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声表面波

离散傅里叶变换
在第二章讨论了利用序列的傅里叶变换和 z 变换来表示序列和线性时 不 变 系 统 的 方 法 , 公 式 分 别 为 : X ( z) ?
?

n ? ??

? x ( n) z

?

?n



X (e jw ) ?

n ? ??

? x ( n)e

? jwn

。对于有限长序列,也可以用序列的傅里叶变换和

z 变换来分析和表示,但还有一种方法更能反映序列的有限长这个特点,即 离散傅叶里变换。 这就是我们这一章要讨论的问题。 离散傅里叶变换除了作 为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外, 而且由于存在着 计算离散傅里叶变换的有效快速算法, 因而离散傅里叶变换在各种数字信号 处理的算法中起着核心的作用。这一章讨论的问题有: 1、 傅里叶变换的几种可能形式:至今学过很多种傅里叶变换形式,到底 之间有什么不 同,需要分析一下;

2、 周期序列的离散傅里叶级数(DFS):通常的周期信号都可以表示成傅里 叶级数,然后根据傅里叶级数可以得到傅里叶变换;也就是说傅里叶 级数与傅里叶变换之间有一定的关系; 3、 有限长序列的离散傅里叶变换(DFT):这是我们的重点,我们会对其性 质等作分析讨论; 4、 DFT 的应用:学习了这种傅里叶变换,怎么用?计划作一个实验。

3.1 傅里叶变换的几种形式
傅里叶变换就是建立以时间为自变量的"信号"与以频率为自变量的"频 率函数"之间的某种变换关系。都是指在分析如何综合一个信号时,各种不

33

同频率的信号在合成信号时所占的比重。 如连续时间周期信号 f (t ) ? f (t ? m T) ,可以用指数形式的傅里叶级 数来表示,可以分解成不同次谐波的叠加,每个谐波都有一个幅值,表示该 谐 波 分 量 所 占 的 比 重 。 傅 里 叶 表 示 形 式 为 :

f (t ) ?

n ? ??

?F e
n

?

jn?t

1 ? Fn ? T

T 2

T ? 2

? f (t )e

? jn?t

dt (Fn 离散、衰减、非周期) 。

例如周期性矩形脉冲, 其频谱为 Fn ? 形。

? sin( n?? / T ) , n ? 0,?1,? 。 画出图 T n?? / T

对于非周期信号,如门函数,存在这样的关系式:

1 f (t ) ? 2?

?

??

? F ( jw)e

? jwt

dw ? F ( jw) ?

??

? f (t )e

? jwt

dt ,时域非周期连续,

频率连续非周期。画出图形。 例 如序 列的傅 里叶 变换, 变换 关系为 : X (e ) ?
jw

n ? ??

? x ( n)e

?

? jwn



1 x ( n) ? 2?

?
?

?? X (e

jw

)e jwn dw ,时域为非周期离散序列,频域为周期为 2π

的连续周期函数。 以上三种傅里叶变换都是符合傅里叶变换所谓的是建立以时间为自变 量的"信号"与以频率为自变量的"频率函数"之间的某种变换关系。不同形式 是因为时间域的变量和频域的变量是连续的还是离散而出现的。 这三种傅里 叶变换因为总有一个域里是连续函数, 而不适合利用计算机来计算。 那么如 果时间域里是离散的,而频域也是离散的,就会适合在计算机上应用了,那 么傅里叶变换会是什么形式?见书上 90 页图形,可见时域和频域都对应为 序列的形式。
34

3.2 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
回顾一下,对于周期信号,通常都可以用傅里叶级数来描述,如连续 时 间 周 期 信 号 f (t ) ? f (t ? m T) , 用 指 数 形 式 的 傅 里 叶 级 数 来 表 示 为

f (t ) ?

n ? ??

?F e
n

?

jn?t

,可以看成信号被分解成不同次谐波的叠加,每个谐波

都有一个幅值,表示该谐波分量所占的比重。其中 e

j?t

为基波,基频为Ω =2

x π /T 为周期)设 ~ (n) 是周期为 N 的一个周期序列, ~ (n) = ~(n ? rN ) , (T 。 x 即x x r 为任意整数,用指数形式的傅里叶级数表示应该为 ~ (n) =
其中ω 0=2π /N 是基频,基频序列为 e 谐波 e
j ( k ? rN ) w0 n jw0 n

k ? ??

?X

?

~
k

e jkw0 n ,

。下面来分析一下第(K+rN)次

和第(k)次谐波 e
j ( k ? rN ) w0 n

jkw0 n

之间的关系。因为ω 0=2π /N,代入

表达式中,得到 e

=e

jkw0 n

,r 为任意整数。这说明第(K+rN)次谐

波能够被第(k)次谐波代表,也就是说,在所有的谐波成分中,只有 N 个

x 是独立的,用 N 个谐波就可完全的表示出 ~ (n) 。K 的取值从 0 到 N-1。这 x 样 ~ ( n) =
1 N

?X
k ?0

N ?1

~
k

e jkw0 n ,

1 是为了计算的方便而加入的。 N

x 下面来看看 X k 如何根据 ~ (n) 来求解。先来证明复指数的正交性:

~

?e
n ?0

N ?1

j(

2? )( k ? r ) n N

?1, k ? r ? m N, m为整数 , 注意该表达式是对 n ?? 0, 其它 ?

