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第28届全国中学生物理竞赛复赛试卷及标准答案


第 28 届全国中学生物理竞赛复赛试卷及标准答案 题号 得分 阅卷 复核 说明: 填空题的答案填在题中的横线上或题给的表格中。 计算题的解答应写出必要的说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的不能 给分。有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位。 本卷共 8 题,满分 160 分。 一、 (20 分)如图所示,哈雷彗星绕太阳 S 沿椭圆轨道逆时针方向运 得分 阅卷 复核 动,运动周期 T=76.1 年。1986 年它过近日点 P0 时,与太阳 S 的距离 为 r0=0.590AU,AU 是天文单位,它等于地球与太阳的平均距离。经 过一段时间, 彗星到达轨道上的 P 点, SP 和 SP0 的夹角 ? P ? 72.0? , 已知 1AU= 1.5 ?10 m , 11 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 引力常量 G = 6.67 ?10?11 m3 ? kg ?1 ? s ?2 ,太阳质量 ms ? 1.99 ?1030 kg 。试求 P 到太阳 S 的 距离 rP 及彗星过 P 时的速度大小和方向(用速度方向和 SP0 的夹角表示) 。 一、参考解答: 解法一 取直角坐标系 Oxy,原点 O 位于椭圆的中心,则哈雷彗星的椭圆轨道方程为 x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 (1) a、b 分别为椭圆的半长轴和半短轴,太阳 S 位于椭圆的一个焦点处,如图 1 所示. 以 Te 表示地球绕太阳运动的周期,则 Te ? 1.00年 ;以 ae 表示地球到太阳的距离(认 为地球绕太阳作圆周运动) ,则 ae ? 1.00AU ,根据开普勒第三定律,有 a3 T 2 ? 2 3 ae Te (2) y P 设 c 为椭圆中心到焦点的距离,由几何关系得 c ? a ? r0 b rP S (3) ?P x P 0 a b ? a2 ? c2 由图 1 可知,P 点的坐标 (4) O x ? c ? rP cos?P (5) (6) 图1 y ? rP sin ?P 把(5) 、 (6)式代入(1)式化简得 ?a 2 sin 2 ? P ? b 2 cos 2 ? P ? rP2 ? 2b 2 crP cos ? P ? b 2 c 2 ? a 2b 2 ? 0 (7) 根据求根公式可得 rP ? b2 ? a ? c cos ? P ? a 2 sin 2 ? P ? b2 cos2 ? P rP ? 0.896AU (8) 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得 (9) 可以证明,彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 E=? Gmms 2a (10) 式中 m 为彗星的质量.以 vP 表示彗星在 P 点时速度的大小,根据机械能守恒定律有 Gmms 1 2 ? Gmm s ? mvP ? ? ? ??? 2 rP ? 2a ? 得 (11) v P ? Gms ? 2 1 ? rP a (12) 代入有关数据得 vP = 4.39 ?104 m ? s?1 设 P 点速度方向与 SP0 的夹角为 ? (见图 2),根据开普勒第二定律 (13) rP vP sin ?? ??P ? ? 2? (14) 其中 ? 为面积速度,并有 y (15) P ?? πab T b rP S 由(9) 、 (13) 、 (14) 、 (15)式并 代入有关数据可得 ?P P 0 ? a O x ? ? 127? (

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