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江苏省泰州中学2009届高三数学单元练习试题


江苏省泰州中学 2009 届高三单元练习 数学试题 2008.9.21
命题人 章夕栋

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1, x ? 1,5 ,则 f ? 2x ? 3? =____▲____.
2 2.若集合 A ? ? 1, a , B ? ? 2, 4 ? ,则“ a ? ?2 ”是“ A ? B ? ? 4 ? ”的__▲__条件.

? ?

?

?

5 1 ? 3. lg ? 2 lg 4 ? ( ) 4 = _▲ . 8 81
4.已知函数 f ? x ? ? a ? 5.方程 x -mx+
2

3

1 ( e 为常数)是奇函数,则 a =___▲___. e ?1
x

m =0 的两根为α 、β ,且 0<α <1<β <2,则实数 m 的取值范围是__▲__. 2
2

6.已知集合 M={x|-1≤x<2},N={x|x-a≤0},若 M∩N≠ф ,则 a 的取值范围是___▲___. 7.若方程 3 ? x ? 2 的实根在区间 ?m, n? 内,且 m, n ? Z , n ? m ? 1 ,则 m ? n ? _▲ .
x

8.对于 x ? R ,不等式 2x ? a x ? 1 ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是___▲__.
2 2

9.若关于 x 的不等式 x -ax-6a<0 有解且解的区间长不超过 5 个单位长度,则 a 的取值范 围是 _▲_ . 10.设函数 f(x)定义域为 R,若存在常数 m>0,且|f(x)|≤m|x|对一切实数 x 均成立,则称 f(x)为 F 函数,给出下列函数:①f(x)=0 ②f(x)=x ④f(x)=
2

2

③f(x)=

2 (sinx+cosx)

x ⑤f(x)是定义在 R 上的奇函数且满足对一切实数 x1,x2 均有|f(x1)- x2 ? x ?1 f(x2)|≤2|x1-x2|,其中是 F 函数的序号为__▲__.
11 . 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c, (a 是 正 整 数 ), c ? 1, a ? b ? c ? 1 , 方 程
2

ax2 ? bx ? c ? 0 有两个小于 1 的不等正根,则 a 的最小值为__▲__.
12.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数,若 f (1) ? 1 , f (2) ? 的取值范围是__▲__. 13.设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 , a 为常数.若存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的 取值范围是 _▲ . 14 . 定 义 : 若 存 在 常 数 k , 使 得 对 定 义 域 D 内 的 任 意 两 个 x1 , x2 ?x1 ? x2 ? , 均 有

2a ? 3 ,则 a a ?1

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? k x1 ? x2 成立,则称函数 f ?x ? 在定义域 D 上满足利普希茨条件.若函数
用心 爱心 专心

f ?x? ? x ?x ? 1? 满足利普希茨条件,则常数 k 的最小值为__▲__.

江苏省泰州中学高三数学单元练习答案卷
班级______ 学号______ 姓名__________ 得分________
一、填空题 1. f ? 2x ? 3? =_________________ 2.__________ 3._________ 4.__________
2008.9.21

5.__________

6.__________ 7.__________

8._________

9.__________

10._________ 11._________ 12.__________ 13._________ 14.__________ 二、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15 . ( 14 分)已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ? x ? 在区间 ?0, ??? 上是单调增函数,若

f ?1? ? f ? lg x ? ,求 x 的取值范围.

16. (14 分)设 P 表示幂函数 y ? x c

2

?6c?8

在 ?0,??? 上是增函数的 c 的集合; Q 表示不等式

x ? 1 ? x ? 4 ? c 对任意 x ? R 恒成立的 c 的集合.
(1)求 P ? Q ; (2)试写出一个解集为 P ? Q 的不等式.
用心 爱心 专心

1 2 17. (15 分)已知函数 f(x)=ax +bx+c ( ≤a≤1)的图象过点 A(0,1)且直线 2x+y-1=0 与 3 y=f(x)图象切于 A 点. (1)求 b 与 c 的值; (2)设 f(x)在[1,3]上的最大值与最小值分别为 M(a)、N(a)、g(x)=M(a)-N(a),若 g(a)=2, 求实数 a 的值.