求和,而表达式的结果取决于(k-r)的值。

x 在 ~ ( n) =

1 N

?X
k ?0

N ?1

~
k

并且从 n=0 到 n=N-1 e jkw0 n 两边都乘以 e ? j ( 2? / N ) rn ,

35

求和,得到

N ?1 1 N ?1 ~ j ( 2? / N )( k ?r ) n ~(n)e ? j ( 2? / N ) rn ? 交换求和顺 x ? ? N ? X ke n ?0 n ?0 k ?0 N ?1 n ?0

N ?1

序,再根据前面证明的正交性结论可以得出:
2?

x ? ~(n)e

? j ( 2? / N ) rn

~ ? X (r ) ,

N ?1 ? j kn ~ ~ ~ 换一个变量,有 X (k ) = ? ~(n)e N ,从 X (k ) 的表达式可以看出 X (k ) x n ?0

也是周期为 N 的周期序列,即 X (k ) = X (k ? N ) 。

~

~

~ ( n) = 1 x N

?X
k ?0

N ?1

~
k

e jkw0 n
2?

N ?1 ? j kn ~ x X (k ) = ? ~(n)e N n ?0

为周期序列的傅里叶级数对

在上面的傅里叶级数对中,n 和 k 的范围是从-∞到∞。 为了表示的方便,引入变量 WN ? e ? j ( 2? / N ) ,N 表示周期。重新写上面 的级数对。讨论如下内容:
Nk 2 1) WN ? e ? j ( 2? / N ) ,以 N 为周期。 WN ? 1 , WN ? WN / 2 ;

x 2)求和只对序列的一个周期的值进行,但求出的 X (k ) 或 ~ (n) 却是无
限长的;

~

x 3)由 ~ (n) 以 N 为周期推导出 X (k ) 以 N 为周期;
x x 4)对于周期序列 ~ (n) = ~(n ? rN ) ,因为 z 变换不收敛,所以不能用 x z 变换, 但若取 ~ (n) 的一个周期, z 变换是收敛的。X ( z ) ? 则
当取 z?e
j ( 2? / N ) k

~

n ? ??

x ? ~ ( n) z

?

?n



时 , X ( z) ? X (k ) , 而 X (e ) ? X ( z) | z ?e jw , 当
jw

~

36

~ w ? (2? / N )k 时, X (e jw ) = X (k ) ,这相当于在ω =0 到ω =2π 的范围内,
以 2π /N 的频率间隔在 N 个等间隔的频率上对傅里叶变换进行采样。 5)引入主值序列的概念,即序列在 0~N-1 区间的序列称为主值序列。 举例:

x x 例 1 求 ~ (n) 的 DFS 系数。 ~ (n) 为周期冲激串 ~ (n) = 设x

r ? ?? N ?1 n ?0

? ? (n ? rN ) ,对
kn N

?

x 于 0≤n≤N-1, ~ (n) = ? (n) ,可以求出 X (k ) =
有 的

~

? ? (n)W

=1,即对于所

k
?

~ x 值 , X ( k ) 均 相 同 。 ~ ( n) 表 示 成 级 数 形 式 为
1
N ?1 k ?0 ? kn N

~ ( n) = x

r ? ??

? ? (n ? rN ) = N ?W

?

1 N ?1 j ( 2? / N ) kn ?1, n ? rN =? 。 ?e N k ?0 ?0, 其它

x x 例 2 设 ~ (n) 的周期为 N=10,在主值区间内,0≤n≤4 时, ~ (n) =1,在 5
≤ n ≤ 9 时 ,

~ (n) =0 。 画 出 ~ (n) 的 图 形 , 则 x x

4 4 sin(?k / 2) ~ ~ kn ,画出 X (k ) 的幅 X (k ) = ?W10 ? ? e ? j ( 2? / 10 ) kn = e ? j ( 4?k / 10 ) sin(?k / 10) n ?0 n ?0

值图。X (0)=5,X (±1)=3.23,X (±2)=0,X (±3)=1.24,X (±4)=0,X (± 5)=1, X (±6)=0, X (±7)=1.24, X (±8)=0, X (±9)=3.23,这是一个周 期内的值。设 n 取 5~14,即不是取主值周期,随便取一个周期,计算傅里 叶级数 X 2 (k ) , 得到的结果和在主值周期中的结果 X (k ) 一样。 下面计算有 限 长 序 列

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

x(n)

=

?1,0 ? n ? 4 的 傅 里 叶 变 换 。 ? ?0,5 ? n ? 9
? jwn

X (e ) ?
jw

n ? ??

? x ( n)e

?

