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定积分在几何中的应用


晋宁一中

黄荣丽

定积分在几何中的应用
学习目标:

1、深刻理解定积分 的几何意义及微积分 基本定理。
2、掌握利用定积分 求曲边图形面积的几 种常见题型及方法。

诱思
图1.
y

探究

用定积分表示下面各平面图形的面积: 图2.

y ? f ( x)

y

0

a

b

x

o

图3. y
0

S ? ? f ( x)dx
a

a

b

b

x

y ? f ( x)

S ? ?? f ( x)dx
a

b

y ? f2 ( x)
b x

a

S??

b

a

y ? f1 ( x )

b ? f 2 ( x )dx ? ? ? f1 ( x ) dx? ? ? ? a ?

新课引入
y

y? x

2

1

-1

o

1
2

x

-1

y ?x

如何求这片叶子的面积呢?

诱思

探究

曲边梯形(三条直边,一条曲边) 面积 A=A1-A2

例题

分析
2与

例1.计算由曲线 y ? x
所围图形的面积

y ?x
2
y 1

y ? x2

-1

o

1

x

y2 ? x
-1

y y =x 2
B (1,1)

y 2=x

O

1

x

y
y =x 2 1 O C B D A 1 x y 2=x

S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OADC.

y y =x 2 1 O y 2=x

C

B
D A 1

x

S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OADC

S??

1

0

xdx ? ? x dx
2 0

1

y
y =x 2 1 O C B D A 1 x y 2=x

S??

1

0

2 1 31 1 S ? x | ? x |0 ? 3 3 3

3 2 1 0

xdx ? ? x dx
2 0

1

例题 2: 计算由曲线 y ? x ? 6 x 和 y ? x 所围成
3 2

的图形的面积.

y ? x2

y ? x3 ? 6x

解: 求两曲线的交点:

? y ? x3 ? 6x ? (0,0),(?2,4),(3,9). ? 2 ?y ? x

A1 ? ?

0

?2

( x ? 6 x ? x )dx
3 2

A2 ? ? ( x ? x ? 6 x)dx
2 3 0

3

求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.

例 2. 计算由曲线 y ? 2x , 直线 y ? x ? 4以及 x 轴所围 成的图形的面积.

解:作出y=x-4, y ? 2x 的图象 如图所示: ? ? y ? 2x x=8 解方程组 ? 得 :{y=4 , ? ?y ? x ? 4 直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
S ? S1 ? S2 ? ?
4 0

y ? 2x
S1

S2

y ? x?4
8

2 xdx ? [ ?
8

8

4

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx]
4

? (?

4

0

2 xdx ? ?

4

2 xdx) ? ? ( x ? 4)dx ? ?
4

8

8

0

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx
4

8

2 2 3 1 2 40 8 2 8 ? x |0 ?( x ? 4 x) |4 ? 3 2 3

s??

8

0

1 2 xdx ? ? 4 ? (8 ? 4) 2
3 2 8 0

2 2 ? x | ?8 3
2 2 40 ? ?16 2 ? 8 ? 3 3

1 2 s ? ? [(4 ? y ) ? y ]dy 0 2
4

1 2 1 3 4 ? (4 y ? y ? y ) |0 2 6
1 2 1 3 40 ? 4? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? 2 6 3

练习 1: 计算由曲线 y 2 ? 2 x 和直线 y ? x ? 4所 围成的图形的面积.

解1 求两曲线的交点:

y ? 2x
S1 S1
2

y ? x?4
8

? y2 ? 2 x ? ( 2,?2), (8,4). ? ?y ? x?4
S ? 2S1 ? S2 ? 2?
2 0 2 8

S2

y2 ? 2 x
0 8

2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
2

? ? 2 2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
2

3 4 2 3 2 2 1 2 16 64 26 8 2 2 2 ? x |0 ?( x ? x ? 4 x) |2 ? ? ? ? 18 3 3 2 3 3 3

三.小结
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:

(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)
(3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.

四.作业:P65.练习;P67.习题1.7A组:1

归纳

总结

1、知识方面:
用定积分求平面图形面积的方法和步骤。

2、思想方法:
体会数形结合思想和转化思想在解题中 的应用。

例2.如图直线y=kx将抛物线y=x-x2与x轴所围成的平面图形分成面积相等的两部分, 求实数k的值.

y

y = x- x2

k = 1-

3

1 2

y=kx

1
O 1-k x


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