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1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)


§ 1.5
一、知识要点 1.简谐振动

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(二)

简谐振动 y=Asin(ω x+φ )(A>0, ω >0)中, 相位是 ,初相是 .

叫做振幅, 周期 T=

, 频率 f=



2.函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的性质如下:
定义域 值域 周期性 R ________

T=____ 当 φ =_________时是奇函数;φ =______________时是偶函数;

奇偶性

当φ ≠


2

(k∈Z)时是

__ 函数 得到,

单调性

单调增区间可由____________________________

单调减区间可由______________________________得到

二、典型例题

?x π ? 例 1 利用五点法作出函数 y=3sin? - ?在一个周期内的草图. ?2 3 ?

π? ? 跟踪训练 1 作出 y=2.5sin?2x+ ?的图象. 4? ?

例2

如图为 y=Asin(ω x+φ )的图象的一段,求其解析式.
1

跟踪训练 2

如图是函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,

ω >0,|φ |<π )在一个周期内的图象,试写出函数 的表达式.

例3

已知函数 f(x)=a sin 2x+(a-2)cos 2x 的图象关于

2

?π ? 点? ,0?中心对称,求 a 的值. ?2 ?

π 2 跟踪训练 3 已知函数 f(x)=a sin 2x+(a-2)cos 2x 的图象关于直线 x=- 对称,求 a 8 的值.

2

三、练习 1.已知函数 f(x)=sin?ω x+

? ?

π? (ω >0)的最小正周期为 π ,则该函数的图象( ) 3? ? B.关于直线 x= π 对称 4

?π ? A.关于点? ,0?对称 ?3 ?
π C.关于点? 4 ,0?对称

?

?

π D.关于直线 x= 对称 3 )

2.函数 y=sin(ω x+φ )(x∈R,ω >0,0≤φ <2π )的部分图象如图,则 ( A.ω = π π ,φ = 2 4 π π ,φ = 4 4 B.ω = π π ,φ = 3 6

C.ω =

π 5π D.ω = ,φ = 4 4

?1 π ? 3.作出 y=3sin? x- ?一个周期上的图象. 4? ?2

四、小结 1. 由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A, ω, φ 的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为 T= 2π ,所以往往通过求周期 T 来确定 ω ,可通过已知曲线与 x 轴的交点从 ω

而确定 T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ;相邻的两个最高点(或最低点)之间的 2 距离为 T. (3) 从寻找“五点法”中的第一零点?-

T

? φ ,0? ( 也叫初始点)作为突破口.以 y = ? ? ω ?

Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)为例,位于单调递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适
合作为“五点”中的第一个点. 2.在研究 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的性质时,注意采用整体代换的思想.例如, π 3π 它在 ω x+φ = +2kπ (k∈Z)时取得最大值,在 ω x+φ = +2kπ (k∈Z)时 2 2 取得最小值.

课后作业
一、基础过关
3

π π ? 1. 已知简谐运动 f(x)=2sin? 则该简谐运动的最小正周期 T ?3x+φ?(|φ|<2)的图象经过点(0,1), 和初相 φ 分别为 π A.T=6,φ= 6 π C.T=6π,φ= 6 π B.T=6,φ= 3 π D.T=6π,φ= 3 ( ) ( )

2. 已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是

3. y=f(x)是以 2π 为周期的周期函数, 其图象的一部分如图所示, 则=f(x)的解析式为( A.y=3sin(x+1) B.y=-3sin(x+1) C.y=3sin(x-1) D.y=-3sin(x-1) 4. 下列函数中,图象的一部分如下图所示的是( π x+ ? A.y=sin? ? 6? π 2x- ? B.y=sin? 6? ? π 4x- ? C.y=cos? 3? ? π 2x- ? D.y=cos? 6? ? π 1 2x- ?与 y 轴最近的对称轴方程是__________. 5. 函数 y= sin? 6? 2 ? 6. 已知函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,-π≤φ<π)的图象如下图所示,则 φ=________. )

)

π 7. 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的最小值为-2,其图象相邻的最高点与最低点 2 横坐标之差是 3π,又图象过点(0,1),求函数的解析式.

4

π ? 8. 已知曲线 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为? ?8, 2?,此点到相邻最 3 π π π,0?,若 φ∈?- , ?. 低点间的曲线与 x 轴交于点? ?8 ? ? 2 2? (1)试求这条曲线的函数表达式; (2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.

二、能力提升 π 5π 9. 右图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间[- , ]上的图象. 为了得到这个函数的图象, 6 6 只要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点( )

π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 π 10.如果函数 y=sin 2x+acos 2x 的图象关于直线 x=- 对称, 8 那么 a 等于 ( A. 2 C.1 ) B.- 2 D.-1

5

π? 11.关于 f(x)=4sin? ?2x+3? (x∈R),有下列命题: ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 是 π 的整数倍; π? ②y=f(x)的表达式可改写成 y=4cos? ?2x-6?; π ? ③y=f(x)图象关于? ?-6,0?对称; π ④y=f(x)图象关于 x=- 对称. 6 其中正确命题的序号为________. π 12.如图为函数 y1=Asin(ωx+φ) (|φ|< )的一个周期内的图象. 2 (1)写出 y1 的解析式; (2)若 y2 与 y1 的图象关于直线 x=2 对称,写出 y2 的解析式; (3)指出 y2 的周期、频率、振幅、初相.

6


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