? jwn

=

?e
n ?0

4

1 ? e ? j5w = 1 ? e ? jw
37

=

e ? j (5 / 2) w sin(5w / 2) ~ ,如果将ω =2π k/10 代入上式,则结果和 X (k ) 一样。 ? j (1 / 2 ) w e sin(w / 2)

X (e jw ) 的幅度一个周期图如下所示:

可以看出 X (k ) 相当于在ω =0 到ω =2π 的范围内,以 2π /10 的频率间隔在 10 个等间隔的频率上对傅里叶变换进行采样。

~

x 例 3 例题中得到这样一个结论, 对于以 N 为周期的周期序列 ~ (n) ,任取一

x 个周期求得的傅里叶系数 X 2 (k ) 与 ~ (n) 在主值区间(n=0~N-1)中求得的

~

~ x 傅 里 叶 系 数 X 1 (k ) 相 同 。 现 在 已 知 ~ ( n ) 的 周 期 为 N ,
~ X 1 (k ) =
? j kn ~ x ? ~(n)e N , X 2 (k ) = n ?0 N ?1 2?

n ? m1

?

m2

~ (n) e ? j N kn , m1=rN+n1 , x

2?

m2=rN+n1+N-1,0≤n1≤N-1,证明 X 1 (k ) = X 2 (k ) 。 证 明 : X 2 (k ) =

~

~

~

rN ? n1 ? N ?1 n ? rN ? n1
2?

?

~ (n) e ? j N kn ( 令 n-m=rN 或 m=n-rN ) x

2?

? j( ) k ( m ? rN ) x = ? ~ (m ? rN )e N

38

n1? N ?1

=

m ? n1

?

~(m)e ? j N mk ? x

2?

m ? n1

? () ?

N ?1

n1? N ?1 m? N

? () (后一个分量作变量
n1?1

m-N=n)

=
N ?1 n ?o

x ? ~(n ? N )W
n ?0

( n? N ) k N

n1?1

=

x ? ~(n)W
n ?0

nk N

=

x ? ~(n)W

nk N

= X 1 (k )

~

x 例 4(留作作业) ~ (n) 的周期为 N,其 DFS 系数为 X (k ) 。 X (k ) 也是周期 x 为 N 的周期序列,试利用 ~ (n) 求 X (k ) 的 DFS 系数。
解: X (k ) =

~

~

~

~

x ? ~(n)W
n ?o N ?1 k ?0

N ?1

nk N

~ X (r ) =

N ?1 N ?1 ~ kr kn = ?[? ~(n)WN ] N = x W kr ? X (k )WN k ?0 n ?0

x ? ~(n)?WNk (n?r ) ,
n ?0 k ?0

N ?1

N ?1

?W
k ?0

N ?1

k ( n?r ) N

? N , n ? r ? lN ~ x x ,所以 X (r ) = N~(?r ? lN ) ? N~(?r ) 。 ?? ?0, 其余

3.3 离散傅里叶级数(DFS)的性质
离散傅里叶级数的某些性质对于它在信号处理问题中的成功使用是因 为 DFS 与 z 变换和序列的傅里叶变换关系密切, 所以很多性质和 z 变换的性质相似, 而 DFS 是和周期性序列联系在一起, 所以存在一些重要差别。 另外, DFS 在 表达式中时域和频域之间存存在着完全的对偶性, 而在序列的傅里叶变换和 z 变换的表示式中这一点不存在。

x x 考虑两个周期序列 ~1 ( n) 、~2 (n) , 其周期均为 N, ~1 ( n) ? X 1 (k ) , 若x

~

39

~ ~ (n) ? X (k ) x2 2
1、 线性 a ~1 ( n) +b ~2 (n) ? a X 1 (k ) +b X 2 (k ) ,周期也为 N。由定义式证明。 x x 2、 序列的移位

~

~

~ ~ ~ (n) ? X (k ) ,那么 ~ (n ? m) ? W km X (k ) 。证明: x x N
x ? ~(n ? m)W
n ?0 N ?1? m i ?m N ?1 nk N

=

N ?1 ~ ~(i)W kiW ?mk (i ? m ? n) ? W ?mk ~(i)W ki ? W ?mk X (k ) x ? ?x N N N N N i ?0

3、 调制特性 因为周期序列的傅里叶级数的系数序列也是一个周期序列, 所以有类似

~ ? x 的 结 果 , l 为 整 数 , 有 WN nl ~ (n) ? X (k ? l ) 。 证 明 :
N ?1 ~ ? kn ( WN nl ~(n)WN ? ? ~(n)WNk ?l ) n ? X (k ? l ) 。 x x ? n ?0 n ?0 N ?1

4、 对称性 给出几个定义: 1) 共扼对称序列
* 满足 xe (n) ? xe (?n) 的序列 x e (n)

2) 共扼反对称序列
* 满足 xo (n) = ? xo (?n) 的序列 xo (n)

3) 偶对称序列、奇对称序列 若 x e (n) 和 xo (n) 为 实 序 列 , 且 满 足 x e (n) = xe (?n) 和

40

xo (n) = ? xo (?n) 。
4) 任何一个序列都可表示成一个共扼对称序列和一个共扼反对称序 列之和(对实序列,就是偶对称序列和奇对称序列之和) 。即有

x(n) = xe (n) + xo (n) ,其中

xe (n) =( x(n) + x * (?n) )/2, xo (n) =( x(n) - x * (?n) )/2
下面为对称性:

~ ~ ~ * (n) ? X * (?k ) ; ~* (?n) ? X * (k ) ; ~ (n) =( ~ (n) + ~ * (n) ) x xe x x x
/2 ? Re( X (k )) 证明:

~

x ?~
n ?0

N ?1

*

kn ? (n)WN ? [? ~(n)WN kn ]* = [ x n ?0

N ?1

m ?1? N

x ? ~(?m)W

0

km * (任意一个 N

]