18. (15 分)某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t, P) ,点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万 股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示.

第t天

4

10 30

16 24

22 18

Q(万股) 36

用心

爱心

专心

(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关 系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式, 并求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少?

19. (16 分) 设函数 g ?x? ?

x ? 1 ,函数 h?x ? ?

1 , x ? ?? 3, a ? , 其中 a 为常数且 a ? 0 , x?3

令函数 f ?x ? 为函数 g ?x ? 和 h?x ? 的积函数. (1)求函数 f ?x ? 的表达式,并求其定义域; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ?x ? 的值域; 4

(3)是否存在自然数 a ,使得函数 f ?x ? 的值域恰为 ? , ? ?若存在,试写出所有满足条 3 2 件的自然数 a 所构成的集合;若不存在,试说明理由.

?1 1 ? ? ?

20. (16 分)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ?x ? 的全体:在定义域内存在 x0 ,使得

f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? 成立.
1 是否属于集合 M ?说明理由; x a ? M ,求 a 的取值范围; (2)设函数 f ? x ? ? lg 2 x ?1
(1)函数 f ? x ? ?
x x 2 (3)设函数 y ? 2 图象与函数 y ? ? x 的图象有交点,证明:函数 f ?x? ? 2 ? x ? M .

江苏省泰州中学 2009 届高三单元练习 数学试题参考答案 2008.9.21

用心

爱心

专心

1. f ? 2x ? 3? ? 4x ? 5, x ? 2,4 5. (2,

? ?

2.充分不必要 7.-3 8. a ? 3

3.28

4.

1 2

8 ) 3

6.[-1,+∞)

9.-25≤a<-24 或 0<a≤1

10.①④⑤

11.5

12. ? ?1, ?

? ?

2? 3?

13. (??, ?1) ? ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

14.

1 2
14 分

15.答案: ? x | 0 ? x ?

? ?

1 ? 或x ? 10? 10 ?
2

16.答案: (1)∵幂函数 y ? x c
2

?6c?8

在 ?0,??? 上是增函数, 4分 8分 10 分

∴ c ? 6c ? 8 ? 0 ,即 P ? ?? ?,2? ? ?4,??? , 又不等式 x ? 1 ? x ? 4 ? c 对任意 x ? R 恒成立,∴ c ? 3 ,即 Q ? ?? ?,3? , ∴ P ? Q ? ?? ?,3? ? ?4,??? . (2)一个解集为 P ? Q 的不等式可以是 17.答案:(1)f(0)=1 c=1
?y=-2x+1 ? 2 ?y=ax +bx+1
2

x?3 ?0. x?4

14 分

??????????????2 分

ax +(b+2)x=0 有等根???? 5 分 b=-2 ?????????? 7 分

1 2 1 2 (2)f(x)=ax -2x+1=a(x- ) +1- ????? 8 分 a a 1 ≤a≤1 3 1 1 ∴ 1≤ ≤3 恒有 N(a)=1- ????????10 分 a a M(a)=9a-5

1 1 当 1≤ ≤2 即 ≤a≤1 时 a 2

M(a)-N(a)=2

a?

4? 7 9

a?
1 当 2< ≤3 a M(a)-N(a)=2 1 1 即 ≤a< 时 3 2 a=2± 3 > 1 2

4? 7 1 < (舍去)?????12 分 2 9
M(a)=a-1 都舍去

综上

a?

4? 7 ?????????????????15 分 9

用心

爱心

专心

?1 t ? 2,0 ? t ? 20, t ? N * . ? ?5 18.答案: (1) P ? ? ?? 1 t ? 8,20 ? t ? 30, t ? N * . ? ? 10
(2)设 Q ? at ? b(a, b为常数), 将(4,36)与(10,30) 的坐标代入, 得?

????4 分

?4a ? b ? 36, 解得a ? ?1, b ? 40. ?10a ? b ? 30.

