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【新】2018高中数学第2章平面解析几何初步第二节圆与方程2直线与圆的位置关系习题苏教版必修2

小中高 精品 教案 试卷

直线与圆的位置关系

(答题时间:40 分钟) *1.(临沂检测) 设直线 l 过点 (-2, 0) , 且与圆 x +y =1 相切, 则直线 l 的斜率是________。 **2.(福建师大附中检测)若 P(2,-1)为圆(x-1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线
2 2 2 2

AB 的方程为______________。 2 2 *3.(南京检测)直线 ax+y-a=0 与圆 x +y =4 的位置关系是________。 2 2 *4. 设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为
2 3 ,则 a=________。 **5. 直线 l:y=x+b 与曲线 C:y= 1 ? x2 有两个公共点,则 b 的取值范围是________。 **6. 在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则四 边形 ABCD 的面积为__________。 **7.(潮州检测)已知圆 O:x +y =1 与直线 l:y=kx+2。 (1)当 k=2 时,求直线 l 被圆 O 截得的弦长; (2)当直线 l 与圆 O 相切时,求 k 的值。 **8.(潍坊检测)已知一个圆的圆心在 x 轴上,圆心横坐标为整数,半径为 3,圆与直线 4x+3y-1=0 相切。 (1)求圆的方程; (2)过点 P(2,3)的直线 l 交圆于 A、B 两点,且|AB|=2 5 。求直线 l 的方程。 ***9.(无锡检测)已知⊙O:x +y =1 和定点 A(2,1) ,由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引 切线 PQ,切点为 Q,且满足 PQ=PA。
2 2 2 2 2 2

(1)求实数 a、b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙P 方程。

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1

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1. ±

3 3

解析: 设直线 l 的方程为 y=k (x+2) , 由题意可知

2k 1? k 2

=1, 解得 k=±

3 。 3

2. x-y-3=0 解析:由圆的性质可知,此弦与过点 P 的直径垂直,故 kAB=- 故所求直线方程为 x-y-3=0。

1? 2 =1。 0 ?1
2

3. 相交 解析:∵直线 ax+y-a=0 恒过(1,0)点,而点(1,0)落在圆 x +y =4 的 内部,故直线与圆相交。 4. 0 解析:由弦长 2 3 及圆的半径为 2,可知圆心到直线的距离为 1,即 解得 a=0。 5. [1, 2 ) 解析:如图,直线夹在 l1 与 l2 之间,不含 l2 含 l1,故 1≤b< 2 。

2

a?2?3 a2 ? 1

=1,

6. 10 2

解析:由 x +y -2x-6y=0 得(x-1) +(y-3) =10。

2

2

2

2

∴圆心为(1,3) ,半径 r= 10 。 ∴最长弦 AC=2r=2 10 ,
2 2 最短弦 BD=2 r 2 ? d 2 =2 10 ? (1 ? 0) ? (3 ? 1) =2 5 。

∴SABCD=

1 1 AC·BD= ×2 10 ×2 5 =10 2 。 2 2

7. 解:方法一 (1)当 k=2 时,直线 l 的方程为:2x-y+2=0, 设直线 l 与圆 O 的两个交点分别为 A、B。 过圆心 O(0,0)作 OD⊥AB 于点 D,则 OD=

2? 0 ? 0 ? 2 2 ? (?1)
2 2



2 。 5

∴AB=2AD=2 12 ? (

2 2 2 5 ; ) = 5 5

(2)当直线 l 与圆 O 相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径。 ∴

k ?0?0? 2 k 2 ? (?1) 2

=1。

即 k 2 ?1 =2,解得 k=± 3 。 方法二 (1)当 k=2 时,联立方程组 ? 解出 x=-1 或 x=-

? y ? 2x ? 2 ?x ? y ? 1
2 2

消去 y 得 5x +8x+3=0

2

3 4 代入 y=2x+2,得 y=0 或 y= 。 5 5 3 4 ∴A(-1,0) 、B(- , ) 。 5 5

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2

小中高 精品 教案 试卷

4 2 2 5 ; 5 5 ? y ? kx ? 2 2 2 (2)联立方程组 ? 2 ,消去 y 得(1+k )x +4kx+3=0,当直线 l 与圆 O 相切 2 ?x ? y ? 1
∴AB= (?1 ? ) ? (0 ? ) =
2

3 5

时,即上面关于 x 的方程只有一个实数根。 由 Δ =16k -4×3×(1+k )=0 得 k=± 3 。 8. 解: (1)设圆心为 M(m,0) ,m∈Z, ∵圆与直线 4x+3y-1=0 相切, ∴
2 2

4m ? 1 =3 即|4m-1|=15,又∵m∈Z,∴m=4。 5
2 2

∴圆的方程为(x-4) +y =9; (2)①当斜率 k 不存在时,直线为 x=2,此时 A(2, 5 ) ,B(2,- 5 ) ,AB=2 5 , 满足条件。 ②当斜率 k 存在时,设直线为 y-3=k(x-2)即 kx-y+3-2k=0, ∴设圆心(4,0)到直线 l 的距离为 d,

AB 2 ) = 32 ? ( 5) 2 =2。 2 4k ? 3 ? 2k 5 ∴d= =2,解得 k=- , 2 12 k ?1
∴d= R ? (
2

∴直线方程为 5x+12y-46=0。 综上,直线方程为 x=2 或 5x+12y-46=0。 9. 解: (1)连接 OQ、OP,∵Q 为切点,PQ⊥OQ,

由勾股定理有 PQ =OP -OQ , 又由已知 PQ=PA,故 PQ =PA 。 即: (a +b )-1 =(a-2) +(b-1) 。 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为:2a+b-3=0; (2)由 2a+b-3=0,得 b=-2a+3。
2 2 PQ= a2 ? b2 ?1 = a ? (?2a ? 3) ? 1 = 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? ) 2 ?
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

6 5

4 。 5

故当 a=

6 2 5 2 5 时,PQmin= 。即线段 PQ 长的最小值为 ; 5 5 5

(3)方法一 设圆 P 的半径为 R,∵圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1, ∴|R-1|≤OP≤R+1。即 R≥|OP-1|且 R≤OP+1。
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2 2 2 而 OP= a 2 ? b2 = a ? (?2a ? 3) = 5(a ? ) ?

6 5

9 , 5

6 3 3 5 3 5 时,OPmin= 。此时,b=-2a+3= ,Rmin= -1。 5 5 5 5 6 2 3 2 3 5 2 得半径取最小值时圆 P 的方程为(x- ) +(y- ) =( -1) 。 5 5 5
故当 a=

方法二 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切的情形,而这些半径的最 小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l′与 l 的交点 P0。

r=

3 2 ?1
2 2

-1=

3 5 -1。 5

又 l′:x-2y=0,

6 ? x? ? x ? 2 y ? 0 ? 6 3 ? 5 解方程组 ? ,? 即得 P0( , ) 。 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 3 ? 5 ?
∴所求圆方程为(x-
.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

6 2 3 3 5 ) +(y- )2=( -1)2。 5 5 5

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