周 期 的 DFS 系 数 和 主 值 区 间 中 的 DFS 系 数 是 一 样 的 ) =[

m ?0

x ? ~(?m)W

N ?1

km * N

~ ] ? X * ( ?k ) ;

x ?~
n ?0

N ?1

*

kn ? (n)WN ? [? ~(?n)WN kn ]* x n ?0

N ?1

=

[

n '?1? N

x ? ~(n' )W

0

kn' N

]*

=

N ?1 ~ kn [ ? ~(n' )WN ' ]* = X * (k ) ; x n '? 0

N ?1 1 1 ~ ~ ~ (n)W kn ? xe x x ? ? 2 (~(n) ? ~ * (n))WNkn ? 2 [ X (k ) + X * (?k ) ]= N n ?0 n ?0

N ?1

~ Re( X (k ))
5、 周期卷积

41




N ?1

~ Y (k )

=

~ X 1 (k )
N ?1

·

~ X 2 (k )





~(n) ? ~ (n) ~ (n ? m) = ~ (m) ~ (n ? m) ;这是一个卷积和公 y ? x1 x2 ? x2 x1
m ?0 m ?0

式,但与线性卷积有所不同,首先在有限区间 0≤m≤N-1 上求和,即在 一个周期内进行求和; 对于在区间 0≤m≤N-1 以外的 m 值,~2 (n ? m) x 的值在该区间上周期的重复。看书上的图解周期卷积。

3.4 非周期序列和周期序列的一般关系
非周期序列(非周期序列不一定是有限长序列)具有傅里叶变换

X (e jw ) 的形式,周期序列的 DFS 系数对应于 X (e jw ) 在频率上等间隔
的采样。 考虑非周期序列 x(n)的傅里叶变换为 X (e ) , 并且假定序列 X (k ) 是通过对 X (e ) 在 2?k / N 频率处采样得到的 (即 X (k ) 是构造出来的
jw jw

~

~

一个序列) ,即

~ X (k ) = X (e jw ) | w ? (2? / N )k = X (e j ( 2? / N ) k )
因为傅里叶变换是 w 的周期函数,周期为 2π ,所以得出的序列是 k 的
42

周期函数,周期为 N。 这样,可以看出样本序列 X (k ) 是周期序列,周期为 N,它可以

~

x x 是一个序列 ~ (n) 的离散傅里叶级数的系数序列。为得到 ~ (n) ,可以将

~ X (k ) 代入公式中:
N ?1 ~ ~ ( n) = 1 x ? X (k )WN?kn ,已经假定存在 x(n) 的傅里叶变换,所 N k ?0 ?



X (e jw ) X (e jw )

=

m ? ??

? x ( m) e

? jwm







~ X (k )

=

|

w ? (2? / N )k

=

X (e j ( 2? / N ) k )





N ?1 ? ? 1 N ?1 ~ ( n) = 1 x ?[m? x(m)e ? j (2? / N )km ]WN?kn = m? x(m)[ N ?WN?k (n?m) ] , N k ?0 ??? ? ?? k ?0


?


?

1 N ?1 ?k ( n ?m ) ?1, n ? m ? rN ?? ?WN N k ?0 ?0, 其它
~



~ ( n) = x

r ? ??

? x(n ? rN ) =

r ? ??

由此可以看出与 X (k ) 对应的周期序 ? x(n ? rN ) 。

~ x 列 ~ (n) 是 把 无 数 多 个 平 移 后 的 x(n) 加 在 一 起 而 形 成 的 , X (k ) 是 对 ~ X (e jw ) 采样而得到的。N 为序列 X (k ) 的周期,而不是非周期序列 x(n) 的
长度 M。这样就可能出现这种情况,当序列 X (k ) 的周期 N 大于非周期序 列 x(n) 的长度 M 时,延时后的 x(n) 序列没有重叠在一起,并且周期序列

~

~ (n) 的一个周期就是 x(n) , x 这时符合一个周期序列的傅里叶级数系数就是
一个周期上的傅里叶变换的抽样值。 如果 N<M 时, 平移后的 x(n) 序列相互

x 重 叠 , ~ (n) 的 一 个 周 期 不 再 与 x(n) 的 周 期 相 同 , 但 式 子
43

~ X (k ) = X (e jw ) | w ? (2? / N )k = X (e j ( 2? / N ) k ) 依然成立。这和我们讨论过
x 的时域采样定理有点类似,当 N≥M 时, 原来的序列 x(n) 可以从 ~ (n) 中抽
取一个周期来恢复,同样,傅里叶变换 X (e jw ) 也可以从频率上以 2π /N 等

x 间隔的采样来恢复。当 N<M 时,序列 x(n) 就不能从 ~ (n) 中抽取一个周期
来恢复, X (e jw ) 也不能由它的采样来恢复。这主要是采样的点数不够。但 只要 x(n) 是有限长的,就可以选择采样点数,避免混叠。也就是说,只要 就没有必要知道在所有频率处的 X (e jw ) 值。 若给出一个有 x(n) 是有限长,

x 限长序列 x(n) ,就能根据 ~ (n) =

r ? ??

? x(n ? rN ) 形成一个周期序列,从而可
~

?

