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选修4-5第3讲柯西不等式与排序不等式

第 3 讲 柯西不等式与排序不等式 , [学生用书 P228]) 1.二维形式的柯西不等式 (1)定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时,等号成 立. (2)(二维变式) a2+b2· c2+d2≥|ac+bd|, a2+b2· c2+d2≥|ac|+|bd|. (3)定理 2(柯西不等式的向量形式) 设 α,β 是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当 β 是零向量,或存在实数 k,使 α=kβ 时,等号成立. (4)定理 3(二维形式的三角不等式) 2 2 2 2 2 设 x1,y1,x2,y2∈R,那么 x2 1+y1 + x2+y2≥ (x1-x2) +(y1-y2) . (5)( 三 角 变 式 ) 设 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 ∈ R , 则 (x1-x3)2+(y1-y3)2 + (x2-x3)2+(y2-y3)2≥ (x1-x2)2+(y1-y2)2. 2.柯西不等式的一般形式 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,?,an,b1,b2,b3,?,bn 是实数,则(a2 1+a2+?+an)(b1+b2+?+ 2 b2 2,?,n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i n)≥(a1b1+a2b2+?+anbn) ,当且仅当 bi=0(i=1, =1,2,?,n)时,等号成立. 3.排序不等式 设 a1≤a2≤?≤an,b1≤b2≤?≤bn 为两组实数,c1,c2,?,cn 为 b1,b2,?,bn 的任 一排列,则有:a1bn+a2bn-1+?+anb1≤a1c1+a2c2+?+ancn≤a1b1+a2b2+?+anbn,当且 仅当 a1=a2=?=an 或 b1=b2=?=bn 时,反序和等于顺序和. 排序原理可简记作:反序和≤乱序和≤顺序和. 柯西不等式的证明[学生用书 P228] [典例引领] 若 a,b,c,d 都是实数,求证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时, 等号成立. 【证明】 因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-2acbd =a2d2+b2c2-2adbc=(ad-bc)2≥0, 当且仅当 ad=bc 时,等号成立. 即(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2≥0, 所以(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时,等号成立. 设 α,β 是两个向量,求证|α·β|≤|α||β|,当且仅当 β 为零向量或存在实数 k,使 α=kβ 时等号成立. [证明] 如图,设在平面直角坐标系 xOy 中有向量 α=(a,b),β=(c,d),α 与 β 之间的 夹角为 θ,0≤θ≤π. 根据向量数量积(内积)的定义,有 α· β=|α||β|cos θ, 所以|α· β|=|α||β||cos θ|. 因为|cos θ|≤1,所以|α· β|≤|α||β|. 如果向量 α 和 β 中有零向量,则 ad-bc=0,不等式取等号.如果向量 α 和 β 都不是零 向量,则当且仅当|cos θ|=1,即向量 α 和 β 共线时,不等式取等号. 柯西不等式的证明可利用已学过的比较法, 也可利用向量法, 柯西三角不等式还可利用 几何法证明. 如下:设 x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,则 (x1-x3)2+(y1-y3)2+ (x2-x3)2+(y2-y3)2≥ (x1-x2)2+(y1-y2)2. 证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3). 由 |CA| + |CB|≥|BA| 与 两 点 间 的 距 离 公 式 得 (x2-x3)2+(y2-y3)2≥ (x1-x2)2+(y1-y2)2. 当且仅当点 C 位于线段 BA 上时取等号. (x1-x3)2+(y1-y3)2 + 设 a1 , a2 , b1 , b2 为 实 数 , 求 证 : (a1-b1)2+(a2-b2)2. 2 2 2 2 [证明] ( a2 1+a2+ b1+b2) 2 2 2 2 2 2 2 =a2 1+a2+2 a1+a2 b1+b2+b1+b2 2 2 2 2 ≥a1+a2+2|a1b1+a2b2|+b1+b2 2 2 2 ≥a2 1+a2-2(a1b1+a2b2)+b1+b2 2 2 2 =(a1 -2a1b1+b2 1)+(a2-2a2b2+b2) =(a1-b1)2+(a2-b2)2, 2 2 2 2 2 所以 a2 1+a2+ b1+b2≥ (a1-b1) +(a2-b2) . 2 a2 1+a2 + 2 b2 1+b2 ≥ 利用柯西不等式求最值[学生用书 P229] [典例引领] 4 4 u4 v w 已知正实数 u,v,w 满足 u +v +w =8,求 + + 的最小值. 9 16 25 2 2 2 【解】 因为 u2+v2+w2=8. 2 v2 w2 u2 所以 82=(u2+v2+w2)2=? 3 ·3+ 4 ·4+ 5 ·5? ? ? u v w ≤? 9 +16+25?(9+16+25), ? ? 4 4 u4 v w 64 32 所以 + + ≥ = . 9 16 25 50 25 4 4 4 v2 w2 u2 6 8 当且仅当 ÷3= ÷4= ÷5,即 u= ,v= ,w=2 时取到“=”, 3 4 5 5 5 4 4 6 8 u4 v w 32 所以当 u= ,v= ,w=2 时 + + 的最小值为 . 5 5 9 16 25 25 1 1? 2 2 ?1 利用柯西不等式求最值的一般结构为: (a1 +a2 2+?+an) a2+a2+?+a2 ≥(1+1+?+ ? ? 1 2 n 1) =n .在使用柯西不等式时,要注意右边为常数

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