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第一章第1讲集合的概念与运算


第一章

集合与常用逻辑用语

[2017高考导航]
知识点 考纲下载 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合 的子集. 集 合 (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单 集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给 定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.

第一章

集合与常用逻辑用语

考纲下载 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式 模型. 简单不等式的 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二 解法 次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等 式,会设计求解的程序框图. 1.理解命题的概念. 命题及其关系、 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否 充分条件与必 命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 要条件 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含 简单的逻辑联 义. 结词、全称量 2.理解全称量词和存在量词的意义. 词与存在量词 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知识点

第一章

集合与常用逻辑用语

第1讲 集合的概念与运算

第一章

集合与常用逻辑用语

1.集合与元素

互异性 、________ 无序性 . (1)集合元素的三个特征:确定性 ________、________ 不属于 关系,用符号 属于 或 ________ (2)元素与集合的关系是 ________ ∈ ? ________ 或________ 表示. 描述法 、________ 列举法、________ 图示法 . (3)集合的表示法:________

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集合与常用逻辑用语

(4)常见数集的记法 自然数 集 N 有理数 集 Q

集 合 符 号

正整数集 N*(或N+)

整数集 Z

实数集 R

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集合与常用逻辑用语

2.集合间的基本关系 (1)集合关系图解 关 系 韦恩(Venn)图

表示

符号表示

真子集 A

B

子集 A?B 集合相等A=B

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第一章

集合与常用逻辑用语

空集 , ? (2)不含任何元素的集合叫做 ________ 记作 ________ , 并规

真子集 . 定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的 ________

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集合与常用逻辑用语

3.集合的基本运算 集合的并集 图形 语言 符号 语言 A∪ B= {x|x∈A,或 ___________ x∈B} __________ A∩ B= {x|x∈A,且 ___________ x ∈B} __________ ? UA= {x|x∈U,且 ___________ x?A} ___________ 集合的交集 集合的补集

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第一章

集合与常用逻辑用语

1.辨明三个易误点 (1)认清元素的属性. 解决集合问题时, 认清集合中元素的属 性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个 先决条件. (2)注意元素的互异性. 在解决含参数的集合问题时, 要注意 检验集合中元素的互异性, 否则很可能会因为不满足“互异 性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关 A∩B=?,A?B 等集合问题时, 往往忽略空集的情况,一定先考虑?是否成立,以防漏解.
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第一章

集合与常用逻辑用语

2.活用一组结论 (1)A∪ B= A? B? A, A∩ B= A? A? B. (2)A∩ A= A, A∩?=? . (3)A∪ A= A, A∪?= A. (4)A∩(? UA)=?, A∪(? UA)= U,? U(? UA)= A. (5)A? B? A∩ B= A? A∪ B= B?? UA?? UB? A∩ (? UB)=?. (6)若集合 A 中含有 n 个元素,则它的子集个数为 2n,真子 集个数为 2n- 1,非空真子集个数为 2n- 2.

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第一章

集合与常用逻辑用语

1.(必修 1P12 习题 1.1A 组 T5(3)改编)已知集合 A={x|x 是 平行四边形}, B={x|x 是矩形}, C={x|x 是正方形}, D={x|x 是菱形},则( B ) A.A?B C.D?C B.C?B D.A?D

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第一章

集合与常用逻辑用语

2.已知集合 A= {(x, y)|x, y∈ R,且 x + y = 1}, B= {(x, y)|x, y∈ R,且 y= x},则 A∩ B 的元素个数为 ( C ) A. 0 C. 2 B. 1 D. 3

2

2

解析:集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆,集合 B 表示 的是直线 y= x,据此画出图象,可得图象有两个交点,即 A∩ B 的元素个数为 2.

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集合与常用逻辑用语

3.集合 A= {x|x=- y + 6,x∈ N,y∈ N} 的真子集的个数为 ( C ) A. 9 C. 7 B. 8 D. 6

2

解析:当 y=0 时, x= 6;当 y=1 时, x= 5;当 y= 2 时,x = 2;当 y≥3 时, x? N,故集合 A={2, 5, 6},共含有 3 个 元素,故其真子集的个数为 23- 1= 7.