以用傅里叶级数来表示。另外,如果给出傅里叶系数 X (k ) ,就可以求出

~ (n) ,取出其主值序列得到 x(n) 。当利用傅里叶级数以这种方式来表示有 x
限长序列时,就称它为离散傅里叶变换(DFT) ,所以在讨论或应用 DFT 时 应明白, 通过傅里叶变换的采样值来表示, 实际上是用一个周期序列来表示 有限长序列,该周期序列的一个周期就是我们要表示的有限长序列。

3.5 有限长序列的傅里叶表示:离散傅里叶变换 (DFT)
x 上面讨论了 ~ (n) =

r ? ??

? x(n ? rN ) ,即有限长序列可看作是周期序列

?

x 的一个周期。周期序列和有限长序列的关系可表示成: ~ (n) = x((n)) N ,

~ x(n) ? ~(n) RN (n) ;同样离散傅里叶级数系数 X (k ) 也是一个周期为 N 的 x
44

周期序列,我们将与有限长序列 x(n) 相联系的傅里叶系数选取为与 X (k ) 的一个周期相对应的有限长序列,则有以下关系: X (k ) = X ((k )) N ,

~

~

~ X (k ) = X (k ) RN (k ) 。
1 ~ x x X ( k ) 和 ~ ( n) 相 联 系 的 关 系 式 为 : ~ ( n) = N
2?

?X
k ?0

N ?1

~
k

e jkw0 n ,

N ?1 ? j kn ~ = ? ~(n)e N , 因为两个式子中的求和都只涉及到 0~(N-1)这个区 x X (k ) n ?0

间,所以根据前面有限长序列和周期序列的关系可以得到:

X (k ) =

? x(n)W
n ?0

N ?1

kn N

R N (k ) 和 x(n) =

1 N ?1 ? X (k )WN?kn RN (n) , 即 N k ?0

~ X (k ) = X (k ) RN (k ) ,x(n) = ~ (n) RN (n) 。 x 这意味着: 对于区间 0 ? k ? N-1
之外的 k, X (k ) =0。而且,对于区间 0 ? n ? N-1 之外的 n, x(n) =0。 注意: 对于有限长序列时域和频域的关系式中蕴含有周期性, 从关系

x 式 X (k ) = X (k ) RN (k ) ,x(n) = ~ (n) RN (n) 可以看出其实有限长序列都是
作为周期序列的一个周期来表示,隐含有周期性意义。当利用

~

x(n) =

1 N ?1 ? X (k )WN?kn RN (n) 式子来计算 x(n) 时,如去掉后缀 RN (n) ,那 N k ?0

么对于 0 ? n ? N-1 之外的 n, x(n) 并不等于零,而是 x(n) 的周期延拓。只 是我们感兴趣的 x(n) 的值只是在 0 ? n ? N-1 区间内,因为 x(n) 在该区间之 外的确为零,并且认为所感兴趣的 X (k ) 值也只是在区间 0 ? k ? N-1 内,因

为在式子 x(n) =

1 N ?1 ? X (k )WN?kn RN (n) 中只需要这些值。 N k ?0
45

隐含周期性:假设长为 N 的序列 x(n) 是由对 x(t)取样得来的,则频 域上已经意味着以 ? s ? 2? / T 为周期作周期延拓。现对频域 X (e jw ) 作等

x 间隔取样,则时间序列 x(n) 按周期 N 延拓为 ~ (n) ,因此利用 DFT 对 x(n)
的时间序列展开,相当于对此序列作周期性处理。 由以上的讨论可见,DFT 的时域和频域都是有限长的、离散的,故 可利用计算机完成两者间的变换,这是 DFT 的最大优点之一。 例:为了说明有限长序列的 DFT,考虑有限长序列 x(n) =1,0≤n≤4,

x(n) =0,n 为其它值时,画图。在确定 DFT 时,我们可以将 x(n) 看作是一
个长度≥5 的任意有限长序列(如长度为 6 或 10 等等) 。设想 x(n) 为长度

x 为 N=5 的序列,周期序列 ~ (n) 在所有 n 上取值都为 1,画图。





















N ?1 1 ? e ? j ( 2? / N ) kN ? N , k ? 0,? N ,?2 N ~ 等, 即只有在 ?? X (k ) = ? e ? j ( 2? / N ) kn ? 1 ? e ? j ( 2? / N ) k n ?0 ?0, 其它

k=0 和 k=N 的整数倍处才有非零的 DFS 系数。画出图形。在上面的图中画

x 出对应的采样值。 (n) 的 5 点 DFT X (k ) 对应于抽取 X (k ) 的一个周期而得
到的有限长序列。画出图形。只有在 k=0 时,有一个值为 5,其它点上为 0。
46

~

x 如果考虑将 x(n) 换成长度 N=10 的序列,则基本的周期序列情况为: ~ (n) x x 的一个周期中,0≤n≤4 时, ~ (n) =1,5≤n≤9 时, ~ (n) =0,然后开始下
一个周期。这时得到的 X (k ) 上图中 0~2π 中进行等间隔采样的 10 个点。

