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导数题型归纳总结(第一讲)(老师)(2016秋)

导数题型归纳总结 (第一讲) 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 二、交点与根的分布 常用结论 ⑴ sin x ? x, x ? (0, ? ) ,变形即为 其几何意义为 y ? sin x, x ? (0, ? ) 上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ex ? x ? 1 ⑶ x ? ln( x ? 1) , x ? 1 ? ln x ⑷ ln x ? x ? e x , x ? 0 . sin x ? 1, x 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (是一道设计巧妙的好题,同时用到 e 底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零点存在性定 理不好想,⑴⑵联系紧密) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? e x . ⑴若函数φ (x) = f (x)- x +1 ,求函数φ (x)的单调区间; x- 1 ⑵设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0,f (x0))处的切线,证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0,使 得直线 l 与曲线 y=g(x)相切. 2 x2 ? 1 . ? x ?x ? 1?2 x ? ?x ? 1?2 ∵ x ? 0 且 x ? 1 ,∴ ?? ? x ? ? 0 ∴函数 ? ( x) 的单调递增区间为 ?0,1?和?1 , ? ?? . 解: (Ⅰ) ? ( x) ? f ? x ? ? x ?1 x ?1 ? ln x ? , ?? x ?1 x ?1 ?x ? ? 1 ? (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 1 1 ,∴ f ?( x0 ) ? , x0 x ∴切线 l 的方程为 y ? ln x0 ? 1 1 ( x ? x0 ) , 即 y ? x ? ln x0 ? 1 , x0 x0 ① 设直线 l 与曲线 y ? g ( x ) 相切于点 ( x1 , e x1 ) , 1 1 ? ln x ,∴ x1 ? ? ln x0 ,∴ g ( x1 ) ? e 0 ? . x0 x0 ln x0 1 1 1 1 ∴直线 l 也为 y ? ? ? x ? ln x0 ? ,即 y ? x ? ? ,② x0 x0 x0 x0 x0 ln x0 1 x ?1 由①②得 ln x0 ? 1 ? ? ,∴ ln x0 ? 0 . x0 ? 1 x0 x0 ∵ g ?( x) ? e x ,∴ e 1 ? x 下证:在区间(1,+ ? )上 x0 存在且唯一 . 由(Ⅰ)可知, ? ( x) ? ln x ? 又 ? (e) ? ln e ? x ?1 ( 1, +?) 在区间 上递增. x ?1 e2 ? 1 e2 ? 3 e ? 1 ?2 ? ?0, ? ? 0 , ? (e2 ) ? ln e2 ? 2 e ?1 e ?1 e ? 1 e2 ? 1 结合零点存在性定理,说明方程 ? ( x) ? 0 必在区间 (e, e 2 ) 上有唯一的根,这个根就是所求的唯一 x 0 1 ,故结论 成立. 2. (最值应用) 1 9 nx? m ? R , x ?0) 已知二次函数 g ( x) 对 ?x ? R 都满足 g ( x ? 1) ? g (1 ? x) ? x 2 ? 2 x ? 1 且 g (1) ? ?1 , 设函数 f (x) ? g(x? 2)?ml( . 8 (Ⅰ)求 g ( x) 的表达式; (Ⅱ)若 ?x ? R ? ,使 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)设 1 ? m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x ,求证:对于 ?x1,x2 ? [1, m] ,恒有 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 . 2 解: (Ⅰ)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,于是 ?a ? 1, ? 2 2 2 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? 2a ? x ? 1? ? 2c ? 2 ? x ? 1? ? 2, 所以 ? ? ?c ? ?1. 1 1 2 1 又 g ?1? ? ?1 ,则 b ? ? .所以 g ? x ? ? x ? x ? 1 .????3分 2 2 2 1 9 1 2 (Ⅱ) f ( x) ? g x ? ? m ln x ? ? x ? m ln x(m ? R,x ? 0). 2 8 2 ? ? 当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;????4分 当m=0时, f ( x) ? x2 ? 0 对 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立;????5分 2 当m<0时,由 f ?( x) ? x ? m ? 0 ? x ? ?m ,列表: x x f ?( x) (0, ?m ) ?m ( ?m,? ?) - 减 0 极小 + 增 f ( x) 这时, ? m ln ?m . ? f ( x)?min ? f ( ?m ) ? ? m 2 ? f ( x)?min ? 0 ? ? ? ? m ? ? m ln ?m ? 0, ? ?e<m ? 0. 2 ? m ? 0 ? 所以若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立,则实数m的取值范围是 (?e,0] . 故 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,实数m的取值范围 (??, ?e] ? ? 0,? ? ? .????9分 (Ⅲ)因为对 ?x ? [1,m] , H ?( x) ? ( x ? 1)( x ? m) ? 0, 所以 H ( x) 在 [1, m] 内单调递减. x 1 2 1 于是 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? H (1) ? H (m) ? m ? m ln m ? . 2 2 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 ? 1 2 1 1 3 m ? m ln m ? ? 1 ? m ? l

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