日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的一次函数关系式为 Q ? 40 ? t ,0 ? t ? 30, t ? N* . ????9 分

?1 ( t ? 2) ? (40 ? t ),0 ? t ? 20. ? ?5 (3)由(1) (2)可得 y ? ? ?(? 1 t ? 8) ? (40 ? t ),20 ? t ? 30. ? ? 10 ? 1 2 ? t ? 6t ? 80,0 ? t ? 20, t ? N * . ? ? 5 即y?? ? 1 t 2 ? 12t ? 320,20 ? t ? 30, t ? N * . ? ?10
当 0 ? t ? 20 时,当t ? 15时, ymax ? 125; 当 20 ? t ? 30时, y ?

1 2 t ? 12t ? 320 在?20,30 ? 上是减函数, 10

y ? y(20) ? y(15) ? 125.
所以,第 15 日交易额最大,最大值为 125 万元. 19.答案: (1) f ? x ? ? ????15 分 5分

x ?1 , x ? ?0, a??a ? 0? ; x?3

(2) ∵a ?

1 ? 1? ? 3? 2 , ∴函数 f ?x ? 的定义域为 ?0, ? , 令 x ?1 ? t , 则 x ? ?t ? 1? ,t ? ?1, ? , 4 ? 4? ? 2?

∴ f ? x ? ? F ?t ? ?

t ? t ? 2t ? 4
2

1 , 4 t? ?2 t

∵t ?

4 4 ? 3? ? 3? 时, t ? ?2 ? ?1, ? ,又 t ? ?1, ? 时, t ? 递减,∴ F ?t ? 单调递增, t t ? 2? ? 2?

用心

爱心

专心

∴ F ?t ? ? ? ,

?1 6 ? ?1 6 ? ,即函数 f ?x ? 的值域为 ? , ? ; ? ? 3 13? ? 3 13?

10 分

( 3 ) 假 设 存 在 这 样 的 自 然 数 a 满 足 条 件 , 令

x ?1 ? t , 则

f ? x ? ? F ?t ? ?

t ? t ? 2t ? 4
2

1 , 4 t? ?2 t

∵ x ? ?0, a??a ? 0? ,则 t ? 1. a ? 1 ,要满足值域为 ? , ? ,则要满足 F ?t ?max ? , 2 ?3 2 ? 由于当且仅当 t ?

?

?

?1 1 ?

1

∴ 2 ? 1, a ? 1 ? a ? 1 , 又 F ?t ? 在 ?1,2? 上是增函数,在 2, a ? 1 上是减函数, ∴F

?

?

4 4 1 ? t ? 2 时,有 t ? ? 4 中的等号成立,且此时 F ?t ? ? 恰为最大值, t 2 t

?

?

?

a ?1 ?

?

a ?1 1 ? ? 0 ? a ? 9, a?3 3
16 分

综上,得 1 ? a ? 9 . 20 . 答 案 : 解 :( 1 ) 若 f ? x ? ?

1 ? M , 在 定 义 域 内 存 在 x0 , 则 x

1 1 2 ? ? 1 ? x0 ? x0 ? 1 ? 0 , x0 ? 1 x0
∵方程 x0 ? x0 ? 1 ? 0 无解,∴ f ? x ? ?
2

1 ?M ; x

5分

(2) f ?x ? ? lg

a a a a ? M ? lg ? lg 2 ? lg ? ?a ? 2?x 2 ? 2ax ? 2?a ? 1? ? 0 , 2 2 x ?1 x ?1 ?x ? 1? ? 1
2

a ? 2 时, x ? ?

∴ a ? 3 ? 5,3 ? 5 ;

?

1 ; a ? 2 时,由 ? ? 0 ,得 a 2 ? 6a ? 4 ? 0 ? a ? 3 ? 5,2?? ?2,3 ? 5 . 2

?

?

?

10 分

(3)∵ f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? ? 2 x0 ?1 ? ?x0 ? 1?2 ? 2 x0 ? x0 2 ? 3 ? 2 x0 ? 2( x0 ? 1) ? 2 2 x0 ?1 ? ?x0 ? 1? ,
x 又∵函数 y ? 2 图象与函数 y ? ? x 的图象有交点,设交点的横坐标为 a ,

?

?

则2 ?a ? 0?2
a

x0 ?1

? ?x0 ? 1? ? 0 ,其中 x0 ? a ? 1
x 2

∴ f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? ,即 f ?x? ? 2 ? x ? M .

16 分

用心

爱心

专心


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