3.6 离散傅里叶变换的性质
由于 DFT 是从 DFS 中得来的,所以很相像,都是根据有限长序列 DFT 的隐含周期性得出。 1) 线性 注意特殊情况下如何定线性组合后序列的长度。以长度大的为周 期。 2) 序列的圆周/循环移位 定义: y(n) ? x((n ? m)) N RN (n) (1) 与线性移位、周期移位作比较 (2) 理解:

x x ? 将 x(n) 拓 成 ~ (n) , 将 ~ (n) 右 移

m

位 得

~ (n ? m) = x((n ? m)) ,取主值; x N
? 一端出另一端进,因为是有限长; ? 均匀分布在一个圆上,顺时针或逆时针旋转 3) 圆周/循环移位定理 若 DFT[x(n)]=X(k),
mk

y(n) ? x((n ? m)) N RN (n)





DFT[y(n)]= WN X(k) 形式与 DFS 的周期移位相同, 表明序列圆周移位后的 DFT 为 X (k )
47

mk mk 乘上相移因子 WN , 即时域中圆周移 m 位, 仅使频域信号产生 WN mk 的相移,而幅度频谱不发生改变,即| WN X (k ) |=| X (k ) |

4) 对称性 见书上 100 页,和 DFS 中讨论的相似,都是按照 DFS 来解,然后 取主值区间值即可。对着书把这些性质理一遍。 然后看书上例题 3-1。 书上习题 6: 解: (1)要使所有的 X (k ) 为实数,即要求 X * (k ) = X (k ) ,对应

~

~

~

x 时域则有 ~ * (?n) ? ~(n) 。从图可见, ~ (n) 为实序列,所以要求 x x ~(?n) = ~ (n) 。所以选择图(b) x x ;
(2)要使所有的 X (k ) 为虚数,即要求 X * (k ) = ( ?1) ? X (k ) ,

~

~

~

x x 对应时域有 ~ (?n) =- ~ (n) 。从图可见, ~ (n) 为实序列,所以要 x
*

x x 求 ~(?n) =- ~ (n) 。所以没有选择;
(3)(a)和(c)满足。待入到 X (k ) 的公式中计算。(a)图,
3 ?j kn 1 ? (?1) k ~ ~ ,当 k=±2,±4,…时, X (k ) =0; X (k ) = ? e 8 = ? ?j k n ?0 1? e 4 2?

~

(c)图对应(a)图序列减去(a)图序列平移 4 位后的序列,所以

~ ~ ,频域 X c (k ) ? (1 ? e jk? ) X a (k ) 。结果=0。时域里移 4 位(左移)
4 乘以 WN k ,N=8,看作是右移也可以,答案一样。

5) 圆周卷积和/循环卷积定理

x1 (n) 和 x2 (n) 的长度都为 N,如果 Y(k)= X 1 (k ) X 2 (k ) ,则
48

y (n) ? [ ? x1 (m) x 2 ((n ? m)) N ]R N (n)
m ?0 N ?1

N ?1

? [ ? x 2 (m) x1 ((n ? m)) N ]R N (n)
m ?0

? x1 (n) ? x 2 (n)
根据定理可以求出圆周卷积, 当然求圆周卷积, 可以借助 DFT 来 计算,即 IDFT[Y(k)]=y(n)。 可见圆周卷积与周期卷积的关系,在主值区的结果相同,所以求 圆周卷积是可以把序列延拓成周期序列,进行周期卷积,然后取主值 的方法来求。 也可以根据圆周移位的理解来做,见下面例题: 例 1 : 令 x2 (n) 为 长 度 是 N 的 有 限 长 序 列 , 且

x1 (n) = ? (n ? n0 ),0 ? n0 ? N ,则 x1 (n) 可以看作为一个长度为 N 的
?0,0 ? n ? n0 ? 有 限 长 序 列 , 定 义 为 x1 ( n) = ?1, n ? n 0 , ?0, n ? n ? N ? 1 ? 0
kn x1 (n) ? X 1 (k ) ? WN 0 ,如果 kn X 3 (k ) = X 1 (k ) X 2 (k ) = WN 0 X 2 (k ) ,则 ? x3 (n) = x2 (n ? n0 ) ,

即 x3 (n) 是 x2 (n) 在 0≤n≤N-1 内顺时针旋转 n0 个取样间隔得到的序 列。 将 x2 (n) 放在一个内圆周上,将 x1 ( n) 放在外圆周上,零点重合, 然后进行顺时针旋转,看结果。与上面分析一样的结果。 例 2: x2 (n) = x1 ( n) = ?

?1,0 ? n ? L ? 1 ,若 N=L,则 N 点 DFT ?0, 其它

49


N ?1 ?N , k ? 0 kn ,如果将 X1(k)和 X2(k)直接相 X 1 (k ) ? X 2 (k ) ? ?WN ? ? n ?0 ?0, 其它

乘,得

X 3 (k ) = X 1 ( k ) X 2 ( k ) = ?
也可以画图旋转来解答。

?N 2 , k ? 0 ?0, 其它

,由此可得 x3 (n) =N,0≤n≤N-1。

以上两个例题都是根据 DFT 来计算圆周卷积,用定义式无疑较难,用图 形旋转功能也有限。 考虑上面的例 2,我们可以把 x2 (n) 和 x1 ( n) 看作是 2L 点序列,只要增 补 L 个零即可。现在来计算增长序列的 2L 点圆周卷积。计算出结果。然后 计算一下 x2 (n) 和 x1 ( n) 的线性卷积,看结果与前面 2L 点圆周卷积结果关 系 。 假 设 L=4 , 则 2L=8 , 则 线 性 卷 积 和 根 据 定 义 式 有 y(n)=