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集合与常用逻辑用语

4 . ( 必修 1P12 习题 1.1A 组 T7 改编 ) 已知全集 U = {1 , 2 , 3 , 4, 5,6, 7,8},集合 A={2, 3, 5, 6},集合 B= {1, 3, {2,5}. 4,6,7},则集合A∩? B=________
U

解析:由题意得?UB={2,5,8},所以A∩?UB={2,3,5,
6}∩{2,5,8}={2,5}.

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第一章

集合与常用逻辑用语

5.(必修1P12习题1.1A组T10改编)已知集合A={x|x2-4x+ {x|x≤1或x>2} 3<0},B={x|2<x<4},则(? A)∪B=__________________ .
R

解析:由已知可得集合A={x|1<x<3},又因为B= {x|2<x<4}, ?RA={x|x≤1或x≥3},所以(?RA)∪B={x|x≤1或 x>2}.

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集合与常用逻辑用语

考点一

集合的基本概念

(1)已知集合 A={0, 1, 2} , 则集合 B={(x, y)|x≥ y, x∈ A, y∈ A}中元素的个数是 ( C ) A. 1 C. 6 B. 3 D. 9

b ? ? (2)设 a, b∈ R, 集合{1, a+ b, a}=?0, , b?, 则 b- a= ( C ) ? ? a A. 1 C. 2 B.- 1 D.- 2
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第一章

集合与常用逻辑用语

[解析](1)当 x=0 时,y=0;当 x=1 时,y=0 或 y=1;当 x =2 时,y=0,1,2. 故集合 B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2, 2)},即集合 B 中有 6 个元素. b ? ? ? (2)因为{1,a+b,a}= 0,a,b?,a≠0,所以 a+b=0,则 ? ? b =-1,所以 a=-1,b=1.所以 b-a=2. a

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第一章

集合与常用逻辑用语

与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数, 但要注意检验集合是否满足元素的互异性 .

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第一章

集合与常用逻辑用语

1.(1)已知集合 M= {1, m+2, m + 4}, 且 5∈ M, 则 m 的值为( B ) A. 1 或- 1 C.- 1 或 3
2

2

B. 1 或 3 D. 1,- 1 或 3

(2)已知集合 A={ x|ax - 3x+ 2= 0},若 A=?,则实数 a 的 ?9,+∞ ? ?8 ? 取值范围为 __________________ .

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第一章

集合与常用逻辑用语

解析: (1)因为 5∈ {1,m+ 2,m2+ 4}, 所以 m+ 2=5 或 m + 4= 5, 即 m=3 或 m=± 1. 当 m=3 时, M= {1, 5,13};当 m=1 时, M={1, 3, 5}; 当 m=-1 时,不满足互异性. 所以 m 的值为 3 或 1. (2)因为 A=?,所以方程 ax - 3x+ 2= 0 无实根, 2 当 a=0 时, x= 不合题意, 3 9 当 a≠0 时, Δ= 9- 8a<0,所以 a> . 8
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2

2

第一章

集合与常用逻辑用语

考点二

集合间的基本关系

(1)已知集合 A={ x|x2 - 3x+ 2= 0, x∈ R} , B= { x|0<x<5,x∈ N},则满足条件 A? C? B 的集合 C 的个数为 ( D ) A. 1 C. 3 B. 2 D. 4

(2)已知集合 A= { x|- 2≤ x≤ 5}, B= { x|m+ 1≤ x≤ 2m- 1}, (-∞,3] 若 B? A,则实数 m 的取值范围为 __________________.

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第一章

集合与常用逻辑用语

[解析](1)由 x2-3x+2=0,得 x=1 或 x=2,所以 A={1, 2}. 由题意知 B={1,2,3,4}, 所以满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1, 2,3,4}. (2)因为 B?A, 所以①若 B=?,则 2m-1<m+1,此时 m<2. 2m-1≥m+1, ? ? ②若 B≠?,则?m+1≥-2, 解得 2≤m≤3. ? ?2m-1≤5. 由①、②可得,符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.
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第一章

集合与常用逻辑用语

1.在本例(2)中,若 A? B,如何求解?
? ?m+ 1≤- 2, ? ?m≤- 3, 解: 若 A? B,则? 即? ? ? ?2m- 1≥ 5, ?m≥ 3.

