(4,0)和(7,1),则 f(x)在定义域上是( A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 【解析】 将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式, 有{0=loga -m , 1=loga -m , 解得 a=4,m=3, 则有 f(x)=log4(x-3). 由于定义域是 x>3,则函数不具有奇偶性.很明显函数 f(x)在定义域上是增函数. 【答案】 A 2.函数 f(x)=ln|x-1|的图象大致是( )

)

【解析】 当 x>1 时,f(x)=ln(x-1), 又 f(x)的图像关于 x=1 对称,故选 B. 【答案】 B 3.已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( ) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 【解析】 因为 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以 a>1,f(1)<f(2)<f(3). 又函数 f(x)=loga|x|为偶函数, 所以 f(2)=f(-2), 所以 f(1)<f(-2)<f(3). 【答案】 B x 4.函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为( ) 1 1 A. B. 4 2 C.2 D.4 【解析】 无论 a>1 还是 0<a<1,f(x)都在[0,1]上是单调函数, 0 所以 a=(a +loga1)+(a+loga2), 所以 a=1+a+loga2,

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1 所以 loga2=-1,所以 a= . 2 【答案】 B 5.若 a>b>0,0<c<1,则( ) A.logac<logbc B.logca<logcb c c a b C.a <b D.c >c 【解析】 法一:因为 0<c<1,所以 y=logcx 在(0,+∞)单调递减,又 0<b<a,所以 logca<logcb,故选 B. 1 1 1 1 1 1 ?1?4 ?1? 法二:取 a=4,b=2,c= ,则 log4 =- >log2 ,排除 A;4 =2>2 ,排除 C;? ? <? ? 2 2 2 2 2 2 ?2? ?2?
2

,排除 D;故选 B. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.若 a>0 且 a≠1,则函数 y=loga(x-1)+2 的图像恒过定点________. 【解析】 当 x-1=1 时,loga(2-1)=0, 所以函数过定点(2,2). 【答案】 (2,2) a-x 7.已知函数 f(x)=log2 为奇函数,则实数 a 的值为________. 1+x 【解析】 由奇函数得 f(x)=-f(-x), a-x a+x log2 =-log2 , 1+x 1-x a-x 1-x 2 = ,a =1, 1+x a+x 因为 a≠-1, 所以 a=1. 【答案】 1
? 1 8.设函数 f(x)=?log2x,x>0, log -x ,x<0, 2 ?

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的

取值范围是________. 【解析】 由题意得{a>0, log2a>-log2a ? 1 -a , 解得 a>1 或-1<a<0. 或?a<0, log -a 2 2 ? 【答案】 (-1,0)∪(1,+∞) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 1 2 1 1 9.求函数 y=(log x) - log x+5 在区间[2,4]上的最大值和最小值. 2 2 2 【解析】 利用换元法,转化为二次函数问题来解决. 1 由 y=log x 在区间[2,4]上为减函数知, 2 1 1 1 1 log 2≥log x≥log 4,即-2≤log x≤-1. 2 2 2 2 1 若设 t=log x, 2 1 2 则-2≤t≤-1,且 y=t - t+5. 2
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1? 1 1 ? 2 而 y=t - t+5 的图像的对称轴为 t= ,且在区间?-∞, ?上为减函数, 4? 2 4 ? 1? ? 而[-2,-1]? ?-∞, ?. 4? ? 所以当 t=-2,即 x=4 时,此函数取得最大值,最大值为 10; 13 当 t=-1,即 x=2 时,此函数取得最小值,最小值为 . 2 10.已知 loga(2a+3)<loga3a,求 a 的取值范围. 【解析】 (1)当 a>1 时,原不等式等价于 {a>1, 2a+3<3a, 2a+3>0, 解得 a>3. (2)当 0<a<1 时,原不等式等价于{0<a<1, 2a+3>3a, 3a>0, 解得 0<a<1. 综上所述,a 的范围是(0,1)∪(3,+∞). |能力提升|(20 分钟,40 分) 11.若函数 y=a (a>0,且 a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则函数 y=loga|x|的图象大致是 )
|x|

(

【解析】 若函数 y=a (a>0,且 a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则 0<a<1,由此可知 y= loga|x|的图象大致是 A. 【答案】 A -2a x+3a,x<1, ln x,x≥1 的值域为 R,那么 a 的取值范 12.已知 f(x)={ 围是________. 【解析】 要使函数 f(x)的值域为 R,
? 1 需使{1-2a>0, ln 1≤1-2a+3a, 所以?a< , a≥-1. ? 2

|x|

1 所以-1≤a< . 2 1? ? 【答案】 ?-1, ? 2

?

?
x y

? ? 13.已知 f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数 y=f(x)的图像上时,点? , ?在函数 y ?3 2?
=g(x)的图像上. (1)写出 y=g(x)的解析式; (2)求方程 f(x)-g(x)=0 的根. 【解析】 (1)依题意,?y=f x =log2
? ?

x+



y
2

=g? ?, ?3?

?x?

?x? 1 则 g? ?= log2(x+1), ?3? 2
1 故 g(x)= log2(3x+1). 2 (2)由 f(x)-g(x)=0 得,
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小中高 精品 教案 试卷

1 log2(x+1)= log2(3x+1), 2 所以{x+1>0, 3x+1>0, 3x+1= x+ 解得,x=0 或 x=1. 14.已知 a>0 且 a≠1,f(logax)=

2



a ? 1? ?x- ?. a2-1? x?

(1)求 f(x); (2)判断 f(x)的单调性和奇偶性; (3)对于 f(x),当 x∈(-1,1)时,有 f(1-m)+f(1-2m)<0,求 m 的取值范围. 【解析】 (1)令 t=logax(t∈R), a ? t 1? t 则 x=a ,且 f(t)= 2 ?a - t?, a? a -1?

a x -x (a -a )(x∈R); a2-1 a -x x (2)因为 f(-x)= 2 (a -a ) a -1 =-f(x), 且 x∈R,所以 f(x)为奇函数. x -x 当 a>1 时,a -a 为增函数, a 并且注意到 2 >0, a -1 所以这时 f(x)为增函数; 当 0<a<1 时,类似可证 f(x)为增函数. 所以 f(x)在 R 上为增函数; (3)因为 f(1-m)+f(1-2m)<0,且 f(x)为奇函数, 所以 f(1-m)<f(2m-1). 因为 f(x)在(-1,1)上为增函数, 所以{-1<1-m<1, -1<2m-1<1, 1-m<2m-1.
所以 f(x)= 2 解之,得 <m<1. 3 2 ? 即 m 的取值范围是? ?3,1?.
.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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