? x (m) x
1 m

2

(n ? m) ,0≤m≤3,0≤n-m≤3,得出 0≤n≤6。当 0≤n≤3

时,0≤m≤n,y(n)=n+1;当 4≤n≤6 时,n-3≤m≤3,y(n)=7-n。计算 8 点圆 周卷积,结果和线性卷积一样。后面我们会证明一般情况下的结论。

3.7 有限长序列的线性卷积和圆周卷积
已 知 x1 ( n) — N , x2 (n) — M , 作 线 性 卷 积 y(n)=x1(n)*x2(n)=

? x (m) x
1 m

2

其中 0≤m≤N-1, 0≤n-m≤M-1, 得出 0≤n≤M+N-2, (n ? m) ,

即 y(n)长度最大为 M+N-1。

50

对 x1 ( n) 、x2 (n) 分别补零, 使之长度为 L, 然后进行 L 点周期卷积 (圆 周卷积等于周期卷积的主值区间) 。这样有: ~1 ( n) = x
?

q ? ??

? x (n ? qL) ,
1

?

~ (n) = x2

k ? ??

?x

2

(n ? kL) ,则进行周期为 L 的周期卷积得

N ?1 ~ x x x x f L (n) ? ~1 (n) ? ~2 (n) = ? ~1 (m) ~2 (n ? m) (将其中的 N 改为 L) m ?0

=

m ?0 q ? ??

? ( ? x1 (n ? qL) ? x2 (n ? m ? kL)) ( 将 其 中 x1(n) 换 成
k ? ??
L ?1 ? ? L ?1

L ?1

?

?

x1(m)) =

m ?0 k ? ??

? ? x (m) x
1

2

(n ? m ? kL) ?

k ? ?? m ?0

? ? x (m) x
1

2

(n ? kL ? m)

(求和之在一个周期,所以 x1(m+qL)中只能取 q=0) =

k ? ??

? y(n ? kL)

?

上式说明了有限长序列 x1 ( n) 、 x2 (n) 的线性卷积的周期延拓构成了周

x x x x 期序列 ~1 ( n) 、 ~2 (n) 的周期卷积,其中 ~1 ( n) 和 ~2 (n) 分别是由有限长序
列 x1 ( n) 、 x2 (n) 形成的。这要 L 满足一定条件,线性卷积就等于周期卷积 的主值周期,而这也正好是圆周卷积的结果。也就是说,只要 L≥N+M-1, 线性卷积就等于圆周卷积。 写出线性卷积和圆周卷积的定义式。 因为在实际 情况中,除里的多半是信号通过一个线性时不变系统,求输出的信号形式。 即实际情况中常常要求线性卷积, 而知道圆周卷积可以在某种条件下代替线 性卷积,并且圆周卷积有快速算法,所以常利用圆周卷积来计算线性卷积。

51

频域抽样理论
在前面我们讨论过周期序列的离散傅里叶级数的系数 X (k ) 的值和

~

~ (n) 的一个周期的 z 变换在单位圆(即序列的傅里叶变换)的 N 个均匀点 x
上的抽样值相等。这其实就是频域的抽样。因此我们得到一个结论:可以用 N 个点的 X(k)来代表序列的傅里叶变换。但是要注意:不是所有的序列都

x 可以这样。我们已经证明过 ~ (n) =

r ? ??

?

?

x(n ? rN ) ,即周期序列可以看作是

非周期序列的以某个 N 为周期进行延拓而成。 只有在 N 大于非周期序列 x(n) 的长度时,延拓后才不会发生重叠。所以我们要求 x(n)为有限长序列,且长 度小于等于 N,这样我们就可以用 X (k ) 来代表 X(ejw)。 其实 X (k ) 的一个周期就可以代表 X(ejw)或 X(z)。 所以我们只看一个周 期,即 X(k)。分析如何用 X(k)来表示 X(ejw)或 X(z)。 有限长序列 x(n)(0≤n≤N-1)的 z 变换为