所以 m 的取值范围为?.

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第一章

集合与常用逻辑用语

2.若将本例 (2)中的集合 A 改为 A= {x|x<-2 或 x>5},如何 求解? 解: 因为 B? A,
所以①当 B=?时,即 2m- 1<m+1 时,m <2,符合题意.
? ?m+ 1≤ 2m- 1, ②当 B≠?时,? ?m+ 1>5 ? ? ?m+ 1≤ 2m- 1, 或? ?2m- 1<- 2, ? ?m≥ 2, ? ? 解得? 或? 1 即 m >4. ?m >4 ?m <- .

m≥ 2, 2

?

综上可知,实数 m 的取值范围为(-∞, 2)∪ (4,+∞ ).
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第一章

集合与常用逻辑用语

(1)判断两集合的关系常有两种方法 ①化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系; ②用列举法表示各集合,从元素中寻找关系. (2)根据两集合的关系求参数的方法 ①若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解 方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性; ②若集合表示的是不等式的解集, 常依据数轴转化为不等式 (组)求解,此时需注意端点值能否取到.
[注意] 题目中若有条件 B? A, 则应分 B=?和 B≠?两种情 况进行讨论.
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第一章

集合与常用逻辑用语

2.(1)(2016· 邢台摸底考试 )已知集合 A= { x| - 2≤ x≤ 2}, B= { y|y= x, 0≤ x≤ 4} ,则下列关系正确的是 ( C ) A. A??R B C.? R A?? R B B. B?? R A D. A∪ B= R

(2)已知集合 A= { x|log2 x≤ 2}, B=(-∞, a),若 A? B,则 4 实数 a 的取值范围是(c,+∞),其中 c= ________ .

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第一章

集合与常用逻辑用语

解析:(1)依题意得 B={ y|0≤ y≤ 2},因此 B? A,?R A?? R B. (2)由 log2 x≤ 2,得 0<x≤ 4, 即 A= { x|0<x≤ 4}, 而 B= (-∞, a), 由于 A? B,如图所示,

则 a>4,即 c= 4.

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第一章

集合与常用逻辑用语

考点三

集合的基本运算(高频考点)

集合的基本运算是历年各地高考的热点,每年必考,常和不 等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题,主要以选择 题的形式出现.试题难度不大,多为低档题. 高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度: (1)求集合间的交、并、补运算; (2)已知集合的运算结果求集合; (3)已知集合的运算结果求参数的值 (或参数的取值范围 ).

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第一章

集合与常用逻辑用语

(1)(2015· 高考全国卷Ⅰ )已知集合 A={ x|x= 3n+ 2, n∈ N} , B= {6, 8, 10, 12, 14},则集合 A∩ B 中元素 的个数为 ( D ) A. 5 C. 3 B. 4 D. 2

(2)已知全集 U= R, A = { x|x≤ 0} , B= { x|x≥ 1} ,则集合 ? U(A∪ B)= ( D ) A. { x|x≥ 0} C. { x|0≤ x≤ 1} B. { x|x≤ 1} D. { x|0<x<1}
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第一章

集合与常用逻辑用语

[解析](1)集合 A 中元素满足 x=3n+2,n∈N,即被 3 除余 2,而集合 B 中满足这一要求的元素只有 8 和 14,故集合 A∩B 中元素的个数为 2. (2)利用数轴分析求解. 因为 A={x|x≤0},B={x|x≥1}, 所以 A∪B={x|x≤0,或 x≥1}.在数轴上表示,如图所示.

所以?U(A∪B)={x|0<x<1}.

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第一章

集合与常用逻辑用语

集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助 Venn 图求解; (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解; (3)已知集合的运算结果求集合, 常借助数轴或 Venn 图求解; (4)根据集合运算结果求参数,先把符号语言译成文字语言, 然后适时应用数形结合求解.