~

~

X ( z ) ? ? x(n) z ?n ,而 x(n) ?
n ?0

N ?1

1 N ?1 ? X (k )WN?kn ,代入 N k ?0



X ( z) ? ?[
n ?0

N ?1

1 N

? X (k )W
k ?0

N ?1

? kn N

]z ? n =

N ?1 1 N ?1 ? X (k )[?WN?kn z ?n ] N k ?0 n ?0

=

? 1 ? WN Nk z ? N 1 ? z ? N 1 N ?1 = X (k ) ? ? N k ?0 N 1 ? WN k z ?1

?1 ? W
k ?0

N ?1

X (k ) ? k ?1 N z

这就是用 N 个频率抽样值来恢复 X(z)的插值公式。上式中把 z 换成 ejw 就 变成用 N 个频率抽样值来恢复 X(ejw)的插值公式。

52

利用 DFT 计算模拟信号的傅里叶分析
DFT 的主要应用之一就是分析连续时间信号的频率成分,如在语音的分 析和处理中语音信号的频率分析有助于音腔谐振的辨识与建模。 那么要求我 们知道在 DFT 中代表的频率成分有哪些。 例如,任意画一个 X(k)的图形,横坐标为 k,纵坐标为 X(k)的值,那么 k 代表的频率是多少?两个离散点间隔代表什么意思?如果是 88 页所示的 图形,则很容易知道信号是由哪些频率的基本信号(正弦信号)合成的。而 在 X(k)中不容易看出。 下面要解决的问题就是分析 X(k)上对应的模拟频率。 ? 有一模拟信号 x a (t ) ( x a (t ) 可以是非周期信号,也可以是周期信号),我 们要用 DFT 来分析它的频率成分。先对该信号作等间隔采样(如果是 非周期信号,则进行截断,取有限长;周期信号,则取一个周期进行采 样) ,采样周期为 T,画图,fs=1/T。 得 到 x(nT) 。 时 域 离 散 对 应 频 域 的 周 期 延 拓 , 周 期 为

? s ? 2? / T ? 2?f s ,其实这时的频域曲线就是序列的傅里叶变换
X(ejw)。 ? s 是模拟域角频率,对应的数字域角频率为 w= ? s T=2π 。 画出图形。提到奈氏抽样定理。 频率是连续的、周期的,为得到 X(k),只需对频率进行等间隔采 样即可。取出一个周期,对一个周期进行 N 点采样。让 w=(2π /N)k 就 可以得到 X(k)。这样两个离散点间间隔用频率表示为:w0=错误!链接
无 效 。 , 这 是 数 字 基 频 。 对 应 的 模 拟 基 频 为

?0 ? w0 / T = w0 f s ? 2?f s / N =2π f 0 。 f 0 =fs/N,相当于模拟频率为 f 0 。即频域中两个点的频率间隔为 f 0 。
x(n)d(n)与 xN(n)不一定同,体现在长度上
53

利用 DFT 对连续时间傅里叶变换逼近的全过程 频域离散对应时域的周期延拓,周期为 T0 ? 1 / f 0 。如何得来?

x x(n)d(n)是一个有限长序列,令为 x(n),则周期延拓后得到的序列 ~ (n) x (周期为 N)有关系: ~ (n) =

r ? ??

?

?

x(n ? rN ) ,将与时间有关的量换为

nT 或 NT,则周期为 NT=N/fs=T0。 ? 利用 DFT 计算连续时间信号时可能出现的几个问题(结合上面的图来 解释) ? 频率响应的混叠失真 抽样定理要求 f s ? 2 f h ,一般取 f s ? (2.5 ~ 3.0) f h 。如不满足该条件, 则会产生频域响应的周期延拓分量重叠现象,即频率响应的混叠失真。 (见图上相应部分) ;根据 f 0 =fs/N,若增加 fs,而 N 固定时,则 fo 要增 加,导致分辨率下降。反之,要提高分辨率,即 fo 减小,当 N 给定时, 则导致 fs 的减小。若想不发生混叠,则要减小 fh。这样要想兼顾 fh 和 fo,只有增加 N。得到 N ? f s / f 0 ? (2 f h ) / f 0 ,这是实现 DFT 算法必 须满足的最低条件。见书上例题。 ? 频谱泄漏 实际情况下, 我们取的信号都是有限长的, 即对原始序列作加窗处理 (见

54

上面的图)使成为有限长,时域的乘积对应频域的卷积,造成频谱的泄漏。 (见书上图) 减小泄露的方法, 。 可以取更长的数据 (与原始数据就越相近) , 缺点运算量加大;可以选择窗的形状,从而使窗谱的旁瓣能量更小。后面我 们会学到。 ? 栅栏效应 DFT 上看到的谱线都是离散的,而从序列的复里叶变换知道谱线是连续 的,所以相当于是看到谱的一些离散点,而不是全部。感觉象是透过栅栏看 到的情景,称为栅栏效应。如何减小栅栏效应?让分辨率增加。 ? 频率分辨率 增加分辨率只有通过加大取样点 N,但不是补零的方式来增加 N,因为 补零不是原始信号的有效信号。 例:在时域对一段有限长的模拟信号以 4KHz 采样,然后对采样到的 N 个 样点作 N 点 DFT,所得离散谱线的间距相当于模拟频率 100Hz。某人想使 频谱能被看得清楚些,每 50Hz 能有一根谱线,于是他用 8KHz 采样,对采 到的 2N 个样点作 2N 点 DFT。问她的目的能达到否? 解答:不能,因为 f 0 =fs/N。

第 3 章习题 实验 离散傅里叶变换

根据离散傅里叶变换公式 X (k ) ? =

? x(n)e
n ?0

N ?1

?j

2? kn N

55

? x(n) cos(
n ?0

N ?1

N ?1 2? 2? nk) ? j ? x(n) sin( nk) N N n ?0

只要知道了 x(n)和 N,就可以得到 X(k)。其中 x(t)=cos(Ω t),N=32, T=0.000625,f=50Hz,得到 x(n)=cos(2*pi*f*n*T)。得到结果 X(50Hz)=16。 实验内容: 1) 先计算出 N=8 或 N=4 点的 DFT 结果,将其与笔算结果相比较,验 证程序的正确性。 2) 编程计算出 X(k); 3) 编程计算出 X(ejw); 4) 比较两者间的差别。

56


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