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第一章

集合与常用逻辑用语
2

3.(1)(2016· 南昌调研 )设全集 U= R, A= { x|x - 2x≤ 0}, B={ y|y= cos x, x∈ R},则图中阴影部分表示的区 间是 ( C )

A. [0, 1] B. [- 1, 2] C. (-∞,- 1)∪(2,+∞) D. (-∞,- 1]∪[2,+∞)
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第一章

集合与常用逻辑用语

(2)(2016· 新乡一中月考 )设集合 A={ x|- 1< x- a<1,x∈ R}, B= { x|1<x<5,x∈ R},若 A∩B= ? ,则实数 a 的取值范围是 ( C ) A. { a|0≤a≤6} B. { a|a≤2 或 a≥4} C. { a|a≤0 或 a≥6} D. { a|2≤a≤4}
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第一章

集合与常用逻辑用语

解析:(1)因为 A= { x|0≤ x≤ 2}=[0, 2], B= { y|- 1≤ y≤ 1} = [- 1, 1],所以 A∪ B= [- 1, 2],所以?R (A∪ B)=(-∞, - 1)∪(2,+∞). (2)因为 |x- a|<1,所以- 1<x- a<1,所以 a- 1<x<a+ 1,又 B= { x|1<x<5}, A∩ B=?,故 a+ 1≤1 或 a- 1≥ 5,即 a≤ 0 或 a≥ 6.

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第一章

集合与常用逻辑用语

交汇创新——集合中的创新问题
以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题 的一个热点,此类题目常常以“问题”为核心,以“探究” 为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托, 考查考生理解问题、解决创新问题的能力. 常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中 集合只是基本的依托.

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第一章

集合与常用逻辑用语

(1)(2016· 郑州质检 )已知集合 A, B, 定义集合 A 与 B 的一种运算 A⊕ B,其结果如下表所示: A B A⊕ B {1, 2, { - 3, 4} 6} {1, 4, 6} 1, 1} 1, 1} ? {2, 3, { - { - 4, 8} { - 1,0,1}

{ - 4,- 2, { - 2,- 1, 0, 2} { - 2,0,2, 8} 0, 1} { - 2}

按照上述定义,若 M= {- 2 014, 0, 2 015}, N= {- 2 015, {-2 014,2 015,-2 015,2 016} 0,2 016}, 则 M⊕ N= ________________________________.
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第一章

集合与常用逻辑用语

(2)如果集合 A 满足若 x∈ A, 则- x∈ A, 那么就称集合 A 为 “对称集合”.已知集合 A={2x, 0, x2+ x},且 A 是对称

{0,6} . 集合,集合 B 是自然数集,则 A∩ B= ________

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第一章

集合与常用逻辑用语

[解析]

(1)由给出的定义知,集合 A⊕ B 的元素是由所有属

于集合 A 但不属于集合 B 和属于集合 B 但不属于集合 A 的 元素构成的,即 A⊕ B={ x|x∈ A 且 x? B,或 x∈ B 且 x? A}, 故 M⊕ N= {- 2 014, 2 015,- 2 015, 2 016}. (2)由题意可知- 2x= x2 + x,所以 x= 0 或 x=- 3.而当 x= 0 时不符合元素的互异性, 所以舍去. 当 x=-3 时, A={- 6, 0, 6},所以 A∩ B= {0, 6}.

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第一章

集合与常用逻辑用语

解决集合创新型问题的方法 (1)紧扣新定义. 首先分析新定义的特点, 把新定义所叙述的 问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这 是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算 性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在 解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素, 在关键之处用好集合的性质.
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第一章

集合与常用逻辑用语

(2016· 洛阳模拟 )集合 A= {x|x<0} , B= {x|y= lg[x(x+ 1)]}, 若 A- B= {x|x∈ A, 且 x? B}, 则 A- B= ( B ) A. {x|x<- 1} C. {x|- 1<x<0} B. {x|- 1≤ x<0} D. {x|x≤- 1}

解析:由 x(x+ 1)>0,可知 x>0 或 x<- 1,故 B=(-∞,- 1)∪(0,+∞),故 A- B=[- 1, 0).

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集合与常用逻辑用语

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